Full text of "Euclidis opera omnia"

See other formats






"^- :,* 



.^ 






..-:. ii-.^^ 









^ ^ ■:.■<; -^ ■ ,i «'^ 



'4*-- . ;■ 






«i^ 



-^..^:!^ 



Q^i 




^nprr 



& 




^RMED BY^ 



Q\/A 



^. VATIC 
StRvKtS 



LGr 
E8feH 



EUCLIDIS 



C^) 



OPERA OMNIA. 



EDIDERUNT 



I. L. HEIBERG ET H. MENGE. 



UOL. YI. 



LIPSIAE 

IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI. 
MDCCCXCVI. 



EUCLIDIS DATA 

CUM COMMENTARIO MAEINI ET SCHOLIIS 
ANTIQUIS. 



HENRICUS MENGE. 



#7^ 

LIPSIAE 



IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI. 
MDCCCXCVI. 



litPBIAE: TTPIS B. O. THITBKEBT. 



PRAEFATIO. 

Euclidis Data postquam primus edidit Cl. Hardy 
(Parisiis 1625), cum ceteris eiusdem scriptoris operibus 
uno uolumine comprehendit Dau. Gregory (Oxoniae 
1703). sed neque subsidia critica, quibus uterque usus 
est, magni aestimanda neque editores ipsi in scrip- 
turis codicum eligendis ratione et uia processisse 
putandi sunt. tertius ad illos initio huius saeculi 
accessit Peyrardus, qui licet laude dignus sit, quod 
antiquum eumque praestantissimum codicem et rep- 
perit et ad Euclidis uerba restituenda adhibuit, tamen 
id, quod praestandum erat, non praestitit. primum 
enim nimis pendet a Gregorio, cuius iudicium optimis 
codicis sui scripturis multis locis praeferat; adde quod 
Theonis recensionem non magis nouit quam Hardy et 
Gregorius; postremo codicem illum non ea diligentia 
contulit, quam nostra aetas suo iure postulare uidea- 
tur. post Peyrardum autem Data neminem inuenerunt 
editorem. 

Quae cum ita essent, ante omnia id mihi agendum 
esse adparuit, ut ex magno numero codicum, quos 
adire mihi licuit, eos deligerem, qui solidum ac fir- 
mum recensionis fundamentum praeberent. qua in re 
id mihi propositum esse debuit, ut iam de Theonis 
scriptura cum probabilitate quadam posset iudicari. 



YI PRAEFATIO. 

atque ex illa librorum manu scriptorum multitudine 

facile mihi persuasi in primis sex plurimum habere 

ponderis. sunt autem hi: 

P = cod. Uatic. Gr. 190 Peyrardi, membr. saec. X, 
duobus constans uoluminibus, de quo u. uol. I p. VIII 
et uol. V p. XXIV sq.; praeter Elementa, Marini 
commentarium (uol. II fol. 248 — 249), Data (fol. 250 
— 281) continet Theonis vTtofivrjfia sig rovg TtQOiaC- 
Qovg xavovag Iltols^aLOv. de aetate archetypi totius 
codicis aut eius partis, qua Theonis commentarius 
continetur, singulari liberaHtate ac benignitate 
me edocuit Hermamius Usener. in margine enim 
fol. 298^^ ad Theonis uerba orav 6 t&v tstQasttjQidav 
^SQi6^bg tQLcbv stcbv ^cataXsiTtf] uir summus haec 
repperit scripta: ag vvv Gvvs^r] stcI {s) tov qo%^ 
^LOxXrjtiavov (dLoxhtiavov\ tovtsetiv stcI (s^ tov 
do^ stovg ((^o^£ tovg) xata 'ATcd^siav {anaybiav) tijv 
xaO'' Tj^&g. cum autem Apameae, in urbe Syriae, 
anni numerarentur ad aeram quam uocant Seleuci- 
darum, efficitur, archetypum codicis P aut partis 
eius Theoninae a. 462 p. Chr., qui est aerae 
Diocletiani annus 179, in hac urbe ab homine 
non indocto lectum esse. 

Vat. == cod. Uatic. Gr. 204, membr. saec. X, cuius de- 
scriptionem dedi Neue Jahrb. f. Philol. 1886 p. 183sq. 
Data habet fol. 172"— 194, Marinumfol. 195'— 197^ 
permulta correcta sunt mauu saec. XV (Vat. m. 2), 
cuius scripturam plenam in prolegomenis adferam. 
V = cod. Uatic. Gr. 1038, membr. saec. XIII, de quo 
u. uol. V p. Vsq. Data habet fol. 114"— 129 dua- 
bus manibus s. XV correcta, Marinum fol. 1 13—114". 



PRAEFATIO. Vn 

commemorat codicem P. Tannery, Rapport sur une 

mission en Italie p. 43. 

b = cod. bibliothecae commuualis Bononiensis A l^ 18, 19 

sicnatus, membr. saec. XI, duobus constans uolu- 

minibus; u. uol. Y p. XXXIII sq. et Heiberg, Zeitschr. 

f. Math. u. Phys. hist.-litter. Abt. XXIX p. 6 sq. 

Data continet uol. II quatern. Xt] — fi inde a p. 64, 22 

dx^£t6()c tf] Q^EdEL (mg. leLTtsi tj ccqxv) usque ad 

p. 172, 20 dadotai ta ^syed-SL. titulus est: svxXsl- 

dov dsdofisva trjg ©savog sxd6as(og. memorabili 

transmutatione foliorum factum est, ut pro p. 76, 16 

tQLyavov — p. 80, 7 stiI triv AF reperiantur uerba 

p. 56, 14 ysyQKtpQ^c^ — 20 s6xlv^ demonstratio altera 

propos. 33, propos. 34 usque ad p. 58, 10 do%-lv kqcc. 

uol.I definitionum et propositionum solarum quasi con- 

spectum continet, cuius scripturam significaui littera /3. 

a = cod. Florentin. Laurentianus XXYIII, 1, membr. 

saec. XIV. Data continet fol. 325^—336. in fine 

legitur: telog. EvnlsCdov dsdo^eva tijg ©savog ix- 

dodscog, fol. 1": iste liber est (corr. 'erat') Demetrii 

Chidoni Greci. codex eandem quam b habet folio- 

rum transmutationem. 

z = cod. Paris. Gr. 2448, bombyc. saec. XIV, de quo 

u. Omont, Inventaire II p. 263. Data habet fol. 25 — 56 

inde a propos. 24; titulus est d-sd}Qr](ia xd'". 

His codicibus a me ipso collatis ita usus sum, ut 

textum potissimum ad codicis P auctoritatem reuoca- 

rem neque ad ceteros confugerem nisi iis locis, ubi 

illum aliquid uitii contraxisse aut constaret aut ueri 

simillimum esset. coniecturas siue editorum siue meas 

raro in ordinem uerborum recepi; qua in re si cui 



Vm PRAEFATIO. 

nimis caute uel religiose uersatus esse uidear, memi- 
nerit uelim, in hac editione adornanda id me maxime 
spectasse, ut Euclidis uerba ad antiquissimorum et 
optimorum codicum fidem exigerem. ceterum spero 
fore ut homines sollertiores et ingeniosiores iam idonea 
codicum supellectile instnicti cum iis locis, qui ne 
mihi quidem satis sani esse uisi sint, medicinam ad- 
ferant, tum ulcera adhuc latentia deprehendant et per- 
sanent. 

In adparatum criticum codicum PVat.vb(/3) scrip- 
turam plenam congessi; in iis autem partibus libri, 
ubi b deficit, scripturam cod. a addidi, quem, nisi 
quid contra adnotatum est, colligas uelim cum /3 con- 
spirare; discrepantiam cod. z perpaucis locis in ad- 
paratum recepi. figuras apertis erroribus correctis 
tales dedi, quales in codicibus descriptae sunt. 

Interpretationem Latinam ad uerba Graeca, quan- 
tum fieri posset, adcommodandam esse putaui. numeri 
quibus 'def.' uel 'prop.' praepositum est, ad Datorum 
definitiones et propositiones, ceteri ad Elementorum 
libros et propositiones referendi sunt. 

Marini commentario, quem dignissimum esse con- 
stat, qui Euclidis libro adiungatur, contigit, ut 
ipse quidem ex parte Graece prius in lucem proferre- 
tur, quam Data ederentur. etenim a Gryuaeo Ele- 
mentorum editioni Basiliensi a. 1533 additus est. 
postea Hardy et Gregorius eum editionibus suis prae- 
posuerunt. equidem textum ad fidem codicum PVat.v 
constitui. 

Scholia, quorum maximam partem e cod. Paris. 
Gr. 2348 descriptam mihi suppeditauit Heiberg, ex 



PRAEFATIO. IX 

quattuordecim codicibus collegi et emendaui, quorum 

omiiium fere omnes discrepantias in adparatum collegi; 

de scholiorum origine et aetate alio loco pluribus 

disseram. codicum illorum scholia bis notis significaui: 

P = scholia cod. P maxijnam partem margini, non- 

nulla tamen eaque fere longiora in fine libri manu 

prima adscripta. 

p2 = tria scbolia eiusdem cod. manu recentiore 

saec. XV scripta. 

Vat. = scbolia cod. Uat. manu prima scripta, eadem 

longiora atque illa codicis P in fine libri exarata. 

V = scbolia cod. v manu subtili saec. XV (v m. 2) 

scripta. 
b = duo scholia cod. b manu recentiore scripta. 
z = scholia cod. z manu prima partim in margine 
scripta, partim Euclidis uerbis interposita. 
C^ = scholia cod. Uatic. Gr. 191 saec. XIII -XIV 
manu saec. XV definitionibus et duabus primis 
propositionibus adscripta. 
C^ = scholia eiusdem codicis ea manu scripta, quae 
codicis pinacem confecit; unum (nr. 11) post Ma- 
rinum fol. 30" legitur. 
1 = scholia cod. Laurentiani XXVIII, 2 saec. XIII 
— XIV manu prima scripta. inde a scholio nr. 124 
scriptura fit neglegentior neque tamen alteram 
manum perrexisse statuerim. in fine libri eadem 
scholia quae P habet. 
P = scholia eiusdem cod. manu C^ cod. Uatic. 191 

scripta. 
A = scholia cod. Laurentiani XXVIII, 8 saec. XIV; u. 
Heiberg, Om Scholierne til Euclids Elementer p. 54. 



X PRAEFATIO. 

c ■= scliolia cod. Laurentiani XXVIII, 10 saec. XV. 
Q == scholia cod. Paris. Gr. 2348 saec. XVII maxi- 

mam partem post definitiones et singulas pro- 

positiones scripta, nonnuUa autem in fine totius 

libri. 
6 — scholia cod. Paris. Gr. 2342 saec. XIV, omnia 

manu prima partim atramento rubro, partim 

fusco scripta-, u. Hultsch, Bericbte d. philol.-hist. 

Cl. d. Siichs. Ges. d. Wissensch. 1886 p. 120 et 

Abhandl. X p. 391. 
Ambr. = scholia cod. Ambrosiani A 101 sup. saec. XV. 
Mon. = scholia cod. Monacensis 361 saec. XIII manu 

recentiore (m. 3) scripta uno (nr. 138) excepto, 

quod manu prima adscriptum est. 
S = scholia cod. Paris. suppl. Gr. 12 saec. XVI, de 

quo u. Omont, Inventaire III p. 202 et Heiberg, 

Om Scholierne t. Eucl. Elem. p. 34. Data ipsa 

codex non habet. 

p. 14, 18 di' £6ov scribendum pro du6ov, p. 101, 12 
ilXsLiiiiccros pro alXsL^arog'^ p. 158, 26 post dsdd^svov 
incidendum non erat, erat p. 160, 1 post [is6}]v. in 
adparatu scr. p. 18, 7 P pro a, p. 76, 2; 86, 17; 92, 4 
om. P pro om. b, addendum p. 100, 3 doO^ft?] om. P, 
p. 168, 8 TtMrrj] TC^d-rj b, delendum p. 176, 3 '(alt.)' 
et p. 190, 5 ^0t(o] s6riv P; p. 224 not. scr. append. 
ur. 40 pro nr. 187, in interpretatione p. 33, 22 'iis 
adiectae sunt'. 

H. Menge. 



PROLEGOMENA. 



De codicibus fatisque Datorum et eominentarii Marini. 

Praeter PVat.vbaz hos codices Datorum et Marini noui: 

1) cod. Uatic. Gr. 191, bombyc. saec. XIII— XIV, de quo 
u. Parthey, Monatsbericlite d. Berlin. Academie 1863 p. 374 sqq. 
et Maass, Analecta Eratostben. in Kiessling-Wilamowitz, Philol. 
Untersuch. VI p. 10 not. Data habet fol. 18—29", Marinum 
usque ad p. 238, 24 fol. 29". 

2) cod. Uatic. Gr. 192, bombyc. saec. XIV; u. Heiberg, Om 
Scholieme til Euclids Elementer p. 34. Data cum scholiis 
habet fol. 95—112", Marinum fol. 112"— ll^''. 

3) cod. Uatic. Gr. 202, bombyc. saec. XIV; duobus constat 
uoluminibus. continet fol. 1 — 81 Theodosii Sphaerica, fol. 82 
— 95'' Autolyci de sphaera quae mouetur, fol. 95" — 132 Euclidis 
Optic. recens. uulg., fol. 133—176 Phaenomena, fol. 177—191 
Theodosii de habitat. , fol. 192 — 249 Theodosii de diebus et 
noct. (in folio 202 desin. uol. I), fol. 250—268 Aristarchi de 
distantiis, fol. 269—299'^ Autolyci de ortu, fol. 299"^— ^OS'- Hypsi- 
clis Anaphor., fol. ^OS'- S^^'" Data cum scholiis, fol. 372"— 381' 
Marinum, fol. 381"— S^^'^ schol. in Eucl. Elem. 

4) cod. Angel. C — 2 — 9, chartac. saec. XV; u. Heiberg, Om 
Scholierne p. 34. continet Data et Marinum. 

5) cod. Barberin. II, 81 , chartac. saec. XV. continet sine 
ordine Catoptrica, Data, Phaenomena, Comment. in Cleomedem, 
Heronis Geodaesiam. Datorum subscriptio est: EvKlsidov Ss- 
So^svcc rfis Qsavog iKdoescos. rslog. 

6) cod. bibliothecae national. Neapolit. III C 10, chartac. 
saec. XVI. continet Data cum scholiis. 

7) cod. Laurent. XXVIII, 2, bombyc. saec. Xm — XIV. 
continet Element. I — XDI, Data cum scholiis fol. 243 — 301^ 
Element. XIV— XV. 

8) cod. Laurent. XXVIII, 8, membr. saec. XTV. continet 
Element. I— XV et Data. 

9) cod. Laurent. XXVIII, 10, chartac. saec. XV. continet 
Data, Optica, Phaenomena. 



XIV PROLEGOMENA. 

10) cod. Magliabecchian. I. III. 36, chartac. saec. XVI, de 
quo u. Vitelli , Studi ital. di filol. class. II p. 549 sqq. habet 
Data fol. 72—971- (scholia fol. 5ir— 64"^), Marinum fol. 45"— 51'. 

11) cod. Ambros. A 101 sup., chartac. saec. XV; u. Heiberg 
in ed. Apollonii II p. XII et p. XXI, in ed. Sereni p. IX. Data 
continet fol. 7 — 25, Marinum fol. 6 — 7. 

12) cod. Ambros. J 84 inf. , chartac. saec. XVI. inter alia 
mathematica et astronomica (u. Heiberg, Om Scholieme p. 34) 
habet Data et Marinum. 

13) cod. Ambros. 249 inf., chartac. saec. XVI— XVH. continet 
Data 'de Uaticana bibliotheca deprompta . . . a losepho Auria'. 

14) cod. Mutin. II E 16, chartac. saec. XV; u. Heiberg, 
Philologus XLII p. 433. fuit Georgii Uallae. 

15) cod. Marcian. 301, chartac. saec. XV; u. Heiberg, Om 
Scholierne p. 57. fuit Bessarionis; u. Omont, Inventaire des 
mss. grecs et latins donnes a S. Marc de Venise par le car- 
dinal Bessarion p. 30 nr. 244. 

16) cod. Marcian. 302, chartac. saec. XV; u. Morelli, Bibl. 
Marc. manuscr. I p. 178, Heiberg, Om Scholieme p. 35. fuit 
Bessarionis; u. Omont p. 30 nr. 245. 

17) cod. Scorial. X — I — 4, chartac. saec. XVI; u. Miller, 
Catal. d. manuscr. grecs de rEscurial p. 292, Graux, TEscurial 
p. 189, 267. Datorum subscriptio est: iyQatprioccv v.al tavta 
Tou ^yi.XBC8ov JsSo^iva ijtOL tfjg &scovog iyiSoascog. 

18) cod. Toletan. Bibl. Capitul. 98—13, chartac. ^aec. XVI, 
de quo u. Graux et Martin, Notices somm. des mss. grecs 
d'Espagne et de Portugal p. 278. Data habet p. 104 — 169. 
Datorum subscriptio est: EviiXsiSov SsSo^isva tijg Ssavog i-n- 
S6as(og. tsXog. 

19) cod. Paris. Gr. 1981, chartac. saec. XVI; u. Omont, 
Inventaire sommaire II p. 174. Data habet cum Marino 
fol. 164—196. 

20) cod. Paris. Gr. 2342, chartac. saec. XIV; u. Omont, 
Inventaire II p. 243, Heiberg in ed. ApoUonii H p. XH et 
p. LXIX, in ed. Sereni p. V sqq. habet Data fol. 97"— 108, 
Marinum fol. 96— 97^. 

21) cod. Paris. Gr. 2347, chartac. saec. XVI; u. Omont II 
p. 244. continet Data fol. 276«— 312, Marinum fol. 313 sqq. 

22) cod. Paris. Gr. 2348, chartac. saec. XVII. continet 

Data cum scholiis 'de Uaticana bibliotheca deprompta 

a losepho Auria' fol. 10 — 99, Marinum fol. 2—9. 



PROLEGOMENA. XV 

23) cod. Paris. Gr. 2349, chartac. saec. XVI. habet Dato- 
rum propp. 1 — 23 fol. 15 — 36, Marinum fol. 1 — 14. 

24) cod. Paris. Gr. 2350, chartac. saec. XVI; u. Omont II 
p. 244. continet Data fol. 45"— 80, Marinum fol. 81—88. 

25) cod. Paris. Gr. 2352, chartac. saec. XV; u. Omont II 
p. 245. continet Data fol. 138" — 168. Datorum subscriptio est: 
EvKliidov Ssdoiisva Tfjg Gscavog iKSoesmg. rsXog. 

26) cod. Paris. Gr. 2363, chartac. saec. XV; u. Omont II 
p. 246 sq. continet Data fol. 99—128. 

27) cod. Paris. Gr. 2366, chai-tac. saec. XVI; u. Omont 11 
p. 247. continet Data fol. 150—181, Marinum fol. 182—185. 

28) cod. Paris. Gr. 2467, chartac. saec. XVI. continet 
Data fol. 8—64, Marinum fol. 1—7. 

29) cod. Paris. Gr. 2472, chartac. saec. XIV; u. Omont 11 
p. 266 sq. habet Data fol. 152— l^^"". fuit lac. Aug. Thuani. 

30) cod. Monac. 361, partim bombyc. partim chartac. saec. 
XTTT — XIV; nunc duobus constat uoluminibus; u. Buchbinder, 
Euclids Porismen u. Data p. 29 sq. Data habet fol. 13" — 14, 
23 — 30, 46 — 49. incipit Datorum (uol. I) pars chartacea a 
p. 220, 11 xov aitb T7]g BF. 

31) cod. Berolia. Phillipps. Gr. 1542, chartac. saec. XVI. 
continet Catoptrica, Phaenomena, Optica, Data. 

32) cod. Berolin. Phillipps. Gr. 1544, chartac. saec. XVI. 
continet Elem. I — XIII, Data cum Marino, Theodosii Sphaerica, 
Phaenomena, Catoptrica. 

33) cod. Leidens. 7, chartac. saec. XVI, de quo u. uol. V 
p. CIV. Data habet fol. 383—433, Marinum fol. 454—459. 

34) cod. Bodleian. Barrocc. 161, chartac. saec. XV; u. Coxe, 
Catalog. codd. mss. bibl. Bodlei. I p. 276. Data habet fol. 341"— 380. 

35) cod. Sauil. Gr. 1 , chartac. saec. XVI. Data continet 
fol. 200—222. 

Marinum solum sine Datis habent: 

36) cod. Monac. 427, bombyc. saec. XI(?); u. Hardt, Catalog. 
codd. bibl. E. Bauar. uol. I tom. IV p. 318 sq. continet Mari- 
num ad p. 246, 26 yvwciv et a p. 254, 28 usque ad finem. 

37) cod. Paris. Gr. 2353, chartac. saec. XVI; u. Omont 11 
p. 245. habet Marinum fol. 11"— 13^ 

38) cod. Paris. suppl. Gr. 12, chartac. saec. XV; u. p. X. 
continet Marinum fol. 40" — 55'. 

hos codices aut totos contuli aut inspexi praeter codd. 6, 
10, 12, 14, 17, 18, 31, 32, 35, 37, quos ipse non uidi; de cod. 10 



XVI PEOLEGOMENA. 

certiorem me fecit Gruilelmus Schmidt, de codd. 14 et 31 
Heiberg. 

iam de eorum codicum, quos examinaui, cognatione uiden- 
dum est. 

ac primum quidem constat, omnes codices ex eodem fonte 
fluxisse. documento est antiquissimus ille error proijositionis 73, 
quem notaui p. 139 not. is enim, si non ad Euclidem ipsum 
referendus, at certe ante Theonem natus per omnes codices 
traditus est, donec saeculo XV librarius codicis 15 interpola- 
tione audacissima eum aggressus est toUere. intei-polatoris 
autem commentum eodem fere tempore in codicem Uat. inlatum 
ac postea in alios quoque codices (u. infra) et in Hardii Gre- 
goriique editiones receptum est. praeterea liis uitiis omnium 
codicum communis origo declaratur: p. 2, 8 &lJ.7]Xovg; p. 64, 21 
post TtSQurog om. r^g jtQoatsQ-sierig; p. 142, 1 FAB; etiam 
p. 34, 16, ubi Euclides uix sibi indulserit, nudum illud Xoi-itov 
pro XoiTtov ccQu in erroribus communibus numerauerim. ceterum 
cfr. p. 58, 22; 66, 10, 12. de interpolationibus infra dicetur. 

sed ut ad singulos codices transeam, primum dicendum est, 
codices PVat.v artissime inter se cohaerere in manifestisque 
erroribus satis frequenter conspirare; u. p. 2, 20; 18, 7; 42, 3 
44, 16; 52, 23; 56, 11; 58, 12; 66, 3; 78, 14; p. 91 fig. 
94, 11, 17—18; 104, 20; 142, 4; p. 149 fig.; 15G, 20; 170, 10 
174, 7; 186, 12; 210, 22, 26; 216, 13; 226, 6; 236, 1 
238, 9; 244, 22; 252, 13; 254, 15. accedunt communes inter- 
polationes, quales sunt p. 20, 1 oXov — iativ; p. 64, 21 TtuQ- 
dXXriXog; p. 112, 4 i-rtsiSri — 5 vnov.utKi; p. 172, 1 tfig ya.Q 
— 2 BJ (cfr. schol. nr. 188); ib. 1. 2 SeSotai &qu nal i] BT. 
etiam p. 6, 18 ovzcag yccQ vTtdnsitai, p. 106,1; 130, 6, 10; 154, 10 
vTto-nsitai yccQ huc addere malim quam in numero omissionum 
Theonis habere. sed neutrum codd. Vat.v ex P neque v ex Vat. 
descriptum esse arbitror. nam Vat. cum v non paucis locis 
contra P facit; u. p. 4, 18; 30, 16; 52, 20; 74, 16; 92, 19; 94, 2; 
106, 11; 110, 10; 116, 3, 21; 140, 15; 154, 3; 160, 19; 176, 3; 
190,5; 194,1,5; 196,12; 200,15; 226,9; 246,9; 256,20; 
p. 151 in fig. rectam iVS ductam habent Vat.v, p. 177 in fig. 2 
JE pro B. V autem saepius cum P contra Vat. concordat; u. 
p. 6, 14; 14, 13; 50, 11; 60, 8; 66, 10; 68, 1; 130, 2; 132, 13; 
140, 23; 152, 21; 170, 5; 220, 14; 228, 9; 230, 14; 242, 26; 
262, 18 ; 254, 7. quare nihil restat nisi ut statuamus, codd. P Vat. v 
ex communi fonte deriuatos esse. 



PROLEGOMENA. XVII 

ex P cod. 7 totus expressus est; nam praeter ueras scrip- 
turas eius uniuersos fere errores in ipsis quoque minutiis usur- 
pat, uelut p. 18, 7 ^ara; p. 56, 18 yaviav; p. 120, 18 o vito; 
p. 142, 21 T^ ; p. 148, 7 rc5 Bidsi, om.; p. 168, 3 aw^s; p. 180, 22 
VTfb tfig Siax&siarig; p. 206, 22 xat; p. 216, 1 AZH, 4: 6 (utrum- 
que) om.; p. 218, 13 3? 6; p. 228, 17 rm. in P si figurae in 
fine propositionum descriptae propter spatii angustias in proxi- 
mam columnam uel paginam translatae sunt, adnotatum esse 
solet s^fig rb axfificc; hoc librarius codicis 7 ne tum quidem 
omisit, cum figuram in eadem pagina atque ipsam propositio- 
nem coUocauit. scholia longiora cod. P et propositionem, 
quae uulgo est 87, cum lemmate in fine Datorum habet. neque 
illud praetermittendum , Data etiam in cod. 7 inter Elemen- 
tonmi libros XIII et XIV interposita esse. 

ex eodem P pendet cod, 4. nam omnia fere ista menda 
eius repetit. praeterea uerba p. 166, 3 inst — 6 AJ, quae in P 
mg. leguntur, in cod. 4 solo desunt; quae uulgo est propos. 87 
et lemma non habet. contra in Marino cum cod. 3 ita con- 
spirat, ut ex eo descriptus esse uideatur; u. p. 234, 7 xal hioi 
lisv oiSs] ^vioi [isv ovS' 3,4; p. 242, 3 ScQi&fiov] kccL 3, 4; 
p. 242, 24 i^iad^si] i^ovcid^si, 3, 4 ; p. 248, 4 Ttglv ov] acoQivov 3, 4. 

codicem 20 quoque ex P originem ducere, ex his locis col- 
legeris: p. 60, 8 P, 20 add. 8o&slg dh 6 r^ff z/E Ttgbg rijv EA 
Xoyog et deinde supra scr. do&sig; p. 76, 2 rr]v] om, P, 20; 
p. 100, 3 So&sig — jBJ"] in P propter d(ioiorsXsvrov intercide- 
runt, om. 20; p. 110, 21 &, K] K, @ P, 20; p. 112, 19 ATB] 
JTB P, 20; p. 190, 5 Svvccrov — ovrcog] P et om. Si 20. 
etiam p. 90, 20; 106, 11; 116, 3; 196, 12 cod. 20 cum P contra 
Vat.v facit. cumque a v descriptus esse non possit, illis locis 
eos adnumerare licet, quibus cum Pv consentit, uelut p. 2, 10; 
14, 13; 68, 1 al. librarius autem, ut per totum codicem fuit 
audacissimus (u. Heiberg in ed. ApoUonii II p. LIV sq. et in 
ed. Sereni p. VI sq.), ne in Datis quidem interpolationibus abs- 
tinuit, uelut p. 22, 5 — 6 supra addidit tovriariv avdnaliv, 
p. 46, 25 rfig AB post ypafA/x^S, p. 52, 20 tj ^z/ post ijx^(a, 
p. 68, 1 SsSoiisvri, p. 224, 11 yavia post ABF. ex additamentis 
manus 2 notaui p. 6, 6 &qcc post ivaXXd^, p. 224, 8 t6 Bz/(sic) 
post iari; p. 190, 13 Kai — 14 Xoya, quae m. 1 omisit, m. 2 
in mg. addidit (idem casu factum est in cod. v). quae uulgo 
est prop. 87 cum lemmate cod. 20 in mg. ad prop. 86 habet 
cum titulo: tovto [isroc rb m'. 

Euclideg, edd. Heiberg ot Menge. VL b 



XVIII PROLEGOMENA. 

e cod. 7 sine dubio descriptus est cod. 26. nam his locis 
soli concordant: p. 34, 20 tov — 21 doQsis] om. 7 (add. mg.), 26; 
p, 36, 16 v.ai] om. 7, 26; p. 38, 23 lombv to] om. 7, 26; 
p. 54, 20 Tc5] rjj 7, 26; p. 86, 12 BAE] BTE 7, 26; p. 86, 15 
7} — iatLv] ietiv tj — 8o&elau 7, 26; p. 94, 1 tibv] twv a.vtaiv 
7, 26; p. 128, 17 Ttqbs aXXrilcc] om. 7, 26. propositionem, quae 
uulgo est 87, cum lemmate cod. 26 non habet. 

priusquam de ceteris codicibus disseram, omnes scripturas 
manus 2 codicis Vat. , quem constat saeculo XV et audacter 
interpolatum et perite correctum esse, huc congeram: 

p. 2, 1 "Oqoi] add. p. 6, 6 ivalld^] ivallai aga 9 post 
^ add. ojt8Q ISsi dEl^at, 21 ag] add., item lin. 22 p. 8, 3 
forat] add. 24 JZ] corr. ex AZ p. 10, 18 So9Bis] So&sis 
ietiv p. 12, 10 ms] add. 11 ovv&svtL] avv&svti &Qa p. 14, 16 
t6 A TtQbs tb B] add. 20 tov] 6 tov p. 18, 11 AB] B add. 

13 So&sv iatLv] iativ add. p. 20, 14 A^] supra add. xal 
^atm p. 22, 9 ^o^S^fi'?] iatl So&sis 17 iv Xoyo)] corr. ex 
ildtta p. 24, 20 rd] corr. ex to p. 26, 14 iativ] supra scr. 
iatat p. 28, 21 So&sis] iati (comp.) So&sis p. 32, 14 to] hic 
mg. : KataXsinsf AB tov F So&svtL iisl^ov iativ ^ iv Xoym. 
acprjQi^a&a) t6 So9sv iisys&os tb AZ' Xontov aQa tov Z B itQbs 
t6 r Xoyos iatl So&sig. ndXiv insl to p. 34, 2 iativ] ^atai 

p. 38, 6 rd] corr. ex ro p. 40, 7 AE] corr. ex AB 13 TZ] 
Z mut. in d 14 Zz/] corr. ex ZA p. 42, 25 ^ffTi(alt.)] iatl 
So&ELS p. 44, 2 di;o:(TT()f'i/)o;i/Ti] ScvaatQS^avrL aQa 3 JTz/] J* 
mut. in Z 17 iv.v.sia&a)] corr. ex iv.pspXria&oi p. 46, 2 tc&v] 
add. 25 ypa/tjx^g] supra add. t^s AB p. 50, 19 t^s (pr.)] 
corr. ex tov r&v] del. , et ita semper fere in angulis signi- 
ficandis p. 52, 12 AZF] AZF ycovia p. 54, 14 insi] nal 
insC p. 56, 18 H&J] H add. 19 ccQa] ctQa iariv p. 58, 6 
insi'] xal insi p. 58, 12 ttjv corr. ex t6 p. 60, 2 ^TTfi] xal 
^Ttfi 4 A&J] d add. P- 62, 4 ^««i] xai insi 25 xai] 
add. 26 naQdXl^Xos] l'ar) p. 66, 7 insi] insl ovv 10 yf iVAf] 
NM p. 70, 10 E//Z] Zz/E 11 .4rB] corr. ex BFA 

JEZ] ZEJ 12 ;iot7t^ Tj; vnb ^ZE farj iativ 13 F] F 
ernLsiois ywvi&v 14 z/, £, Z] Z, z/, E p. 74, 2 tcbv] non del. 

20 ndvtrj] corr. ex «avTt p. 76, 4 0Z] add. 23 
^HE (alt.)] corr. ex AHE p. 80, 8 insi] nal insi 18 t(J] 
xal TO m. 1, xa^ del. m. 2 21 ^srsi] insl v.ui p. 82, 14 t6] 
xai T(i 22 ^vana^] ivaXXa^ apa p. 84, 13 tovtsatL avv- 
ait,cp6tSQ0s] avva(icp6tSQaL ws (iia tovtsativ p. 86, 7 insi] xai 



PEOLEGOMENA. XIX 

insi -p. 8%, 2 AztB] ABJ 6 insi] xal iTtsi p. 90, 10 
TtQog t6 ZEA] supra add. (EZA) 13 Ttgog] corr. ex xat 14 
ffw^S^fVTi] del. et supra scr. 6vvoc^q>6rsQog FEBZA] FEABZ 
ZBA] BZA mut. in ZAB p. 92, 3 r&v] corr. ex to 16 
Ta] corr. ex to, item p. 94, 2 p. 94, 2 AHB] corr. ex ^BB 
p. 96, 1 si'Sn] corr. ex ft'dfi 11 EZ] ttjv EZ p. 98, 3 xat 
— 5 B] bis m. 1, corr. m. 2 18 a-uToii] corr. ex ccvr&v 
p. 100, 5 Xotitwv] XotTtwv TtXsvQ&v 8 TtQog aXXrjXa] del. 15 
iaviv] add. 16 EH] EZ 19 fv^Sia] del. p. 102, 1 atj 
add. 6 Kai] add. 11 post j^aQiov add. xovxsaxi nqbg xr}v TK 
lbBA]AB 18 yap] del. 22 if^] if corr. ex E p. 104, 2 
FAJ] corr. ex AFJ 12 TtXdxrf] corr. ex anXa xy 17 Stxoc] 
bis m. 1, corr. m. 2 20 c^j^fta] corr. ex EZ p. 108, 15 
EBJHZ] EFBJHZ p. 110, 22 insi] insl ovv 23 xfjg] 
corr. ex ffj x^v] del. apa] apa ^STtV p. 112, 2 TB] add. 
mg. jrapanTjidypajXjxov ds8o{isvov xa sidst xb ZB AB] AZFB 
4 insidri — 5 vn6v.sixaL] del. et supra scr. vn6v.sixai v.al tov 
AZFB ngbg xb FJ Xoyog So&sig 13 AFK] F add. 25 ngbg 
t6] supra add. p. 116, 8 ABT] F add. p. 118, 3 s^st] %ft 
10 xwv (alt.)] add. 15 JBT] z/E, BT, et ita semper fere 
in rectangulis significandis p. 120, 15 apa] apa ngbg xb vnb 
x&v FB, AJ X6yog iaxl do^^sig 16 ABF] ABF xqiycovov 
17 xqiyavov] add. 19 ^Xaseov] naQccXXrjXov m. 1 , del. et 
supra scr. Uaxxov m. 2 p. 122, 6 AziB] BdA 7 SsSoxat (pr.)] 
So&slad iaxi 9 jrpdg] n^bg x^v 12 ^T, Bz/] Bz/, y4Z 24 
^B] B-4 p. 124, 1 BAF] BAF xovxsexi xb &nb xfjg BJ 
14 ■fjfiiasLat. ydq si6l] s%axsQa yccQ avx&v rjfiiasLa iaxL Ssdoxai 
— 15 BAT] SsSofisvrig o^ffrjg 16 J A] AJ 18 insi] insi 
iaxLV 19 A/i] xr]v Ad 20 vn6] inb x&v Ad] xfjg Ad 
21 r^(pr.)] xijv rj rz/(alt.)] xfjg rj 22 JA] AJ 24 
wg ccQa] aQa wg p. 126, 2 ABF] BAF 3 B.<4r] B^T 
yavCav 4 J FE] EF, Fd ABF] ABF XQiyavov 5 Tcof] 
vnb x&v 8 Tpiycovo»'] XQiytovov ABF p. 128, 16 Trapa/lylTjyld- 
ypaftfta] corr. ex naQdXXr\Xa p. 130, 2 ^TTft] xai ^ttsi ^AF] 
.dAK 9 EiJ] Z© 19 naQaXXr}XoyQd^ii(ov] corr. ex nuQaXX^- 
Xtov p. 132, 2 TtapanTjloypa/xfto)] corr. ex TrapanTj/lo} 5 xai] 
insl ovv 16 Z&] EH 21 So&siaa] del. p. 134, 13 %fi] 
£'|ft 23 ymvtas] ycoviag xdg n^bg xotg A, A ar\\isioLg p. 136, 1 
Ta? — A] del. 2 naQaXXT\X6yQayt,\ia] naQaXXr\X6yQa\x.yua n^bg 
dXXr\Xa 3 Jtpdg dXXr\Xa] del. 5 ^JBT] ABT XQLymvov 10 
jroto-Dffai] mut in noL&aLv 25 ttj?] corr. ex ToiS p. 138, 2 ijtft] 

b* 



XX PROLEGOMENA. 

y.al iTCBi 24 Kui — p. 140, 4 F©] del. et mg. scr. Ksia&co ts 

iir' av&siag Tjj AF i] TK, v,al av^7CSTtXr]Qa)a&a xh A& TtaQaXXriXo- 

yQa{iyiov. xai insi iaxiv mg r) FB jfQog tr]v Z H, ovxag r} EZ 

TtQog xr)v TK, ivaXXai, &Qa, atg rj FB TtQog tr]v EZ, ovxag r] 

ZH JtQbg tr]v FK' tb aQa vnb x&v BF, FK l'aov iaxlv tm vitb 

t&v £Z, ZH. tb r@ &Qa iaov iaxiv p. 140, 8 xat] del. 

11 iaoywvLov] iaoywviov xb AB xm EH 15 iitsi] xal insi 

p. 142, 1 vTtb BFA] ccTtb xov FAB m. 1, corr. m. 2 p. 144, 7 

iaoymviov] iaoymviov xb AB tm EH p. 146, 10 7taQaXXr]X6- 

ypaftjxa] itaQaXXr]X6yQaii(ia siai 11 ?;i;ft] ^xovxa 12 &viaoLg\ 

iv &viaoig 18 ?;^«i] B^st p. 148, 2 iaxi, So&slaa] So&slaa. 

iazL 4 rj}5 — do-S-f ig] ^ati Ss nal xfjg A B jtQbg tr]v B F X6yos 

So&sig 15 iitsi] y.al insC 18 naXiv] del. p. 150, 3 nQ6g] 

add. 23 E^] tr]v EJ ZA] xr]v ZA p. 154, 1 BAF] 

mut. in FAB 3 BAJ] HZ@ A&H] mut. in &AH. hic 

mg. : iiatttXsiitst,- iv y&Q avtw slai tyirnLatL tov v,viiXov ^axL 8e 

7] vTtb HZ& xfi vnb TBA i'ar]' lar] aQa iaxl Kal r] vnb HA& 

tfjvnbTBA 4: &AH] A&H ABT] BAT 6 BTA] AH& 

&HA] BTA 6 BAT] ABT &HA] &AH 7 AM] MA 

18 &ZH] corr. ex Z&H 24 sv&sl&v] nXsvQ&v p. 156, 11 

SmXdaiov] supra add. 15 aQa] del. 16 BT] BT uQa 18 

inTisia&ai] iKKsia&a Srj 19 t^fiyia] t^ifj^a kvtiXov p. 158, 8 

K&] &K 10 Z&] &Z p. 160, 19 J] supra add. So&sig 

22 iati] del. p. 164, 17 &Qa] &Qa iati 18 J, A] A, J 

iaxL] del. p. 166, 2 BA] AB 3 BT] TB 5 Ad] AT 

6 JB] BJ p. 168, 5 i] (alt.)] xai ij 18 TB] BT 21 

BA] AB 22 So&sv] supra add. xal ^(Jtco 23 TBJ] supra 

add. z/rB] Fz/, TB p. 170, 4 ■ujro (alt.) — 5 rd] supra add. 

10 JB] dT 12 roi; rfrpaxts] xal roi) rstpaxis apa apa] 

del. p. 172, 3 i^ (pr.)] r) vn6 p. 174, 7 i7ji/>frat] anoXrjipstat 

p. 176, 1 ^TTf/] xal Ijts/, item lin. 17 4 s-^^^-s^a] supra add. 

f^ BJ 20 ■jjfitxvxiliov] corr. ex kvtiXov p. 178, 16 ^4// (utrum- 

que)] JA p. 180, 4 r>4B] B^, ^T 11 vn6(a.lt.)] vnb xmv 

p. 182, 15 17 (alt.)] add. 16 BE] tr]v BE 25 BA, AT] 

BAT, item lin. 26 Iffrtv &Qa ag] tial oag &Qa 27 ivaXXa^] 

ivaXXai &Qa p. 184, 4 E.J] z/E 9 TB] BT 11 ^ffrtv Laov] 

laov iati p. 186, 5 BT] BT SiayisxQog 11 &Qa] &Qa iatC 

12 apa] add. 13 iaxLv] del. 17 post SsliaL add. rtio?; 

u. adp. crit. p. 190, 17 iaxLv] comp. add. p. 192, 6 xav] 

coiT. ex xriv, item lin. 7 in. p. 194, 2 ■9'e'ffei — 3 BJT] xai 

f/fft TtapaUrjlot ai EAZ, BJT 14 BT] Bz/ 15 ^Trsi'] xal 



PROLEGOMENA. XXI 

ijtiL 18 So9Eiacc — 19 A^F] om. m. 1, mg. m. 2: KaTaXBlnsi.- 
So&siGu Ss iexLv r] VTto AJF ycovia p. 196, 22 ri\ supra add. 

p. 198, 17 EZif] ZEH 20 ijrfi] v.al insi p. 200, 1 W] 
add. 4 EZ (pr.)] tr}v EZ 9 roTj] i'(?rj ^ ^z/ 16 B./4r] 
Byir yavia 22 ^jrfi] xal ^ttsi p. 202, 1 BF] corr. ex BTz/ 

p. 204, 1 rrig] corr. ex r&v 11 jrpcbrov] «po tovtov p. 206, 4 
yap] del. 8 i^jitfffia] corr. ex liiicEia 24 apa] supra add. 

26 To] tb ABF p. 208, 4 ^] ^ 7rp6s tm 10 ^Trst] yial 
iitsi 22 ^o^S^fica] supra add. 23 zr/TJ] ^Tz/ 26 tov] to 

p. 210, 3 AB] AB aqa 26 ;iot7r»j] corr. ex Xontov p. 212, 8 
AB, FE] AF, AB 11 ZF] corr. ex PZ p. 214, 2 JBT] 
coiT. ex JBE 4 apa] apa ^ffrt 10 FB] BT 21 TE] tr]v 
FE p. 216, 3 ZA] AZ 6 tov vno] add. p. 218, 3 ro ^ 
apa] t6 aga xn. 1, ro apa A m. 2 A i^ ov ov ^%si Xoyov] ?x 
T£ Tov Idyou ov ^x^L 7 ^w Tov] ^x re roi; ^dyov, item lin. 8 

10 i^ ov] iv. tov 15 Adyos (pr.)] Xoyo? iaxi 26 BF] tfjg 
BF p. 220, 2 rd (pr.)] add. 19 post TrEpif^coffiv add. So- 
&svtt. (comp.) 21 hatai So&slaa] So&slaa ^atat 24 ro AF] 
om. t&v] om. 25 tov a7r6 ttjc Br] add. p. 222, 2 ^o-S^fv] 
5o'9'^r Kal iatco 12 djrd] con\ ex ■uTrd 15 r^s] corr. ex tav 

21 T^ff .45 apa] yial (ii&g aga tfjg AB p. 226, 8 apa] add. 

10 tm mut. in rd et supra add. roo vnb twv A.d, AZ 17 
insi] Kal insi 18 FBE (pr.)] FEB p. 228, 4 mg] xal wff, 
item lin. 14 b BJ] corr. ex z/B 6 ^ffrtv] del. 16 r^s (alt.)] 
del. p. 230, 1 insi] v.al insi 16 tfjg] corr. ex tov (comp.) 

p. 234 de titulo u. adp. crit. 17 ic-Ktlvag] supra scr. £-6- 
Q^siag p. 236, 1 r;'] xai m. 1, tj supra scr. m. 2 2 iKti&sfiE- 
vov] nQotiQ-i^isvov 10 i/>i^ms] i/)iic5 12 diaqpopas] supra add. 
a-urcov 16 yvmgiiiov (alt.)] supra scr. tstayfisvov p. 238, 9 
xai (alt.)] add. 11 nsQKpSQSia] supra scr. yavia p. 244, 16 
nXsvQciv] nXsvQuv xov tstQaymvov 22 SuSstv] Ss iSslv 

p. 246, 9 xara xavxov] corr. ex xaTavrdv p. 248, 1 &sa)QOv- 
(isvav] &S(aQOv\t,svov m. 1, Q'saQov(LSvov m. 2 p. 250, 28 6] 
6 rd p. 252, 5 ajita v,al noQHLOv] del. 8 avvxi&svtsg] avv- 
9svtsg 19 hic mg. atram. rubro: ti tb xQ-qanLov tfjg nsQl t&v 
SsSoiisvav nQaynatsiag 26 dntLKfjg — KavovLKfjg] dntLKatg — 
vavovLKatg supra p. 254, 5 hic mg. atram. rubro: vnb noiav 
inLaxi]firjv. avdystaL ri t&v SsSofisvav nQay^iatsia 15 i^snovri- 
csv] corr. ex i^snsvoriasv p. 256, 20 (isys&r}] corr. ex (Lsys&si. 
iam propagines codicis Vat. enumeremus. 
ex Vat., priusquam interpolaretur et reficeretur, cod. 1 et 



XXII PROLEGOMENA. 

codicis 30 partem bombycinam fluxisse, hi loci ostendunt: 
p. 10, 11 post TtsnoQiad-w spatium uacuum 8 — 10 litt. hab. Vat., 
1, 30; p. 30, 7 ZJ] ZA Vat., 1, 30; p. 126, 21 naQuXlriXo- 
ypafi/xov] itQog Vat., 1; TtaQaXXTjXoyQa^i^ov comp. in rasura 4 
litt. 30; p. 128, 16 TtaQaXXrjXoyQafnia] naQaXXrila Vat., 1, 30, 
et ita similiter p. 130, 19; 132, 2; 138, 4. p. 132, 15 SoQ^bLs 
Vat. habet in fine uersus praeter consuetudinem scriptum com- 
pendio; idem compendium insolitum in medio uersu hab. 1; 
p. 134, 1 post xQiyavov Vat., 1 habent Sia ju-', 30 rasuram 4 litt. ; 
p. 210, 7 TCQog] comp. Vat., v.ai 1, TtQog in ras. 30; p. 218, 13 
t6 A aQa] xo aQa Vat., 1, 30. praeterea codd. 1, 30 cum Vat. 
omittunt p. 126, 11 TtQog aXXrjXa, p. 142, 23 So&sig, p. 144, 9 
■naL, p. 206, 24 apa, p. 208, 22 Sodstaa, p. 210, 4 XQiyavov (in 
cod. 30 desunt 4 tov — 5 So&sig), p. 212, 18 ini xb A, p. 216, 6 
xov vn6. ex his scripturis adparet, cod. 1 ex Vat. descriptum 
esse. nec minus cum eo in fragmento Marini congruit, uelut 
p. 234, 7, 17; 238, 8 (xai), 25. cod. 30 autem e cod. 1, non ex 
Vat. exaratus est. nam cum illo contra Vat. saepius consentit; 
cfr. p. 126, 2 TtQog xb ABT] Vat., om. 1, 30; p. 158, 9 xiifjfuc] 
Vat., om. 1, 30; p. 206, 20 AF, BJ] Vat., ATB 1 (sequ. ras. 1 
litt.), 30; p. 212, 20 BAT] Vat., ABT 1, 30. cod. 1 e cod. 30 
manasse , etiam propter sescentos errores huius *) a scriptura 
illius alienos statui nequit. chartacea autem pars cod. 30, quam 
interpretationes Georgii UaUae et Zamberti (u. infra) docent 
saec. XV exeunte aut ineunte saec. XVI additam esse, ex codice 
aliquo ad scripturam man. 2 Vat. interpolato repetita est. 
omnes enim habet eius manus discrepantias ; etiam in ea pro- 
positione, quae uulgo est 87 *), Vat.^ sequitur. ac lemma, quod 
Vat.g non addidit, ne in cod. 30 quidem reperitur. eodem fere 
tempore, quo addita est pars chartacea, bombycina aliquot 
locis duabus manibus perite correcta est, quarum altera in 
primis ea, quae librarii incuria omissa erant (u. not.), nescio 

1) Librarius codicis 30 in omittendis maxime uerbis Euclidis 
peccauit, uelut om. p. 12, 5 6 ccQa — 7 iaxiv; p. 14, 16 xb A — 
ovxag; p. 14, 18 St' loov — 19 Z (pr.); p. 20, 23 iariv — p. 22, 1 
iisl^ov; p. 24, 1 8 Mort— 19 Xoyra; p. 30, 2 So&sv Sixb TZ; p. 32, 14 
insi — 15 X6y<p; p. 58, 17 yial XfiriQ"^; p. 60, 21 svQsta — 24 
£vd-slav; p. 62, 15 SsSo^Bvr]V — 16 &sasi; p. 80, 10 xat' — So- 
&Elaa; p. 82, 23 Kai — 24 BJ, alia multa per totam partem 
bombyc. 

2) Cod. 1 hanc propositionem cum lemmate non habet. 



PROLEGOMENA. XXIII 

quo codice usa magnam partem recte suppleuit, uelut p. 24, 18; 
08, 17; 62, 15; 80, 10. 

etiam codd. 2, 3 ex Vat. non intei-polato originem ducere 
existimandi sunt; quae uulgo est prop. 87 cum lemmate in fine 
Datorum habent et scripturas Vat. praebent, uelut p. 2, 10; 
220, 2; 222, 14. p. 164, 24 librarius cod. 2 compendio cod. 
Vat. male intellecto pro htai. scripsit apa. in Marino quoque 
cod. 3 quidem, ubi non ipse peccat, cum Vat. plerumque con- 
spii-at, uelut p. 236, 1, 8 (xai), 25; 238, 4, 8; 242, 26; 248, 3; 
cfr. p. 236, 14 aficc] del. m. 1 Vat., om. 3. 

idem illud aga p. 164, 24 cum in cod. 10 deprehendatur, 
uix potest dubitari, quin ipse ex Vat. deriuatus sit. idque con- 
firmatur locis, quales sunt: p. 112, 25 ngbg ro] om. Vat., 10; 
p. 120, 19 ^Xaaaov] naQccXXriXov Vat., 10; p. 126, 11 Ttgbg aXXriXa] 
om. Vat., 10. cum cod. 30 omittit p. 14, 18 Sl' l'aov — 19 
Z (pr.), cum codd. 1, 30 p. 158, 9 Tfijjfta. e cod. 2 descriptus 
esse non potest; habet enim uerba p. 158, 9 So&sv — 10 @H, 
quae ille omittit. contra cod. 21 e cod. 2 pendet; nam 
p. 164, 24 harai pro a^a habet et codd. 2, 21 soli p. 158, 9 
So&h — 10 0H omittunt. 

cod. 14 quoque ex Vat. non interijolato pendere uidetur; 
praebet enim p. 22, 17 iXccrrco pro iv Xoyco. 

e cod. 30 descriptus est cod. 33 a Barth. Zamberto (in fine 
Datorum: — Sia rov (sic) %uqbg ^aQd^oXofiuiov ^an^sgrov rf rov 
SsKByL^QLov TjiLSQa i^' hsi a. cp. s.\ cod. 24 a Petro Uergetio. ar- 
tissima necessitudo horum codicum ex eo facile intellegitur, quod 
omittunt p. 14, 16 rb A — ovrcog, p. 14, 18 Si,' l'aov — 19 Z (pr.), 
p. 26, 6 Ss, p. 100, 5 xai'(pr.), p. 214, 15 yap; cfr. praeterea p. 4, 13 
oXov] Xomov aO, 33, 24; p. 20, 9 et p. 22, 2 Urai] ccQa 30, 33, 24; 
p. 220, 20 rfjg (pr.)] rov 30, 33, 24. Zambertus ea, quae in 
cod. 30 mg. suppleta sunt (u. supra), in textum codicis 33 
recepit; idem manifestos errores hic illic correxit, uelut p. 14, 17 
post E (pr.) addidit ovrmg rb A TtQog rb B; u. etiam p. 22, 17 
t) iv Xoym] 33, iXdrrco 30; p. 24, 14 ro (alt.)] corr. ex tco 33, 
Tc5 30; p. 150, 9 ccvaysyQdcp&cai] 33, avayQacp&a) 30; p. 134, 3 
■naL — 4 do^S^fis] bis 30, xat — So&sig. Kal T^g FK. ^art Si 
v.rX. 33; Zambertus igitur postquam uerba v.al rfig TK iterauit, 
iterationem falsam cod. 30 intellexit. in Marini commentario 
cod. 33 discrepantias m. 2 Vat. habet. in cod. 24 autem Uer- 
getius praeter eos errores, quos supra commemoraui, alia quo- 
que correxit; u. p. 48, 19 SsSonsvriv sv&slav sv&sla] SsSo(isvov 



XXIV PKOLEGOMENA. 

sv&slcc 24, corr. mg. ; p. 58, 12 t?jj'] to 24, t^v mg. ; p. 158, 9 
tiifjfia] om. 24, add. mg. ; p. 164, 7 avtctlg] avrrig 24, avTat? mg. ; 
p. 216, 13 BF] J r 24, sed B insertum. idem nomiulla in mar- 
gine adscripsit, quae in Vat. m. 2 interpolata deprehenduntur, 
uelut p. 6, 6 et p. 12, 11 aga, p. 46, 25 tt)? AB, p. 70, 13 ctj- 
lisioig ycavL&v, p. 154, 3 iv yccQ tw avxm ktX. (u. p. XX), p. 200, 9 
7} AJ. cum p. 4, 7 pro rov So&svtog punctis deleto in marg. 
scriptum sit rov iXaaaovog, quod primus habet cod. 15 quod- 
que in Vat. non inuenitur, interpolationes illas patet ex cod. 15 
ipso aut ex apographo eius petitas esse. 

etiam cod. 34 e cod. 30 originem ducere reperitur. nam 
cum eo p. 12, 5 6 apa — 6 EZ omittit et p. 12, 9 ^E pro 
z/Z praebet; cfr. p. 140, 2 KF] FK 30, FN 34. interpolationes 
m. 2 Vat. non habet. 

cod. 29 unde descriptus sit, dubito. artiore necessitudine 
attingit codicem 9, ut ex communi fonte fluxisse uideantur. 
uterque longiora illa scholia codd. PVat. , quae sine dubio ex 
eodem codice ac Data ipsa deprompta sunt, in fine Datorum 
habet et in erroribus p. 274, 20 i/J' pro la' et p. 308, 20 h- 
eraaiv soli consentiunt. nisi illa scholia in cod. 1 deessent, 
ex eo arbitrarer codicem 29 exaratum esse. uterque enim 
p. 158, 9 Tft^fia omittit (in cod. 29 m. 2 mg. add.), p. 214, 6 
pro Br(pr.) habet FB; p. 4, 11 et 14 cod. 29 solus fere^) pro 
Hv praebet ?;^ei et sic lin. 11 quidem sine dubio in cod. 1 
scriptum erat. sed, utcumque est, id constat, eum ex Vat. 
originem ducere; habet enim p. 2, 10 %fi, p. 8, 5 rov, p. 30, 7 
ZA, p. 52, 20 T} JE, p. 74, 16 AB, p. 172, 3 7} ABF, p. 192, 10 
IxaTfpa xTi. ; omittit p. 14, 16 to A ■XQog t6 B, p. 156, 9 BAF 
— rcbv, p. 200, 1 v.ai, p. 216, 6 rov vno, p. 220, 10 Xoyog (u. adp. 
crit.). correctus est cod. 29 et manu recentiore et ab lac. Aug. 
Thuano. ac m. 2 quidem p. 34, 21 v.ai — 32 Sodsig mg. ad- 
didit, p. 52, 20 z/E deleuit et in mg. scripsit: 'AJ ut opinor', 
p. 74, 16 AB (u. supra) mutauit in FA, p. 94, 17 SsSorat. — 18 
AZ in mg. addidit, p. 216, 6 pro deleto rav in mg. scripsit 
rov vnh r&v (cfr. Vat. m. 2). interpolationes m. 2 Vat. in mg. 
dedit p. 70, 13; 138, 24 (Thuanus adnotat: 'haec lectio ex regio 
inepta est meo iudicio'); 154, 3 (Thuanus: 'legendum ut in 
regio'); 200, 9. p. 66, 12 So&sv (u. adp. crit.) utrum manui 2 



1) P. 4, 11 etiam v m. 1 ^x^i habet; sed ex eo cod. 29 non 
magis descriptus esse potest quam e cod. 30. 



PEOLEGOMENA. XXV 

an Thuano debeatur, nunc dubito. ex notis a Thuano margini 
adscriptis has adfero: p. 32, 15 aqpiypTjc^o) 'hunc locum ab 
&q)'^Qricd-ca ad Kal tov ZB puto sic legendum: aqpTjprjc-S'» t6 
So9iv ii8ys&og A Z. nauv insl rb J E rov F So&svri fist^ov 
iaxiv 7} iv /loyciJ, acpriQriG&ai xo do^sv fisys&og xb JH. xal 
Xoyog ccQU rov Xontov HE TtQbg xb F §o&sv. dia. ravra Stj yial 
rov ZB TtQbg rb F Xoyog icrl Sodsig' ; p. 44, 5 mars v.al rov 
ex hypothesi 

rZ 'fortasse sic: aUa rov (isv TZ TtQbg rb AE loyog iarl 
So&sig. xal rov AE aQa TtQbg rb ZJ Xoyog iarl So&sig (prop. 8"). 
rov Ss Zd %Qbg BE Xoyog icxl So&sig ex hypothesi. Kal xov 
AE HcQa TtQbg xb EB Xoyog iaxl So&sig. maxs ndvxsg' ; p. 138, 21 
TtQog xr]v FK (pr.) ' malim aXXriv rivd et pro xfjg FK *) avxi^v 
et ita retinenda est lectio huius libri reiecta altera ex regio' ; 
p. 140, 23 TtQbg xr}v TA 'sine dubio legendum: itQog riv 17 TA 
Xoyov ^x^i SsSoiLsvov' ; p. 152, 4 x^g AZ — 5 ydQ *puto sic 
legendum: xr\g TE apa TiQbg xr\v ZB Xoyog iaxX So&sig. So&slg 
Ss xfjg ZB TtQbg xf]v Ed Xoyog. v.a\ xf\g FE'; p 192, 19 Stars 
'hoc toCTf non probo multoque minus sequens ydQ *). nam ita 
probare posses B esse ^isys&st, SsSo^isvriv. censendum, hoe 
dXXag delendum esse'; p. 196, 8 So&siaa — 9 yavia 'at hoc 
nondum demonstratum'. uerba p. 156, 9 BAT — rav., p. 170, 7 
&ars — 8 So&sig, p. 174, 20 slXijcp&ca — 21 ro B m. 1 omissa 
Thuanus in marg. suppleuit. in fine Datorum adnotat: 'se- 
quentia desunt in Regio exemplari'. sequentia quae dicit, 
sine dubio longiora illa scholia codd. PVat. sunt, exemplar 
autem, quod regium adpellat, nisi fallor, cod. 19. is quidem 
scholia illa non continet, interpolationes istas m. 2 Vat. in 
textu habet unusque ex reliquis Parisinis p. 74, 6 TA pro AB 
praebet (u. supra). 

iam disputatio delapsa est ad eos codices, qui ex Vat. 
originem ducunt et interpolationes m. 2 huius codicis in textu 
habent. simt autem praeter cod. 19, quem modo nominaui, 
codd. 15, 16, 22, 27, 28. 

ac codd. 15, 16 quidem intimo inter se necessitudinis uin- 
culo coniuncti sunt; cfr. p. 4, 7 to-O So&svrog] rov iXdaaovog, 
1.5, 16; p. 14, 16 ovrmg] om. 15, 16; p. 126, 21 TtQog (u. adp. 
crit.)] om. 15, 16. e cod. 15 et codicem 16 descriptum esse 
et interpolationes istas in cod. Vat. translatas, his scripturis 



1) Scil alt. rf}v TK. 2) U. adp. crit. 



XXVI PROLEGOMENA. 

comprobatur: p. 32, 14 in uerbis interpolatis ZB] Vat. m. 2, 

fi a 

BZ 15, BZ 16; p. 136, 9 yoaviav] 15 m. 1, Vat. m. 2; ycovt&v, 
ag vTtOTEivovaiv 15 m. 2, 16; p. 158, 10 Z0] 0Z 15, Vat. m. 2. 
neque obstat, quod p. 6, 9 uerba oTtsQ ^Set dsl^ai, in cod. 15 
desunt; librarii enira cod. 16 et m. 2 Vat. ea suo uterque 
Marte uidentur addidisse. p. 2, 19 Se in cod. 15 omissum in 
cod. 16 fortasse Bessario ad lin. 17 respiciens suppleuit. m. 2 
Vat. in transferendis interpolationibus codicis 15 nonnulla ad- 
didit, alia omisit; u. p. 124, 14 kKccrsQcc yap] 15, 16, Ix. y. 
avtwv Vat. m. 2; p. 138, 24 — 140, 4 kkI ivand^] 15, 16, 
ivuXXd^ Vat. m. 2. 

cod. 28 cum p. 4, 7 pro rov So&ivtog praebeat tov iXdo- 
Govos {tov So&evtog supra), pendere reperitur e cod. 15, quo- 
cum p. 14, 16 ovtmg omittit. idem fortasse de cod. 27 dici 
licet; nam ipse quoque illud ovtwg omittit, praeterea cum 
cod. 15 p. 126, 21 jtQog codicis Vat.; obstat, quod p. 4, 7 habet 
rov So&svtog. 

cod. 22 e cod. 15 pendere non potest ac potius ex ipso 
cod. Vat. interpolato descriptus est; cfr. p. 2, 19 Si] Vat., 22, 
om. 15; p. 4, 7 tov So&ivtog] Vat., 22, tov iXdaaovog 15; p. 6, 9 
add. onsQ iSsi. Ssl^ai Vat. m. 2, 22, om. 15; p. 14, 16 ovtag] Vat., 
22, om. 15; in uerbis interpolatis : p. 124, 14 yap avtwv] Vat. 
m. 2, 22, ydQ 15. p. 32, 14 cod. 22 interpolationem (iitsl — 
TtdXiv) praeter consuetudinem in mg. habet et Auria adnotat: 
tov axoXiaatov tavta. in Marino quoque potissimum m. 2 Vat. 
sequitur, sed p. 244, 22 SuSslv et p. 248, 4 'AQxi^iqSovs ^Ssi^sv 
xolg asQivov &sa)Qrid'ivta praebet. 

cod. z initio mutilus cum ex nuUo eorum codicum, quos 
supra enumeraui, descriptus sit atque satis multa habeat pro- 
pria, scripturas eius ab huius editionis discrepantes adferam: 

p. 44, 16 triv] to 22 to] v.al p. 46, 8 v.a\ itg aQo] ag 
ydQ 10 Xoyog] 6 Xoyog 13 r^] om. 21 iati] om. 24 17] 
om. p. 48, 1 ^atco] htaaav 6 add. onsQ ^Ssi noifiaai p. 50, 7 
iativ] om. 11 avT^] kavtfi 15 i]xQ^a>] ax&co 17 iariv] iatl 
SsSoiiivri 22 aQu] fow P- 52, 17 TtQoa^Xrid^fi] &x^V 20 
i^X&co i) JA 23 Ez^Z] d^ Z p. 54, 14 insi] insl ovv 
p. 56, 11 EZ] EZ rc5 (isyi&st 12 H] om. 14 '9'5'ff« (pr.)] 
^iasi SsSonivog 19 Xoini]] Xontov 20 iativ] om. p. 58, 6 
insi] insl ovv 8 rwv] om., ut saepissime in angulis signifi- 
candis p. 60, 8 post KA add. So&slg Si 6 tfjg JE nQoe 



PEOLEGOMENA. XXVH 

rriv EA Xoyog 21 sv&stav] om. p. 62, 1 E] om. 4 iTfsL] 
insl ovv 8 ieti] om. 11 0A] JA, supra ^ scr. m. 1 

p. 64, 3 insi] xal insi 11 post NA add. dsdoiisvcov yccQ 
ovrav xcbv N, A dsdorat xal rj NJ sv&siu 20 ^fdofiEVov] -rjv 

p. 66, 12 do^S^frca] Q-sasi 23 rd] xal rd p. 68, 1 Ssdoiisvrf] 
om. 9 Kai] om. 17 >tat (pr.)] om. p. 70, 10 i^] om. 11 
AFB] BFA vnb rav BAF — 12 vnb ratv JZE] Ttgbs r& A 
— ■nqbq ra> Z p. 72, 6 v-xb t&v BAF (utrumque)] ngbs rm A, 
item lin. 12 10 rc5] rd p. 74, 1 vno (pr.) — JZE] TtQbg 
xy avriii TtQbg ra Z, corr. m. 1 in mg. 16 AF] FA, supra 
scr. m.lAB ' p. 76, 6 ®K] K@ 7 AB] BA 17 vnb r&v 
BAF] itQbg rc5 A p. 78, 10 JE, EH] EH, EN 12 ieri] 
siai 13 vTto — 14 zJHE] TtQbg rm A xfi itQbg ra H, et ita 
similiter p. 80, 2, 5, 9, 19 (vTtb TtQbg xw A, supra corr. m. 1); 
p. 84, 16, 20, 25 p. 80, 8 insi] insl ovv, item lin. 21 12 
TTjv (alt.)] om. p. 82, 1 post So&sig add. Sia rbv y' oqov. insl 
yaQ SsSofisvov rb XQiyavov , v.al oi loyoi xav nXsvQav TtQbg 
aXXrila SsSonsvoi p. 84, 8 post ^ia add. i) BA, AF TtQbg rr]v 
BF 15 rd — SsSorai] SsSoxui rb rQiyavov 16 ydg] om. 

17 aQa mg] swg p. 86, 7 insi] iitsl ovv 16 xi]v (alt.)] om., 
item lin. 17 ^. SS, 2 ATB] ABF 6 inst] insl ovv 22 
AJB] ABJ, corr. supra m. 1 p. 90, 14 FEBZA] FEABZ 

ZBA] EAB 20 xs v.aC p. 92, 1 6 — 2 So&sig] TtQbg 
<i.XXr\Xa Xoyov ^ovfft SsSo(isvov 4 ovxag i] FJ 8 roi;] ■nal 
xov 18 rfio] rd p. 94, 2 sv&vyQafifia] om. 3 xov (pr.)] xai 
xov 16 rc5 si'Sst] om. 17 SsSorai — 18 fisys&si] om. 18 
^tti] om. p. 96, 1 siSrf] tj in ras. Q JB] J0 p. 98, 4 
SsSo^svov] add. Sia vy' 10 post So&sig add. Sta r}'' ofioia 
yaQ (T;j»3ftara, oaa v.xX. Elem. VI def. 1 13 SoQ^sig] hic add. 
Slo. xbv y' 22 xat] om. p. 100, 14 leoymviat (sic) 17 -jtQbg 
xb B 7taQaXXr\X6yQaimov] bis 19 F®] 20 rj (pr.)] om. 

22 insl ovv] v.al insi p. 102, 6 17] om. 19 Kai] om. 22 
xb HA xm] rc3 AH xo 24 post ^B in textu hab. rsrQaycovov 
yaQ xb @B p. 104, 2 iaxt So&slaa] So&stad iaxt Ss xat] 
om. 4 post iertv add. Sta xb fi' 15 Fz/] dT 16 Bd] BZ 

20 cx^fia] EZ 24 xai] rd Std xbv |3' (sic) p. 106, 4 
iartv] om. post SsSofisvoi lin. 11 add. rc5 «rcJft, lin. 13 ai'dfi 

21 rd] om. p. 108, 4 'r@] F om. 13 ETB] EBF 15 
EFBJHZ] EBJZH p. 110, 22 ^jrEt] ^Trst ow ZFB] FB 

post ycovia add. ■uTrdxfirat yap ro jroivycovov (comp.) SsSo- 
(isvov rc5 ft'i5ft 23 Xoyog ieri] iart Xoyog post So&stg scho- 



XXVIII PROLEGOMENA. 

lium nr. 119 in textu habet p. 112, 6 iaTi] om. 7 post 
iati add. $i,a r6 cc' tov s' t&v atoixdcav 15 AKF] FK 25 
hv] h^'- P- 114, 5 Tz/] FB 11 ind'\ jtai ^jrfi p. 116, 3 
avtov TSTQdyavov ^^ei\ ^x^l, item lin. 8 5 rc5 fiijft dfdo- 
lievov p. 118, 10 post TtQog acholium nr. 124 in textu habet 
11 tav] om. 19 ^x^l] elft p. 120, 1.3 t&v] om. FB, Bzt 

14 ^//] /:/J 15 post apa add. TtQbg tb ABF TQiycavov Xoyog 
ioTl Sod^sig. ovTcog t6 vnb t&v FB, J3z/ AJ] BJ p. 122,2 
BAF] BAF nBQisxo^LBvov dQ&oymviov 8 iatl] om. 10 
B^r] BA, AF, et similiter satis saepe 11 tcbv (pr.)] om., 
item lin. 12, 13 p. 124, 2 iati] om. 7 tfjg (pr.)] om. 15 
vwd] om. 16 iati] om. 24 mg &qcc] aQcc ag p. 126, 1 tov] 
■nal Toi) 2 rwv] om. Tptycovov] om. 3 Slcc — 5 ^o^^^sis] 
om. 6 Tou — 9 dsSofiivov] om. p. 128, 1 toD] v.al tov 

17 Tots] om. nQog (alt.)] xai nQbg 19 Xeyoo Srj 
p. 130, 11 JA] AJ p. 132, 5 Tji] om. i'cov iati] iativ 

laov 18 ycavia] om. 20 Uti — 21 So^slaa] om. p. 134, 2 
Tijv (pr.)] om. 6 iati] xai p. 136, 14 J@] @J 25 trjv] 
om. p. 138, 6 z/EZ] z/Z 13 %] %ft 17 Eff] EX 21 
TtjV (alt.)] om. 22 ^()T(b] om. p. 140, 6 f^v] om., item 
lin. 7 (alt.) 8. xat] om., item lin. 9 10 r@] @ 15 insl 
ovv AFB] ABF p. 142, 1 BTA] FAB 3 iati] om. 7 
iv Scviaoig 23 ttJi'] om. p. 144, 3 ti]v (alt.)] om., item 
lin. 5, 14, 16 12 t6] bis p. 146, 12 iv aviaoig 23 ttjv] om. 
p. 148, 1 post So&staa add. oQ&i] yccQ 9 rmv] tov 13 f^ft 

15 ^TTfl ovv p. 150, 23 9J (pr.)] om. p. 152, 5 Xoyog] Xoyog 
ieti 13 laoymviov 15 taag ^jjovra yoji/ia?] ycoviag ^^ovta 

16 B (pr.)] jB tW? 18 T^V] om. 21 ©Zil] Z0il @ H] @ 
p. 154, 3 insl oiv 9 tijv (alt.)] om., item lin. 11 (alt.) BJ] 

Br 26 ^x^L p. 156, 8 TTjv] om. 20 *£;jd/xfvoi/ %ov 22 

xfnqfiaTa (sic) p. 158, 2 ttjv] om., item lin. 3, 16, 17 13 @Z, 

ZH, @H] @H,@Z, ZH p. 160, 10 Toi5] xai roti 12 ioTi] 

om., item lin. 13 (utrumque), 20, 22 rco] to 13 rd] rm 26 

xai'] om. p. 162, 7 ^J jrpcbrTj 8 F] tQitrj J] tstccQTr} 

9 B] SsvTSQa 16 ^ffr/v] om. 16 JS] Ssvtsqu 18 >4] Trpcorrj 

p. 164, 2 yivsa&ai 8 //] rfraprTj 12 ^] nQwTrj F] t^iittj 

16 ^ffrt'] om. 16 ioTiv i'aov] i'aov iativ 17 B — rmv] bis 

18 ioTi] om. p. 166, 3 BF] BAF 4 BA] AB 6 ^<;ri] 
om. 7 TTjv] om. 11 Bz/] z/B 12 ioTiv] om. p. 168, 4 
iffTt] om. 9 f/ff^v] ioTiv p. 170, 1 do^fv iaTi] iaTi So9sv 

2 rcov (pr.)] om. FB, BJ] TBJ 3 ABT 5 FB, BJ] 



PROLEGOMENA. XXIX 

rJB 10 BJ 12 tov'] rov &Qa aga] om. 15 BT, Tz/] 
BTJ, item lin. 16 16 iert] om., item lin. 25 21 BJ] rijv 
BJ p. 172, 15 iariv] om. 16 ydg] yccQ iativ p. 174, 8 
yccQ] om. 10 inei ovv 13 sert'] om. 24 t6 v,ivrQOv rov 
Tivyilov p. 176, 1 xal iTECi 3 scriV] Mai 5 sv&sta yQafifiij 

6 lortj/] om. 13 ano — 15 (lEyi&si-] om. 16 yccQ] om. 17 
v.al snst p. 178, 1 iar£] om., item lin. 17, 19 2 apa Iffrt 

13 Bz/ Urmv BJ,jr] BJr p. 180, 5 yap] om. 6 JA 

10 IffTi] om., item lin. 12 11 ZAE 19 vTto] vnb rov 23 
ABF] FAB p. 182, 12 icri] om., item lin. 22 23 Bd] JB, 
corr. supra m. 1 27 ivaXXa^ ccQa p. 184, 8 BF] FJ 9 coff 
aQa 6vva(i,q)6rsQ0s 10 t6 1)7^6 avvaficporsQOV aQa 11 i'(rov 
JffTt 17 TtQoa§i.r]d"fj] 7CQoaXri(pQ"iJ 18 aj;'^'^] ccx&'^ rig sv&sia 

p. 186, 4 jtal £7Efi' 7 lcTi'] om., item lin. 8 (utrumque), 10, 
13, 16, 17 14 do&sv ar](isiov t6 Z 17 onsQ sSst Ssi^ai,] om. 

p. 192, 4: A] AB wg ds] bis 5 t6 (pr.)] Kai 14 yaQ] om. 

p. 194, 5 ycovia] om., item lin. 18 13 aXXoog t6 avro 15 
ijtai Jjtfi 17 ZEJ] ZEB 18 ^/^F] ABF 19 Jz^F] 
^/^B ZET] ZEB p. 196, 7 JE] JA xai fW 12 
^fdoitisvcij ] om. 19 Kal ■nsvrQoi p. 198, 1 17 (alt.)] wal i], 
item lin. 9 (pr.) 5 insl ovv, item lin. 20 p. 200, 4 jcai'] om. 

8 post svd^siag add. inl rb J 9 post lixTj add. 7] AJ 21 
ixxctff^a-oj /^yi] AJ, corr. supra m. 1 22 insl ovv p. 202, 1 
BF] FB 14 1]] om. p. 204, 2 tm] om. 3 do&SLg] hic 
add. dia t6 fA'9'' So&sv (pr.)] dodsig 4 apa] df 20 iffTi'] 
om., item lin. 22 p. 206, 10 iari] om. 13 post mars add. 
xotvov vipovg] Xafi^avofisvov rfjg FJ sv&siag 14 r&v] om. 

26 £|£i p. 208, 10 insl ovv 17 post BAF scholium append. 
nr. 23 in textu habet 23 r&v] om. 26 post do&SLg add. dicc 

t6 s' &smQri(ia p. 210, 9 da^Zera sarca 20 &(priQr\aQ-(o (etm. 1) 

23 T?5s BT] Tou r 25 E^r] add. ycovt'a 26 loinrf] Xomov 

(comp.) p. 212, 1 AEr]Er 4 TZ] rZ0 t^s — 6 ^o^ft'?] 

om. 18 dtrii&io — 24 J r*] TfTpaycbroi; ya^ avayQaq)0(isvov anb 

T^g ^y Toii P'9' xat av(inXrjQOviii- 
vov TotJ yn jrapaHTjioypaqoov (sic) 
iarlv oXov t6 (3m jra^jaHTjioy^aiu.- 
fi-ov i'aov TOis ^y, yx. xai iari, 
t6 fisr ^x t6 vnb rmv s^, ^y 
rf yccQ §y i'arj 17 §X, t6 ds ay 
t6 aTTO riig ^y. xai i(TTi t6 y t6 vTr^ tcov ey, y^. ^(»73 yap 17 y^ 
T'^ 9 (sic)' t6 apa vte^ tcoi' s§y laov iarl tc5 vnb r&v sy, y§ 




XXX PROLEGOMENA. 

fista rov ano xfiq y(3 p. 214, 6 nqog] ■nqbg tr)v 7 scti'] om. 

8 JB -J] tov BJ tw (alt.) ] TO in ras. 16 f ffrtv] om. 19 ler] iativ 
iaoycovw (sic) 22 tr]v J T] TJ 23 ttJv (alt.)] om. 25 BT] 

FBr p. 218, 4 tov] om. 7 ttjV] om. 9 HE] EH, item 
lin. 13 10 f| ou] ix tou 15 post Xoyog (pr.) add. iatL 21 
Tc&v] om. p. 220, 3 post BAF add. OQ&oymviov 15 i^ vtto] 
bis BAT] BF p. 226, 6 iffTtV] om., item lin. 7 (cum apa), 
9, 11, 18 E^- &iasi] EJ Q^sasi- kccl tw fisyi&si. SiSotat 

9 AJ,JZ]AZ,ZJ 16 TE] rZ 17 xaUW 21 ZBE] 
./4BE 23 ^ffTiv t(T7]] l'arj iativ p. 228, 1 sati] om., item 
lin. 9, 18 4 TTjV] om. 16 Zz/] zfZ tw] to 17 ABJ 

p. 230, 1 EJTEt. o^uv 4 rerj fffTiV 5 ABFd 6 fCTtv] om., 
item lin. 9, 10, 11, 13, 16 8 l'aai hovtai] om. 15 i^] t^ 

18 TtQotsQOv] TCQotSQcp 19 post iativ add. otcsq sSsl Ssl^ul. 
ex his scripturis adparet, eorum, quae codicis Vat. et pro- 
paginis eius propria sunt, in cod. z uix quidquam reperiri. ad 
codd. Pv propius accedit; cfr. p. 50, 11; 68, 1; 170, 5 et p. 60, 8; 
atque cum v solo saepius consentit, uelut p. 48, 1; 66, 23; 92, 
8, 18; 94, 18; 112, 25; 122, 8; 128, 17; 130, 11; 132, 20—21; 
138, 13, 21; 160, 10; 170, 21; 176, 1; 200, 4; 202, 1; 218, 9, 15; 
sed plurimis locis consensus sine dubio fortuitus est. cum 
Vat.v peccat p. 94, 2; 106, 11; 116, 3; 194, 5; 196, 12; 226, 9. 
scripturas genuinas quas z aut solus (u. p. 216, 9 aQa) aut cum 
codd. Theoninis (u. p. 66, 3 7caQdUrii.og '); p. 94, 11 tw; p. 142, 4 
EH^); p. 170, 10 BJ z, JB b; p. 210, 22 to; p. 216, 13 BT; 
cfi-. p. 156, 20) aut cum Theoninis et m. 2 Vat. (u. p. 58, 12 ttjv; 
p. 174, 7 &TtoXriil)staL; p. 186, 12 aQa; p. 210, 26 XoLm^) praebet, 
librarius coniciendo repperisse putandus est, cuius studium 
interpolandi mutandique quauis fere pagina deprehenderis. nec 
mirum esse potest, quod p. 52, 20; 54,14; 56,14; 92,4; 176,5; 
198, 20; 200, 9 eadem ac Theonini inculcauit; cfr. praeterea 
p. 68, 17; 116, 8; 182, 12; 186, 13, 17; 200, 4. propositionem, 
quae uulgo est 87, cum lemmate z non habet. 

cod. 23 nescio an ad supplendum codicem z scriptus sit. 
pendet e cod. 30, quocum p. 4, 13 t6 Xoltcov pro tb oXov, 
p. 22, 2 aQa pro sataL habet, p. 14, 18 Si' l'aov — 19 Z omittit; 
cfr. p. 20, 9 ^aruL] aQa y 30, aQa iari 23. 

cod. 36 unde originem ducat, pro certo non adfirmauerim; 



1) In adp. cr. scribendum erat bz. 

2) P. 52, 23 error in ipso antigrapho codicis z correctus erat. 



PKOLEGOMENA. XXXI 

ubi codd. Pv ab Vat. discrepant, cum illis facere solet, uelut 
p. 234, 14; 236, 1, 25; 240,13; 242, 23; 244, 22, 23, 28; 256, 19. 
e scripturis, quas solus habet, has commemoro : p. 234, 3 aytrai, 
10 av^tpcovovGL, 17 6 JiodcoQog, p. 236, 14 TtoQiGtov pro tcoqliiov, 
p. 246, 1 7t&v tb yvwQifiov, 11, 12 rd pro rw, p. 256, 10 St,ai,Q£ttat. 
restant ii codices, quibus Theonis recensio aut integra aut 
ex parte continetur. sunt autem codd. b, a, 5, 25, 31^). ex 
his codd. 5, 25, 31 Theonis recensionem non habent, nisi inde 
a uerbis demonstrationis alterius propositionis 80 p. 220, 11 
Tou &7tb rfig BF; in antecedenti parte e codice 30, cuius pars 
chartacea ab illis uerbis incipit, eos pendere, facile intellegitur. 
atque in ea parte cod. 25 a lohanne Rhoso (in fine Datorum: 

— dtu x^^pos ifiov Imdvvov nQSC^vt^QOV qcocov rov y.QT]rtv.ov) 
ita effictus est, ut uel apertissima menda eius retineat; cfr. 
p. 20, 21 ^dyos(alt.)] Uyov 30, 25; p. 92, 22 rf]g AB\ bis 30, 25; 
p. 94, 10 SsSoiiiivrig] 8BH,£vr]g 30, 25; p. 210, 3 ttJs] to 30, 25. 
cod. 31 in scripturis a sodali mihi suppeditatis cum codd. 30, 25 
conspirat, uelut cum iis p. 14, 16 t6 ^ — ovrcog, 18 8t icov 

— 19 Z, p. 120, 16 BF, AJ — IQ x&v, p. 154, 4 S^ omittit 
et p. 140, 2 FK pro KF praebet. cum uerba p. 10, 10 Xoyog 
iari cum cod. 25 solo omittat, ex hoc eum statuerim descriptum 
esse. in parte Theonina cfr. p. 164, 14 E] d b, 25, 31; ib. 
J] E b, 25, 31; p. 164, 24 fffTat] iari b, 25, 31. manus rec. 
in cod. 31 nonnulla inseruit, multa correxit, plura in mg. ad- 
scripsit; qua in re duobus codicibus usus est, quorum alter uel 
cod. 15 ipse uel apographum eius erat; u. p. 4, 7 rov do9svrog] rov 
sXciaGovog 15, in mg. 'aliter rov sldaaovog' 31 m. rec; p. 14, 16 
rb A — ovrcog] om. 31; in mg. post E (lin. 17) add. m. rec. : 
'ovrco t6 A TtQog B'; praeterea: 'aliter t6 A nQog t6 B, ovrcog 
t6 z/ TtQog t6 £' (cfr. cod. 15); p. 136, 10 post ycovt&v add. 
ag vnoxstvovatv mg. m. rec. (u. cod. 16). miror, quod m. rec. 
iu interpolatione p. 138, 24 sqq. (u. p. XX) margini adscripta 
uerba v.siaO^co — 17 TK omisit. 

etiam cod. 5 p. 92, 22 rfjg AB bis habet; praeterea u. 
p. 4, 13 t6 olov'] t6 lotnov 30, 5, 25; p. 84, 3 BAT] F m. 2 
supra scr. 30, BA 5, 25. in Theonina autem parte codd. 5, 25 
easdem fere scripturas uitiosas habent atque b et a, uelut 
p. 168, 8 nldri]] nXr^O^r] b, a, 5, 25; p. 170, 9 nai — 10 ^o^ftg] 



1) De codd. 17, 18 praeter ea, quae in conspectu codicum 
dedi, nihil comperi. 



XXXIl PROLEGOMENA. 

om. b, a, 5, 25; ib. 10 v.at — 12 ^o-S^ftg] om. b, a, 5, 25; p. 186, 13 
inei] icttv iiiC a, 5, 25; p. 186, 15 t6 Z SoQ^iv] 8o&hv rb Z 
a, 5, 25; ib. do&sv aga iazL] Kal 8o&iv a, 5, 25. id quoque 
notandum, uerba p. 170, 8 tov — 9 8o&bls in codd. 5, 25 deesse. 

sequitur codex a. is unus integram Theonis recensionem 
continet. sed e codice b, quem et ipsum multis et grauissimis 
uitiis inquinatum esse infra uidebimus, descriptus est, id quod 
primum transmutatio illa foliorum, de qua p. VH dictum est, 
tum communes lacunae uelut p. 122, 8 nQog — 126, 9 8tSo(iivov 
et p. 206, 4 TiaxsayiEvda^co — 5 i]x^o, denique plurimi errores, 
in quibus inter se conspirant, satis superque docent. accedit, 
quod is, qui codicem scripsit, etiam propria peccauit, uelut 
p. 56, 18 KaL — 19 ta>v~\ acprjQTJa&ca Sij i] vnb d&A- Xoinij aqa 
7} vTcb t&v H@zJ So&siaa- i'ar} 8s i] vnb EZz:/ tfi vnb H@J- 
So&siaa aga iatl xal ij vno a; p. 72, 4 to] om. a; p. 82, 4 
EBF] EB a; p. 176, 11 tjj d-iasi,] om. a. quare ne in iis 
quidem partibus libri, ubi b deficit, codici a multum auctori- 
tatis tribuendum est neque ea, quae ibi propria habet, satis 
magna cum probabilitate Theoni adsignanda sunt, nisi in 
scripturis codicis b occurrunt, quae aliquam comparationem 
habeant. librarius autem, qui in codice b conspectum pro- 
positionum dedit — eum enim a Theone compositum esse, non 
facile crediderim — , parum suam accurate rem gessit; u. 
p. 92, 12 ait'] ta Scti' §; p. 128, 14 sxrj — Usi] om. ^; p. 134, 12 
aitd] tavtd (3; p. 144, 21 fitoL — 22 8i] om. ^; p. 154, 24 
sv&si&v] om. ^; p. 162, 21 ?;i;coffi] sxovai §; p. 166, 16 sv&siaij 
om. ^; praeterea cfr. p. 4, 13, 18; 16, 17—19; 32, 4; 36, 4; 
178, 25. itaque ei magna fides non est uindicanda neque ex 
eius scripturis magnum redundare potest emolumentum. 

quae cum ita sint, unum fere auxilium ad Theonis recen- 
sionem cognoscendam et constituendam a codice b requirendum 
esse abunde adparet. quo magis est dolendum, librum illum 
plurimis et foedissimis scripturae erroribus deformatum esse; 
praeter innumerabiles illas omissiones per dnoLotii.svtov, quod 
uocant, explicandas hic adfero p. 88, 7, ubi scholium uidetur 
in uerba Euclidis irrepsisse; 146, 8, 22; 150, 21—23; 168, 17. 
neque tamen maximam uitiorum partem neglegentiae eius, qui 
codicem scripsit, tribuerim; nam cum in Elementis diligentia 
quadam usus sit, non est, cur putemus, eundem in Datis ne- 
glegentissime se gessisse. sequitur igitur, Data in codicem b 
ei libro admodum deprauato transcripta esse atque opus esse 



PROLEGOMENA. XXXEI 

satis difficile et quod multum habeat haesitationis , statuere, 
quid Theonis studio uerba Euclidis emendandi, quid librarii 
uel librariorum socordiae et incuriae adscribendum sit. de 
exemplari, quod Theoni praesto fuit, si quaerimus, id adfine 
fuisse ei libro, ex quo PVat.v fluxerunt, errores illi omnium 
codicum communes (u. p. XVI) luculenter indicant; praeterea 
u. p. 66, 12 do&siaa] &£6st Pvb; in figura prop. 79 ZA rectam 
om. Vat.vb; p. 214, 8 tm (alt.)] to Pvb; p. 216, 9 aga] om. 
PVat.vb; p. 220, 10 BT] BT Xoyos Pvb, et cfr. p. 14, 13; 
172, 16; 175, 24. de interpolationibus communibus infra dicetur. 
cum P solo b(a) in manifestis erroribus conspirat p. 70, 12; 
104, 24, saepius in rebus mediis, uelut p. 4, 6, 12; 20, 21; 
50, 16; 44, 6; 132, 21; 140, 15; 154, 3, 16, et in ordine litte- 
rarum p. 70, 11; 76,7; 154,6; 172,18; 212, 11 ^). similiter b(a) 
cum Vat. solo congruit p. 42, 24; 114, 11; 130, 2; 164, 16; 
192, 13; 214, 6 et in litteris p. 66, 14; 88, 1, cum v p. 12, 4; 
18,25; 36,16; 52,13; 118,6; 132,5; 134,20; 140,8; 170, 
16, 24; 182, 16; 194, 13; 212, 14; 228, 17 et in litterarum 
ordine p. 40, 17; 64,10; 88, 2; 138,25; 140,3; 166,23; 178,13; 
180, 6; 212, 11; 218, 13. 

sed non raro Theonini soli ueram sinceramque scripturam 
praebent; testes sunt illi loci, ubi supra (p. XVI) dixi in 
PVat.v communiter peccatum esse. nihil mirum, quod hic 
illic scripturae Theoninorum cum ueris emendationibus m. 2 
Vat. (u. p. XVIII) concordant, cfr. p. 58, 12; 104, 20; 174, 7 
186, 12; 202, 1. deinde b(a) p. 4, 18; 74, 16; 90, 14 (u. fig 
cod. b), 20; 92, 19; 94, 2; 106, 11; 110, 10; 116, 3; 160, 19 
172, 3; 176, 3; 194, 1, 5; 196, 12; 200, 15 cum P, p. 50, 11 
60, 8; 68, 1; 70, 12; 130, 2; 140, 23; 152, 21; 170, 5; 192, 8, 9 
220, 14; 228, 9: 230, 14 cum Vat., p. 40, 14; 60, 21; 142, 1 
156, 1; 182, 15; 192, 10; 202, 1 cum v genuinam scriptu- 
ram retinuit. de consensu cum z p. XXX dictum est. 

niis locis, ubi Theoninorum scripturam recepi, hic paucos 
addam, quibus eosdem, cum Euclidis uerba seruasse uideantur, 
sequi debebam. 

p. 36, 16 articulum, qui in va legitur, nego ab Euclide 



1) Etiam hoc notandum, ea, quae in P mg. m. 1 leguntur, 
in b interdum aut omissa aut mutata deprehendi; cfr. p. 152, 12; 
164, 2—4; 166, 3—5; 170, 4—5. 

Euclides, edd. Heiberg ot Menge. VI. C 



XXXIV PROLEGOMENA. 

omissum esse; u. p. 10, 11; 12, 5; 14, 11; 20, 17; 22, 7; 26, 3; 
34, 11, 17; 42, 20; 44, 18; 72, 19; 74, 14, 16; 76, 25. quare 6 
et hoc loco et p. 30, 19, ubi in omnibus libris deest, inter 
uerba Euclidis recipiendum erat. 

p. 44, 7 in a additur v.al zov AE : EB Uyog ictl Sod^sig. 
cum negari non possit, inter rationes, quas datas esse Euclides 
demonstrat, rationem JE : EB desiderari, re accuratius de- 
liberata puto illa uerba, quae in fonte codicum PVat.v propter 
ofiOLorilsvzov facile intercidere potuisse adparet, recipienda 
fuisse, uerba autem 1. 6 &Xi.ci — 7 do&sig (alt.) nihil aliud 
spectare nisi ut demonstretur, rationem AE : EB datam esse, 
quamquam insolita demonstrationis breuitas offendit; scri- 
bendum enim erat Euclidis more 1. 7 post So&sig (pr.): tov 
AE ccQcc ■jtQog Z^ l. i. S.' aXXcc tov ZzJ ngbg BE X. s. d.' xal 
tov AE ktX. 

p. 64, 21 naQdXXrjXog in a deest idque rectissime, cum 
naQci — TtagdXXTjXog Euclides scripsisse non sit existimandus. 

His praemissis statuendum est, quae Theon mutauerit 
et quid potissimum mutationibus secutus esse uideatur. memi- 
nerimus autem oportet, exemplis ex scripturis codicis a et ex 
conspectu illo {§) petitis cautissime utendum esse. iam ad 
singula transeamus. 

Ac primum quidem Theon id egit, ut errores, quos se in 
Euclidis libro deprehendisse arbitrabatur , emendaret et corri- 
geret. quod his exemplis confirmatur: p. 32, 14 sqq. miro sane 
demonstrandi ordine (u. p. 33 not.) offensus solitam rationem 
restituit, nisi quod initio omisit insl yccQ t6 AB xov F do&svti 
fist^ov sariv rj iv Xoyo) (cfr. p. 166, 3). 

p. 62, 23 Theon errauit, quod dicendum esse putabat, cir- 
culum datum esse magnitudine '), neque magis feliciter ds sub- 
stituit pro aQa sine dubio propter id, quod sequitur, SsSorai, 
ydQ v.rX. u. p. 78, 6; 196, 21. 

p. 160, 19 uerba [isv A TtQog rrjv A, rf\g Si cum ad 1. 20 
Xoyog — So&sig referret, hic superuacanea esse iudicauit; sed 
ad demonstrationem sequentem totam referenda sunt. similis 
est ratio p. 168, 8 — 9, ubi Euclidis uerba mutauit, quia id, 
quod BJ data est, nuUi usui est. 



1) SsSoo&ai apud Euclidem idem ualet quod SsSoa&at. tdi 
Hsys&ti u. schol. nr. 23. 



PKOLEGOMENA. XXXV 

p. 200, 12 rjfiiGSLa — 13 BAF fortasse propterea omisit, 
quod glossatoris additamentum esse censuit; sed u. p. 124, 14. 

p. 226, 6 Theon, ut locum sanaret, pro So&sCaa scripsit 
&S6SL respiciens, nisi fallor, ad p. 176, 2 atque diSotctL omisit. 
equidem satis habui SsSotat, deleuisse. 

lam uero Theon non raro id sibi sumpsit, ut cum Euclidis 
se orationem putaret posse meliorem reddere, tum sermonem 
eius contraheret atque incideret. ex amplioribus huius generis 
mutationibus has adfero: 

p. 10, 9 — 11 breuis esse uoluit, sed p. 12, 3—5 Euclidis 
uerba seruauit. 

eidem studio tribuendum est, quod p. 10, 15 insi — 16 &Qa 
omisit neque p. 18, 23 — 24 quidquam nisi &vdnaXi.v retinuit. 

ea, quae p. 12, 8 — 16 leguntur, quamuis in a deprauata 
sint, ut, quid Theon scripserit, pro certo adfirmari non possit, 
tamen eum adparet Euclidis uerba pressisse. 

p. 22, 9—13 rursus breuitati studuit, sed rem suam infeli- 
citer gessit, quamquam concedo, ne librarios quidem a culpa 
liberos esse. fortasse Theonem oflfendit, quod Euclides praeter 
consuetudinem (u. p. 26, 4; 28, 3; 30, 2, 20; 36, 17; 38, 19; 
40, 17; 100, 2; 104, 7), priusquam propositionem 2 ad demon- 
strationem adhibeat, rationis membra inuertit. 

p. 28, 5 — 7 respexisse uidetur ad p. 20, 20 (u. etiam p. 34, 
13—14, 19 — 20 et p. 26, 5—6; 42, 21—22); proportionem igitur 
paulo ante propositam omisit et oXov — oXov addidit. con- 
ferantur ea, quae p. 40, 19—20 et p. 30, 4—5, 22—23; 36, 
19 — 20; 38, 21 — 22 simillime a Theone omissa sunt. 

p. 46, 25 — 48, 1 pro sv&siag yag yQafi(iris Ta itSQaxa — 
SsSofisva satw xfi &SGsi substituit sv&sia yccQ ypa/ifi^ ^arca fig 
xa niQuxa — SsSofisva, fortasse ut notiones rectae et termino- 
rum magis efferrentur. 

p. 106, 2—3 Euclides Theoni longior uisus est; quare duo 
membra orationis parum feliciter in unum coniunxit; simili 
breuitate, memor sine dubio p. 130, 2, usus est p. 132, 20 — 21, 
si quidem uerba saxL — So&si:aa in archetypo suo habuit. 
p. 108, 19 — 20 cum membrum saxi — So&siaa redundare iudi- 
caret, uerba 1. 19 FA — 20 xwv deleuit et per waxs conclu- 
sionem adnexuit; cfr. p. 110, 4 — 5. similiter p. 140, 17 — 18 
duobus orationis membris omissis ratiocinationis breuitatem 
adfectauit. 

p. 150, 5 in uno eodemque membro temere breuitatem 



XXXVI PEOLEGOMENA. 

quandam secutus est; nescio an in expositione ei displicuerit 
TiQog tt oQd^oymviov. 

in propositione 83 licet tota protasis librarii culpa inqui- 
nata sit, tamen amplificationem p. 164, 2 Theoni, quippe cui 
nudum illud htai minus placuerit, deberi puto. 

p. 166, 3 — 5 mutauit ad similitudinem propositionis 85. 
p. 166, 23 sqq. iati post JE a librario inculcatum est; nam 
inauditum ^ z/E ieti, nuUo modo Theoni tribuerim. 

p. 210, 2 — 8 postquam ratiocinationem in breuiorem for- 
mam redegit, uerba co &qcc — deSo^ivov addidit, ne haec 
demonstrationis pars careret conclusione; u. p. 212, 12 — 14. 

huc pertinent etiam ii loci, ubi Theon aliquod orationis 
membrum ita deleuit, ut nihil amplius mutaret nec quidquam 
adderet; u. p. 10, 18—19; 130, 9—10; 170, 4—5') (cfr. lin. 21 
—22); 196, 22—23. ac ne p. 186, 10—11 quidem a culpa libe- 
rum eum esse opinor; etenim nescio an uerba 1. 12 syicctsQa — 
iativ uoluerit ad lin. 9 iferj — 10 Z0 adnecti, quo facto 8o- 
&ti6a — &io£i aut consulto aut temere omisit. quod conclusio 
extrema in Theoninis p. 50, 23; 110, 5—6; 166, 13—14 deest, 
id nemo adsignabit Theoni neque uero ea, quae p. 62, 8 — 9; 
150, 21—23; 154, 4; 200, 15; 204, 20—21 in Theoninis peccata 
sunt. quodsi dubitari non potest, quin Theon, ut breuis esset, 
interdum quasi gradum demonstrationis omiserit, tamen eius 
generis omissiones, quae quidem per dfioiotiXsvtov explicari 
possunt, si non omnes, at maximam partem librariorum negle- 
gentiae attribuendae sunt, uelut p. 28, 2 — 3, ubi in librarii 
antigrapho lin. 3 pro altero ZF stne dubio scriptum erat FZ. 
conferantur praeterea hi loci: p. 24, 24 — 25; 34, 8 — 9; 42, 4 — 5, 
7—8; 54,16—17; 80,13—14; 82, 2—3; 92, 8; 96,8—9,11—12; 
112, 18; 126, 16—17; 130, 6—8; 132, 9—10; 134, 3—4; 142, 
23—24; 144,1; 146,19—20; 150,18—19; 154,4,9—11; 156, 
16—17; 158, 5—6, 19—20; 170, 9—10, 17—18, 22—23; 178, 1; 
180, 10; 182, 25—26; 184, 7—8; 206, 23—25; 228, 17. 

p. 212, 4 uerba r^s — 5 So&sig cum in antigrapho co- 
dicis b propter ofioiotilsvtov intercidissent, in margine addita 
erant; inde postea loco parum recto lin. 8 inserta sunt. 



1) In archetypo codicum PVat. v uerba wg — BJ a librario 
omissa in margine adscripta erant atque ibi in P leguntur; 
librarii autem codd. Vat.v ea in textum receperunt. 



PROLEGOMENA. XXXVII 

Plures Theonis emendationes et mutationes pauca uerba 
amplectuntur: 

p. 10, 7 — 8 quod pro TtQog — SsSofiivov scripsit, magis 
perspicuum esse existimauit (cfr. lin. 18 — 19). eadem de causa 
p. 44, 23 pro avrwv recepit xwv J, Z. cfr. etiam p. 92, 1. 

p. 26, 23 pro Tc5 substituit avra 6, quia subtilius limatius- 
que ei uisum est, rationem, quam datam esse suppositum est, 
rationi, quam datam esse demonstratum est, aequalem proponi, 
quam hanc illi. similiter p. 68, 21 pro tc3 scripsit avxM to 
(p. 70, 22 mutatione abstinuit). atque idem secutus est sine 
dubio p. 38, 13; in articulis enim peccauit librarius. p. 28, 22; 
40, 13 Theon non mutauit. 

p. 42, 21 ei asyndeton displicuit; quare Kal ioxai pro ^OTOft 
'AaC scripsit. 

p. 46, 6 t6 8s vTto rwv d, Z i'6ov tc5 aitb tfjg E posuit pro 
Tc5 8s vTtb td)V z/, Z i'6ov xb ccTtb xfjg E, quod pro z/ x Z sub- 
stituendum erat E*. (lin. 5 — 6 non mutauit neque p. 134, 7; 
160, 11—13, 21 — 23; 164, 16 — 17^).) simili commutatione 
etiam p. 70, 11 — 12 consulto usus esse uidetur, licet librarium 
quoque peccasse adpareat^). p. 68, 10; 200, 21 Theon culpae 
expers est. 

p. 50, 20 wg pro v.al eexco scriptum Theoni non tribuerim; 
p. 50, 2; 52, 11 quidem id intactum reliquit. wg nescio an ex 
compendiis male intellectis natum sit. 

p. 122, 2 anguli significatio 17 ngbg tc5 A ei displicuit; 
quare solitam vnb xa>v BAF restituit, p. 156, 1 autem TtQbg tc5 
deleuit. 

p. 208, 19 Theoni pro fisi^ov icxi libuerat substituere 
vTtSQix^i'', librarius autem postquam scripsit lin. 19 avva^cpoxi- 
Qov, oculis rediit ad lin. 18 evvaufpoxsQov itaque uerba xfjg 
FAJ v.al xfjg AB repetiuit. 

p. 214, 1 — 2 Theonem constructio uerborum offendit; quare 
TtQ06-Asl6Q^a> falso interpolauit ; 8s, quod propter antecedens 
insC ferri non potest, delendum esse non uidit; ovea autem, 
postquam xs inculcauit, deesse posse ei uisum est. 

Theonis mutationes etiam ad singula uerba pertinent, uelut 
p. 156, 2 SfiXov scripsit pro Isyco, p. 14, 9 yi.sC6%a> pro ^ffTco 



1) Hoc loco x6 et tc5 in Vat. permutata sunt. 

2) Euclides ne in Elementis quidem illud chiasmi quem 
uocant genus spreuit, uelut uol. IV p. 278, 12 — 13. 



XXXVni PROLEGOMENA. 

(cfr. p. 10, 9). de p. 26, 3 ^gtco pro ysyovsTa) dubito; in eadem 
formula alibi semper ysyovsrca legitur; u. p. 20, 17; 22, 7; 30, 19; 
34, 11, 17; 36, 16; 72, 19; 74, 14, 16; 76, 25. ac ne ea quidem uo- 
cabula, quae uere mathematica uocari possunt, uariare ueritus 
est: pro ccyoiiivTf] p. 4, 16 praetulit KaTayofisvr], p. 4, 18, 20 av- 
ayofiEvt], p. 64, 2 Si^^x^^ pro JcaTrjjf^S-co respiciens ad p. 62, 4, 
p. 102, 19 h^s^Xr^G&cDoav pro Si-^xQ^coGav, p. 104, 12 sXlstTiovTog 
pro iUsiiLfiaTog (non mutauit p. 168, 8), p. 150, 11; 212, 18 ^x- 
v.sia&co pro KSta&co, p. 166, 11 vn^Q^Xrjfia pro vTtSQ^olrj (hoc 
intactum reliquit p. 106, 11); etiam p. 176, 20 T^xErco in sq- 
Xsa&ca mutatum sine ulla dubitatione Theoni tribuo. huc refe- 
rendum est, quod p. 174, 21; 194, 14 pro So&sv substituit tvxov; 
contra p. 196, 6 pro tvxov maluit So&sv. multis locis librarios 
in eo genere commutationum errasse manifestum est; u. p. 64, 7; 
78, 10; 186, 7; 200, 1; praeterea cfr. p. 76, 15; 192, 15, 16 al. 

Ordinem uerborum in Theoninis saepius inuersum habe- 
mus; cfr. praeter locos infra commemorandos p. 30, 1 — 2; 
40, 3; 64, 18; 94, 21; 100, 8 al. p. 178, 11 Theon nescio an 
uoluerit SsSofisvov et tov ABF artissime coniurigi neque minus 
p. 180, 1 respiciens ad p. 174, 20 (cfr. p. 184, 23); p. 218, 27 
Euclidis ordinem respuit omisso Srj, quod ei displicuit. 

Litterae ex figuris sumptae in Theoninis sescentis locis 
permutatae sunt idque librariorum aut licentia aut neglegentia 
plerumque factum esse patet. p. 102, 7 — 9 Theon propter ulti- 
mum antecedentis proportionis membrum priore loco FK po- 
suisse uidetur, ut in iis, quae sequuntur, litteras commutare 
cogeretur^). p. 164, 14 litteras zf et E commutauit propter 
rationem sequentem A x J : A x E. p. 180, 6 quoniam J A 
praetulit pro AJ (cfr. p. 176, 17), Z, E ei mutandum erat in 
E, Z. p. 200, 1 ordo litterarum 0, K Theonem offendit, cum 
respiceret ad ordinem rectarum AB, FJ p. 198, 24. sed Eucli- 
dem id chiasmi genus non esse aspernatum, docent loci, 
quales sunt p. 110, 21, ubi librarius cod. P ordinem mutasse 
putandus est; 152, 17; 156, 5*). 



1) Temerarias inuersiones membrorum rationum, uelut 
p. 128, 7 — 8, silentio praetereo. 

2) Similia etiam in Elementis inueniuntur, uelut uol. I 
p. 290, 24—25; cfr. etiam uol. V p. 40, 12—13 et Pappus ed. 
Hultsch p. 150, 17. mathematici Graeci, cum in construendo 
demonstrandoue de una figura ad alteram siue de una eiusdem 



PROLEGOMENA. XXXIX 

Restant ii loci, quibus Theonini in minutiis quibusdam 
sennonis cum ceteris libris discrepant. atque harum quoque 
mutationum satis magnam partem Theoni tribuerim neque de 
hac sententia depellor inconstantia ista, quam in his quoque 
rebus deprehendimus ; uelut p. 112, 14; 118, 12 pro aga posuit 
coffTf, contra p. 170, 7 aga pro mars. porro p. 174, 17 xat pro 
Si substituisse uidetur (cfr. etiam p. 166, 7), contra p. 58, 13; 
180, 16 8e pro xa/.', atque hoc quidem loco fortasse propter 
p. 178, 7, 23 (cfr. p. 184, 16). etiam p. 30, 14 Si pro y.ai: — fisv 
positum propter (liv lin. 10 omissum Theoni ipsi adsignauerim. 
p. 182, 7 yial insL mutauit in insi yccQ, quoniam omiserat ins- 
^svx^co 7] Bd. p. 172, 19 insidri pro insl v.aC scriptum utrum 
Theoni tribuendum sit an librario, dubito. p. 60, 11 8i pro 
aQa, p. 82, 24; 158, 8 aqa pro 8i, p. 98, 22; 202, 13 8i pro 5^, 
haec omnia a Theone aliena sunt, neque minus mutatio p. 186, 15. 
p. 180, 19; 182, 5 et p. 208, 5, 14 in praepositionibus ano et 
vno permutandis peccauit librarius; idem p. 54, 6 nqoq scripsit 
pro slq. sed p. 136, 9 i% pro ano imputare malim Theoni {ano 
intactum reliquit p. 152, 10), qui sine dubio pro [isxa xov 
p. 210, 18 praetulit xai xo et lin. 18 — 19 xs — v,al tc5. idem 
p. 218, 8 Jx xov ov in i^ ov ov mutasse putandus est, licet 
illud lin. 7 in b legatur*). etiam p. 16, 21; 18, 12; 20, 2, ubi 
Theonini pro [isxa xov £|^s praebent (is&' o5, in eum culpam 
contulerim. nQog xriv, quod saepius, uelut p. 100, 16; 102, 10; 
140, 8, 21; 142, 10; 144, 6, 17 al. , in Theoninis pro nQog tjv 77 
inuenitur, nemo tribuet Theoni. interdum in Theoninis pro 
praesenti futurum substitutum est, uelut p. 16, 20; 178, 10, 
25 (p); 184, 20 scxat, pro fW, p. 72, 27; 134, 13 s^si pro tisiy 
p. 48, 16 [isxansGSLxai pro (isxaninxsi; saepius autem pro futuro 
deprehendimus praesens, uelut p. 18, 11; 164, 24; 168, 15 iaxi, 
pro ^axai, p. 14, 5; 26, 13; 28, 12, 18; 32, 7; 34, 1, 24; 38, 4; 
40, 4, 9; 44, 12; 116, 8; 118, 3 «xfi pro s^si. permutatas 
formas uerbi SiSovaL Theoni adscribendas esse puto, uelut 
p. 122, 7 iaxL 8o&siaa pro SiSoxaL (u. etiam p. 128, 20; 172, 11), 



figurae parte ad alteram digito aut oculis parumper deflectunt, 
interdum puncta et rectas, quae ex hac mox promenda sunt, 
praecipiunt, ut in constructionis uel demonstrationis uerbis 
ordo punctorum et rectarum inuertatur. 

1) De memorabUi compositione verborum i| ov ov u. Hultsch, 
Berliner philol. Wochenschrift 1891 p. 777. 



XL PROLEGOMENA. 

contra p. 178, 16 SsSotai pro SoQsLad ictiv, p. 48, 9 SoQ''^ pro 
SoQ^iv ri et SoQ^lv ietcci pro SoQ^riastai^ p. 180, 3 So&sv pro 
SsSofisvov (cfr. p. 180, 19). de p. 126, 16; 128, 18, ubi numerus 
pluralis pro singulari post neutrius generis subiecta in b legi- 
tur, admodum dubito, idque propter p. 146, 2 ixstwaav, quod 
sine dubio librario debetur. p. 2, 9 Theon pro Xsyovzai 
praetulit Xsystai respiciens, nisi fallor, ad lin. 2; sed ibi 
antecedit SsSofisva. p. 208, 12 i'aov pro i'aa librarius pecca- 
uit^). hic eae quoque commutationes ordinis uerborum com- 
memorandae sunt, quas leuissimi momenti esse adparet. 
p. 210, 1 aQa transijosuit Theon, idem fortasse p. 6, 8 (cfr. 
p. 112, 3), contra p. 108, 2; 204, 8—9 librarius. p. 182, 18; 214, 4 
Theon larj satCv pro sativ iar\ substituit (cfr. p. 230, 7); de 
p. 164, 16 propter Vat. minus certus sum; p. 132, 5 sativ iaov 
pro i'aov sativ scripsit librarius. alia exempla illius generis com- 
mutationum inuenies p. 8, 4; 36, 12; 50, 6; 100, 8; 218, 6; 220, 4. 

Theon igitur ut Euclidis uerba saepe uariauit, ita non 
raro operam dedit, ut eius orationem mutando ad eandem 
normam et regulam dirigeret. at ne in hac quidem re patet 
eum sibi satis congruenter conuenienterque uersatum esse. 
plura exempla si desideres, non est quod longe quaeras. 

Nam cum protasis et ecthesis apud Euclidem plerumque, 
quantum fieri potest, consentiant *) , Theon hic illic, ubi non 
plane congruunt, consensum restituit, velut p. 30, 13; 142, 6 
TtQog aXXrjXa addidit, p. 138, 11 parum constanter non addidit^). 
eodem consilio p. 84, 14 «Bg fxia; interpolauit, p. 174, 17 — 18 
nQog trjv tov kvkXov nsQLcpsQsiav omisit, p. 52, 21; 82, 14; 174,22 
uerborum ordinem mutauit. 



1) Hunc errorem constat ex compendio parum recte in- 
tellecto natum esse. compendiorum inscitiae etiam ti-ibuendum 
est p. 68, 18; 100, 5 SKatsQa pro sv.datr}, p. 90, 6 siidtSQOV pro 
sv.aatov, contra p. 176, 1 sv.aatov pro sv.dtsQov, praeterea quod 
in Theoninis sescenties peccatum est in articulis commutatis, 
uelut in rectangulis significandis p. 118, 2; 160, 22; 164, 14; 
178, 14, 19 (bis); 180, 4, 7, 9, 11, 12 al. tfj? pro x&v , p. 164, 13, 
15—18; 168, 23; 170, 2, 11; 218, 21 triv pro tibv scriptum, in 
angulis p. 114, 7; 130, 3; 156, 6; 166, 20; 168, 17 al. tr^v pro 
r&v, p. 114, 17, 20; 118, 5(bi8); 128, 24 al. r?]? pro z&v. 

2) Non concordant in propp. 9, 25, 31, 53, 65, 68—73, 94. 

3) p. 138, 15' uerba nQog aXXr^Xa in P librarii errore inter- 
ciderunt. 



PEOLEGOMENA. XLI 

lam ad idem illud Theonis studium referendum est, quod 
p. 172, 15 solitam demonstrationis formam restitui uoluit, 
p. 110, 1 «r pro ov scripsit memor p. 108, 3, p. 120, 25 Xoyog 
iatl So&sig addidit, p. 118, 4 17 icps^^g kqu inculcauit respiciens 
ad p. 80, 22; 112, 10; 124, 12; sed hoc p. 210, 25, ut parum 
sibi est constans, addere neglexit. p. 98, 22 rs, quod p. 90, 
20, 24; 94, 1—2; 98, 6; 104, 19; 114, 10, 13 in uerbis o>ota: Kal 
dfioioag yiSLfisva uel &vaysYQa(inha non legitur*), delendum esse 
censuit. etiam p. 12, 5 — 6 Euclidis usum secutus esse putan- 
dus est. quod exemplum cum adtuli, ad eos locos perueni, 
quibus solitum uerborum ordinem refecit. namque cum Euclides 
plerumque dicat iTtsl Xoyog satl rov — So&scg, Theon etiam 
p. 26, 2 haec uerba sic collocauit. item p. 64, 11 — 12 singu- 
laris sane ordo eum offendit. p. 92, 17 sine dubio respexit ad 
p. 88, 2; 90, 3 al., p. 128, 7—8 ad p. 82, 25; 84, 19; 92, 5; 
96, 26; cfr. p. 132, 10. p. 88, 10 pro satl So&siaa praetulit 
So&scacc saxi (u. p. 82, 7; 84, 4, 25; 86, 15); p. 80, 17—18 cum 
Euclidis morem nondum perspexisset, nihil mutauit; p. 212, 23 
iaxi So&staa Theoni tribuere dubito; cfr. p. 220, 4. idem illud 
autem spectauit p. 134, 19; 136, 2. praeterea u. p. 68, 1; 86, 20; 
96, 1. atque etiam p. 86, 2 — 3, 5 — 6 ordo ei insolitus uide- 
batur; postquam autem eundem ordinem lin. 21 — 22 repperit, 
mutando abstinuit; contra p. 94, 8, 11 ta> siSsi transposuit. 
huc referri possunt etiam loci p. 94, 15; 202, 25. adde, quod 
Theon p. 166, 8; 180, 2; 186, 15 pro zb So&sv — scripsit So&sv 
x6 — . p. 72, 15 ab eodem statuerem ordinem ar][isCai SsSo- 
(isvcp, qui quidem in propositione adsumpta inueniatur (u. p. 50, 
12, 15 et p. 54, 19), restitutum esse, nisi p. 70, 15 in b legeretur 
SsSofiiva cri(isL(a. denique p. 178, 2 adferre libet, ubi Theon 
aQa insolenter coUocatum retraxit*). 

lam uero Theon sibi temperare non potuit, quin ea, quae 
ab EucHde parum recte omissa esse existimaret, adderet atque 
eius ratiocinationem ad maiorem subtilitatem et perspicuitatem 
expoliret. 

etsi a totis propositionibus interpolandis abstinuit neque 
demonstrationes alteras addidit, tamen supplementum ad de- 



1) Libfarii quam procliues fuerint ad xs in his uerbis ad- 
dendum, docent loci p. 90, 20, 24; 114, 10. 

2) Librarius codicis P aQa j)ropter singularem collocatio- 
nem omisit. 



XLII PROLEGOMENA. 

finitionem 8 non minus ei delegauerim quam ea, quae p. 80, 6 
in cod. a plane abunde ac paeneinepte addita sunt; quamquam 
concedo hoc additamentum sapere scholiastae fabricam *) (cfr. 
schol. nr. 94). quod p. 88, 7 addidit, id iam hic dicendum esse 
censuit memor propositionis 47 p. 86, 8 — 9; kccI particulam 
adicere neglexit. 

Euclides interdum, ubi figurae litteras exspectamus, in 
uniuersa significatione linearum uel figurarum acquieuit. Theoni 
parum id definite expressum uisum est; quare addidit p. 52, 20 
7] /J A respiciens fortasse ad p. 52, 6, p. 212, 14 autem ABF. 
idem, ut perspicuitati consuleret, p. 20, 11 rb avrb t6 AB, 
p. 200, d rj Azl interpolauit. 

praeuiam conclusionem additam inuenimus p. 206, 9 kkI 
Xomrj &qa r) vnb xwv FAZ icti Sod^Biaa eandemque p. 230, 12. 
praeterea Theoni, non librario tribuerim additamentum p. 14, 13 
Xoyog apa -Hal 6 tov E nqbg t6 Z SoQ-sig. et solet Euclides 
simillimis locis hac uberiore argumentatione uti, uelut p. 10, 
11—14; 12, 5—6; 20, 17—18; 26, 3—4; 34,11—12; 36,16—17. 
sed quoniam paulo ante (p. 14, 11) eundem quasi gradum de- 
monstrationis omisit, non est, cur negemus, hoc loco eum 
eidem breuitati studuisse, quamquam ex illo 8o9eig, quod Pv 
post Z (1. 13) addunt, collegeris , in horum codicum anti- 
grapho uerba loyog — Z propter bfioior^Xsvtov intercidisse. 
membrum ratiocinationis per se quidem rectum, sed minime 
necessarium p. 98, 23 interpolauit uerbis lin. 22 8i] tb A in 
8\ xb A mutatis, postquam p. 98, 7 eandem breuiorem demon- 
strationis formam intactam reliquit (cfr. etiam p. 104, 20). non 
magis additamenta desideramus, quae p. 168, 11; 176,3; 196, 7 
Theon, nisi fallor, non librarius inculcauit. 

utrumque interpolationis genus eodem loco coniunxit 
p. 202, 6—7. 

neque uero desunt loci, ubi causam addi uoluit. p. 148, 4 
causam per yap adnectit; nam Theon ipse 8i8otai yap, non 
8i8oxai aqa, quod b habet, scripsisse putandus est. huc 
referre licet p. 170, 25 — 172, 3; Theonem enim arbitror 
uerba p. 172, 1 xf\g yag FB — lin. 2 BJ in exemplari suo non 



1) Alibi quoque scholium aut pars scholii uel glossematis 
in Theoninorum textum irrepsisse uidetur, uelut p. 66, 10; 186, 9; 
140, 8; 146, 8, 22. 



PEOLEGOMENA. XLIII 

legisse atque causam, quam abesse noluit, more Euclideo prae- 
misisse; u. p. XVI et schol. nr. 188. 

priusquam ad unius uel duorum uocabulorum additamenta, 
quae in codicibus Theoninis deprehendimus, transeo, non pos- 
sum non fateri, id genus plurimum habere dubitationis, prae- 
sertim cum magna exemplorum copia in ea Datorum parte 
inueniatur, ubi codice b destituti sumus, atque idem uocabulum 
alio loco addatur, alio eoque similUmo omittatur. attamen si 
quis et totam recensionis Theoninae rationem considerabit et 
licentiam Theonis libidinemque reputabit, facile adducetur, 
non pauca illius generis ei adscribenda esse. neminem autem 
ofFendet, quod eos locos, ubi uocabula iUa omissa sunt, ne 
postea ad ea redire cogerer, e uestigio addidi^). incipiamus 
igitur a substantiuis. 

(rrjfifibv add. b p. 198, 5, a p. 58, 10; om. a p. 200, 1. 
YQCcfifi^ add. a p. 50, 15; 176, 5, 14; 178, 16; 182, 1; 184, 27. 
svd^sia add. b p. 58, 5; 64,21; 88,6, a p. 44, 17; Ev&tCa yQafifiij 

add. a p. 192, 21; ev&eia om. b p. 66, 3; 152, 11, a p. 48, 5; 

52, 6; 54, 15; 176, 15. 
ycovio: add. b p. 72, 6, 13; 80,14; 82,5; 88, 10; 116, 21 *); 118, 4; 

200, 12; 208, 23; 210, 9; 212, 25, om. p. 88, 11; 122, 7; 154, 1. 
TtXsvQcc add. b p. 96, 14, om. p. 128, 13; 154, 25. 
XQLyavov add. b p. 88, 20; 116, 11; 120, 16; 136, 5, om. p. 122, 3; 

134, 20; 152, 20. 
XcoQiov add. b p. 114, 20. 

xvxiog add. p p. 2, 19, rov v.vv.Xov om. a p. 176, 16*). ' 

■7tBQicpeQii,a add. a p. 192, 15, StdybtXQoq p. 186, 5. 
fiiye^^oq add. a p. 20, 10. 
Uyog add. b p. 218, 14, a p. 26, 3; om. a p. 10, 19; 40, 14. 

ex reliquis additamentis p. 162, 5 ovaai inutiliter additum 
Theoni deberi uidetur neque minus p. 66, 2 avxriv. p. 210, 14 
praepositionem (ju,fra) repetendam esse iudicauit. p. 56, 14 
dsSofiivoQ deesse noluit, quod Euclides xfj &^asi, non 9-sasi 



1) In hac disputationis parte ab exemplis ex b adlatis 
locos codicis a existimaui separandos esse. 

2) ycovLuv ab Euclide sine dubio scriptum et in archetypo 
codd. PVat.vb omissum Theon post ^x^v, librarius cod. P 
ante sjjov addidit. 

3) xov Hvv.lov p. 174, 24 in a additum propter Vat.v in 
interpolationibus ante Theonem ortis numerauerim. 



XLIV PROLEGOMENA. 

scripserat; p. 44, 1 So&sls, P- 180, 16 So9eiGa addendum esse 
censuit, quo oratio planior fieret. eundem p. 164, 16 Sod^tLg, 
quod p. 32, 18 omisit librarius, deleuisse, parum constat. 
p. 136, 8 avt&v et p. 168, 15 flvai non commisit Theon. 

non paucis locis in Theoninis interpolatum est icrt idque 
post KQu p. 104, 8; 108, 5; 212, 24; 214, 4; 220, 12 (b); p. 182, 
15; 184, 12; 226, 20 (a). icttv p. 58, 12 ante aga additum 
propter miram uerborum coUocationem Theoni non tribuerim, 
etsi p. 102, 24 eodem loco interpolatum inuenitur. post yccQ ad- 
ditur p. 112, 14 (b); p. 228, 18 (a). p. 172, 16 scrtv, cum in Vat.v 
quoque legatur, ante Theonem interpolatum uidetur (idem 
nunc de uerbis dQd^i} yuQ iudico; quare uncis includenda erant). 
p. 160, 22 i6tL post icov addidit Theon, p. 228, 14 post cvv- 
aficpoteQoe et p. 228, 15 post ovtws librarius. et ante So&eig 
et post So&eig additum inuenitur; anteponitur p. 160, 17 (b); 
p. 22, 9; 30, 2; 38, 15 (ineptissime) ; 228, 8 (a). postponitur 
p. 34, 12; 38, 12 (a). restat p. 98, 10, ubi Theon fortasse ad 
lin. 2 respexit. idem eatL in Theoninis saepius omissum quam 
additum deprehendimus. quod tantum abest, ut omnibus locis 
a Theone peccatum esse statuam, ut huius quoque omissionis 
auctorem non raro librarium esse libentissime concedam. nec 
qui nonnullis locis inarchetypo codd. PVat.v interpolationem se 
contendet iactasse, me habebit aduersarium. iati post aQu 
omissum est p. 90, 9; 114, 14; 146, 25; 154, 13; 204, 5, 20 (b); 
p. 50, 2; 182,12; 192, 16 (a), una cum uqu p. 6, 22; 10,11—12; 
62, 7 (a), ubi omissio non minus quam p. 118, 16; 130, 8; 220, 12 
librario tribuenda. p. 118, 8; 164, 9 res dubia est, p. 88, 18 (b); 
p. 6, 3 (a) non dubia. p. 132, 13 Theon, quia eati abesse uoluit, 
iaov transposuit (cfr. p. 134, 7). praeterea u. p. 128, 8; 166, 2; 
168, 10; 202, 13; 208, 23; 214, 17 (b); p. 12, 6; 34, 15; 38, 13; 
54, 15; 58, 13; 186, 15; 226, 6 (a). eiaC p. 2, 8 (^) additur. 

uQu p. 118, 4 interpolatum Theoni, p. 90, 14; 204, 25 librario 
tribuo. p. 112, 3 si Theon ipse uqu addidit, miror, Se eum 
non deleuisse. aliquanto pluribus locis in Theoninis omissum 
inuenies idque ueri simillimum est satis saepe librariorum in- 
curia factum esse ') , ut, quid Theoni debeatur, difficile sit di- 
iudicare, praesertim cum Euclides ipse in hac particula uel 



1) Quam facile etiam in optimis libris uqu interciderit, 
ostendunt loci p. 178, 3 (om. P); 186, 12 (om. PVat.v); 200, 15 
(om. Vat.v). his enim locis uQa omitti non potest. 



PEOLEGOMENA. XLV 

addenda uel omittenda parum sibi constans fuisse uideatur. 
ccQcc si p. 34, 16 Euclides ipse omisit, id quod, licet omnes 
codices consentiant, nescio an iure in dubium ueniat, idem a 
Theone p. 18, 5, 22; 34, 10 (a) omissum esse potest, neque 
minus p. 10, 11 ; 22, 7 ; 30, 20 (a). p. 136, 23 (b) ; p. 16,11 ; 30, 5 (a), 
ubi in apodosi deest, eidem omissionem imputauerim. praeterea 
u. p. 88, 15; 98, 9; 156, 15; 216, 5 et p. 32, 18 (a). etiam de 
aQa p. 214, 22 post iva}.).d^ omisso dubito, cum et addi et 
omitti possit. 

in fine ectheseos semper nudum Xiyco inuenitur ac ne 
p. 184, 3 quidem, ubi altera ectheseos pars repetitur, Euclides 
drj addidit (p. 124, 9 Si] nemo non desideraret). item Theon 
et librarii in nudo Xfyco acquieuerunt. djj in b interpolatum 
est p. 74, 18, praeter Euclidis consuetudinem omissum p. 80, 19, 
fortasse propter lin. 5 ccXl' fcrcu. 

ovv post ensL in Theoninis p. 58, 6; 114, 11 (b); p. 54, 14; 
198, 20 (a) additum librariis tribuendum; p. 126, 24; 210, 11, 
ubi post insC omittitur, in archetypo codd. PVat.v interpola- 
tum esse potest, nisi fallor etiam p. 214, 13. 

yaQ a Theone nusquam additum est; nam p. 174, 20 in- 
sertum est errore librarii, qui quidem, postquam ad lin. 24 
stXricpQ^co oculis aberrauit, errore intellecto neque yaQ deleuit 
et yap Jin. 24 omisit^). yap utrum p. 168, 16; 172, 9 (b); p. 46, 16; 
180, 23 (a) expositionis , p. 94, 13; 156, 4; 172, 13 demonstra- 
tionis initio a Theone an librariorum culpa omissum sit, de- 
cemere non audeo. 

(nsV p. 164, 12 in b additum librario, non Theoni deberi 
constat; ab eodem p. 22, 19; 24, 16; 30, 10 (^) uidetur omis- 
sum esse. 

8i p. 2, 4 (a) Theon addidit, nisi forte in archetypo codd. 
PVat.v intercidit. p. 68, 5 librarius peccauit, qui p. 98, 25; 
156, 10 (b); p. 42, 16; 80, 2; 178, 7, 23 (a) particulam temerarie 
omisit. neque uero p. 130, 21 (b); p. 36, 3 (a) 8i propter ante- 
cedens niv deesse potest. 

T£ p. 210, 21 ad lin. 18 respiciens Theoni tribuo ; p. 214, 2(b) ; 
178, 8 (a) ab eodem interpolatum esse crediderim, fortasse 
etiam p. 2, 17 (^), quamquam, si quis hoc loco omissionem 
librario archetypi codd. PVat.v imputari malit, non repugnabo. 



1) Simili errore librarius cod. b p. 136, 23 v.al insC scripsit, 
quo facto ccQa ei omittendum erat. 



XLVI PROLEGOMENA. 

p. 158, 26 ') prius ts a librario additum esse ueri simillimum 
est, de altero constat. p. 2, 9 (^); 26, 17 (a) omissionem 
huius particulae eidem tribuerim; de rs p. 98, 22 omisso p. 21 
dictum est. 

jtat siue additum siue omissum plurimum habet dubi- 
tationis. p. 128, 7; 160, 23; 196, 19 (b); p. 16, 7; 18, 18 (a) Theoni 
deberi uidetur, librariis p. 68, 14; 98, 8; 132, 16; 212, 1 (b); 
p. 20, 22; 28, 21 (a). p. 68, 17; 146, 25; 170, 16 (b); p. 8, 5; 
60, 5; 174, 13 (a) a Theone omissum esse potest; p. 70, 13; 
74, 17; 88, 18; 126, 13; 134, 5; 144, 13; 198, 9; 200, 23; 
204, 4 (b); p. 14, 1; ]6, 19; 44, 2, 23 (a) librarii peccauerunt. 
nai nonnullis locis, inprimis iis, ubi initio demonstrationis 
ante snsi in Theoninis non legitur (p. 132, 19; 200, 9 (b); 
p. 226, 5 (a), in archetypo codd. PVat.v facile credideris 
interpolatum esse. p. 168, 4 (b); 176, 2 (a) omitti non 
potest. 

restat locus de articulo in Theoninis uel addito uel omisso. 
ac primum quidem inter nQog et litteras figurae interpositum 
est t6 p. 10, 12; 12, 4, 5, 6, 21, 23; 18, 18 (bis), 25; 26, 23; 
28, 2 (bis)'; 38, 12, 13, 17 (bis), 18 (bis); 40, 15; 42, 19, 20, 21; 
44, 4 (a), rriv p. 102, 25; 136, 16; 150, 23 (bis); 182, 16; 214, 
6, 21 (b); p. 200, 4 (bis) (a); post eandem praepositionem omis- 
8um inuenitur xo p. 90, 11; 134, 6; 148, 20 (b); p. 10, 8; 20, 18; 
22, 15; 26, 22; 44, 5 (a) atque, ubi deesse non potest, p. 136, 6, 
T^r p. 74, 17 (b); 60, 7 (a)*). iam uero Theonem ipsum 
puto p. 214, 8 (b); 44, 23 (a) articulum Ti]g post &n6 in qua- 
drato significando ab Euclide omissum offendisse; quamquam 
p. 124, 21; 218, 26 eum non addidit atque p. 170, 17 omisisse 
uidetur. in rectangulis autem Euclides zwv raro omisit, 
u. p. 124, 20; 126, 5; 180, 11; a Theone articulus neque additus 
neque omissus deprehenditur; nam tav p. 212, 9 additum, 
p. 210, 13 omissum librario tribuere malim, cui sine dubio 
p. 180, 11 (a) tfjg debetur; eiusdem incuria p. 156, 15 vnb t&v 
intercidisse adparet. in angulis significandis cum codices 
sescentis locia miro consensu articulum post vito praebeant 



1) Hoc loco in textu distinguendum non erat, erat p. 160, 1 
post fiiarjv. 

2) Articulus post JiQ6g etiam in ceteris codicibus saepius 
uel additur uel omittitur, u. p. 12, 4; 18, 25; 20, 21; 44, 6, 7; 
182, 16; 214, 6 et p. 76, 2; 92, 4; 116, 11. 



PROLEGOMENA. XLVII 

totidemque omittant, Euclidem mihi persuasi sine uUo dis- 
crimine et 17 vnb xwv ABF et 17 vnb ABT dixisse. inTheoninis 
tibv satis plane additur; u. p. 82, 5, 6 (bis), 15; 112, 13, 14; 
118, 4; 136, 22; 144, 8; 146, 25; 198, 8, 10; 202, 6; 210, 9, 
12, 26; 212, 1, 20, 25, 26; 214, 1, 2, 3 (bis), 15, 16, 18, 19; 
216, 1 (b); p. 54, 16, 18; 78, 16; 194, 5, 6 (a). omittitur p. 72, 6; 
82, 15; 86, 15; 88, 11; 212, 22 (b); p. 56, 8 (a). quod in Theo- 
ninis p. 142, 1; 214, 15, 17 (b); p. 176, 4; 182, 2, 3; 230, 3 (a) 
T^S, p. 114, 18; 130, 2; 156, 6; 172, 16 xrjv additur, non est 
ponendus in culpa Theon. reliquos locos, ubi articulus siue a 
Theone siue a librariis temere uel additus uel omissus est*), 
praetermitto, neque ad me pertinere arbitror, reliqua exempla 
neglegentiae et temeritatis librariorum congerere. 

Exemplis, quae adtuli, luculentissime comprobatur, Theo- 
nem non solum in omni genere additamentorum paene dixi 
delectatum esse, uerum etiam breuitatis cuiusdam studio ab- 
reptum non pauca omisisse. restant autem aliae omissiones, 
quarum magna pars Theoni deleganda est. Euclides quidem 
ea, quae in propositione uniuerse expressit, in expositione ad 
certas figurae litteras referre solet. Theon interdum in exposi- 
tione quoque uniuersam ac minus distinctam significationem 
ita praetulit, ut aliquid omitteret, uelut p. 134, 15 tag itQhg 
toLs A, J, p. 22, 24 xb AF et lin. 25 t6 BJ, p. 8, 5 fx xibv 
AB, BF, p. 46, 18 E. nec dissimiles sunt illae omissiones, 
quas p. 24, 8 et p. 200, 8; 210,10 in Theoninis deprehendimus. 
praeterea Theon p. 170, 20 fii&g superuacaneum esse iudicauit; 
eadem de causa p. 46, 15, 23; 48, 1 tij &fasi deleuit, p. 110, 
8, 13; 112, 23; 114, 5, 18 xm £i'dsi. speciei ratus notionem in 
sequenti sldog satis expressam esse. contra p. 90, 2; 104, 21; 
110,24; 150,4; 206,10 librariorum culpa manifesta est. idem 
dici sane licet de p. 98, 17, ubi Kal to3 (ieys&si. in b deest, 
cum probabilitate quadam etiam de p. 98, 23. sed p. 106, 1, 22 
omissionem Theoni imputauerim. idem nescio an p. 154, 5 
xsxQccywvov, p. 120, 24; 184, 22 oQd-oymviov, p. 112, 20; 138, 23 
7tccQaXXr]X6yQcc(i(iov , p. 112, 1 sldog omiserit, etsi non ignoro, 
talia a librariis saepius et interpolari et omitti^). p. 18, 18 



1) U. p. 134, 10, 14 ; 138, 18 (b) (cfr. p. 130, 15, 20) ; p. 14, 15 ; 
16, 5, 7, 8; 22, 8 (a) et p. 142, 10 (b); p. 40, 25; 42, 2, 14; 48, 4 
(cfr. p. 48, 16); 50, 1; 60, 20 (a). 

2) Cfr. adp. crit. ad p. 116, 3 et ad uol. I p. 150 sqq. 



XLVIII PROLEGOMENA. 

Sislovti a Theone omissum esse potest, p. 170, 18 %al GvvQ^ivzi 
&Qa non potest. p. 182, 13; 218, 2 rait Theoni ipsi, nisi fallor, 
displicuit, p. 80, 8 librarii culpa intercidit. p. 210, 9 Theon 
respexit ad p. 208, 9; eundem puto p. 138, 24 itgorEQov, p. 148, 18 
ndXtv deleuisse, item p. 70, 11 tirrj; de p. 154, 16; 182, 20; 230, 2, 
ubi idem adiectiuum in Theoninis omissum est, dubito. p. 64, 13 
librarius peccauit, qui p. 24, 22 ott., p. 48, 1 farco, p. 162, 2 «s, 
p. 162, 23 ScvdXoyov omisit. neque uero quisquam p. 156, 15 
et p. 116, 9, praeterea p. 158, 25, 26; 160, 1 culpam conferat in 
Theonem. reliquas intermissiones , ne longus sim, adferre 
supersedeo. 

Uidimus Theonem in recensendis Euclidis uerbis parimi 
constanter se gessisse; eadem inconstantia his quoque exemplis 
illustratur: p. 48, 14 jiTj addidit prospiciens fortasse ad p. 48, 25; 
60,18; p. 48, 3') non addiderat. p. 102, 13 tw (isyE&ei, deside- 
rauit, p. 104, 11 non addidit. p. 116, 3 r&v hXsvq&v mutauit 
in T?5s nXevQ&g; in ecthesi illud reliquit. p. 120, 6 rovreari. ei 
displicuit, etsi p. 118, 1 nihil eum offenderat. p. 146, 12 iv 
repetiuit, non repetiuerat p. 142, 7. 

Quae cum ita sint, Theonem adparet in Datis recensendis 
non magis quam in Elementis edendis^) id secutum esse, ut 
ex optimis quibusque libris manu scriptis hunc librum talem 
ederet, qualis ab Euclide scriptus esset, nec quidquam sibi 
proposuisse, nisi ut eorum, qui Alexandriae, ubi etiam tum 
studia mathematica uigebant, djsciplinae suae se dedidissent, 
desideriis ac studiis satisfaceret. cumque illi, priusquam ad 
Data progrederentur, Elementa pertractassent in mathemati- 
caque longius processissent, non est, quod miremur, Theonem, 
qui quidem in Elementis ea, quae ab Euclide breuius expla- 
nata sunt, explere et augere soleat, in Datis satis saepe breui- 
tatem quandam adfectasse, ita ut plm-a ab eo omissa aut 
pressa quam adiecta aut dilatata esse uideantur. qua in re 
etsi nimia licentia uersatus est, tamen negari nequit, recensio- 
nem eius nobis satis utilem esse, praesertim cum non paucis 
locis uera ac genuina uerba Euclidis eum seruasse constet. 
utinam contingat, ut quam proxime unus alterue codex re- 



1) p. 46, 19 8vvar6v pro /Lirj librario debetur; Theon post 
Svvarov scripsisset (israninrirw. 

2) U. uol. V p. LXXV. 



PEOLEGOMENA. XLIX 

periatur, quo Theonis recensio purior et incorruptior contineatur, 
ut uerius de eo iudicare possimus. 

Sed iam ante Theonem manifestum est Datorum librum 
multis locis et erroribus deprauatum et interpolationibus in- 
quinatum esse. documento sunt uitia ista, quae supra dixi 
omnium codicum communia esse quaeque ne a Theone quidem 
correcta esse uidimus. atque cum Data sine dubio iam ab 
initio in scholis tractarentur, magistri^ ut solebant, sua quisque 
inculcauerunt. Apollonius quidem tres illas definitiones ad- 
didisse putandus est, quae uulgo sunt decima tertia, quarta, 
quinta quasque ad eum scholiasta tradit referri; u. schol. nr. 13 
et cfr. app. schol. nr. 32. quae definitiones cum in omnibus 
codicibus legantur, Apollonii exemplar eorum fuit quasi arche- 
typum^). demonstrationes autem alteras quominus Euclidi ipsi 
tribuam, cum causae uol. V p. LXXIX de Elementis adlatae 
obstant tum illud, quod earum et oratio et sermo a consue- 
tudine Euclidea non paucis locis discrepat. 

His amplioribus interpolationibus ea additamenta breuiora 
adiungo, quae Euclidis uerbis ante Theonem interposita esse 
statuerim: p. 86 uerba lin. 10 sjret — 12 do&sis molesta ad- 
modum sunt et id genus repetitionis ab Euclidis consuetudine 
abhorret. p. 90, 12 eTtttS-^TtSQ ccTib xfiq ccvxfjs sv&sCaq rf]g AZ 
&vaysyQa7ixat, iam propter STtsidrjTtSQ illud, quo glossatores cau- 
sam addituri a mathematicis omissam uti solent, satis suspecta 
sunt; causam si Euclides addere uoluisset, sine dubio, ut solet, 
praemisisset. p. 124, 14 — 15 quoque additamentum S^Sotat. yaQ 
7] vTtb BAF glossatoris operam ita redolet, ut haec uerba 
Euclidi tribui nequeant. neque aliter iudico de p. 126, 3, ubi 
uix quisquam interpolatorem negabit scholiastae munere func- 
tum esse. idem dici sane licet de p. 172, 15 — 16 oQ&ij yaQ. 
atque p. 186, 12 sv.axsQa aQu xwv HZ, HJ do&SLad sativ plane 
inutiliter, ne dicam inepte addita sunt. p. 220, 8 — 10 is, qui 
demonstrationem alteram dedit, ut nunc mihi persuasi, etiam Kal 
avv&svTv aQa zov d — Xoyog sarl do^sig scripsit, atque lin. 9 Xoyog 
ante Theonem, quem uitium fugit, librarii errore inculcatum 
est. p. 150, 21 — 22 sari Ss y.al OQ&oywvtov nemo Euclidi ad- 
signabit; utrum ante Theonem an post eum interpolata sint, 



1) Apollonium iv rw TtsQt vsvascov et iv t^ yia&6i.ov TtQayfia- 
rsLa, qui libri perierunt, definitionem rov SsSofisvov dedisse 
testatur Marinus p. 234, 15 sq. 

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. d 



L PROLEGOMENA. 

non audeo discernere. neque minus dubito de p. 152, 4 — 5, 
quoniam uerba lin. 3 ler} — 6 Sod-eis in b librarii incuria inter- 
ciderunt. sed manifestum est, locum a compluribus interpola- 
toribus inquinatum esse. nam ut illud rtTQdycovov ydq omittam, 
Gvyyiaixai yccQ in primis eo loco, ubi deprehenditur , quid sibi 
uelit, non intellego, nec magis, quomodo ex iis, quae proxime 
antecedunt, efficiatur, rationem AZ : E^d datam esse, id quod 
praeterea nulli hic usui est; u. p. 153 not. restant alii loci, 
quibus non mediocriter offendar, uelut p. 78, 6 diSozai, — 7 /tif- 
y^-S^fi; p. 126, 16 ixixca — 17 deSonivov; sed codicum auctori- 
tatem nimis labefactare nolim. de interpolationibus a Theone 
excussis supra dictum est. — p. 132, 20 tavL — 21 So&eiaa in 
adparatu cr. significaui fortasse interpolata esse. quod cur 
non adseuerauerim, duas potissimum habeo causas, unam, quod 
Euclides nullo, quantum memini, loco eodem breuitatis genere 
utitur, alteram, quod Theoneni suspicor nihil fuisse mutaturum, 
si illa uerba in exemplari eius defuissent. cumque in com- 
muni fonte codd. PVat.v sine dubio margini supra ipsum 
scholium nr. 143 adscripta essent, non potest esse mirum, quod 
et librarius codicis Vat. existimauit, omissionis signum etiam 
ad uerba huius scholii pertinere, et librarius codicis v illud i'ati 
8h Kul i] vTtb KFE do&staa partem eius esse interpretatus est. 
Primus de Datorum libro Pappus accuratius exposuit atque 
in eo exemplari, quod in manibus habebat, propositionum 
numerum, si cum nostris codicibus contuleris, patet minorem 
fuisse. dicit enim uol. 11 p. 638, 1 — 640, 1 ed. Hultsch haec: 
neQii%ei 8s xo tiqwxov ^i^XCov^ onsQ iaxlv x&v dsSofiivcov, anavxa 
^KOQ-^fjifaxa svsvriy.ovxu' wv nQcbxa ^sv ■na&oi.ov snl (isysd^&v 
diayQccfifiaxa xy', t6 Ss S' v.al v.' sv tv&siais saxlv &vd).oyov 
dvsv d-sGscog. xd Ss s^fjg xovxoig iS' iv sv&tiaig iaxlv &iasi 
StSonivaig' xd 8s xovxoig i^fjg «.' inl XQiywvcov iaxlv xa siStt 
8eSo(isvcov dvsv &iascog. xd Ss s^fjg xovxoig J' snl xvxovxcov 
iaxlv tv&vyQdnficov %coqCcov tiSti StSo^iivcov dvsv &iaicog. xd 
8s i^fjg xovxoig s' iv naQalXrjXoyQd^iioig iaxl xai nuQU^oXaig 
siStL StSofiivcov xcoqCcov. x&v Ss ixofiivciov t' xb (isv nQ&xov 
yQacpoiisvov iaxiv, xd Sh 8' ini XQiymvcov ;ucJopiajv, on ai Sia- 
(pOQal x&v Svvdfitcov x&v nXtvQ&v n^bg xavxa xd XQCycova xcoQCa 
Xoyov txovaiv SsSouivov. xd Ss i^fjg t,' tcog xov o' v.a\ y' sv 
SvaX naQaXlriXoyQdfifioig, otj. Sid xdg iv xatg ycovCaig vno&iasig 
iv SsSoyiivoig iaxlv Xoyoig nQog dXlrjXa, tvia Ss xovxcov ini- 
loyovg ^x^i o^ioCovg iv 8val XQiymvoig. sv 8s xoig icpi^fjg s' 



PROLEGOMENA. LI 

SiayQdfifiaci.v tcog xov o' Kal &' Svo ^sv jffriv iTcl TQiywvwv, 
8' dh inl nXsiovcov fii-S^ftcov avdloyov ovo&v. ta Ss f|^s y' inl 
8vo sv&sicbv [avdXoyov ove&v , xa. 8' IVrii']^) 8o&sv xi nsgi- 
sxovaav %(oqiov. xu 8s iTcl Tt&eiv 7)' scog xov q' iv ■KVTiXoig 
8sCv.vvxai xoig ^hv fisys&si (lovov 8s8o}i,ivoig, xotg 8s kuI &iasi. 
[*ayo(isv(av sv&siwv iaxiv Sia SeSo^isvov arifisiov xa ysv6[i£va 
StSo^iiva.J ^) 

Pappus igitur nonaginta propositiones habuit ac uidendum 
est, quas ex nonaginta quattuor^), quae in nostris codicibus 
inueniuntur, non habuerit^). atque in primis sexaginta dua- 
bus*) propositionibus Pappi summarium cum codicibus nostris 
concordat. ex propositionibus 63 — 66 unam non habuit neque 
alia esse potest nisi prop. 6.3, quae e prop. 49 facillime effici- 
tur. sequuntur deinceps apud Pappum septem propositiones 
de parallelogrammis, in nostris autem codicibus sunt quinque, 
propp. 68, 69, 70, 73, 74. crediderim in exemplari eius pro- 
positiones 70 et 73 in binas diuisas fuisse et propositiones de 
triangulis (71,72,75) tamquam iniXoyovg numeris caruisse; miror, 
quod prop. 74 diuisa non erat. cum duae quae apud Pappum 
sequuntur propositiones inl xQiymvcov intellegi non possint nisi 
propp. 76 et 80, efficitur, in exemplari eius propp. 77 et 78 
defuisse nec propositioni 79, quod reapse lemma est, numerum 
adscriptum fuisse. quattuor autem propositionibus inl nXsio- 
vcov sv&sicov avccXoyov ovawv in codicibus respondent tres 
propp. 81, 82, 83, et Heiberg (Studien p. 223) recte suspicatus 
est, in Pappi libro propositionem 81 in duas diuisam fuisse. 
reliqua cum antiquissimis codicibus et hac editione consentiunt: 
tres Pappi propositiones inl Svo sv&sicov sunt propi^. 84, 85, 86 
et octo de circulis propp. 87 — 94. quodsi Pappi summarium 
numero propositionum a codicibus nostris dissentit^), omnium 



»1) 'JvccXoyov — i'axiv del. Hultsch. 
2) 'Ayofiivcov — SsSofisva del. Hultsch. 

3) Quae uulgo est prop. 87, hic non numero. 

4) U. Fabricius Bibl. Gr. IV p. 78 sq. ; Heilbronner Hist. 
Math. p. 162; Heiberg Studien iiber Euclid p. 222 sq. 

5) Uerba xmv Ss ixofiivcov s' xb lisv nQ&xov yQacpofisvov 
iaxiv dubium non est quin ad prop. 62 referenda sint, quam- 
quam concedo, yQacpofisvov illud me parum intellegere {xwv 
yQacpofiivcov?). 

6) In Sphaericis quoque Theodosii Pappus in propositio- 
num numero cum nostris editionibus minus congruit; u. Pappus 

d* 



LII PROLEGOMENA. 

codicum consensu facile quis adducatur, ut ille aut exemplari 
ea discrepantia iam ante deformato usus sit, aut ipse Datorum 
librum recensuerit^). sed cum Pappi fides permultum in hac 
re ponderis habeat et prop. 77 eadem sit ac prop. 54, prop. 78 
autem nihil nisi casus quidam peculiaris prop. 62, id quidem 
pro certo sumendum est, propp. 63, 77, 78 non ab Euclide pro- 
fectas ac potius post Pappum et ante Theonem interpolatas esse. 

Nec post Theonem defuerunt, qui Datorum librum omni 
genere interpolationum contaminarent. ac primum quidem con- 
stat, eam propositionem , quae uulgo est 87, cum sequenti 
lemmate ab homine ratiocinationis sermonisque Euclidei satis 
perito primis post Theonem saeculis interpolatam esse. nam 
in antiquissimis et optimis codicibus aut deest aut in appen- 
dice una cum scholiis quibusdam uel in margine addita est 
(u. p. 220 not.). neque praetermittendum , in demonstratione 
nonnulla inueniri, quae nimiam diligentiam hominis docti de 
schola redoleant, uelut non fortuito factum est, ut, cum Eucli- 
des in rectangulis significandis promiscue atque sine ullo dis- 
crimine mediam litteram duarum rectarum communem et ponat 
et omittat dicatque et t6 vno t&v AB, BF et t6 vnb zcbv ABF, 
interpolator ille communem litteram omnibus locis reposuerit. 
accedit quod uerba p. 222, 28 ovrcog yccQ do&sv &(p-j^Qi]Tat. ad- 
modum suspecta sunt. denique tota propositio in codice P 
quidem multis compendiis scripta est, quae in ceteris partibus 
libri non occurrunt. alteram quoque demonstrationem prop. 19, 
quae in cod. a deest, post Theonem interpolatam esse puto. atque 
idem dicendum est de iis additamentis, quae in communi fonte 
codd. PVat.v deprehendimus ; u. p. XVI. praeterea quaedam 
de iis, quae supra statui a Theone omissa esse, iis , qui post 
eum in interpolandis Datis oleum et operam perdiderunt, iure 
tribui licet. 

Proclus miror quod p. 92, 2 sqq. ed. Friedlein, ubi scripta 
Euclidis commemorat, praeter Phaenomena etiam Data omittit. 
p. 235, 18 — 19 autem, quem locum Fabricius Bibl. 6r. IV p. 79 



ed. Hultsch p. 610, 612, 616. idem in Euclidis Phaenomenis 
recensione ab ea, quae ad nos peruenit, diuersa usus esse 
uidetur; u. p. 601 not. 

1) Pappum commentarium in Data scripsisse ueri similli- 
mum est; u. Marinus p. 266 extr., quem locum Heiberg (Stu- 
dien p. 173) iure negat ad Pappi Collectionem posse reuocari. 



PEOLEGOMENA. LDI 

ad Datorum libruin refert, non liber, sed ea intellegenda sunt, 
quae in hypothesi data sunt^). neque tamen negauerim, Pro- 
clum eius habuisse notitiam, praesertim cum notiones zov 
Ssdofisvov et zov dsSoa&cci illum non ignorasse doceant loci, 
qnales sunt p. 205, 13 sqq. ; 277, 7 sqq., cumqueMarini commen- 
tarius testimonio sit, aetate eius Euclidis Data in scholis 
tractata esse. 

Eutocium*) Datorum librum habuisse efficitur ex loco in 
Archimedem uol. III p. 214, 10 sqq. ed. Heiberg: l'va Ss y.al 
xovxo a-AolovQ^tois rjj 6tOL%simGSL xS>v dsSon^vcov So^njj Gwdysa&ai, 
Xsx^rJGSTai. neque dubium est, quin uerba p. 136, 6 — 8 iav 
Sh SsSoiJL^vov (isys&og SLg SsSofisvov Xoyov SLaLQS&fj, SsSotaL 
sv.dtsqov t(bv TfiTjfiaTcov ad Datorum prop. 7 referenda sint, nec 
minus p. 140, 5 — 6 ra yap nQog tb avtb Xoyov ^orra SsSo- 
^ivov v.aL TtQbg aXlr]la Xoyov s^sl^) SsSofisvov ad prop. 8, 
p. 212, 17 — 18 sav Ss Sod^sv naQa Sod^SLGav TtUQa^lrj&y, TtXdxog 
TtoLSL So&sv ad prop. 57, p. 220, 12 — 14 iav SsSoiisvov (i^ys&og 
TtQog XL (lOQLQv suvtov loyov i'xsL SsSofisvov, xai TtQog tb lontbv 
Xoyov s^sL SsSofisvov ad prop. 5. praeterea cfr. p. 194, 17 sqq. ; 
220, 15 sqq. al. 

Post Eutocium etsi per totum medium aeuum pauca testi- 
monia reperiuntur, quibus studium Datorum confirmari possit, 
tamen et codices illi in oriente scripti et scholia antiqua de- 
monstrant, Euclidis librum illis temporibus non esse neglectum. 
proximus ab Eutocio testis Olympiodorus est, apud quem in 
commentario in Aristotelis meteorolog. II p. 150 ed. Ideler haec 
leguntur: SsSsLKtai sv toig dsSoiisvotg, otL, sav Svo arjfisia 
So&fj tfj &sasL, tovtsatLV ofioloyrj&jj, yial 17 snL^svyvvovaa avtk 
sv&SLa SsSoxaL, Kal XsystaL SsSoa&aL &s6sl Kai (jliJksl*). v.al 
■jtdXLv iav dXXa Grjfisia So&y vLal 17 sitL^svyvvovaa a-uTa sv&sia, 
xal 6 Xoyog t&v sv&siwv SiSotai, noLOV Xoyov ?;^ft ^Ss Ttgbg 
f^vSs; aliud testimonium est scholium in Antholog. II p. 499 
Dxibner: ra Ss xoLavxa TtQO^Xr^fjLaxa KaXsL sv xoig zisSofisvoig 

1) Id monuit etiam Buchbinder Euclids Porismen u. Data 
p. 25. 

2) U. Heiberg Philol. Studien zu griech. Math., Neue Jahrb 
f. Philol. Suppl. XI p. 364 sq. 

3) Quod Eutocius hoc loco cum Theoninis ^'xsl habet pro 
?|£i, inde non collegerim, Theonis eum habuisse recensionem ; 
uidetur enim Euclidis propositiones ex memoria protulisse. 

4) U. prop. 26. 



I 



LIV PEOLEGOMENA. 

6 EiinlsiSrjg So&ivti ^st^ov ') tj sv loycp. praeterea scholiasta V* 
in Elementorum librum quem ferunt decimum quintum Data 
bis adfert: et ad uol. V p. 58, 11 dsSorai. ■nai r} Bd et ad 
p. 60, 22 tf]g Bd SsSo^ivris adnotat Sl^ t6 ft^' tav JsSonivcov 
Ev-aXsiSov. saeculi decimi quarti insignis testis est Theodorus 
Metochita, qui 'Tno(ivriiiaTi6[i&v p. 108 ed. Kiessling inter 
Euclidis libros Data nominat. idem (Sathas iisaat.covt.yir] ^i§lt.o- 
-Q-tjxt; I p. qy') dicit, postquam Ptolemaei Almagestum adiisset, 
intellexisse se, eum sine interiore mathematicae cognitione legi 
non posse; deinde (p. qS') pergit: tovtov ^oi tov e-noTtov ■nal 
Tov novov 7] tf]g yf coftETptx^? d^soaQiag slg tsXog SQSvva , ?<??] ts 
iv inntiSoig EvKXsiSr] atOLx^LOvtaL xorl oar] sv atSQSOig, %al 
(i,r]v STi v.al arra tc5 ccvSqI TCQoas^SLQyaaTai dnTLv.d ts xal «ar- 
ontQL-nci xal SsSofisva tial ta tisqI tmv v-ar' ovQavbv cpaLvo- 
(isvoav, wansQSL nQod^vQci. tLva tavTa zai nQoavlLa tcov svTog 
6cnoQQr]to}v rs nai ccSvtwv aatQOvo(i.Lag. 

Sed redeundum est ad saeculum X, quo Data ad Arabes 
cum ceteris libris eius collectionis peruenerunt, quae a Graecis 
6 (iLKQbg &atQovo(iov(i.svog^) adpellabatur et quae maior pars 
erat eorum librorum, quos Arabes uocabant intermedios *). ac 
primus quidem Ishac ben Honein saec. X Data interpretatus 
est; eam autem intei-pretationem breui post emendauit Thabit 
ben Corrah et saec. XIII recognouit commentariisque instruxit 
Nasiredin Tusi. de fonte huius interpretationis et de editorum 
subsidiis nihil certi adferre possum, cum codices ipsos adire 
mihi non licuerit; illud tamen uidetur ueri simillimum, Arabes 
recensione uulgari, non Theonis usos esse; u. Haji Khalfa Lexi- 
con bibliogr. ed. Fluegel V p. 154 nr. 10511: 'Euclidis liber 
datorum — . sunt nonaginta quinque figurae', atque NicoU et 
Pusey bibl. Bodleian. codd. mss. orient. catalog. II, ubi inde 
a p. 257 scripta enumerantur, quae codice 279 continentur, 
p. 260: 'liber singularis Datorum Euclidis, cui schemata 95'. 



1) Sic pro So&svti ovtoag ('ambiguo compendio' Dubner) 
legendum esse monuit Heiberg Studien p. 223; u. def. 11. 

2) U. Pappus p. 474; Fabricius Bibl. Gr. IV p. 16; Cantor 
Geschichte d. Math. (ed. pr.) I p. 380. 

3) U. Gartz de Euclidis interpr. et explan. Arab.; Wenrich 
de auct. Graec. uerss. et commentar. Syriac. Arab.; Stein- 
schneider Zeitschr. f. Math. u. Phys. X p. 456—498 et XXXI 
hist. Abt. p. 102. 



PROLEGOMENA. LV 

Datorum partem Latine interpretatus est Georgius Ualla, 
de expet. et fug. rebus XI, 20 (u. Heiberg Neue Jahrb. f. 
PhiloL SuppL Xn p. 394) atque praeter definitiones has habet 
propositiones : 1 — 14, 19, 24 cum demonstr. alt., 25, 26, 29, 31, 
34, 39, 40, 43, 47, 48, 50, 52, 55 cum demonstr. alt., 58, 60, 61, 
67—69, 71, 72, 74 (post prop. 77), 75—81, 85, 88—90. praeterea 
haec apud eum reperiuntur scholia: nr. 2 omissis uerbis v.ai 

— didaaxfi et nr. 3, 5, 6, 7 post def. 9, nr. 10 (post def. 11), 
12 (post def. 12), 4 (post def. 15), 29 (post p. 10, 11 /iE), 39 
(post p. 14, 25 dsSofisvovg), 45 (inde a lin. 12 — 20 loym), 54 
(usque ad lin. 23 Xoyog), 58, 63 (post p. 26, 7 do&eig), 67, 
79 (post p. 44, 23 avrwv); praemissis uerbis p. 192, 10 adp. 
crit. £y.atiqa — xstqaytovoj) nr. 78 inde a p. 280, 6 ti&gu yccQ 

— 10 Ssdotai et iterum nr. 79 post demonstr. alt. prop. 24; 
nr. 83 (post prop. 25), 90, 91, 99 (om. p. 285, 13 r/ — §sXtL0v), 
101, 112, 119, 120, 133, 138, 161. usus est autem cod. 
Monac. 361, priusquam ei adderetur pars chartacea; ubi Monac. 
tunc desiit, id est inde a prop. 81, recensionem Theoninam 
secutus est. nam ea omittit, quae p. XXII not. dixi in Monac. 
librarii neglegentia intercidisse ; u. etiam p. 88, 15 AB} AF 
Monac, ac Ualla; p. 106, 4 ■nal 17 E 5] 17 KB Monac, lch UaUa. 
ex parte Theonina hos locos adfero: p. 160, 14 E] z/ Theon, 
d Ualla; p. 160, 19 ii,sv A nqbg trjv J, tfig Ss'] om. Theon, 
Ualla; p. 160, 23 ictC] satl Kai Theon, est etiam Ualla; p. 168, 8 
So&siGai aga slalv at A B, Bzi^ So&siaa aqa sctlv i] AB Theon, 
data igitur est ab Ualla; p. 168, 11 ante So&siaa add. sctt, Sh 
jtal 7} AB Sod^sica Theon, est autem etiam ab data Ualla; 
p. 174, 13 xai] om. Theon, Ualla; p. 174, 17 aito — 18 tcsqi- 
qp^psiav] ■x.al icnb tov CT^fisiov Theon, et a puncto Ualla; 
p. 174, 21 Sod-sv~] tvxov Theon, ut uis Ualla; p. 176, 3 post 
ycovia hab. yiai sctiv avti]g SLTtX-r) 17 vnb tfjg BzJF Theon, est- 
que ipsius duplus qui sub bac Ualla; p. 176, 6 Bz/r — 7 v.v- 
xXog] BAF' TivKXog' So&sv a^a sctiv ij JF- &scsi Ss Hal xb 
ABF Kv-nXog Theon, bac. circulus. datum igitur est dc. po- 
sitione igitur etiam abc circulus Ualla; p. 176, 13 crjfisiov — 
SsSofihov} om. Theon, Ualla; p. 176, IG.tov iivy.Xov] om. Theon, 
Ualla; p. 178, 1 z/jr(pr.)] J TA Theon, dca Ualla; ib. &sasc 

— JAF] om. Theon, Ualla. quae scripturae cum omnes etiam 
in cod. Paris. 2352 inueniantur, nescio an hic Uallae in parte 
Theonina ad manus fuerit; obstare uidetur p. 168, 8 EB] AB 
Paris. 2352, eb Ualla. in priore parte eum hoc codice usum 



LVI PROLEGOMENA. 

non esse, docent loci quales sunt: p. 50, 12 ar^^ECw dsSofisva] 
G. SiSofisvri 2352, puncto dato Ualla; p. 52, 23 Ez/Zj om. 
2352, def Ualla; p. 58, 10 Tzf] T 2352, cd Ualla; p. 78, 18 
SsSoTai — iiSul om. 2352, atqui datum est deg triangulum 
specie Ualla; p. 104, 16 ta FzJ] om. 2352, dc Ualla; p. 130, 6 
t6 Jr] om. 2352, dc Ualla; p. 142, 21 EH] EZ 2352, eg 
Ualla. scholia sine dubio ex Monac. 361 petiuit; Jbis enim 
locis cum eo solo congruit: p. 262, 5 i'] om. Monac, Ualla; 
p. 269, 16 t6 dB] om. Monac, Ualla; p. 269, 19 TtQog xb avtb 
xb BF] om. Monac, Ualla; p. 280, 12 d] iTtsi Monac, quoniam 
Ualla; p. 296, 17 FdB] ^B Monac, db Ualla; ib. &7tb tfjg 
AJ] Monac, ex ad Ualla; p. 297, 1 tiroj/ (alt.)] om. Monac, 
Ualla; cfr. etiam p. 298, 7 So%ri6ovtai] om. Monac (<>), Ualla; 
p. 304, 11 Evv.X£CSov] tav 6toi%EC(ov Monac (ff^), elementorum 
Ualla. 

Totum Datorum librum primus Latine edidit Bartliolo- 
maeus Zambertus Uenetiis 1505 ^). qui etsi Euclidis scripta 
minus ad uerbum expressit quam Ualla, tamen dubitari non 
potest, quin eodem codice Monac 361 usus sit^), cui tum et 
pars cbartacea addita erat et non paucis locis duabus manibus 
medicina adlata. in Zamberti enim interpretatione ea desunt, 
quae Uallam supra dixi cum Monac omittere; praeterea multis 
aliis locis Monac et Zambertus conspirant, uelut p. 4, 13 t6 
oXov] t6 lotTtov Monac, reliquum Zamb.; p. 32, 14 insC — 15 



1) U. de hac editione Weissenborn Die Uebers. d. Euclid 
d. Campano u. Zamberti p. 12 sqq.; Riccardi Le prime edizioni 
degli Elementi di Euclide p. 9 sqq. 

2) Cod. Leid. 7, quem Zambertus ipse ex Monac descripsit 
(u. p. XXIII), non potest esse interpretationis fundamentum, cum 
Datorum apographum post impressam interpretationem fini- 
tum sit; cfr. codicis subscriptio, quam p. XXIII dedi, cum his, 
quae apud Zambertum in fine Datorum totiusque libri legun- 
tur: Impressum Uenetiis — . Anno reconciliatae diuinitatis 
M. D. V. VIII Kal. Nouembris (in fine praefationis Datorum: 
Uenetiis M. D. V. VIII Id. Sextilis). accedit quod, ubi Leid. 
a Monac discrepat, Zambertus cum hoc, non cum illo consentit, 
uelut p. 86, 4 Iffrco — ABFJE] Monac, Zamb., t6 StSo(ievov 
fb&vygafifiov tco siSsi t6 ABFJE sgxco Leid.; p. 106, 23 ta 
AB, ZH] Monac, Zamb., t6 ^B kuI ZH Leid.; p. 106, 24 
v.aC] Monac , Zamb., xaJ &.[i,(p6tsqa Leid. ; p. 118, 14 ABF] 
Leid., AFB Monac, Zamb. 



PEOLEGOMENA. LVII 

/ioyco] om. Monac, Zamb. ; p. 58, 2'2 FB] Monac, ch Zamb.; 
p. 106, 22 To — 23 iati] om. Monac, Zamb.; p. 106, 24 to — 
108, 1 iati] om. Monac, Zamb.; p. 116, 11 ABT, Fd] a^yd 
Monac, abcd Zamb.; p. 118, 14 ABF] AFB Monac, ach 
Zamb.; p. 134, 5 xort — 7 So&sig] om. Monac, Zamb.; p. 140, 8 
post dsdo^ivov scbol. nr. 151 p. 301, 17 rj — 18 dsSofiivov 
EucUdis uerbis interpositum hab. Monac, Zamb.; p. 174, 24 
iTcs^svx^todav al BJ, d F] iTcs^svx&oi t) J A Monac, connecta- 
tur da Zamb.; p. 184, 18 8id] aito Monac, a Zamb.; p. 208, 18 
FAJ — 20 T7j5 (pr.)] bis Monac, Zamb.; p. 210, 4 tov — 5 
So&sig, p. 212, 11 &ti6 — 12 tov, p. 216, 4 %ai — 5 So&sig om. 
Monac, Zamb. de Marino Zambertus in praefatione baec 
dicit: 'cumque ad manus nostras fortapse ex bibliotheca sena- 
toria Marini philosophi et dialectici praestantissimi protheoria 
in data Euclidis constructa peruenisset, eam a me latinam 
esse censui faciendam'. secutus est igitur codicem Marcianum; 
utrum 301 an 302, diiudicare non possum; id constat, inter- 
pretationem eius cum scripturis m. 2 Vat. concordare; cfr. 
p. 234, 17 ay.tivag] svdsiag Vat. m. 2, rectas lineas Zamb.; 
p. 236, 1 ?j] Vat. m. 2, vel Zamb.; p. 236, 2 s-ntLd-sfisvov] itQO- 
tid^i fisvov Vat. m. 2, propositum Zamb.; p. 236, 14 afia] om. 
Vat. m. 2, Zamb. ; p. 236, 16 yvwQifiov (alt.)] tstayfisvov Vat. 
m. 2, ordinatum Zamb.; p. 238, 9 yial ii.dttovog] Vat. m. 2, et 
minoris Zamb. ; p. 238, 11 TCSQicpsgeia] ytavia Vat. m. 2, angulus 
Zamb. ; p. 244, 15 nQog trjv nlsvQdv] TtQ. t. nX. tov tstQaywvov 
Vat. m. 2, ad costam quadrati Zamb.; p. 252, 5 fijiio: v.al tcoqi- 
yi,ov] om. Vat. m. 2, Zamb. ; p. 252, 19 et p. 254, 5 Zamb. titulos 
hab. Vat. m. 2; p. 254, 15 i^sitovriGsv] Vat. m. 2, elahorauit 
Zamb. ex scholiis haec habet singulis propositionibus addita: 
nr. 1 — 4 et 13 (post deff.), 20, 25; 30 et 32 in unum coniuncta 
(post prop. 6), 39 (sic: aequa est ratio sicut in XVII diffinitione 
et XXn propositione V ele. patet), 40, 45 usque ad p. 269, 20 
X6y(a (praemittit: hoc est componendo maior quam in ratione) 
et continuo 48, 49, 54; deinde 58, 61, 63 (in fine: sicut patet 
per XIX quinti elem. et in diffinitionibus. componitur enim 
dato quod maior sit quam in ratione), 67, 68, 71 {oTtov — P 
om.), 76, 78 (post demonstr. alt. prop. 24), 83, 90, 91, 93, 
97 (in fine add.: per XII V elementorum), 99, 101, 104 (post 
prop. 53; in. : ostensum est in scholio XX propositionis) ; 108 
et 109 in unum coniuncta, item 119 et 120; 125, 133, 138; 
142 et 141 in unum coniuncta. ex scholiis appendicis haec 



LVIII PROLEGO^fENA. 

reperies: nr. 8, 19, 24 (ad demonstr. alt. prop. 67), 25; 30 
et 31 in unum coniuncta, item 32 et 33, 38. de scholiis Zam- 
bertus post definitiones adnotat: quoniam in eo uolumine, ex ■ 
quo Data huius modi transcripsimus in latinumque conuerti- 
mus, quod sane uetustissimum est, nonnullas adiectiones com- 
perimus, quae, licet breues et concisae sint, quoniam ad Dato- 
rum intelligentiam plurimum conferunt, ut sese habent, sic 
eas sumus interpretati. et deprompsisse eum scholia e Monac, 
ex his locis adparet: p. 262, 5 i'] om. Monac, Zamb. (=Ualla); 
p. 268, 12 Jm] yd,Q Monac, enim Zamb.; p. 269, 19 nQog t6 
ccvrb xb BT] om. Monac, Zamb. (=Ualla); p. 287, 20 AFHS] 
AHB Monac, agb Zamb. ; p. 296, 17 Pz/B] JB Monac, db 
Zamb. (= Ualla); ib. &7ib tfjg A/l'\ Monac, ex ad Zamb. 
(=Ualla); p. 298,17 FBM] FBA Monac, c&i Zamb.; p. 329, 2 
iGxat ffaqpis] Monac, manifestum erit Zamb.; cfr. etiamp.276, 16 
iv rf TCQOxdaEL] iv xfj TtQmxrj Monac (c), in prima Zamb.; 
p. 298, 7 do&^^Govxcci] om. Monac (ff), Zamb. (= Ualla); p. 298, 17 
ai] Svo ai Mon. (Vat.), duo Zamb. 

Marini conaanentarium in praefatione dixi a Grynaeo Ele- 
mentorum et Procli commentariorum editioni principi a. 1533 
additum esse (p. 113 — 115). titulus est: IIbqI So&ivxwv avv- 
xofiwg (mg. : haec in ueteri exemplari reperta fini adiecimus), 
subscriptio: xilog tisqI So&ivxav. p. 114—115 in summo mar- 
gine: IIqokXov 7C{qI So&ivxwv. Grynaei codex similis fuit 
codicis Monac 427 ; omittit enim cum eo p. 246, 26 &.vantiniQ- 
fisvov — 254, 27 inmiSov. praeterea eas scripturas habet, quas 
p. XXXI dixi illius proprias esse. ex ipso Monac Grynaei codex 
descriptus non erat; nam Grynaeus habet p. 240, 21 iniax* nw 
pro inicxrjfiri yuQ avxov o^nw, 23 *Qa> pro iv noQw, ib. n* 
pro noQi^ov, p. 256, 14 (ib pro (isyi&si, quae omnia in Monac 
facile legi possunt. ex ceteris scripturis Grynaei has adfero: 
p. 234, 6 ini pro nsQi, 19 &yay6v Tiva pro xiva il&ov, p. 236, 10 
yv(iv6v pro vvvl Si , 11 xi^v — 12 noiovvxwv om.; p. 238, 25 
ndvv oiQiefiivov pro yvcoQt,(iov, 28 XQtaowv pro r^g oSov, p. 254, 28 
nQwtov pro KOLvwg, p. 256, 24 6 Udnnog om. 

Propositiones solas inter 'Euclidis omnes omnium librorum 
propositiones' Graece et Latine edidit Cunr. Dasypodius Argen- 
tinae 1571. eosdem errores habet quos Marciani 301 et 302, 
uelut p. 4, 7 xov ildacovog pro xov So&ivxog; p. 136, 9 ywviwv 
ag vnotSLVovciv pro ywvLwv; p. 136, 10 noLwCLV pro noLovcaL. 
cum p. 2, 19 Si, quod in Marc 301 omissum est, retineat. 



PROLEGOMENA. LEK 

Tisus esse uidetur Marc. 302. nec mirum est, quod his locis 
congruit cum Vat. m. 2 : p. 34, 2 iaviv} egtui Vat. m. 2, Dasyp. ; 
p. 184, 19 post 7ifQL(p£Q£L(x add. tov %vv.Xov Vat. m. 2, Dasyp. 

A. 1625 editio princeps Parisiis prodiit, quae debetur curae 
Clementis Hardii ^). is de fundamento editionis p. 20 dicit, 
'ex tribus Bibliothecae Regiae manu scriptis Codicibus' Dato- 
rum librum se edidisse, in quibus Zamberti scholia non lege- 
rentur. quibus de codicibus adseuerare non audeo, praesertim 
cum Hardy nullis adminiculis multa addidisse, omisisse, deni- 
que mutasse putandus sit; u. praef. eius p. 7. eos suspicor 
esse codd. Parisinos 2366, 1981, 2347, in quibus scholia illa 
desunt; de cod. 2366, in quo ante prop. 25 legitur rfifi^ia ^'^^ ks'' 
(cfr. Hardy p. 53), uix potest dubitari. sed hoc quidem constat, 
praecipuum editionis fundamentum esse codicem aliquem ex Vat. 
deriuatum; u. p. 2, 10 ^tisxsi] ^isi Vat., Hardy; p. 12, 24 xat] 
om. Vat., Hardy; p. 22,16 v.aC^ v.al yccQ Vat., Hardy; p. 86, 24 
Svo] om. Vat., Hardy; ib. XQiycova dfaypaqo?/] icvayQ. zq. Vat., 
Hardy; p. 88, 9 v.ai (alt.)] om. Vat., Hardy; p. 92, 12 a] cag 
Vat. , Hardy; item lin. 16; p. 118, 6 xat'] om. Vat., Hardy; 
p. 126, 11 TiQbs allr]la'\ om. Vat., Hardy; p. 126, 21 naQaXXr\X6- 
ypafi.fioj'] nQos Vat. , om. Hardy; p. 166, 5 xa^ (pr.)] om. Vat., 
Hardy; p. 168, 10 v.aC — 11 Eexiv'] om. Vat., Hardy; p. 180, 19 
GvvaiKpoxsQov] -cov Vat. , Hardy. habet autem omnes inter- 
polationes m. 2 illius codicis. interpretationem nouam, ut ait 
in praef. p. 6, cudere maluit quam recensere uersionem Zam- 
berti, in quo geometriae cognitio paulo maior desideraretur. 
etiam in Marino cum Vat. m. 2 concordat praeter p. 244, 22, 
ubi Ttavx\ Si ys tdCag QadCov et p. 248, 3, ubi 'AQxi-iir^drig , xov 
EsQTjvov ^) E^scoQsi QXL xsxaKxaL habct. eadem scholia 'immutatis 
correctisque iis, quae mutanda corrigendaque ' (p. 20) existi- 
mauit, Latine praebet, quae apud Zambertum leguntur, praeter 
nr. 67, 109 et append. nr. 24, 25. atque iidem fere deprehen- 
duntur errores, uelut p. 262, 5; 268, 12. iis locis, qui obscu- 
riores ei uisi sunt, sua 'scholia' adposuit. ex his efficitur, 
quam sit non multum auctoritatis editioni principi tribuendum. 

Hardii interpretationem in propositionibus secutus est Is. 
Barrow, qui Data 'succincte demonstrata' Latine edidit Osna- 
brugi 1675(editionem, quae a. 1659 Londini prodiit, non uidi). 



1) Editionem a. 1695 non uidi 

2) Hoc ipse correxit ex ZsQeCi 



isCvov p. 182. 



LX PROLEGOMENA. 

Gregorius, qui Data cum ceteris Euclidis scriptis a. 1703 
Oxoniae edidit, in praefatione gloriatur, se 'Graecum textum 
infinitis in locis ex diuersis codicibus manu scriptis' suppleuisse. 
in liis codicibus Sauilianum Gr. 1 fuisse, colligi licet ex ad- 
notatione p. 489, ubi dicit, demonstrationem alteram prop. 45 
in codice Sauiliano non reperiri. et restituit Gregorius primus 
genuinam scripturam p. 2, 8; u. etiam p. 152, 5. ac ne p. 142, 1 
quidem eum puto ullo codice usum esse, etsi, ut nunc uideo, 
iam Vat. m. 2 correxerat. praeterea non pauca emendauit, 
quae Hardy uidetur suo consilio peccasse; cfr. p. 48, 12 t6 a] 
om. Hardy, hab. post HeTco Greg.; p. 142, 1 Xoyog — 4 do-S^fig] ita 
omissis lin. 2 TtaQdlXi^XoYQd^fiov et 7tciQaXXr]X6yQa^(iov Greg., 
tov FM aQu xovxiaxi xov AB TtQbg xb EH Xoyog iaxl do&sig 
Hardy; p. 190, 7 x6 — X6ycp] om. Hardy, hab. Greg. attamen non 
solum temerarias istas interpolationes Vat. m. 2. Hardium secu- 
tus editioni suae inseruit, sed etiam errores buius et mutationes 
multis locis inconsiderate recepit; cfr. p. 114, 11 7caQaXX7]X6yQafi- 
fiov] £v&vyQafi[iov Hardy, Greg. ; p. 124, 6 &n6 (pr.)] V7c6 Hardy, 
Greg.; con-. Hardy p. 182, id quod Greg. non uidit. p. 130, 8 
■nat iaxLV iaoywvLovl stcsiS-^tcsq laoyoavi6v iaxi Hardy, Greg.; 
p. 158, 10 So&naa] d-iau Hardy, Greg.; p. 192, 15 17 rBz/(alt.)] 
■f] TCBQLtpiQtia FB Hardy, Greg.; p. 194, 16 avxdg] avxovg Hardy, 
Greg. ; p. 212, 6 VTt6] ait6 Hardy, Greg.; p. 212, 18 iici] 7tQ6g 
Hardy, Greg.; p. 226, 6 post Ez/ add. xfj &iasL %aL xm (isyi&ei 
Hardy, Greg. ; cum eo omisit p. 22, 3 shsl — 4 X6yca, p. 106, 17 
TtsQL — 18 QEM, p. 112, 4 v.aL — 5 Tz:/ (pr.), p. 112, 14 i] V7t6, 
p. 150, 19 maxs — 20 So&sig alia. quare contendi sane potest, 
editionis Gregorianae fundamentum, si summam spectes, esse 
Hardianam. nec minus Hardio nititur in interpretatione, quam 
se dicit ex Bemardo ^) emendasse. etiam in Marino Hardium 
plerumque sequitur, quamquam codex melioris notae ei ad 
manus fuisse uidetur; aduotat enim in imo mg. ad p. 453, 27 
(huius ed. p. 234, 17) ovxco yaQ xag svd^SLag yQafificig: al. 
Tois ScKXLvag xat; ad p. 455, 18 (240, 23) 07tsQ ■nal kvqlov. al. 
yivQLcog; ad p. 455, 25 (242, 2) Kaxd XLva yLyvcnaH^fisvov: al. 
Kaxcz xLva yLvcoaii6fisvov aQL&fiov; ad p. 456, 8 (244, 12) 
s^Lad^sL aXXr]Xa: al. aXXi^XoLg. eidem codici eum, etsi nihil 
adnotat, debere puto p. 456, 18 (244, 22) 7iavxi ys SllSslv qcISlov 
{7tavxl Si ys ISicog qcxSlov Hardy), fortasse etiam p. 454, 31 



1) U. uol. V p. CXI. 



PROLEGOMENA. LXI 

(238, 11) TtSQicpiQSia {ycovCa Hardy). ipsius coniecturae tribuen- 
dum p. 454, 11 (236, 20) %axadTiXwix,s%'a {KazadrjGmfiE&a Hardy). 
p. 455, 28 (242, 5) xovtav pro ovzco scribi mauult, p. 457, 2 
(248, 3) 'jiQxifivSovg 6 UeQfjvog pro '^pjjtfiij^jjS tov ZsQrjvov 
iubet; uerba p. 455, 36 (242, 13) xal XQiycovov laoTtlevQov 
cv6XT]aa6&at delenda censet. ex editione principe (u. p. LVHI) 
noimullas scripturas in imo mg. adfert, p. 456, 25 (246, 1) coote 
itav yvcoQHiov ovv. iexi Kal noQifiov recepit. 

Sed ea laus Gregorio detrahenda non est, quod ex editione 
eius Datorum studia in Britannia laetius efflorescere coeperunt. 
ex interpretationibus Anglicis, de quibus u. Riccardi, Saggio 
di una bibliografia Euclidea, Bologna 1887, commemoro Sim- 

son, The Elements of Euclid the errors, by which Theon, 

or others, have long ago vitiated these books, are corrected. 
Also the book of Euclid'3 Data, in like maimer corrected. 
Edinburgh 1823^). Simson Datorum librum cum statueret per 
tot saecula multis editorum mendis inquinatum esse hoc effici 
uoluit, ut ab ea subtilitate, qua ab Euclide sine dubio esset 
compositus, propius abesset geometriaeque studiosis redderetur 
utilior. quare ordinem propositionum mutauit, complures ad- 
didit, alias omisit, ter binas in singulas coniunxit, unam in 
duas diuisit, iu demonstrationibus uiam ac rationem Euclidis 
saepe reliquit. in adnotationibus causas illarum mutationum 
adfert atque eiTores quosdam Hardii et Gregorii diserte demon- 
strat. Simsoni interpretationem Germanice expressit I. C. Schwab 
(Stutgardiae 1780). 

De Peyrardi editione Elementorum et Datorum, quae 
a. 1814—1818 Parisiis tribus uoluminibus Graece Latine Franco- 
gallice prodiit, u. p. V et uol. V p. CXIII. Datorum, quae in 
tertio uolumine editionis insunt, Peyrardus habebat codices 
quattuordecim , praeter Vat. 190 et Vat. 1038 duodecim Pari- 
sinos, quos in praef. uol. I p. XXVIII sq. enumerat. in Datis 
quoque codice Vat. 190 ita usus est, ut inde multis locis genui- 
nam scripturam restitueret. nec tamen ausus est ex editionis 
Oxoniensis uinculis liber, ut aiunt, euolare. quo factum est, ut 
magna pars et intei-polationum illarum Vat. m. 2 et errorum 
Gregorii uel potius Hardii in Peyrardi editionem inrepserit. 

1) Hac editione equidem usus sum; primum Data Simson 
Elementis addidisse uidetur in editione a. 1756; u. Riccardi 
p. 71. 



LXII PROLEGOMENA. 

quod omitto exemplis confirmare, cum ipse in appendice con- 
spectum scripturarum editionis suae, cod. Vat. 190, ed. Oxo- 
niensis dederit. de intei-pretatione Latina in praef. uol. I p. XIV 
'mea latina uersio', inquit, 'ad uerbum textui graeco congruit, 
nisi quid peculiare me coegerit, ut secus facerem'. 

Definitiones et 24 primas propositiones Peyrardum secutus 
edidit Buchbinder, Euclids Porismen u. Data, Naumb. 1866. 
in adnotationibus eas scripturas cod. Monac. 361 et ed. Oxon. 
adfert, quae a Peyrardo discrepant. 

Germanice Data praeter Schwabium (u. supra) interpretatus 
est I. P. Wurm (Berol. 1825); ad rem criticam promouendam 
nihil contulit. 



AEAOMENA. 



Suclides, edd. Heiberg et Menge. YX 



''Oqoi. 

a\ ^£do(isvcc rc3 ^syid-ei Xsysrai, %(OQCa ts xal 
yQafi^al xal yavLai,^ olg dvvd^s&a i'6a 7C0Qi6a6%^aL. 
/3'. Aoyos dsdoa&ai kiysxai,, a dvvd^s&a tbv 
5 avtov 7tOQL6a6d-ai,. 

y'. Ev&vyQafifia 6%rinata ta stdsi ds866%-av • 
^iystai, Gjv di ts ycovCai dsdo^ivai si6l xatd ^Cav xal 
ot XoyoL t&v TcXsvQcbv TtQOs dXXijXag dsdofiivoi. 

d'. Tfj d^issL ds666d-at kiyovtai 0rjfistd ts xal '■ 

10 yQafifial xal yavCaL, d tbv avtbv dsl t67tov inixsi. ] 

s'. Kvxlog ta fisyid^SL 3sd66d-aL liystaL, o^ ; 

didotaL 7] sx tov xivtQov rw (isyidsL. • 

<s'. Tri %^i6SL 8s xal ta ^syi^sL xvxlog Ssd6- i 

6d-ai XiystaL^ ov diSotat tb fisv xivtQOv tf] d-s'6£L^ i 

15 rj de ix tov xivtQOv ta (isyi^SL. 

t,'. T^riiiatu xvxXcov tc3 fisyiQ-SL 6sd66%aL ki- ; 

ystai^ sv oig at ycjvCaL dsdo^ivaL si6l xal at ^d6sig^ { 

tS)v tiir]fidtc3v t& iisyi^Ei. \ 

7]'. Tfi %i6£L 81 xal t<p ^syi^SL t^^^fiata ds- l 

20 866%aL'}.iystaL,, iv olg dC ts ycavCaL d^dofiivaL £i6l r» :i 

ETKAEIJOT JE^OMENA P et atr. rubro Vat.; finXti- | 
Sov SBdoiiiva v et acc. om. ^; siKlsidov SsSofisva r^g &sc>}voe^ '. 
itiSoascog b. 1. oqoC] atr. rubro m. rec. Vat. , om. Pv/}. 

numeros om. codd. 4. Xdyog Ss /S. 7. slaiv Pv, comp. 

Vat. 8. diijjiasj Gregorius, -ovg codd. SsSoiisvot siai |?. 

■ :: 



Definitiones. 

1. Data magnitudine dicuntur et spatia et lineae 
et anguli, quibus aequalia eomparare possumus. 

2. Ratio data esse dicitur, cui eandem com- 
parare possumus. 

3. Rectilineae figurae specie datae esse dicuntur, 
quarum et singuli anguli dati sunt et laterum inter 
se rationes datae. 

4. Positione data esse dicuntur et puncta et 
lineae et anguli, quae eundem semper locum obtinent. 

5. Circulus magnitudine datus esse dicitur, 
cuius radius datus est magnitudine. 

6. Positione autem et magnitudine circulus 
datus esse dicitur, cuius centrum datum est positione, 
radius autem magnitudine. 

7. Segmenta circulorum magnitudine data esse 
dicuntur, in quibus anguli dati sunt et bases segmen- 
torum magnitudine. 

8. Positione autem et magnitudine segmenta 
data esse dicuntur^ in quibus et anguli dati sunt 



9. Xs'/£xai §. rs] om. §. 10. iTtBxsi] ^x^i Vat. 13. KaC] 
supra comp. m. 2 v. 14. rd] supra m. 1 v. 17. iv\ 

om. §. al~\ malim cum Theone (^a): at ts. siaiv PVat. 

19. TfirjfiaTo; KVTiXav ^. "20. ra] om. PVat.v. 

1* 



4 AEAOMENA. 

^sysdsL xal aC ^doeis t&v r^rj^dtcov tf] &£6si xal ta 
fisys&ai,. 

O''. Msysd-og pLsys&ovs SoQ^svrc ^st^ov s0tiv, 
oTav, dcpaiQsd^Evtog tov dod^svtog, tb koLnov ta avTco 
5 l'6ov fi. 

l'. Msysd^og ^sys&ovg do&svtL sXa666v iatLV^ 
otav, TfQoGtsd-svtog tov dod^ivtog, tb oXov tip avta 
l6ov fj. 

La'. Msys&og ^sysd^ovg dod-svtL fist^ov s6tLV rj 
It) iv Adyo), orav, dcpaLQS&svtog tov dod^svtog, tb Ioltiov 
TtQbg rb avtb Xoyov s%ri dsdo^svov. 

L^'. Msysd^og fisys&ovg dod^svrL sXa666v s6rLv 
ri sv X6yc), orav, 7CQ06rsd^svrog rov dod^svrog, rb oAov 
TCQOg rb avtb X6yov s%ri dsdo^svov. 
15 [ty'. Katrjyiisvfj s6tlv rj dnb dsdofisvov 6i]^slov 
STtl %'S6SL sv&stav dyo^svrj sv&sta iv 8sSo(isvr] y(ovCcc.\ 

l8'. 'Avrjyfisvrj i6tlv rj dnb dsSofisvov 6r}fisiov\ 
TtQbg d-s6sL svd-SLa dyo^svr] sv&sta iv dsdo^svr] ycovLtfA 

Ls'. IlaQd d-s6sL i6tlv r] dLa dsdo^svov 6r]fisiov\ 
20 ^s6SL svd^sCa naQaXXr^kog dyofiivr]^ 

a'. 

Tcbv dsdofiivav fisys&aiv 6 l6yog 6 XQbg akXr]lt 
didotaL. 

s6t(o dsSofiiva fisyid-r] td A, B' liya, otL tov 
25 TtQbg tb B X6yog i6tl Sod^sCg. 



2. fisyi&ti] seq. in ^: Tftrjfiara mvkXcov ra siSsi Ss86a9oi 
XsysTai, iv olg ccl yaviui SeSo(isvcci slai. 6. ^Xccttov Vat.i 

11. ^xv] ^orr. ex l;^ft m. 2 t. 12. ilccTTov Vat. v. 1| 

Tov] om. ^ (non a). 16. sv&sTocv &yo(i£VTf\ svQ^sia r) kc 

ayo(isvri j3. 18. TtQog &sasi] itQoa&siarj § (non a). sv&sl 



DATA. 5 

magnitudine et bases segmentorum positione et magni- 
tudine. 

9. Magnitudo magnitudine maior est data, ubi, 
ablata data, quae relinquitur, eidem aequalis est. 

10. Magnitudo magnitudine minor est data, ubi, 
addita data, totum eidem aequale est. 

11. Magnitudo magnitudine maior estdataquam 
in ratione, ubi, ablata data, quae relinquitur ad 
eandem datam habet rationem.^) 

12. Magnitudo magnitudine minor est data quam 
in ratione, ubi, addita data, totum ad eandem da- 
tam habet rationem. 

[13. Deducta est recta, quae a dato puncto ad 
rectam positione datam ducitur in dato angulo. 

14. Erecta est recta, quae a dato puncto in recta 
positione data ducitur in dato angulo. 

15. Ad positione datam est recta, quae per 
datum punctum rectae positione datae parallela du- 
citur.]^) 

I. 

Datarum magnitudinum ratio inter se data est. 
datae sint magnitudines A, B. dico, rationem 
ipsius A ad B esse datam. 



1) u. Hultsch in Pappi edit. uol. I praef. p. XXIV, 

2) Deif. 13 — 15 ab Euclide non usurpantur et a scholiasta 
Apollonio tribuuntur. cfr. schol. nr. 13. 



fv&tiav Vat.v. avayontvri /3, item lin. 20. 21. t6 a' 

cxfj^ia in textu, a' in mg. /?. 22. o (alt.)] om. /S. 24. to: 
8BSo(iha a. niyiQ-si a. 25. icTiv P. 



6 AEAOMENA. 

ijtsl yccQ dsdotccL t6 A, dvi/ardv iGtLv avta l'6ov 
7toQL6a6d-aL. 7tS7ioQL6d^(o xal s6tco t6 r. Ttdhv, iitsl 
dedo^svov i6tl t6 5, dvvatov ietLV avta i'6ov tcoql- 
0a6d-aL. 7tsnoQL6%^(o y,al ietGJ t6 ^. insl ovv i'6ov 
5 i6tL t6 fisv A Tc3 r", t6 df J5 Tt3 ^, s6tLv aQa q? 
t6 A TtQog t6 r, ovtcog t6 B TtQog tb A' ivaXhai, ag 
t6 A TtQog t6 5, ovtag t6 r" 3r()6j t6 z/. tov ^ «pa 
TtQog tb B loyog i6tl doQ^SLg' 6 avtbg yccQ avta ns- 
otoQL^tai 6 tov r TtQbg t6 ^. 

10 /3'. 

'Eav dsdo^svov fisysd-og TtQbg alXo tt ^sys&og k6- 
yov sxri dsdo^isvov, dsdotaL xaxstvo tc5 ^sysdsL. 

dsdo^svov yccQ (isysd-og tb A TtQbg aXXo Tt (isysd-og 
tb B koyov i%stco dsdofisvov Xsya), otL dsdotaL xal 

15 t6 B ta ybsys%-SL. 

insl yocQ dsdotaL t6 A, dvvatov i6tLV avta i'6ov 
TtoQL^a^d^aL. nsnoQL6d-(o ocal s6ta) t6 F. xal insl 
dsdotaL 6 tov A n^bg t6 B ^.oyog' ovtcjg yccQ vno- 
TiSLtaL' dvvatov i6tLV avta tbv avtbv noQL6a6d-aL. 

20 nsnoQL6&o3 xal s6t(o 6 tov F n^bg t6 z/ Xoyog. xal 
insL i6tiv cog tb A n^bg t6 5, ovtcog t6 JT nQog tb ^, 
ivaXXai, ocQa i6tlv cog t6 A n^bg t6 1"", ovt(ag t6 B 
nQog t6 A. i'6ov ds tb A ta F' i'6ov ccQa xal t6 B 
Tc5 A' dsdotaL ccQa t6 B (liys&og' i'6ov yccQ ai)t(p 

25 nsnoQL^taL t6 A. 



1. laov avtca a. 3. iGtiv] om. a. 5. toj (pr.)] ro a. 

7. xov\ to a. 8. TtQbg tb B ccqcc a. 10. tb ^' in textu, 

/J' in marg. §, et sic deincei^s. 14. xai] om. P, add. m. 2 v. 

15. t6] tc5 a. Tco — 16. ^] supra m. 3 t. 16. avTco 

^ffrtv a. 18. otJTO) P. ovrwg yap vrrdxfiTa^] om. a. 20. to] 
Tov a. 21. ag] add. m. 2 Vat. (item lin. 22), in ras. m. 2 v. 



DATA. 7 

nam quoniam data est magnitudo A, fieri potest, 

ut magnitudo ei aequalis comparetur [def. 1]. com- 

paretur et sit T. rursus quon- 

iam data est magnitudo 5, fieri 

potest, ut magnitudo ei aequalis 

comparetur [ibid.]. comparetur 

et sit A. iam quoniam A = T 

et B = zl, erit A : T = B : zl. permutando [Y, 16] 

A : B = T : /J. itaque ratio A : B data est [def. 2]. 

aequalis enim ei comparata est ratio T : /1. 

n. 

Si data magnitudo ad aliam magnitudinem ratio- 
nem habet datam, data est etiam illa magnitudine. 

data enim magnitudo A ad aliam magnitudinem B 
rationem habeat datam. dico, datam esse etiam B 
magnitudine. 

nam quoniam data est magnitudo A, fieri potest, 

ut magnitudo ei aequalis comparetur [def 1]. com- 

paretur et sit T. et quoniam 

data est ratio A : B (ita enim 

supposuimus), neri potest, ut ratio 

ei aequalis comparetur [def. 2]. 

comparetur et sit ratio J' : ^. 

et quoniam est A:B = T:A, permutando [V, 16] 

erit A : T = B : z/. uerum A = T. quare etiam 

B = A [V, 14]. ergo data est magnitudo B [def. 1]. 

aequalis enim ei comparata est z/. 



22. aQoc iaxiv'] om. a. 23. ro (pr.)] rd" Vat. xai] 

om. Vat. 



8 AEAOMENA. 

y'- 

'Eccv dsSo^Eva (i£ye&ri otcoGccovv 6vvt£d-fj^ xcd tb 
i| avt&v GvyxeLfisvov dsdofiivov ictcci. 

0vyxH6d^a) yaQ bnoGaovv dsdo^eva ^isyEd-r] ta AB^ 
5 BF' Xiya^ oti xal ro ix t&v AB^ BF 6vyx€L(ievov 
tb AF dedofiivov ietLV. ' 

insl yccQ diSotaL tb AB, Svvatbv ictiv aitKt l6ov 
xoQL0a6d-aL. 7t£3COQL0d-(o xal iffTO ro ^E. jcdhv, inel 
diSotaL ro jBJT, dvvatbv istLV avta i'6ov noQL6a6%aL. 
10 n£7COQL6d-c3 xal i6t(o ro EZ, ijC£l ovv i'6ov i6tl tb 
fuv AB ta JE, tb 81 BF rc3 jBZ, oAov aQa tb AF 
okci ta AX i6tLV i'6ov' didotaL ccQa tb AF' i'6ov yccQ 
avta n£7c6QL6taL ro ^Z. 

6'. 

15 ^Eav anb S£do(iivov (i£yi&ovg d£dofiivov (iiy£9^os 

a(paLQ£&rj, ro AoLnbv Sedo^iivov i6taL. 

anb yccQ deSofiivov fiEyid^ovg tov AB d£do[iivov 

liiy£&og acpTjQ^6d^o} ro AF' kiyco^ otL ro koLnbv ro FB 

6£do(iivov i6tLv. 
20 in£l yccQ SidotaL ro AB, dvvatdv i6tiv avta i6ov 

noQL6a6%^aL. n£noQL6&o xal i6tG} ro ^Z. ndhv, inel 

didotaL tb AF, dvvatdv i6tLV avta i'6ov noQi6a6&aL. 

nenoQL6%c) xal iffrco ro ^E. inel ovv i'6ov i6tL ro 

fiev AB ta z/Z, ro d^ A F ta AE, koLnbv aQa tb 



3. ietuC] add. m. 2 Vat. 4. SsSofitva onoeaovv a. to] 

t6 a. 5. v.ai — BT] om. a. xCbv] rov Vat. 10. iartv P. 

12. l'aov iativ a. 13. t6] tta a. 17. tov] t&v a. 20. 

SiSotai] toti a. 24. JZ] corr. ex >4Z m. 2 Vat. .d£] 

AE a. 



DATA. y 

III. 

Si quotlibet magnitudines datae componuntur, 
etiam magnitudo ex iis composita data erit. 

componantur enim quotlibet magnitudines datae 
jiB, BF. dico, etiam magnitudinem u4r ex AB, BP 
compositam datam esse. 

nam quoniam data est magnitudo AB, fieri potest^ 

ut magnitudo ei aequalis comparetur [def. 1]. comparetur 

et sit^jB. rursus quoniam data^ 
A B r . 

I 1 1 est magnitudo BF, fieri pot- 



^ E z est, ut magnitudo ei aequalis 

' comparetur [def. 1]. compare- 

tur et sit EZ. iam quoniam AB = ^E et BF= EZj. 
totum AF toti AZ aequale erit [x. «W. 2]. itaque data. 
est magnitudo AF [def. 1]. aequalis enim ei com- 
parata est magnitudo ^Z. 

IV. 

Si a data magnitudine data magnitudo aufertur, 
reliqua data erit. 

nam a data magnitudine AB data magnitudo AT 

auferatur. dico, reliquam FB datam esse. 

nam quoniam data est ma- 
A T B . 

I 1 ! gnitudo AB, fieri potest, ut 

j E Z magnitudo ei aequalis com- 

paretur [def. 1]. comparetur 

et sit A Z. rursus quoniam data est magnitudo 

AF, fieri potest, ut magnitudo ei aequalis com- 

paretur [def. 1]. comparetur et sit ^E. iam quoniam 

AB = AZ et AF = ^E, reUqua magnitudo FB 

reliquae EZ aequalis erit \x. svv. 3]. itaque data est 



10 AEAOMENA. 

BF koLTia t(p EZ Igtiv i'6ov dadorai uQa xo BF' 

i'60V yCCQ aVTCO TtSJtOQlOtaL t6 EZ. 



'Eav ^aysd^og TtQOs iavtov ti ^EQog koyov sx7j dsdo- 
5 ^EVov, xal TCQog tb koiTtbv koyov s%si, dsdo^svov. 

fisys&og yccQ tb AB nQog savtov tt ^SQog tb AF 
Xoyov ixstco dsdo^svov Xsyoa.^ oti xal TtQbg tb XoiTtbv 
tb BF Xoyov s%si dsdoiisvov. 

xsi6d-co yaQ dsdofisvov ^sysd^og tb AZ. xal STtsl 
10 Xoyog s0ti do&slg 6 tov BA TtQbg tb AF^ 6 avtbg 
avta nsTtoQiG&G) b tov ZA TtQog ^E. koyog ccQa 
s0tlv 6 tov ZA TtQbg /iE dod^sCg. dod^sv 8s tb Zz/. 
dod^sv aQa aal tb /JE' xal XoiTtbv aQU tb EZ do&sv 
sOtiv. s0ti ds %al tb zlZ dod^sv Xoyog aQa tov z/Z 
15 TtQbg tb ZE dod^sig. xal snsC s6tiv ag tb z/Z TCQbg 
^E, ovtog xal tb AB TtQbg AF, avaCtQStpavti aQU 
s6tlv ojg tb /JZ TtQbg tb ZE, ovtcog tb AB TiQbg 
tb BF. Xoyog 6s roi) z/Z TtQbg ZE do&sCg.) ag ds- 
dsixtai' Xoyog ccQa xal tov AB TtQbg tb BF dod^sCg. 

20 ?'. 

'Edcv dvo fisysd-7] 6vvtsd-fj TtQbg aXltjla koyov sxovta 
dsdo^svov, xal tb oXov TtQbg sxdtSQOv avtav Xoyov 
£%£i dsdo^svov. 

^vyxsCc&co yccQ dvo ^sysd^rj ta AF, FB, stQog ak- 



1. Igov Pv. 2. wbxm] corr. ex avro m. 2 v. 7. nqog 

— 8. 8sSoyi,ivov] 6 tov A B itQbg B F loyog iarl SoQ^sig a. 9. 
iTtei — 11. z/£] rsr^iTJe&o} o^oicog rji AB yiarcx. rb E a. 10. 
iariv Pv. 11. Post TtsnoQicQ-m in Vat. spat. vac. 9 litt. apa 
iariv'] om. a. 12. ro JE a. 14. iari a. z/Z(pr.)] 



DATA. 1 1 

magnitudo FB [def. 1]. aeqiialis enim ei comparata 
est magnitudo EZ. 

V. 

Si magnitudo ad aliqtiam sui ipsius partem ratio- 
nem liabet datam, etiam ad reliquam partem rationem 
habebit datam. 

magnitudo enim AB ad aliquam sui ipsius partem 
AF rationem babeat datam. dico^ eam etiam ad reli- 
quam partem BF rationem liabere datam. 

nam ponatur data magnitudo z/Z. et quoniam 
ratio BA : AF data est, eadem atque illa fiat ratio 

ZA \ AE. itaque ratio 

f -S- f ZA.AE data est [def. 2]. 

^ £ Z uerum magnitudo Z/i 

' data est. quare etiam 

magnitudo AE data est [prop. II]. itaque reliqua EZ 
data est [prop. lY]. uerum etiam magnitudo z/Z data 
est. quare ratio z/Z: Z£ data est [prop. I]. et quoniam 
AZ : JE = AB : AT, conuertendo erit [V^ 19 coroU.] 
AZ\ZE== AB\ BT. sed ratio AZ \ ZE data est, 
ut demonstratum est. itaque etiam ratio AB \ BT 
data est [def. 2]. 

VI. 

Si duae magnitudines inter se rationem habentes 
datam componuntur, etiam totum ad utramque earum 
rationem habebit datam. 

componantur enim duae magnitudines AT, TB 
iuter se "rationem habentes datam. dico, etiam totum 

Zz/ a. b Xoyoi a. 15. i%u — 16. a.qa\ om. a. 18. X6- 
yoq — 19. 8o%Hq\ So&slg aQa v.ai 6 rov AB TtQog re BF a. 



12 AEAOMENA. 

krilu Xoyov lyovxa dsdofisvov Xeyco, otL xal okov xb 
AB JtQog ixdxegov t&v AF^ FB X6yov e%u 6edofievov. 
ixxeied^co yuQ dedo^evov fiiyed^og xb AE. xul inel 
k6yog iaxl xov AF JCQbs FB dod^etg^ 6 ccvxbg avxa 
6 7cenoii^6d^(o 6 xov AE Ttgbg EZ. 6 ccgcc xov AE 
ycQog EZ X6yog iexl dod-eCg' do^ev 6h xb AE' do&ev 
KQii xccl xb EZ' xccl okov aQu xb AZ do&iv isxiv. 
e6XL 8h exdxeQOv xav AE^ EZ do&iv k6yog ccQa xov 
AZ TCQbg ixdxeQOv xCbv AE.^ EZ do&eig. xal iTceC 

10 iexLv cag xb AF XQbg FB, ovxcog xb AE TCQbg EZ^ 
6vvd-ivxL Gjg xb AB nQog xb BF, ovxcog xb AZ TCQbg 
ZE' xal ccva6XQiipavxL cog xb AB TCQog xb AF^ ovxcog 
xb AZ TCQbg AE. xal inel cag xb AZ iCQbg exdxeQOv 
x&v AE., EZ., ovxcsg xb AB vcQbg ixdxeQov xav 

15 AF^ rB^ l6yog ccQa xal xov AB nQbg ixdxeQov x&v 
AT, rB doftetg. 

r. 

'Edv dedo^ivov iiiye&og eig dedo^ivov k6yov diai- 
Qe&fj.i ixdxeQov xav x(ii^^dx(ov dedofiivov iGxiv. 
20 Sedofiivov yccQ (liye^og xb AB eig dedo^ivov X6yov 
dLrjQriG&co xbv xov AF TCQbg FB' kiya}^ oxl exdxeQov 
tcbv AFj^rB do&iv iexLV. 

inel yccQ k6yog iaxl xov AF TCQbg FB do&eicj 
X6yog ccQa xal xov AB JCQbg ixdxeQOv x&v AF., FB 



4. Xoyog] loiTtos (sic) a. t6 FB va. aiToTg a. 5. 
rb EZ &. 6 &Qa — 6. icti] Xoyog &Qcc xai rov AlEi •nqhg ro 
EZ a. 6. ierlv Pv. 8. lcriv Pt. h\ kuL a. ioyog 

— 16. So&tig] aga Xoyov ^x^i SBdonivov tog di Ttgbg EZ, ovroag 
rb AB TtQog iKccrfgov rwv AF, FB' nal rb AB ngbg fTidrf qov 
T&v AF, FB Xoyog ierl So&sig a. 8. Xoyog — 9. So9fig] 

supra add. m. 3 v. 10. wg] add. m. 2 Vat. 11. ovrco Vat. 
item lin. 12. 13. t6 JE Vat. 19. iariv] ^arat §. 21. 
t6 rB a. 23. FB] rb BF &. 24. xai] om. Vat. 



DATA. 13 

AB ad utramque magiiitudiiiem AF, FB rationem 
habere datam. 

ponatur enim data magnitudo zlE. et quoniam 
ratio AT-.rB data est, eadem atque illa fiat ratio 

/lE : EZ. itaque ratio 

f -i^ f ^E : EZ data est [def. 2]. 

z/ E Z uerum magnitudo /1 E 

' data est. quare etiam 

magnitudo EZ data est [prop. II]. itaque totum z/Z 
datum est [prop. III]. est autem utraque magnitudo 
^E, EZ data. quare ratio magnitudinis z/Z ad 
utramque magnitudinem AE, EZ data est [prop. I]. 
et quoniam AT : TB = AE : EZ, componendo [V, 18] 
erit AB:BT = AZ:ZE. et conuertendo [V, 19 
coroU.] AB : AT == AZ : AE. et quoniam magnitudo 
^Z ad utramque magnitudinem AE, EZ eam ratio- 
nem habet, quam AB ad utramque magnitudinem 
AT, TB, etiam ratio magnitudinis ^JS ad utramque 
masnitudinem AT, TB data est. 



VII. 

Si data magnitudo in datam rationem dirimitur, 
utraque pars data est. 

data enim magnitudo AB in datam rationem 
AT : TB dirimatur. dico, utramque magnitudinem 
' A T, TB datam esse. 

^ r B r^Mia. quoniam ratio AT : TB 

'~ '■ '" ' data est, etiam ratio magni- 

tudinis AB ad utramque magnitudinem AT, TB 
data est [prop. Yl]. uerum magnitudo AB data est. 



14 AEAOMENA. 

So&stg. dod^ev de t6 ^B' doQ-sv uqu xal sxaTSQov 
rav ^r, FB. 

v'- 

Tcc TCQog t6 avvb koyov iyovxa dsdofitvov xal ^XQbg 
5 akXrika koyov €%£i dsdo^svov. 

iXBTco yccQ ExdreQov t&v ^, F TtQbg t6 B koyov 
dsdo^avov kayG), otl xal t6 j4 TtQog t6 JT koyov si,sv 
dsdo^svov. 

S6TCO yaQ dsdo^svov fisysd^og t6 zI. xal msl koyog 

10 s6tI tov A TCQbg t6 B dodsig, b avTog avToi ns7toirJ6d-(o 

6 rov z/ TtQog t6 E. dod^sv ds t6 z/' do&sv aQa xal 

t6 E. Ttdkiv.) STtsi koyog s6tI tov B TtQog t6 F dodsig^ 

6 ambg avra 7ts7tOLr]6d^(o 6 Toi) E JtQbg t6 Z. do&sv 

ds t6 E' dod^sv uQa xal t6 Z. i'^Tt dfi xat t6 z/ 

15 dod^av koyog ccQa tov z/ ^nr^^g t6 Z s6Ti do&sig. xal 

sjtSL S6TLV hg ^isv t6 A TtQog t6 B, ovrag t6 z/ TtQbg 

t6 £, wg d^ t6 B TtQbg t6 n, ovTcog t6 £^ 31965 t6 Z, 

dLL6ov aQa s6xlv ag t6 ^ :7r()6g t6 jT, ovTcog t6 z/ 

3r()6g t6 Z. Adyog d^ rov z/ %Qbg t6 Z doO-fij* Adyog 

20 aQa xal Toi) ^ TtQbg t6 F doO-ft^. 

'Eav dvo rj nksCova [isysd^ri TtQbg dkkrjka koyov sxfi 

dsdofiBvov, sxy ds rd avrd ^sys&rj TtQbg dkka tlvci 

^ieysd^rj koyovg Ssdofisvovg, el xal ^ij Tovg avxovgy 

25 xaxsiva rd ^sye&r] TtQbg dkkrjka koyovg s%si dsdoiisvovg. 

dvo yaQ t) nksCova fieye&rj xd A^ 5, T itQbg dkkrikcc^ 



1. xai] om. a. 5. ^x^i |3. 9. ^ctu)] ■neia&co a. 12. 

icriv a. F] FJ a. 13. Post Z add. So&sig Pv, Xoyos ccqo^ 

Kul 6 Tov E Ttqog t6 Z So&iig a. 14. ^gtiv Pv. 15. ff 

Tov a. ioTiv Pv. 16. t6 A jigbg t6 Bj add. m. 2 Vat^^ 



DATA. 15 

ergo etiam utraque magnitudo ^-T, FB data est 
[prop. II]. 

VIII. 

Quae ad idem ratiouem liabent datam, etiam inter 
86 rationem habebunt datam. 

babeat enim utrumque ^^ jT ad 5 rationem datam. 
dico, etiam A &d F rationem babiturum esse datam. 

nam sit data magnitudo z/. et quoniam ratio ^ : B 
data est, eadem atque illa fiat ratio z/ : E. uerum 

A\ — ■ ( Ji 1 

B 1- i E i 1 

r, _i zi 1 



magnitudo z/ data est. data est igitur etiam E 
[prop. II]. rursus quoniam ratio B : F data est, eadem 
atque illa fiat ratio E : Z. uerum magnitudo E data 
est. data est igitur etiam Z [ibid.]. uerum etiam 
magnitudo z/ data est. itaque ratio z/ : Z data est 
[prop. I]. et quoniam esi A:B = ^ :E ei B: r=E: Z, 
ex aequo erit \Y,22] A : F = ^ : Z. sed ratio z/ : Z 
data est. ergo etiam ratio A : F data est [def. 2]. 

IX. 

Si duae uel plures magnitudines inter se rationem 
habent datam et eaedem magnitudines ad alias quas- 
dam magnitudines rationes babent datas, etiamsi 
eaedem non sunt, etiam illae magnitudines inter se 
rationes babebunt datas. 

duae enim uel plures magnitudines A, B, F inter 

18. A] B a. 23. aXXa] uXlrjXa a; item p. 16, 2. 24. sL 
iiai] om. §. aiTovg 8s p. 26. aXXriXa] aXlr] Vat. 



16 AEAOMENA. 

Xdyov BXBxco dedoiiivov, i%it<o 8% tcc avtcc (isyid-rj ta 
A^ B, r TiQog aXXa tiva ^syid^} Ta ^, E, Z Xoyovg 
deSofiivovg, ^ij tovg aiytovg di' XiycOj oti xal ta 
z/, E, Z, ^syi&r] TtQog alXriXa koyov s^si dsdo^ivov. 
5 insl yccQ Xoyog s6tl tov A TtQog tb B do&sig, tov 
de A TCQog tb A Xoyog i6tl do&sig, zal tov /i aQu 
JtQog tb B Xoyog istl dod^eCg. aXka tov B TCQog t6 E 
Xoyog i6tl dod-eig' xal tov A ccQa TtQbg t6 E Xoyog 
iotl do&eig. TtdXiv, iitel X6yog i6tl tov B TtQbg t6 F 
10 dod-etg, tov 8e B TtQbg tb E koyog i0tl dod-ecg, xal 
tov E ccQa TtQbg t6 J^ koyog i6tl do&etg. tov de F 
TtQbg tb Z koyog i6t\ do^eCg' xal tov E ccQa JtQog 
t6 Z X6yog i6tl dod^eCg' td A, E^ Z ccQa TtQbg dkXtika 
k6yov ixsi dsdo^ivov. 

15 i'. 

'Edv (liysd^og ^syi&ovg 8o%-ivtt ^st^ov f, rj iv Adycj, 
xal t6 6vva^q)6tSQOV tov avtov dod^svti ^ist^ov i6tat 
-^ iv k6yci' xal idv t6 6vvaficp6tsQov tov avtov So- 
?tivti ^st^ov ri ri iv X6ya, xal t6 Xoinbv tov avtov 
20 ^'toi dod-ivtt ^et^6v i6ttv i) iv k6yc}, t) t6 kombv 
fietd tov e^ilg, XQbg b t6 eteQOv Xoyov exei dsdoiiivov., 
do^iv i6ti,v. 

fiiys^og ydQ t6 AB fieyi&ovg tov BF do&ivtt 
}iet^ov e6tGi •») iv X6yc)' Xiya, Ztt xal t6 6vva^(p6teQov 



5. iartv Pt, et sic P per totam prop. iatlv 6 tov a. 

tov (alt.)] corr. ex to m. 1 a. 7, &lXd. — 9. do'9'fi'?] supra 
add. m. 3 v. 7. &}.X6: v.ai a. tov] 6 tov a, item lin. 8. 8. 
Xoyog iati (alt.)] iati Xoyog v. 9. iati (alt.)] iariv v. 11. 
&Qa] om. a. F] Z a. 12. iativ v; item p. 18, 6. 16. y] 
■om: §. 17. iatai — 19. ^sl^ov] bis § (non a). 19. r;] 

om. ^, ^atat a. 



DATA. 17 

se rationem habeant datam et eaedem magnitudines 
A, B, r ad alias quasdam magnitudines ^, E, Z ra- 
tiones habeant datas, sed non easdem. dico, etiam 
matynitudines J, E, Z inter se datam rationem* habi- 
turas esse. 

nam quoniam ratio A : B data est et ratio A : ^ 
data est, etiam ratio z/ : B data erit [prop. VIII]. 

uerum ratio 

^ • j . 

B : E data est. 

B E .. 

quare etiam 

T-l 2 

ratio ^ : E 
data est [ibid.]. rursus quoniam ratio B : F data est 
et ratio B : E data est, etiam ratio E : F data est [ibid.]. 
nerum ratio F : Z data est. quare etiam ratio E : Z 
data est [ibid.]. ergo magnitudines ^, E, Z inter se 
rationem habent datam. 

X. 

Si magnitudo, comparata cum alia magnitudine, 
•data maior est, quam in ratione, etiam utraque simul, 
<jum eadem comparata, data maior erit quam in ratione ; 
et si utraque simul, cum eadem magnitudine com- 
parata, data maior est, quam in ratione, etiam aut 
reliqua, cum eadem comparata, data maior est quam 
in ratione aut reHqua cum sequenti, ad quam altera 
rationem habet datam, data est. . 

magnitudo enim AB, comparata cum magnitudine 
Br, data maior sit quam in ratione. dico, etiam 



T/J om. Vat. xai] om. ^. 20. ioTLv] y v, htcci /?. 21. 
Enclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 2 



18 AEAOMENA. 

rh AF Tov avtov rov FB dod-evzL nst^ov ianv J) iv 
X6ycj. 

iTtel yc(Q To AB rov BF dod-ivtL ^at^dv iGxLv ]] 
iv Aoy«, atfr^^ri6%G) xh 8o%\v iiiyad^og ro A^- Ioltiov 
5 aQu Tov AB jiQog tb BF Xoyog i6tl dod^sig- xal avv- 
^ivtL Tov ^r TiQog tb BF 2.6yog iatl do&sig. zaC 
ietL do&sv t6 Azi- t6 FA aQa tov FB do&ivTL /i£t- 
^dv i6TLV r) iv X6yci. 

TcdlLv drj t6 AF tov FB Sod^ivtL (ist^ov eGtco y] 

10 iv kbycj' Acyra, otL t6 Xoltcov t6 AB tov avTov tov 

BF ^TOL do&ivTL (ist^ov s6TaL r] iv X6yc3y ri Tb AB 

(isTa tov f^^g, TiQbg o tb' BF k6yov i%£L do&ivtay 

Sod^iv i6tLv. 

ijtSL yaQ tb AF tov FB do&ivtL (ist^6v iatLv i 
15 iv k6yc3, acpriQri6&o t6 do&sv [liysd-og. t6 drj dod-si 
. r'iTOL ska666v i6TL tcD AB r) fist^ov. s6TCi jiQotSQOV 
sla66ov., xal s6tG} t6 Azi' XoLnov aQa tov AT jiqos^' 
FB X6yog i6tl dod^stg' 8LsX6vtL ccQa tov AB TiQbg BF* 
X6yog i6tl dod-sig. xaC i6tL dod-sv t6 A^' t6 AB- 
20 ocQa tov B r dod^ivtL (istt,6v i6tLv tj iv Adyoj. 

dkXa drj t6 dod^sv [ist^ov s6tc} tov AB^ xal xsCeQ^o 

avta i6ov t6 AE' X6yog aQa Xoljiov tov EF XQbg 

t6 FB iatL do&sCg' &6t€ xal dvaTcaXiv tov BF nQbg- 

t6 EF X6yog i6Tl dod^sCg' xal dva6TQijpavTL 6 tov Br" 

25 3iQbg BE .X6yog i6TL dodsCg. xaC i6TL t6 EB [isTci: 

5. &Qa] om. a. avvrsd-ivTt a. 6. FJ a. 7. iarij 

'iaroi a. tb Sod^sv x6 P Vat. v. rd (alt.)] coit. ex tc5 m. 2 v. 

FB] rj Vat. 11. '^arai] ianv a. AB] B add. m. 2. 

Vat. 12. (lEta tov l|^s] (is&' ov a. 13. iariv] add. m. 2 
Vat. 14. FB] BF a. 16. t'A,aTT6v (corr. ex taov m. 3) v. : 

18. t6 rB a. SieX6vri — 19. So'»iis] add m. 3 v. 18. 
Sitlovri — BF] nal rov JB apa: tiqos rb BF a. 19. iativ v* 
item lin. 23, 24, 25. 21. AB] JT v. 22. aira] om. a* 



DATA. 19 

ntramque simul ^F, comparatam cum eadem FB, 

data maiorem esse quam in ratione. 

! nam quoniam magnitudo AB, comparata cum 

magnitudine BF, data maior est quam iu ratione^ 

J B r aiif^Bi^atur data magnitudo AzJ. 

i I ' 1 1 reliquae igitur J B ad B F 

j ratio data est [def. 11]. et componendo ratio z/F: BF 
! data est [prop. VI]. et data est magnitudo A^. ergo 
I magnitudo FA, comparata cum magnitudine FB, data 
' maior est quam in ratione [def. 11]. 
^ iam rursus magnitudo AF, comparata cum magni- 
\ tudine FB, data maior sit quam in ratione. dico, aut 
I reliquam AB, comparatam cum eadem BF, data 
! maiorem esse quam in ratione, aut AB cum sequeuti, 
\ ad quam BF rationfem habet datam, data est. 

nam quoniam magnitudo AF, comparata cum magni- 
tudine FB, data maior est quam in ratione, auferatur data 
magnitudo. iam data magnitudo aut minor estquam^5 
aut maior. prius sit minor, et sit ^z/. reliquae igitur 
z/F ad FB ratio est data [def. 11]. itaque dirimendo 
ratio ziB : BF data est [prop. V]. et data est magni- 
tudo ^z/. ergo magnitudo AB, comparata cum magni- 
tudine BF, data maior est quam in ratione [def. 11]. 
iam uero data magnitudo mgiior sit quam AB, et 
ponatur ei aequalis magnitudo AE. ratio igitur reli- 

A B E r ^^^^ ^^ ^^ ^^ data est 

' — "' [def. 11]. itaque etiam e 

contrario ratio BF^Er data est. et conuertendo 
ratio Br:BE data est [prop. V]. et magnitudo EB 

ciQo] tov a. 23. coOTS — 24. do^S^fig] avccTtahv a. 24. 

Br] FB a. 25. r6 BE va. EB] E supra add. m. 1 v, BE a. 



20 AEAOMENA. 

To£) BA dod^iv oXov yccQ to AE dod^ev ieriv' t6 
BA ocQa ^srcc rov £|^g, TCQog b rb BF koyov sxel 
dod-ivra, dod-iv ianv. 



6 'Eav fiiys&os fisyid^ovg do&ivri ^et^ov fi ij iv X6y(p^ 
xo avrb xal iSvva^cporiQov dod-ivri fist^ov B6rai 7) iv 
Aoyc), xal iav rb avrb 6vva^(poriQov do&ivri ^st^ov 
fl 7] iv loycp, rb avrb zal rov koijcov do&ivn fisti,ov 
e6taL ij iv X6ya). 

10 fiiysQ-og yaQ rb AB rov BF do^svn fist^ov s6rc3 
ij iv X6y(p' Isya, on xal rov AF do^ivn fist^ov 
£6nv rj iv X6yGi. 

insl yaQ rb AB rov BF Sod^ivn fisti,6v i6nv tj 
iv l6yo3, ag)r]Qij6d-G} rb do&sv fiiysd^og tb A^' Xoltcov 

15 ccQa rov z/JB TtQbg rb BF Xoyog i6rl dod-sig. dvccnahv 
xal 6vv^ivrt X6yog i6rl rov FA TtQbg rb AB dod^sig' 
6 avrbg ccvtkI ysyoviro 6 rov AA TtQbg tb AE' }.6yog 
ccQa xal rov AA TCQbg rb AE do%sCg' 8o%^sv ds rb AA' 
bo%\v ccQa xa\ t6 A E' a>6rs xal koiTcbv rb EA do&iv 

20 i6nv. i6n ds xal okov rov AF TCQbg oXov rb EB 
X6yog do&SLg' a6rs xal rov EB TCQbg AF X6yog i6rl 
dod-scg. xaC i6rL dod^sv rb AE' rb BA ccQa rov AP 
dod-ivrL fisttftv i6rLV ri iv Xoya. 

cclXd drj t6 BA 6vva(iq)oriQov rov AF do^ivrL 



1. ZXov — iativ\ om. a. 7^9] ^Q^ ^- 2- (i^tcc rov 

l|^s] ftf^S-' ov a. 5. do&£VTog §. 6. ^arcei] comp. Vat.; 

item Hn. 9. 7. avvcciKfOtSQto (bis) §. 10. (isys&ovg rov a. 
11. Kcci] om. V. Post Kcci add. t6 avro tb AB a. 15. 

ictiv V, et sic per tot. propos. praeter 1. 16 et p. 22, 1-2. 18. 
Kai] om. Vat. to (isr.)] om. a. 21. tb AF Vat.v. 22. 

AE] EA a. Kccl t6 a. 



DATA. 21 

cum maguitudine BA data est; tota enim ^E data 
est. ergo magnitudo BJt cum sequenti, ad quam BF 
rationem habet datam, data est. 

XI. 

Si magnitudo, comparata cum alia magnitudine, 
data maior est quam in ratione, eadem, etiam cum 
utraque simul comparata, data maior erit quam in 
ratione; et si eadem, cum utraque simul comparata, 
data maior erit quam in ratiouCj" eadem, etiam cum 
reliqua comparata, data maior erit quam in ratione. 

magnitudo enim ^B, comparata cum magnitudine 
Br, data maior sit quam in ratione. dico eam, etiam 
cum AF comparatam, data maiorem esse quam in 
ratioue. 

nam quoniam magnitudo ^B, comparata cum 
magnituduie BF, data maior est quam in ratione, 
j E zJ B r ^-^^fsratur data ma- 

I . i 1 , gjiitudo A^. reli- 

quae igitur z/5 ad 5F ratio data est [def. 11]. e con- 
trario et componendo ratio r^:/lB data est [prop. VI]. 
eadem atque illa fiat ratio AA:^E. itaque etiam ratio 
AA : AE data est [def. 2]. data est autem magni- 
tudo AA. quare etiam AE data est [prop. II]. itaque 
etiam reliqua EA data est [prop. IV]. est autem 
etiam ratio totius magnitudinis AT ad totam EB 
data [V, 12; def. 2]. itaque etiam ratio EB : AT data 
est. et data est magnitudo AE. ergo magnitudo BA, 
comparata cum magnitudine AT, data maior est quam 
in ratioue [def. 11]. 

iam uero magnitudo BA, comparata cum magni- 



22 AEAOMENA. 

^Bt^ov s6ta 7) iv ?,6yc}' Xiyco^ ort t6 avro to AB xal 
Tov }„OLTCov roi) Br do^ivTi ^£tt,ov iffTaf 1] iv ?.6yG}. 
ijtsl yccQ t6 AB tov AF do&ivTL (lei^ov i^TLv 7) 
iv X6y(p, ag)i]Q7]0&ci t6 8o&sv iisysd^og to AE' Ioltcov 
5 ciQa Tov EB ■JiQog to AF X6yog i^Ti dod^sis' coGts 
Ticcl Tov AF TtQog t6 EB Xoyog i6Tl dod^sig' 6 avTog 
avTa ysyoviTca 6 tov A/J nQog EA' -koX tov /iA kqu 
TCQog Ezl X6yog i6Tl dod^scg' xal ccva6TQii:avTc tov AA 
TCQog AE X6yog do&scg' zal avcknaXiv tov EA TtQog 

10 t6 Azl X6yog i6Tl dod^scg. xal do&sv t6 AE' dod^sv 

ccQa xal oAov t6 AA. xal insl oXov tov AF TCQog 

' 6A0J/ t6 EB k6yog i0Tl dod^scg, 6v tov AA nQog t6 

^E Xoyog «tfTi dod^sig, iGtai xal Xocnov tov FA nQog 

Xoinov t6 /dB X6yog do^scg' xal 8lsX6vti tov FB 

15 nQog t6 ^B X6yog i<jTl dod^sig' co6ts xal tov z/5 
nQog To BF Xoyog idTL dod^sig. xaC i6TL 8o%^sv t6 ^A' 
To AB ccQa Tov BF dod^ivTL ^st^ov iOTcv tj iv X6y(p. 

^Eccv f] XQLa fisyid^i] xal t6 fisv nQ&Tov fisTa tov 
20 dsvTSQOv y doQ^iv, ?} ds xal t6 dsvtSQOv (istcc tov tqltov 

dod^iv^ t6 nQtbTOV TC3 TQLTOJ iJTOL i'60V i0TLV, 1] t6 
STSQOV TOV BTSQOV do&ivTl (lSL^6v i0TlV. 

S6TC0 TQia (isyid-t] td AB, BF, Fz/, xal t6 (isvAB 

fiETcc Tov Br dod^sv ^6Tco t6 AF, t6 8s BF fisTa tov 

25 r^ dod-sv ^6TG> t6 BA' Xiyco, otc tb AB tc3 FA 

1. t6 avto] yicci a. xaij om. a. 2. ^ffrat] comp. Vat., 
iativ T. 7. dA] Ad a. apa] om. a. 8. EJ] J E a. 

6 Tov a. 9. iarl 8o&sis a. &vdnaXiv — 13. ^atai] irtd 

iati Xoyog tov AT ngbs EB do&sig, do&sv tb AE' So&sv aga 
jtai olov tb AJ a. 12. t6 (alt.)] om. v. 14. JB] JB ta 

^B V. 15. t6] om. a. 16. xal yap. Vat. 17. AB] aupra 



DATA.- 23 

tudiue AF, data maior sit quam in ratione. dico, 
eandem ABj comparatam etiam cum reliqua-BF, data 
maiorem esse quam in ratione. 

nam quoniam magnitudo ^B, comparata cum 
•magnitudine AFy data maior est quam in ratione, 
auferatur data magnitudo ^E. reliquae igitur EB 
&d AF ratio data est [def. 11]. itaque etiam ratio 
uir: EB data est. eadem atque illa fiat ratio u4^: E^. 
quare etiam ratio 21 A : E^ data est. et conuertendo 
xatio /lA : AE data est [prop. V]. et e contrario 
ratio AE : AA data est. et data est magnitudo AE. 
data igitur etiam tota AA [prop. II]. et quoniam 
ratio totius ^ F ad totam' EB data est, quarum partis 
AA ad partem AE ratio data est, erit etiam ratio 
reliquae FA ad reliquam AB data [V, 19; def. 2]. et 
dirimendo ratio TB : AB data est [prop. V]. itaque 
€tiam ratio AB:BT data est. et data est maffltii- 
tudo AA. ergo magnitudo AB, comparata cum magni- 
tudine BT, data maior est quam in ratione [def. 11]. 

XII. 

Si tres magnitudines propositae sunt, et prima cum 
secunda data est atque etiam secunda cum tertia, aut 
prima tertiae aequalis est, aut altera data magnitudine 
maior est altera. 

sint tres magnitudines AB, BT, TA, et AB -\- BT 
datae sint sintque aequales rectae AT, et BT -{- TA 
datae sint sintque aequales rectae BA. dico, aut 

add. m. 1 P. iv ^dyco] corr. ex iXaxta m. 2 Vat. 19. ybiv\ 
om. ^. 24. t6 ^rf om. a. 25. xh Bd] om. a. Post 

AB ras. 5 litt. v. 



24 AEAOMENA. 

r^toi iGov iGTLV^ r) t6 stsqov tov itsQov do&evtL ^ei- 
^ov i0tLV, 

insl yaQ dod^dv iotiv ixdteQov tav AF^ B/d ^ tk 
dr] do&ivta ^tOL l'6a idtlv i) uvi6cc. 
5 £(?Tco JtQotSQOv i'6a' l'6ov ccQa i6ti t6 AF tc5 5^. 
xoLvbv d(pr]Q^6^(o t6 BF' XoLTibv aQa t6 AB koina 
ta r^ l6ov i6tLV. 

fi^fj £6tG} Srj i6a, dXX' £6ta ^sl^ov tb AF tov BAy 
xul x£i6d^(o ta B/d i'6ov t6 FE' do&lv dh t6 BA' 
10 do%^£v aQa xal t6 FE. £6tL dh xal oXov tb AF 
dod-iv xal XoLTcbv tb AE dod-iv i6tLV. xal insl i'6ov 
i6tl t6 EF ta jBz/, xolvov d(prjQ^6d^(o t6 BF' koinbv 
ccQa tb BE XoLna ta FA i'6ov i^tCv. xaC i6tL 8o%-£v 
t6 AE' t6 AB ciQa toi) Jz/ dod^ivti (i^^ov i6tLV. 

15 ty', 

'Edv 17 tQCa ^£y£&r]y xal t6 ^hv nQ&tov nQog t6 
d£vt£Qov X6yov i%ri d^So^ivov, t6 Se d£vt£Qov tov 
XQCtov do&ivtL (nft^ov fi 7] iv Adyc), xal tb nQ&tov 
xov tQCtov Sod-ivtL (i£i^ov i^T^ui t) iv k6y(p. 

20 i6tG) tQCa ii£yi%-r] td AB^ JTz/, E, xal t6 }i£v AB 
nQbg t6 Jz/ }.6yov ixitca d^dofiivov^ t6 Sh F^ tov E 
6o&£vti (i£t^ov £6tC3 rj iv X6yc)' kiy(o, oti xal tb AB 
tov E dod^iyti (i£it,6v i6tiv rj iv X6ya. 

insl yuQ t6 Fz/ tov E dod-ivtL (i^t^bv i6tLv ri iv 

25 Adyc), d(pi^QYi6%^o:) t6 8o%^£v (iiy£&og t6 FZ' koLnov 



3. Post infi ras. 3 litt. v. 4. iiviacc] o^ a. 7. iazL 

codd. 8. &XXd a. rov BJ] om. a. 11. AE] EA a. 

14. t6 (alt.)] TM Vat. 16. fiiv] om. ^. 20. fifys^T]] corr. 

ex ^fyfO'?^ m. 2 v. tk] coit. ex to m. 2 Vat. 22. forat v. 



DATA. 25 

magnitudmem j4B maguitudini FJ aequalem esse aut 
alteram data magnitudine maiorem esse altera. 

nam quoniam data est utraque magnitudo AP^ 
B^, datae magnitudines aut aequales sunt aut in- 

^ g r z/ aeq^ales. 

I 1 prius sint aequales. 

itaque AF = BJ. communis auferatur B F. itaque 
reliqua AB reliquae Fz/ aequalis est. 

iam ne sint aequales, sed &\i AF^B^, et sit 
TE = BJ. sed data est magnitudo JBz/. data est 
A -£■ ^ r j igi^^^ etiam FE. uerum 

' • — ' etiam tota^r" data est. 

et reliqua AE data est [prop. lY]. et quoniam 
Er= BA, communis auferatur JB F. itaque reliqua BE 
reliquae Fz/ aequalis est. et data est magnitudo AE. 
ergo magnitudo AB data maior est magnitudine Fzf 
[def. 9]. 

XIII. 

Si tres magnitudines propositae sunt et prima ad 
secundam rationem habet datam et secunda, comparata 
cum tertia, maior est quam in ratione, etiam prima^ 
comparata cum tertia, data maior erit quam in ratione. 

sint tres magnitudines AB, FA, E, et AB ad JTzf 
rationem liabeat datam, et F^, comparata cum E, data 
maior sit quam in ratione. dico, etiam magnitudinem 
AB, comparatam cum E, data maiorem esse quam in 
ratione. * 

nam quoniam magnitudo FA, comparata cum E^ 
data maior est quam in ratione, auferatur data magni- 

ori] om. a. 24. inti — 25. loycoj om. a. 24. iGtir] -v 
add. m. 2 V. 



26 AEAOMENA. 

ixQa tov z/Z TtQos t6 E Xoyog idrl dod-eig. xal insl 
koyog ictl doxtslg tov AB nQog tb FJ., b avtbg avto 
ysyovitcj 6 tov AH jtQbg tb FZ' loyog aQu xal tov 
AH TtQog t6 rz do&sig. do&sv ds t6 TZ' dod^sv 
5 aQu xal t6 AH' xal koLTiov tov HB JtQbg kombv t6 
zdZ }.6yog iexl dod^eCg. tov de ziZ TtQbg t6 E Uyog 
i0tl do&£cg' xal tov HB aQa TtQbg t6 E Xoyog ifftl 
dod^sig. xaC i6tl dod^evtb AH' t6 AB aQa tov E 
do&ivti (ist^dv i<5tLv ^ iv loyco. 

10 id'. 

'Eav dvo fieyi&r} TtQbg alXrila Xoyov sxr] dsdo^ivov, 
xal TtQoatBd-fi ixatiQGj avt&v dsdofiivov (liysd^og, ta 
oAa TtQbg aklrjka ^toi Xoyov. i^ei dedo^ivov, tJ t6 ete- 
Qov tov itiQov dod-ivti ^stt^dv ictLV tJ iv Xoya. 

15 8vo yaQ [isyid-rj ta AB, FA TtQog aklrika Uyov 
ixitco dsdo}iivov, xal nQ06xsL6%^c3 ixatiQa avTdiv dsdo- 
^ivov ^iyed-og, to te AE xal t6 FZ' Xiyca, oxl Tffc 
ola ta EB, ZA TtQbg aklrika i]tOL koyov iyiL dedo- 
[livov, TJ tb eteQov tov itiQov dod^ivti [let^ov iotLv rf 

20 iv koyto. 

inel yaQ dod^iv istLV exateQov tav EA, ZF, Xoyog 
aQa tov EA TtQog tb ZF dod-eCg. xal sC [lev 6 avxbg 
ta tov AB TtQbg FA, itfTat xal olov tov EB TtQog 
okov tb ZA Xoyog dod^eCg, 



1. Zz/ a, item lin. 6. iariv v, item lin. 2, G. 2. 

■So9sig] om. a. FJ So&sis a. 3. ysyovsta] iaro) a. FZ 
Xoyog a. 7.6yog — 4. rZ(pr.)] om. Vat. 13. %fi |S. 17. 
Ts] om. a. 21. AE V. 22. t6] om. a. 23. rcoj avrcS 6 a. 
to rj a. ^atai] comp. Vat., omnibus litteris m. 2, et 

«ic saepissime in sequentibus. 



DATA. 27 

! tudo JTZ. itaciue reliquae z/Z ad J5 ratio data est 

i [def. 11]. et quoniam ratio AB : F^ data est, eadem 

I „ „ atque illa fiat ratio AH: TZ. 

ti h ^ 

A — — — - — ; 1 quare etiam ratio AH: FZ 

' Z J data est [def. 2]. uerum ma- 

. gnitudo rZ data est. data 
est igitur etiam^if [prop.II]. 
et ratio reliquae HB ad reliquam ^Z data est [Y, 19; 
def. 2]. uerum ratio AZ: E data est. quare etiam 
ratio HB : E data est [prop. VIII]. et data est ma- 
gnitudo AH. ergo magnitudo AB, comparata cum 
magnitudine E, data maior est quam in ratione [def.ll]. 



XIV. 

Si duae magnitudines inter se rationem habent 
datam et adiicitur utrique earum data magnitudo, aut 
totae inter se rationem habebunt datam, aut.altera, 
comparata cum altera, data maior est quam in ratione. 

duae enira magnitudines AB, FA [inter se ratio- 
iiem habeant datam, et adiiciatur utrique earum data 

magnitudo, AE et 

I— -; — i ! rz. dico, aut totas 

z/ r Z EB, ZA inter se 

rationem habere da- 
tam, aut alteram, comparatam cum altera, data maio- 
rem esse quam in ratione. 

nam quoniam data est utraque magnitudo EA, ZT, 
ratio EA: ZT data erit [prop. I]. et si eadem est 
atque ratio AB:TA, erit etiam ratio totius EB ad 
totam ZA data [V, 12; def. 2]. 



28 AEAOMENA. 

lii] £6rc3 d^ 6 avTos nal 7tenoLi>]6d-c3 C3s tb AB 
TCQOs Fzt^ ovtG)S t6 HA JtQOS TZ' koyos cxQcc xal tov 
HA TCQhs to Zr do^ELs. 8o%^av Se to ZF- do^tv 
ccQa xal t6 HA. edtt de xal t6 EA So&ev xal Xol~ 
5 nov aQa t6 EH 8o%-ev eGtLV. xal enel C3s t6 AB 
nQos t6 JT^, ovtas t6 HA jiqos t6 ZP, Xoyos aQa 
xal Tof) HB TCQos Z/i Sod^eis. xul iatL So&lv t6 EH^ 
t6 EB ccQa tov ZA 8o%evtL (letlov eOtL t) ev koyc). 

Le'. 

10 ^Eav Svo fieye&rj tcqos aXXriXa loyov ext] dedo^evov 

xal a(paLQe&fj anb ixateQOv avt&v dedo^evov fieyed^osy 

ta koLTCa TCQOS aXXrjka i^tOL koyov e%eL dedoiievov^ rj t6 

eteQOv tov iteQov 8o%evtL ^et^ov e6tLV i) iv Aoyw. 

8vo yccQ ^eye&T] ta AB., F^ tcqos aXXrjXa koyov 

15 i%etco 8e8o^evov, xal dqifjQrJGd^c) dcp^ ixateQov avt&v 
8e8o^evov ^eyed^os^ dnb (lev tov AB tb EA^ dnb 8e 
tov Fjd t6 rZ' keyco^ otL td XoLnd td EB^ Z/i n^bs 
aXXrjXa ^toc Xoyov ei,eL 8e8o^evov, r) t6 eteQOv tov 
iteQov Sod^evtL ^et^6v iGtLv t) iv Adyoj. 

20 inel ydQ ixdteQOv t&v AE, FZ Sod^iv i6tL, loyos 
ccQa tov AE nQbs TZ So^eis. xal ei [lev 6 avtos 
i6tL t(p tov AB nQos P^, e6taL xal koLnov tov EB 
nQbs loinbv zb ZA X6yos 8o%eis. 

firj e6tc3 8rj 6 avtos, xal nenoLrj^&c^ C3S t6 AB 

25 nQos rjf ovtcas tb AH n^bs t6 FZ. l6yos 8h tov 



2. tb rj a. To Zr a. Uyos — 3. zr(alt.)] om. a. 

3. Z r (utrumque)] TZ v. 5. iazt. codd. iTtei — 7. So- 
Q^Big] oXov Tot; HB TtQog olov vb ZJ Xoyog iarl So&dg a. 6. 
HA] HJ V. Zr] rZ V. 7. iauv v. t6 So9sv to P. 12. 
^XH p. 17. rZ] Zr a. 18. t'xa a. 20. xibv] x6 Vat. 

21. v.al xov a. 22. tco] om. a. 



DATA. 29 

iam ne sit eadem et fiat AB : F/l = HA : FZ. 
itaque etiam ratio HA : Z F data est. uerum data 
est Zr. data est igitur etiam HA [prop. 11]. est 
autem etiam magnitudo EA data. quare etiam reli- 
qua EH data est [prop. IV]. et quoniam 

AB : r^ = HA : ZF, 
etiam ratio* HB : Zz/ data erit [V, 12; def. 2]. et 
data est magnitudo EH. ergo magnitudo EB, com- 
parata cum magnitudine Zz/, data maior est quam 
in ratione [def. 11]. 

XY. 

Si duae magnitudines inter se rationem habent 
datam et aufertur ab utraque earum data magnitudo, 
aut reliquae magnitudines inter se rationem habebunt 
datam, aut altera, comparata cum altera, data maior 
€st quam in ratione. 

duae enim magnitudines AB, TA inter se ratio- 
nem liabeant datam, et auferatur ab utraque earum 

data magnitudo, ab ^5 

1 i 1 — - — I magnitudo AE, a T/i 

T z d autem TZ. dico, aut reli- 

quas magnitudines EB, TZ 
inter se rationem liabere datam, aut alteram, com- 
paratam cum altera, data maiorem esse quam in 
ratione. 

nam quoniam utraque magnitudo AE, TZ data 
est, ratio AE : TZ data. et si eadem est ac ratio 
AB : TA, erit etiam ratio reliquae EB ad reliquam 
ZA data-[V, 19; def. 2]. 

iam ne sit eadem et fiat AB : T/1 == AH: TZ. 
ratio autem AB : T/i data est; itaque etiam ratio 



30 AEAOMENA. 

JlB TiQos t6 r^ dod^eLQ' Xoyog aQU 'accI xov AH JiQog 
t6 jTZ dod-£LS' dox^ev de t6 FZ* do&ev ccQa xal t6 AH, 
iexL 81 xa\ t6 AE dod^ev xal komov ccQa t6 EH 
So&av i6riv. xal inel ag t6 AB TtQog t6 Jz/, ovras 
5 tb AH ^Qog t6 JTZ, XoiTtov aQa rov HB TtQOg XoiTthv 
' xo 7L/i Xoyog i^xl do&SLg. xai iGxi do&lv xb EH' 
t6 EB (XQa To-O Zyd dod-ivxL ^Eitov iGxLV rj iv koya. 



'Eav 8vo (leyi&rj JtQog akkiqXa Xoyov 8%^ dedo^ivovy 

10 xal aitb ^ev xov ivbg avx&v dedonivov ^iye&og acpaL- 

Qe&fj, Tc3 dh exiQGJ avx&v dedo^ivov ^iyed^og 7tQ06xe&f]^ 

xb oXov xov loLTtov do&ivxL (let^ov eCxat ») iv koya. 

dvo yaQ ^eyi&rj xa AB^ FzJ Xoyov iyjixGi dedo- 

fiivov^ xal aTtb fiev xov Fzi dedo^ivov iiiye&og cctpi]- 

15 QTjG&co xb FE, Tc5 de AB dedonivov iiiye&og 71qo6- 

xeLGQ^G) xb ZA. Xiyco, oxi oXov xb ZB rov' XoiTtov 

tov E^ do&ivxi iiet^ov isxiv rj iv Xbya. 

inel yccQ Xoyog i6xl xov AB TtQbg FA do&eig, 6 
ttitbg a^ta yeyovitco xov AH TtQbg xb FE' Xoyog 
20 aQa xal xov AH TtQbg xb FE do&eig' do&ev de xb 
FE' do&ev ccQcc ocal xb AH. edxi 8s xal xb AZ 
So&iv oAov aQa xb ZH dod^iv i<3Xiv. xal i%el io^ 
xb AB nQbg t6 F^, ovrag t6 AH TtQbg FE, xccl 
XoiJiov Tov HB TtQbg XoiJtbv t6 £z/ loyog iaxl do^eig. 



1. Xoyog ccQa] om. a. 2. TZ (pr.)] FZ Xoyog iari a. 3. 
^ativ V. 4. infi — 5. rZ| om. a. 5. aQct] om. a. 6. 

iaziv V. 1. ZJ] ZA Vat. SoQ^ivzi] do&iv a. iazi n. 

10. [liv] om. ^. 13. Post rj add. TtQbg «^73^« a. 14. 
xal anb niv] &nb Si a. SfSoiiivov] om. a. 16. zo (pr.)] 

snpra add. m. 2 P. oXov] Om. a. zov] om. Vat.v. 



DATA. . 31 

{AH.rZ data est. data est autem FZ. data est 
;igitur etiam AH [prop. II]. est autem. etiam AE 
fdata. quare etiam reliqua EH data est [prop. IV]. 
jet quoniam AB : FA = AH: FZ, ratio reliquae HB 
!ad reliquam Zz/ data erit [V, 19; def. 2]. et data 
jest magnitudo EH ergo magnitudo EB, comparata 
cum Z/1, data maior est quam in ratione [def. 11]. 

XVI. 

Si duae magnitudines inter se rationem liabent 
datam et ab altera earum data magnitudo aufertur^ 
alteri autem earum data magnitudo adiicitur, totay 
comparata cum reliqua, data maior erit quam in ratione, 

duae enim magnitudines AB, FA rationem babeant 
datam et a magnitudine FA auferatur data magnitudo 
FE, magnitudini AB autem adiiciatur data magni- 
tudo ZA. dico, totam ZB, comparatam cum reHqua 
EA, data maiorem esse quam iu ratione. 

nam quoniam ratio AB : TA data est, eadem atque 
illa fiat ratio AH : TE. itaque ratio AH : TE 

data est. sed data est 

1 , TE. data est igitur 

r E J etiam AH [prop. 11], 

est autem etiam AZ 
data. itaque tota ZH data est [prop. III]. et quoniam 
AB : TA = AH : TE, etiam ratio reliquae HB ad 
reliquam EA dataest [V, 19; def. 2]. et data est ZH. 



19. avTcoJ avzov a. 20. apo;] om. a. 21. hviv v. 22. 
HZ V. inU — 23. xai] om. a. 24. BH y. 



32 AEAOMENA. 

v.ai £6X1, do&£v rb HZ' tb ZB ccqu xov EJ dod-svxi 
fist^ov aGXLv ri iv koyo). 

'Eav ^ XQia fiays&r}, xal xb TtQ&xov xov dsvxsQov 

5 dod^ivxL ^SL^ov fi ?J sv Xoyc)^ t) dl xal xb xqlxov xov 

ai}Xov do&svxL ^st^ov rj av K6y(p, xb TtQ&xov TCQog xb 

XQLXOV 7]tOL X6yOV £%SL daSo^SVOV, ij Xb £X£Q0V xov 

ix£Qov dod^ivxL ^£t^ov £0xaL 7} iv X6yco. 

s(Sxo3 XQLa fisyi&rj xa AB, F, z/£, xal ixdx^Qov 

10 x&v AB.f ^E xov r do&ivxL ^st^ov s6xc3 tj iv I6ya' 
Xiyco, OXL xa AB, zlE ^xol TtQog aXXtjXa k6yov s^sl 
dsdofiivov fj xb sxsqov xov sxiQov do&ivxL ^st^ov iexLV 
7] iv Adyto. 

iTCSL yaQ tb /JE xov F dod^ivxL fist^bv i6tLV ri iv 

15 Adyoj, acpriQriG^G} tb do%^£v ^iy£&og tb zlH- XoLnov 
aQa tov HE TiQbg tb F X6yog i6tl 6o&£Lg. dtd xa 
avxa dri xal xov ZB TCQbg xb F X6yog i6xl do&sig' 
xal xov ZJ5 licQa TtQbg xb HE 2.6yog i6xl do%£ig. xul 
7tQ66X£LxaL avxotg dsdo^iva ^syi&r] xa AZ^ /IH' xk 

20 oAa aQa ta AB, ^E TtQog aXlrjka ^toL k6yov sisl 
d^dofiivov, i) t6 £t£Qov tov itiQov do&ivxL fi£tt,6v i6xLv 
i) iv k6yco. 

LT]'. 

'Eav f XQia ii£yi&rj., ?v d£ avxav ixaxiQov xav 
25 XoLTtav So&ivxL ^£tt,ov fi 7] iv Adycj, xa XoLTta dvo 



4. ^] om. ^ (non a). 5. So&svti] supra scr. m. 1 §. 7. 
kxsi ^. ' 11. %si] con-. ex ^XV m. 2 v. " -12. do&svri] om. v. 
14. insl yaQ t6 J E] cc(pr]QTJa9(o t6 Sod-sv tiiys&og tb AZ' 
Xoiitov &QU Toi) ZJ5 TtQog t6 F Xoyog iatl So&slg. TtciXiv insl 
t6 Ez/ a. 16. Sid — 17. ticci] om. a. 16. Ta avtci] tavta 
Vat. 17. ZBJ r a. F] ZB a. ^18. Scga] om. a. So- 
^sig] om. a. 20. Taj om. a. 25. 17] om. |3. 



DATA. 33 

€rgo magnitudo ZB, comparata cum E^, data maior 
«st quam in ratione [def. 11]. 

XYII. 

6i tres magnitudines propositae sunt et prima, 
comparata cum secunda, data maior est quam in 
ratione, et etiam tertia, comparata cum eadem, maior 
est quam in ratione, aut prima ad tertiam rationem 
liabebit datam, aut altera, comparata cum altera, data 
maior erit quam in ratione. 

sint tres magnitudines AB, F", zlE, et utraque 
magnitudo AB, ziE, comparata cum F, data maior 
sit quam in ratione. dico, aut magnitudines AB, JE 
inter se rationem habere datam, aut alteram, com- 
paratam cum altera, data maiorem esse quam in ratione. 
nam quoniam magnitudo z^£, comparata cum JT, 
data maior est quam in ratione, auferatur data magni- 
2 B ^^^^ ^H. itaque reliquae HE 

^ '~ ' ' ad r ratio data est. eadem 

r\ — 1 de causa etiam ratio ZB : F 

H E data est.^) quare etiam ratio 

^ ' ' ' ZB.HE data est [prop. VIII]. 

et adiiciantur iis datae magnitudines AZ, /iH ergo 
aut totae AB,AE inter se rationem habent datam, aut 
altera, comparata cum altera, data maior est quam in 
ratione [prop. XIV]. 

XVIII. 
Si tres magnitudines propositae sunt et una earum, 
comparata cum utraque reliqua, data maior est quam 

1) Haec demonstratio non nihil habet offensionis; priore enim, 
loco demonstrandum erat, rationem ZB-.F datam esse, deinde 
xierbis dia xa avtd absoluendum, rationem HE : T datam esse. 

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 3 



34 AEAOMENA. 

TtQog aXlrika ijtot loyov €%£l dedo^evov, r) t6 sreQorr 
rov it£Qov dod-svti ^st^ov i6tiv rj iv koya. 

£6tc3 tQLu ^sys&r^ tcc AB^ Fzl^ EZ, Hv. 81 uvt&v 

t6 r^ ixut£Qov tcbv XoiTt&v t&v AB^ EZ do&ivttr 

5 [ist^ov £6t(o i) iv koyci. Af/co, oti, tb AB JtQog tb EZ 

i]t0t XoyOV £%£L d£d0fl£V0V, r) t6 £'t£QOV TOV itSQOV 

do^ivtL ^£t^6v ictLV -JJ iv Xoya. 

i7t£l yuQ t6 Jz/ tov AB do&ivtL ^l^l^ov ictLV ^ 
iv Xoyo)^ u(priQri6d^(o tb do%\v ^iy^d^og tb m. Xoltiov 

10 uQu tov HA TtQog t6 AB Xoyog i6tl 8od-£Lg. 6 uvtbg 
ai)ta y£yov£tc3 6 tov FH TtQbg t6 A&. loyog uqu 
zul tov FH TtQbg tb A& do&£i'g. dod^sv d£ tb FH. 
do%^£v UQU xul t6 A@. aul olov tov F^d TtQbg oAoi' 
t6 ®B koyog i6tl do^sCg. nuhv, ix£L t6 FA tov EZ 

16 dod^ivtL n£t^6v i6tLv 7] iv X6yc}, u(prjQy]6&a) t6 do&lv 
^£y£&og t6 FK. XoLTtov tov KA TtQbg EZ Xoyog i6ti 
do&£Lg. 6 avtbg avta y^yovita 6 tov FK TtQbg AE, 
X6yog uqu nul tov FK XQbg AE do&£Lg. dod^lv dh 
t6 FK. dod^£v UQU xul t6 AE. xul oAov tov FA 

20 TtQbg bXov tb AZ X6yog i6tl dodsLg. Itov da Jz/ 
^Qbg 0B k6yog i6tl do&£Lg. xul tov @B uqu JtQbg 
AZ X6yog i6tL 8o&£Lg. xul aipfjQrjtUL ujt' uvt&v d£- 
do(i£vu fi^yiO^rj ta &A, AE. ta AB, EZ uqu ^toc 
3rp6ff aXlrjXu k6yov f|«i d^So^ivov, ?) t6 £t£Qov tov 

25 itSQOv do&ivtL [i£t^6v i6tLv t) iv X6yci. 



1. %ihi §. 2. icTLv'] supra comp. add. m. 2 v. 8. imi — 

' 9. Xoyo)] om. a. 8. iativ] om. v. 10. &qcc'] om. a. 12, 

iod-slg iari a. 15. iartv] om. a. 16. iarlv v. 18. AE] 

EA a; item lin. 19. 20. tov Ss FJ — 22. AZ] tov @A Kal 

Tov AZ a. 21. Kdi] om. v. 22. dctf^Qritcci] SctpjiQt^ad^a v. 

24. ^x^i a. 






A 






B 


r 


H K 




A 




A 




E 







DATA. 35 

t in ratione, aut reliquae duae inter se rationem habe- 
f bunt datam, aut altera, comparata cum altera, data 
\ maior est quam in ratione. 

sint tres magitudines AB, F^, EZ, et una ex iis 

- rk/, comparata cum utraque reliqua ^B, EZ, data 

( maior sit quam in ratione. dico, aut magnitudinem 

u4B ad EZ rationem habere datam, aut alteram, com- 

paratam cum altera, data maiorem esse quam in ratione. 

nam quoniam magnitudo F^, comparata cum ^B, 

data maior est quam in ratione, auferatur data magni- 

tudo FH. itaque ratio 
reliquae H^ ad AB 
data est [def. 11]. 
2 eadem atque illa fiat 
ratio rH\A®. ita- 
que etiam ratio FH : A & data est [def. 2]. sed data 
est FH. data est igitur etiam A@ [prop. II]. et 
ratio totius F^ ad totam &B data est [V, 12; def. 2]. 
rursus quoniam magnitudo Pz/, comparata cum EZ, 
data maior est quam in ratione, auferatur data magni- 
tudo FK. ratio reliquae K^ ad EZ data est [def. 11]. 
eadem atque illa fiat ratio FK : AE. itaque etiam 
ratio FK : AE data est [def. 2]. sed data est FK^ 
data est igitur etiam AE [prop. II]. et ratio totius 
FA ad totam AZ data est [V, 12; def. 2]. uerum 
ratio FA : &B data est. quare etiam ratio &B : AZ 
data est [prop, VIII]. et ablatae sunt ab iis datae 
magnitudines ®A, AE. ergo magnitudines AB, EZ aut 
inter se rationem habebunt datam, aut altera, comparata 
cum altera, data maior est quam in ratione [prop. XV]. 
m fig. cod. Vat. litterae H, K permutatae sunt. 



36 AEAOMENA. 

'Eav i] tQia fiEysd^r], xal t6 fiav tcq&xov tov dev- 
tEQOv dod^avti pLSt^ov j7 ») iv Adyco, fj ds xal tb dsv- 
xsQOV Toi) T^tTov do&svti (ist^ov rj sv Ad/o), xal t6 
5 TtQ&tov tov tQLtov Sod^svti ^st^ov s6tai t) sv Xoya. 
s6t(o tQia ^sys&tj ra AB, Iz/, E, xal t6 (isv AB 
tov r^ do^svti ^st^ov s6t(o ij sv X6yc), tb ds FJ 
tov E dod^svtv ^stt,ov s6tco ?) sv X6y(p. 2.sy(o, oxi xal 
tb AB TQv E So&svti (ist^6v s6tiv ij sv X6y(p. 

10 snsl yaQ t6 F^ tov E doftsvti (ist^6v s6tiv tj sv 
^6yc3^ a(priQ^6d-co t6 6od^sv (isysd^og t6 FZ' koiTCOv aQa 
tbv Zz/ TCQbg tb E X6yog s6ti do^sig. jraAtv,* snsl 
t6 AB tov FzJ do&svti fist^6v s6tiv ij iv X6yc}^ 
a(prjQr]6&(o t6 do&sv (isysd^og t6 AH' loijtov aQa tov 

15 HB TCQbg tb Fz/ X6yog s6tl dod^sig. 6 avtbg avxa 
ysyovstco tov H& TCQbg t6 FZ' ^6yog aQU xal tov H& 
jtQbg t6 rZ dod^sig. dod^sv Ss t6 JTZ' dod-sv uQa xa\- 
tb H&. s6ti ds xal tb HA Sod-sv xal SAov ccQa tb 
&A dod^sv s6tiv. xal insl &ig t6 HB TCQbg t6 Fz/, 

20 ovtag tb H& TCQbg t6 FZ, xa\ Xoiicov tov &B TCQog 
XoiTcbv tb ZA Ibyog s6t\ do&sig. tov ds ZA nQog 
tb E Xoyog s6tl So^sCg' xa\ tov &B aQa JCQbg t6 E 
X6yog s6t\ dod^Sig. xa\ do&sv t6 &A' tb BA aQcc 
tov E do&svti (ist^bv s6tiv rj sv Wyto. 

2. v.ai] supra comp. add. in. 2 v. 3. m 8e om. ^. 4.. 
So^^svxi] bis ^ (non a). iisl^ov 5 ^' a. tj iv Ioyco] om. § 
(non aV 7. rov] rm a. 12. Zz/] Z supra add. m. 1 v. 

Xoyog ierl 8o9sls nQos rb E a. 14. ro (alt.)] rov a. 16. 

Tov (pr.)] 6 rov va. 17. So&svij^r.) — 18. H@] Sod-hv uqu xal 

t6 H@- Sod^sv 8s t6 FZ v. 18. hriv v. 19. ieri codd. 

Mor! ^:irfi — 20. FZ] om. a. 24. Seq. demonstr. altera, 

u. app. 



DATA. 37 

XIX. 

Si tres magnitudines propositae sunt et prima, 
comparata cum secunda, data maior est quam in 
ratione et etiam secunda, comparata cum tertia, data 
maior est quam in' ratione, etiam prima, comparata 
cum tertia, data maior erit. quam in ratione. 

sint tres magnitudines ^B, F^, E, et AB, com- 
parata cum Jz/, data maior sit quam in ratione, et 
r^, comparata cum E, data maior sit quam in ratione. 
dico, etiam magnitudinem AB, comparatam cum E, 
data maiorem esse quam in ratione. 

nam quoniam magnitudo FzJ, comparata cum E, 

data maior est quam in ratione, auferatur data magni- 

„ ^ . tudo rZ. itaque ratio 

^ 1 ' — I reliquae Zz/ ad E data 

„ Z est [def. 11]. rursus 

quoniam magnitudo 
AB, comparata cum 
FA , data maior est quam in ratione, auferatur data 
magnitudo AH. itaque ratio reliquae HB ad FA data 
est [def. 11]. eadem atque illa fiat ratio H& : FZ. 
quare etiam ratio H® : FZ data est [def. 2]. sed 
data est FZ. data est .igitur etiam H® [prop. II]. 
uerum etiam HA data est. itaque etiam tota ®A 
data est [prop. III]. et quoniam HB : FA = H& : FZ, 
etiam ratio reliquae &B ad reliquam Zz/ data est 
[V, 19; def. 2]. uerum ratio ZA : E data est. itaque 
etiam ratio &B : E data est [prop. VIII]. et data 
est magnitudo &A. ergo magnitudo BA, comparata 
cum E, data maior est quam in ratione [def. 11]. 



£ 



38 AEAOMENA. 



^Eccv fi dvo ^sysd-rj dsdo^EVu, xal acpaLQEd-fi dz' 

avtav fisya&T] TtQog ccXXrjXa X6yov axovta dsdoyiivov^ 

tcc Xoiita TtQog aXXrjla ijtoi Xoyov s^si, dsdo^svov^ tJ 

5 t6 stSQOv tov stSQOv do&svti iist^ov s6tiv 1] sv koya. 

idtG) dvo [isysd-r] dsdo^sva Ta AB, 17^, xal cctco 

tS)v AB, Fzf ag)riQr]6d-G) ^sysd^rj to: AE, FZ Xoyov 

syovta JtQog aXXrika dsdo^svov Xsyo), oti ta EB^ 2.A 

TCQog aXXrjXa ^TOfc koyov s%si dsdo^svov, rj t6 etsQov 

10 tov stSQov dod-svti [lat^ov s6tiv r) sv Xoya. 

sjtsl yaQ dod^sv sGtiv sxdtSQOv t&v AB^ FA, Xoyog 
ccQa tov AB TtQog FA dod^sig. 

xal £i fisv 6 avtdg s6ti ta tov AE TCQog FZ, 
s6tai xal XoiTtov tov EB TCQog Xoiitov tb ZA Xoyog 
15 do&sig. 

[iri £6ta) drj 6 avrog^ xal 7tsjtoii]6&(j) cjg t6 EA 
TtQog rZ, ovtcag t6 AH TtQog FA. Xoyog ds tov AE 
^Qog rZ dod^Sig' Xoyog ccQa xal tov AH JtQog FA 
do&sig. dod-sv ds tb FA' dod-sv ocQa xal t6 AH. 
20 £6ti ds xal t6 AB dod^sv xal XoiTtbv ccQa t6 HB 
dod^sv s6tiv. xal insi i6tiv hg tb AE iCQog FZ, 
ovtag tb AH TCQbg t6 F^, xal XoiJtov tov HE TtQbg 
XoiTtbv tb ZA Xoyog i6ti dodscg' dod^sv ds t6 HB' 
t6 EB ccQa tov ZA do^svti [ist^ov i6tiv r] iv 
25 Xoyc). 



4. ix^L §. 6. rcc] corr. ex t6 m. 2 Vat. 11. So&iv 

ianv] post FJ v. 12. t6 FJ a. SoQ^si? iari a. 13. iati 
rw Toi)] avrco ro a. t6 FZ a. 15. iatl So&sis a. 16. 

AE itQog xh rz a. 17. t6 Td a. 18. t6 TZ a. t6 

rj a. 50. laxiv V. 21. xai — 22. Fz/] om. a. 



DATA. 39 

XX. 

Si duae magnitudmes datae sunt et auferantur ab 
iis magnitudines inter se rationem kabentes datam, 
reliquae inter se aut rationem habebunt datam, aut 
altera, comparata cum altera, data maior est quam 
in ratione. 

sint duae magnitudines datae AB, F^, et ab AB, 

r^ auferantur magnitudines AE, FZ rationem inter 

se babentes datam. dico, 
E H ' 

A ! — — B magnitudines EB, ZA 

Z inter se aut rationem ha- 

bere datam, aut alteram, 
comparatam cum altera, data maiorem esse quam 
in ratione. 

nam quoniam data est utraque magnitudo AB, TAy 
erit ratio AB : Jz/ data [prop. I]. 

et si eadem est ac ratio AE : TZ, erit etiam 
ratio reliquae EB ad reliquam Zz/ data [V, 19; 
def. 2]. 

iam ne sit eadem, et fiat EA : JTZ = AH'. T/S. 
uerum ratio AE : JTZ data est. itaque etiam ratio 
AH:TA data [def 2]. sed data est TA. data est 
igitur etiam AH [prop. 11]. uerum etiam magnitudo 
AB data est. itaque etiam reliqua HB data est 
[prop. IV]. et quoniam AE : TZ = AH : TzJ, etiam 
ratio reliquae HE ad reliquam AZ data est [V, 19; 
def. 2]. uerum data est magnitudo HB. ergo magni- 
tudo £B, comparata cum ZA, data maior est quam 
in ratione [def 11]. 



40 AEAOMENA. 

xa'. 
^Eav fi 8vo y.syad'!] dsdo^eva^ xal 7iQ06rE&tj avzot^ 
lisyed-rj TtQOs aXXrj^a koyov s%ovxa dsdofisvov^ xa ola 
^jtQog akkrila i]xoi k6yov slc^sv dsdofisvov t) ro sxsqov 
5 xov sxsQov do&svxL ^st^dv s6XLV 7] iv koya. 

s6x(o dvo ^sysd^r] Ssdo^sva xa AB.^ Fz/, nal tcqog- 

xsL6d-o avxotg ^syed^rj xa AE^ FZ X6yov sxovta nQog 

aXlrj^a dsdo^svov Xsyco, oxl xa oXa xa EB, Zz/ TtQog 

aXXrjla ^xoi X6yov s^sl dsdo^svov, r] xb sxsqov xov 

10 ixsQOv dod^svxL ^SL^6v i6tLv rj iv K6yG). 

insl yccQ dod-sv iGxiv sxdxsQOv xCov AB^ Iz/, X6yog 
aqa tov AB TCQog tb jTz/ do&sig. 

xal sl (isv 6 avt6g ietL ta roi) EA JCQbg tb FZ, 
i6taL xal oXov tbv EB nQbg okov tb ZA kbyog do^sig. 
15 SL ds ov, 7iS7COLr]6&c} ag tb AE TCQbg FZ, ovxcog 
tb HA TCQbg ro FA' X6yog aQa tov HA TCQbg ro Fzf 
dod^SLg. dod^sv 8s ro FA' do&sv aQa xal ro HA. sGxl 
Ss xal tb AB dod^sv xal XoLTcbv aQa ro HB do&sv 
sGtLV. xal insL i6tLv ag ro EA TCQbg ZF, ovtag xb 
W AH JCQbg xb Iz/, xal oXov xov EH nQbg 6'Aov ro Zz/ 
X6yog i6xl dod^SLg. xal do&sv xb HB' xb EB uQa 
xov Zz/ dod^svxL ^SL^bv icxLV rj iv X6ycj. 

^Eav dvo ^sys&rj TCQogxL ^sysd^og X6yov s%ri dsdo^svov, 
25 xal xb 0vvafi(p6xsQOv TCQog xb avtb X6yov s^sl dsdo^svov, 

3. Xoyov ^xovra «Qog HXlriXct jS. 4. ^x^i |3. 7. AE] AB 
Vat., corr. m. 2. 9. '^x^l a. 10. So&ivTi] So9iv a. 13. 
AE a. Zr a. 14. Zz/] ZA PVai, con-. m. -2 Vat. Xoyosl 
om. a. 16. EA TtQog t6 ZT a. 16. kkI tov AH &,. 17. 
AH va. ^GTiv V. 19. -^(jti (priore loco) codd. nui — 20. FJ^ 
om. a. 19. t6 Zr Vat. 20. t6 (pr.)] om. v. 21. iaTiv v. 
24. ^x^i V, sed alt. s eras. 25. t6 (pr.)] om. (3. T6(alt.)] om.Vat. 



DATA. 41 

XXI. 

Si duae magmtudiues datae sunt et adiiciantur iis 
magnitadines inter se rationem habentes datam, totae 
inter se ant rationem habebunt datam, aut altera, com- 
parata cum altera, data maior est quam in ratione.*) 

sint duae magnitudines datae JIB, Fzf, et adiician- 
tur iis magnitudines ^E, TZ rationem habentes inter 
se datam. dico, totas EB, Zz/ inter se aut rationem 
habere datam, aut alteram, comparatam cum altera^ 
data maiorem esse quam in ratione. 

nam quoniam utraque magnitudo ^B, Fz/ data est^ 
erit ratio AB : Fid data [prop. I]. 

et si eadem est ac ratio AE : FZ, erit etiam ratio 
totius EB ad totam ZJ data [Y, 12; def. 2]. 

sin minus , fiat 
l L? "L ^ AE'.rZ = AH:r^. 



j r Z itaque ratio HA : Fzf 

data est [def. 2]. sed 

data est magnitudo FA. data est igitur etiam HA 

[prop. 11]. uerum etiam AB data est. quare etiam 

reliqua HB data est [prop. IV]. et quoniam 

EA:Zr= AHiTA, 

etiam ratio totius EH ad totam ZA data est [V, 12; 

def. 2]. et data est magnitudo HB. ergo mag-nitudo EB, 

eomparata cum ZA, data maior est quam in ratione 

[def. 11]. 

XXII. 

Si duae magnitudines ad aliquam magnitudinem 

rationem -habent datam, etiam utraque simul ad ean- 

dem rationem habebit datam. 

1) u. prop. XlV. Jn fig. cod. v litterae F, Z pennutatae sunt. 



42 AEAOMENA. 

dvo yccQ ^Eyid^ri xa AB^ BF TtQog ri ^eysd^og xb J 
Xoyov sxeta dsdo^svov Xsyco, ort xal tb 6vvu^(p6xsQov 
tb AF TCQbg tb avtb tb /1 Xoyov l%si dsdo^isvov. 

STtsl yccQ sxdtSQOv ttbv AB, BF n^bg xb z/ loyov 

5 s^st dsdofisvov^ loyog uQa xal tov AB TtQbg tb BF 

dodsig' xal evvd-svtt tov AF TtQbg xb BF ^oyog i6tl 

do&scg. xov ds BF TtQbg zJ Xoyog s6xl do&sCg' xal 

tov AF aQa TtQog to ^ X6yog s6tl dod^sCg. 

xy". 

10 'Eav oAov JtQbg okov X6yov sxf] dsdofisvov, sxjj Ss 
xal ta, iisQri TtQbg Ta ^isQy] k6yovg dsdo^svovg, (li} tovg 
avtovg 8s^ nal ndvta TtQbg ndvta koyovg e^si dsdo- 
^svovg. 

sxsta yuQ oXov tb AB TtQog oXov tb T/1 Xoyov 

15 dsSofisvov^ sxsxco 8\ aal xa AE, EB fisQtj TtQog tct 
rZ, ZA fiSQr] X6yovg dsdo^svovg, (irj tovg avxovg ds' 
Xsyca^ oxv xal Ttdvta TtQbg Ttdvta Xoyovg s%sl dsdo- 
fisvovg. 

iitsl yccQ X6yog s6tl tov AE JtQbg TZ do&SLg, 6 

20 avtbg avt(p ysyovsta 6 xov AB TtQbg TH' X6yog ccqu 
xal tov AB TtQog TH do^sig. sGtui, xal 'Xot.7tov tov 
EB JtQog XoiTtbv xb ZH X6yog dodsig. xov dh EB 
TtQbg t6 ZA X6yog s0xl dod^scg' xal xov Z^ ccQa JtQbg 
ZH X6yog s0xl do&stg' xal dva6XQSipavxL xov ZA 

25 TtQog 2lH X6yog i6xt dod^stg. xal insl X6yog i6tl tov 



2. ixitm] ^x^ta,. t6] om. a. cvncpotsQovP. 3. T6(tert.)l 
om. PVat.v. 4. insi — 5. SiSonivov] om. a. 6. tov] to 
Vat. 7. tov Si — So&eig] om. a. tb J \. 10. Xoyov] 
supra add. m. 2 v. 11. v,ui] supra add. m. 2 v; item lin. 15. 
14. t6 (alt.)] om. a. 1§. FZ] corr. ex TJ m. 1 v. Sf] 
om. a. 19. tb rz a. 20. tb FH a; item lin. 21. 



y 



DATA. 43 

duae enim magnitudmes AB, BT ad aliquam 
.agnitudinem d rationem habeant datam. dico, etiam 

utramque simul AF ad 

1 eandem ^ rationem ha- 

bere datam. 

nam quoniam utraque 
Imagnitudo AB, BF ad J rationem habet datam, 
etiam ratio AB : BF data erit [prop. VIII]. et com- 
ponendo ratio AF-.Br data est [prop. VI]. uerum 
ratio BFizJ data est. ergo etiam ratio AF:^ data 
est [prop. VIII]. 

XXIII. 

Si totum ad totum rationem habet datam et etiam • 
partes ad partes rationes habeut datas, sed non easdem, 
etiam omnes magnitudines ad omnes rationes habe- 
bunt datas. 

habeat enim totum AB ad totum Iz/ rationem 
datam, et habeant etiata partes AE, EB ad partes 
rZ, Z^ rationes datas, sed non easdem. dico, etiam 
omnes magnitudines ad omnes rationes habere datas. 

nam quoniam ratio 

j 'P B 

I — i 1 AE : rZ data est, ea- 

r Z H J dem atque illa fiat ratio 

AB : FH. itaque etiam 
ratio AB : FH data est [def. 2]. erit etiam ratio reliquae 
magnitudinis EB ad reliquam ZH data [V, 19; def. 2]. 
uerum ratio EB : ZA data est. quare etiam ratio Z^ : ZH 



21. v.td hrai Xontf]g r^g a. 23. ZJ (alt.)] .JZ a. &qoc] 

supra comp. add. in. 1 v. 24. rb ZH Vat.a. 25. iari (pr.)] 
iariv V. 



44 AEAOMENA. 

^B TCQog ixdtSQOv t&v zIF, TH^ xal roi) z/jT aQCi 
JtQog tb FH ^oyog iGxl dodsLg' ava6xQBipuvti nal xov 
r^ jtQog ^H Xoyog iexl dod-stg. dlla tov HJ 
^Qog z/Z Xoyog ietl dodsCg' xal xov Jz/ ccqu :tQbg 
b ziZ ^oyog i6xl dod-eig' &6t£ xal tov FZ TtQbg tb ZA 
%6yog ictX dod^stg. aAAa tov fisv FZ jtQog AE Xoyog 
i6tl dod-stg, tov ds Z/1 nQbg BE X6yog i6xt dodsig' 
&6ts ndvtcav JtQog ndvta X6yog iatl dod-stg. 

xd'. 

10 'Edv tQStg svd^stat dvdXoyov d)6tv, rj ds 7tQG)t7] nQog 
trjv tQttrjv \6yov sxt] dsdofisvov^ xul TtQbg ti]v dsv- 
xsQuv X6yov s%si 8s8o^svov. 

s6t(x)6av tQStg sv^siat dvdloyov ut A, B, F, ag 
i^ A XQbg ttjv -B, ovtcjg r} B JtQbg tr^v F, i^ ^^ ^ 

15 XQog trjv r loyov ixitco SsSoy^svov Xsyco, ott xal 
TtQbg f^v B X6yov s%st Ssdo^svov. 

ixxst6d-(x) yuQ do&st6a ^ A. xaX insX Xoyog i6x\ 
xfig A KQbg x^fjv F do&stg, 6 avxbg uvx& ysyovsta 6 
tfig A itQog xrjv Z' X6yog uqu xul xijg A TtQbg xijv Z 

20 do&stg' dod^st^a ds rj z/* dod^stdu uqu xal ri Z. slXi^(p%^io 
x&v jd, Z fis6rj dvdkoyov rj E' xb uqu vnb xav A, Z 
l'6ov i6xl ta unb xijg E. dod^sv dh xb vnb xcov A^ Z' 
8o%sl6a yuQ sxatSQa avrfiv 8o%\v uqu xut tb dnb E' 
dod^Si6u aQU i6tlv rj E. i6tt 8s xut ij z/ do&si6u' 

25 Xoyog ccQtt i6tl rijff A nQbg xrjv E dodsig. xul insl 
i6xtv d)g 'fj A nQbg x^v F, ovxcag 'fj A nQog xijv Z, 
dXX' cjg ^sv rj A n^bg xr]v Jl, ovxcog tb dnb rijg A 



1. BA Vat.v. Post m add. Sod-eig a. 2. xatj om. a. 

.4. JZ] t6 Zz/ a. 5. JZ] ZJ a. to] om. a. 6. t6 

^EVat.v. 7. t6 BEVat. Post do^as^alt.) add. xal Touy4£ 



DATA. 45 

jdata est [prop. VIII]. et conuertendo ratio ZJ \ AH 
idata est [prop. V]. et quoniam ratio magnitudinis AB 
lad utramque magnitudinem AT, TH data est, etiam 
^ratio AT.TH data erit [prop. VIII]. conuertendo 
; etiam ratio TA : AH data est [prop. V]. uerum ratio 
\HA:/JZ data est. quare etiam ratio TA:AZ data 
I est [prop. VIII]. itaque etiam ratio TZ : Zz/ data 
I est [prop. VI]. sed ratio TZ : AE data est, et ratio 
■ ZA : B E data est. ergo ratio omnium magnitudinum 

ad omnes data est. 

XXIV. 
I Si tres rectae proportionales sunt et prima ad 

tertiam rationem habet datam, etiam ad secundam 
: rationem habebit datam. 

sint tres rectae proportionales A, B, T, ita ut sit 
[ A : B = B : T, et A ad T rationem habeat datam. 
' dieo, eam etiam ad B rationem habere datam. 

A . -I ^ :— ! 

B 1 E: ! 

r< — — -I zi 1 



ponatur enim data recta z/. et quoniam ratio ^: T 
data est, eadem atque illa fiat ratio /J : Z. itaque 
etiam ratio z/ : Z data est [def. 2]. uerum data est 
recta A. itaque etiam Z data est [prop. II]. suma- 
tur rectarum z/, Z media proportionalis E [VI,. 13]. 
quare AxZ = E^ [VI, 17]. datum est autem z/x Z; 
data est enim utraque earum. quare etiam\E^ datum 

&Qa nQog tb' EB Xoyog iarl do&slg a. 12. ^^sl /3. 13. B] 

H a. 16. rrjv] t6 PVat.v. 17. itiKsiad-cii] corr. ex iyi- 

^PspX^^a&co m. 2 Vat. svQ-sla i} a. 23. avrwv] x&v z^, Z a. 
■Mni] om. a. ccTtb rfig a. 24. iariv] -v add. m. 2 v. 



46 AEAOMENA. 

yCQog t6 VTcb r&v A^ F^ cog de rj z/ JCQog tijv Z, ovtcjg 
t6 ccTcb trjg /4 JCQog tb vnb tav A^ Z, cog kqu t6 an,h 
tfig A TCQbg t6 vnb tav A^ P, ovtcog t6 anb trig A 
•nQbg t6 vnb t&v z/, Z. aXlu ta ^ev vnb tav A^ T 
h l6ov ietl t6 anb Tijg B' uC yuQ A, jB, J^ ScvccXoyov 
£i6iv' Tw de vnb t&v z/, Z i'0ov i6tl t6 anb tijg E' 
&g (XQa t6 unb trig A n^bg t6 anb tfig JS, ovtcog t6 
<J;r6 Tijg ^ nQog t6 anr6 tij? £• nal cjg uqu tj A nQog 
rriv B, ovtcog rj A nQbg trjv E. Xoyog 6e tf^g A nqbg 
10 tr\v E 8o^tig' Koyog aQU xal tfjg A nQbg rrjv B 
do&sig. 

xs'. 
'Eav dvo yQa^^al t/J &a6£i, dsdo^ivaL tiiivcaeiv 
aXkiqXag^ didotav tb 6riiitiov^ xad-' b ri^vov6iv aAArj- 
15 Aag, rfj ^i6£L. 

8vo yccQ yQafi^al tfi Q^i^ec dsSo^ivai at AB^ FJ 
t£^vitco6av aKhfikag xata tb E 6r}pL£tov. kiya^ ort 
dod^iv i6tL t6 E 6rj^£tov. 

£1 yaQ ^ij, fi£tan£6£ltccL t6 E 6r]^£tov. ^£tan£6£ttaL 
20 uQa aal (iLccg tav AB., TA rj &i6Lg. ov (i£tanLnt£L di, 
dod^£V ccQa i6tl t6 E 6r^(i£tov. 



"Eccv £v^£Lag yQafifirlg ta niQUta r} d^dofiiva tf} 
^i6£L^ 6idotaL rj £v&£ta rfi ^i6£L xal tc5 (i£yi%£L. 
25 £v%£Lag yccQ yQa^ififjg ta ni^ata ta A^ B d^do^iiva 



2. Tcov] add. m. 2 Vat. 4. tm] r6 Vat. 6. tco] t6 a. 

t6] tw a. 11. Seq. demonstr. altera, u. app. 14. o] corr. 

ex & m. 2 Vat. 15. t^ &fasi] om. §. 16. ydg] om. a. 18. 

E] om. a. 19. fiTj] Svvatov a. 20. &qcc] om. a. 23. r/j 



|U( 



DATA. 47 

jest. itaque recta E data est. uerum etiam ^ data 
test. ergo ratio J:E data est [prop. I]. et.quoniam 
j4:r= J:Z et A : T = A^ : A X T [VI, 1] efc 
A:Z = J^:AXZ [ib.], erit [V, 11] 
^2:^xr=z/2:z/xZ. 
erum [VI, 17] A X T = B^ (nam A, B, T propor- 
itionales sunt), et ^ X Z = E^ itaque [V, 7] 
\a^:B^ = J^: E\ quare etiam A:B = J:E[YJ, 22], 
luerum ratio J : E data est. ergo etiam ratio A : B 
'data est [def. 2]. 

XXV. 

Si duae lineae positione datae inter se secant,. 
fpunctum, in quo inter se secant, datum est positione, 
f duae enim lineae positione 

datae AB, FA inter se secent 

in puncto E. dico, punctum K 

datum esse. 

nam si minus, aliter cadet 

punctum E. itaque etiam po- 
sitio alterutrius linearum AB, FJ aliter cadet. sed 
non aliter cadit [def. 4]. ergp punctum E datum est. 

XXVI. 

Si rectae lineae termini dati sunt positione, data 
est recta positione et magnitudine. 

rectae enim lineae termini A, B dati sint 




riguram om. v. 



[ T^v (?. Tfj %tGSi\ om. p. 25. svQ-slccg — rcc (pr.)] svQ^stcc 

l yccQ yQcc(iiir} ^ara fig a. 



48 AEAOMENA. 

i'(?rco Trj d^i^ei. lEya, btt dsdoraL ^] AB r^ d-E6£L xal 
ra (isya^ei,. 

SL yccQ (livovrog rov A fiErans6£trccL rfjg AB svd^SLag 
ijroL rj d-s6Lg rj t6 (isysd^og, (nsransGsLraL xal t6 B 
5 6ri(iSL0v. ov (israjiLTCrsL ds. ds'doraL ccQa rj AB sv&sta 
rfj d's6si Ttal rco (isysd^SL. 

'Eav svd^SLag yQa^ifirig rfj ^s6el xal tc5 (isysd-EL 
dsdofjLEvrjg t6 «V nsQag do&sv fj, xal t6 srsQov do- 
10 d^rj^sraL. 

Evd^SLag yccQ yQafififjg nj %-e6sl xal ra (isyEd^SL 
dsdofiEvrjg Trjg AB t6 ?v nsQag t6 A do&sv e6x(o. 
Xsyco^ ori xal t6 B 8o%-ev e^tlv. 

EL yaQ (isvovrog rov A 6ri(iEL0v (iEra7CE6EtraL t6 B 
15 6r](iEtov, (isra7CS6ELraL icQa xal rrjg AB si^dsLag ^rot 
1^ xtieLg tj t6 ^iysd^og. ov (lEraTtLJtrsL di. do&sv ccqcc 
iprl t6 B 6rj(iSL0v. 

xri . 
'Eav Slcc dsdo^iivov 6i](islov TtaQcc %i6EL dsdo(iivr]v 
20 Ev&SLav sv&sta yQa(i(ii] ccxd^fi^ didotaL r] ax%SL6a r^ 

&i6£L. 

dia yccQ dsdo(iivov 6r](i£L0v tov A TCaQcc d-i6sL dsdo- 
(livrjv sv&SLav rfjv BF svdsta yQa(i(iij rjx^o!) r] AAE. 
Xiycj^ OTL didoraL f] AAE rf] %-i6SL. 
25 SL yccQ (11^, (iivovrog rov A 6r](iSL0v (israns6straL 



1. iara t^ ■S^fffsi] om. a. ^orca] ^ataauv v- 4. n] 

om. a. 5. 17] supra -scr. m. 1 v. sv^&^fta] om. a. 9. SoQ^ev ?;] 

So^y §. do9f]astai] So&sv ^atcci §. 11. ypa/nft^g] om. v. 

12. htco] ^atmaav v, del. aav m. 2.' 14. sl yag nfj a. 16. 

tistaTtlTttsi] (istaTfscsttai a. 17. Seq. demonstr. altfera, u. app. 



DATA. 49 

positione. dico, AB datam esse positione et magni- 
tudine. 

nam si manente puncto j4 rectae AB aut positio 
aut magnitudo mutabitur, etiam punctum B aliter 

cadet. sed non aliter 

A B 

cadit [def. 4]. ergo 
data est recta AB positione et magnitudine. 



xxvn. 

Si rectae lineae positione et magnitudine datae 
unus terminus datus est, etiam alter datus erit. 

rectae enim lineae AB positione et magnitudine 
datae unus terminus A datus sit. dico, etiam B da- 

tum esse. 
nam si manente puncto A 
aliter cadet punctum B, etiam rectae AB aut positio 
aut magnitudo mutabitur. sed non mutatur [def. 4]. 
ergo punctum B datum est. 

XXVIII. 

Si per datum punctum rectae positione datae recta 
linea parallela ducitur, ducta recta data est positione. 

nam per datum punctum A rectae BF positione 
datae parallela ducatur recta ^AE. dico, AAE da- 
tam esse positione. 

nam si minus, puncto A manente positio rectae 



19. dsSoiisvri ^. 20. sv&stavl om. ^, sv&slu a. sv&sta] 
ivd-stai Vat. 22. &sasL\ d^saiv a. 

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 4 



50 AEAOMENA. 

tris ^AE rj d-e6Lg. dcafievovGrjg r^g BP TiccQaXXt^Xov 
^staTaTirstcj xal eGtco 7] ZAH. 'jiaQdXkiqXog aQa eGtlv 
il rS tfi ZAH. aXXa r] BT 
tfj ZlAE ictL naQakXrilog. \ 

5 ^al rj AAE aQa tfj HAZ d ^\- E 

TtaQaXXtikog i6tiv. aXXcc xal \H 

0V^7a7tt£t,' OTIEQ £0tlv atO- 

Tiov. ovx aQa {iEta7t£6£ttai tr]g ^AE r] d^icig. 
&i6£i aQa ieStlv rj AAE. 

10 xd''. 

'Eav TCQog d^iSEi dedo^ivr] £v&£ia xal ta TCQog avty 
6rjfi£iG) dedo^iva fv-S-fta yQayi^r] a%Q"fi d^do^ivrjv %0i- 
ov0a yaviav, didotai rj a')(,d-£i6a tf] d^idsL. 

TCQog d-i<S£i yaQ d£dofiivr] Ev&Eia tf] AB xal ta 
15 TtQog avtfj 0r]^£iG) dEdo^iva ta F Ev&eta rjxd-a r] Iz/ 
d£do(iivr]v 7toiov6a yaviav tr]v 'bTch BTjd. kiyca^ oti 
%^i6£i i^tlv r] FA. 

eI yciQ ^if]., ^ivovtog tov F 6rj^£iOv ^£ta7t£6Ettai 
Tijg Jz/ r] %i6ig diatr]Qov0a trjg V7tb tav BFA yco- 
20 viag tb ^iyEd-og. ^£ta7ti7ttito xal i0tco r] FE. l'0r] 
ccQa i6tlv r] 'b^tb tav ^FB yavCa tf] vtco EFB, rj 
(iEit,cov tf] ikc(66ovi' 07CEQ dt07Cov. ovx d^a ^Eta- 
7CE6£ttai tf]g ^r r] d-i6ig. &i6Ei dQU i6tlv r] Fz/. 



1. ij] om. a. 2. iariv'] om. a. 3. FB] BF a.. 5. xat] 
om. a. 6. iatt, jtaQccXXrjXog a. 11. SsSoftiv^] SiSonivov v, 

supra scr. rj m. 2. ccvrfj] iavrf Pv. 15. iv&eia yQamit] a. 
16. SiSofiivr}v — -BJn^] om. v, supra add. m. 2. 17. &iGSL] 
&iaig a. 19. rf]g (pr.)] rov Vat., corr. m. 2. 20. xai 'iara] 
ag a. 21. jrS] ETB a. ETB] r&v JFB a. 2.;. 

»ia£L — rj] om. a. FJ] JF Vat.v. 



DATA. 51 

jdAE mutabitur. parallela BF manente mutetur et 
sit ZAH. itaque FB parallela est reetae ZAH. 
sed BF reetae AAE parallela est. quare etiam 
AAE rectae HAZ parallela est [I, 30]. uerum 
etiam concurrunt; quod absurdum est. itaque po- 
sitio rectae AAE non mutabitur. ergo positione 
AAE data est [def. 4]. 

XXIX. 1) 

Si ad rectam positione datam et datum punctum 
in ea positum recta linea ducitur datum efficiens angu- 
lum, ducta recta data est positione. 

nam ad rectam positione datam AB et datum 

punctum in ea positum F recta Pz/ ducatur datum 

efficiens angulum BFA. dico, F^ datam esse po- 

sitione. 

^\ /^ nam si minus, puncto F 

\ / manente rectae JTz/ positio mu- 

H -^^— A tabitur seruans magnitudinem 

anguli BT^. mutetur et sit 
FE. itaque L ^FB = EFB, maior minori; quod 
absurdum est. itaque positio rectae z/r* non muta- 
bitur. ergo FA positione data est [def. 4]. 



1) In figg. codd. P Vat. v 
litterae A^ B peiinutatae sunt; 
in a figura liaec est: 




52 AEAOMENA. 

l'. 
'Eccv anb dedofisvov 67](1€lov iTtl %i(iei dedoiisvr^v 
evQ^elav evd-ela yQa^fiij aj(^&fj deSofievrjv noiov^a yco- 
vCav^ dedotai rj dx^et0a tf} %-e6ei. 
5 dno yaQ deSofievov erj^etov tov A inl d^e^ei dedo- 
^evrjv ev&stav trjv BF ex^d^sta yQafi^ij ^x^^ ii A^ 
de8o^evr]v 7C0i0v6a ycovCav trjv vno t&v AAT. keya.^ 
oti Q-e6ei i6tlv rj Az/. 

ei ydg ^rj, iisvovtog tov A 6rjfisCov ^stans6sitai 
10 T^g AA rj d-i6ig diatrjQ0v6a trjg vnb AA F ycovCag 
tb ^sysd^og. ^etamntitca xal e0tco rj AZ. i'6r] ccQa 
i6tlv rj vnb t&v AAF ycovCa tfj 'bnb t&v AZF, ij 
fieC^cov tfj iXdttovi' oneQ i6tlv ddvvatov. ovx ccQa 
[istans6eLtai trjg AA r] %-i6ig. %i6ei ccQa i6tlv rj AA, 

15 Xa'. 

'Edv dnb dedo(iivov 6ri(ieCov inl %-i6ei dedofiivrjv 
evd-etav ev&eta yQa(i(ir] nQo^^krjd^^ dedo^iivr] ta (le- 
yid^ei, didotai xal t^ %-i6si. 

dnb yaQ 8sdo(iivov 6r](ieCov tov A inl d^i^si deSo- 
20 (iivr]v [evd-etav tr]v BF evd-eta yQa(i(ir] ^x&a deSo- 
(livi] ta (isyidsi. Xiyco, oti xal tfj d-i6si SiSotai. 

xivtQCo yaQ ta A, Sia6tr](iati Se ttp AA xvxkog 

ysyQacp&co 6 EAZ. %i6si ccQa i6tlv 6 EAZ xvxkog' 

SiSotai ydQ aiJtov tb A xivtQOv tf] %-i6ei xal r] ix 

25 tov xivtQOv rj AA ta (leyi&ei. %-i6ei Se xal r] BF 

6. sv&etccv} om. a. 10. t^s iW-)] V '•^- l^- ^^^<s<fovi 

va. 14. '9'f'fffi] &saig a. Sequuntur tres demonstr. aliae, 

u. app. 20. Post i]x&o} add. rj JE Vat.v, 17 JA a. 21. Si- 
Sotcci Kccl rv ^f68L a. 22. KVKlog] comp. a. 23. &ia£i — 
MvxZo?] 6 Ss EdZ kvkXos (comp.) SsSoTcci a. EJZ] JEZ 

PVat.v. 



DATA. 



53 




XXX. 

Si a dato pmicto ad rectam positione datam recta 
linea ducitur datum efficiens angulum, ducta recta 
data est positione. 

nam a dato puncto A ad rectam BT positione 
datam recta linea AJ ducatur datum efficiens angu- 
lum AAT. dico, AA datam esse positione. 

nam si minus^ puncto A 
manente positio rectae AA 
mutabitur seruans magni- 
tudinem anguli AAT. mu- 
tetur et sit AZ. itaque 
i AAT = AZT, maior minori [I, 16]; quod fieri non 
potest. itaque positio rectae AA non mutabitur. ergo 
AA positione data est [def. 4]. 

XXXI. 

Si a dato puncto ad rectam positione datam recta 
linea data magnitudine adducitur, etiam positione 
data erit. 

nam a dato puncto A ad rectam BT positione 
datam recta linea ducatur data magnitudine. dico, 

eam etiam positione datam 
esse. 

nam centro A, radio au- 
tem AA circulus describa- 
tur EAZ. positione igitur 
circulus EAZ datus est 
[def. 6]; nam datum est A 
centrum eius positione et radius AA magnitudine. 
uerum etiam recta BT positione data est. sin autem 




54 AEAOMENA. 

svd^sia. iav de dvo yQK^^al rfj Q-e6£i, dsdo^svai, rs^vca- 
6iv alkrilag^ dsdotai, rb 67]^stov, xad-' o rs^vov6tv 
akkiqkag' dod^sv (JcQa i6rl ro ^. s6ri dl xal t6 J 
dod-iv. d-easi aQa ietlv yj AA. 

5 A/3'. 

^Eav sig JcaQakXijlovg rfj &s6sl dsdofisvag sv&stag 
svd-sta yQaa^i] axd^f] dsdo^svag 7toiov6a ycovtag, ds- 
dorai Tj d^d^stda tco ^sysd^st. 

sig yccQ naQallijkovg rfi &s6si dsdo^svag svd^siag 

10 rag AB, TA sv&sta yQa^^i] r]%d^c3 7] EZ dsdo^svag 
7toiov0a yoavCag rag vno BEZ, EZA. ksyco., ort de- 
dorai r] EZ ra fisysd-si. 

siXiqcpd^GJ yaQ inl rrjg Jz/j do&sv 6r]^stov rb H, 
Tcal 8lcc rov H rf] EZ naQakXriXog ¥]xQ^g) r] H&. insl 

15 TtaQaXXrjXog i6ttv rj H@ rf] EZ xal sig avrag sv&sta 
i(i7tsnra>Ksv r] Jz/, i6i] ccQa i6rlv r] vnb EZA rf] vnb 
&HA. dod-st6a ds i] 'bnb rCbv EZA' do&st6a ccQa 
xal r] vnb &HA. insl ovv n^bg %-s6st dsdo^svt] 
svd-sia rf] FA xal ra nQog avrfj 6r]^si(p dsdo^sv(p 

20 ta H sv&sta yQa[ifir] r]xrat r] H& ds8o^svr]v notov6a 
ycoviav rr]v vnb &HZ, d^s^st aQa i6rlv r] H&. %-s6st 
8\ xal r] AB. doQ^sv aQa i6rt t6 & 6r](istov. s6rt 
ds xal t6 H Sod^iv. doQ^st^a ccQa i6rlv r] H& ra 
(isyi&st' xai i6rtv I6r] rf] EZ. dod^st6a ccQa i6rl xal 

25 i^ EZ Tc3 (isyi&st. 



1. ti^vojGiv] rsnvov6iv P. 6. slg] JtQog §. 10. tdg] 

rjj a. 14. iTtsl. — 15. H&] inel ovv i] H@ jrapaHTjZos a. 

15. sv&sia] om. a. 16. i(ntsitToi)KSv] -t- supra scr. v. tav 

EZJ a. EZJ] EJZ v. rfj — 17. EZJ] om. a. 18. 

&HJ] r&v @HZ a. 8s8o(isvriv svQslav rijv a. 20. $s8o- 



. DATA. ' 55 

duae lineae positione datae inter se secant, punetum, 
in quo inter se secant, datum est [prop. XXV]; 
quare punctum z/ datum est. uerum etiam A datum 
6st. ergo recta Azi positione data est [prop. XXVI]. 

XXXII. 

Si ad parallelas positione datas recta linea ducitur 

datos efficiens angulos, ducta recta magnitudine data est. 

nam ad parallelas AB, Jz/ positioue datas recta 

linea EZ ducatur datos efficiens angulos BEZ, EZA. 

dico, rectam EZ datam esse magnitudine. 

nam sumatur in recta F^ datum punctum H, et 
per H rectae EZ parallela ducatur H®. quoniam 

H0 parallela est rectae 
j ^ ^ EZ et iu eas recta in- 

cidit FA, erit 

'L EZA = ®Hzt [1, 29]. 

uerum datus est angu- 
~l{ —^, j lus EZA:, itaque etiam 

angulus &HA datus est 
[def. 1]. iam quoniam ad rectam FA positione datam et 
datum punctum in ea positum H recta linea H® ducta 
est datum efficiens angalum ®HZ, positione data erit 
H@ [prop. XXIX]. uerum etiam AB positione data 
est. ergo punctum ® datum est [prop. XXV]. uerum 
etiam H datum est. itaque H® data est magnitudine 
[prop. XXVI]; et aequalis est rectae EZ [1, 34]. ergo 
etiam EZ data est magnitudine [def. 1]. 



iihrjv — 21. &HZ] om. a. 22. kuI] supra add. comp. 

m. 2 y. 6r\iisicp x. 23. SQd^sv] om. Vat. 



56 AEAOMENA. 

A/. 
'Eav etg naQaXXyjXovg rfi d^i^ec dsdofisvag sv^siag 
svd-sta yQafi^ij ax&fj Ssdo^svrj tc5 ^sysd-si^ dsdofisvas 
noiri0sv yaviag. 
5 slg ya^ naqal.'k'Y\kovg rfj Q^sGsi dsdo^svag sdd^siag 
rag AB^ TA sv^sla yQa^fiij ^xd^co rj EZ, dsSoiisvrj 
ra ^sys^si. ksyco, on dsdo^svag nof^GSL yajvCag tag 
i)3tb rav BEZ, EZ^. 

siXrjcpd^o yccQ snl rfig AB dod^sv 6rj^stov rb H xal 

10 dia Toi) H rrl EZ naQaXXrjkog i]xd-co rj H&. i'6rj aQa 
ierlv rj ZE rfj H&. dodstGa ds rj EZ' dod-st0a aQa 
xal rj H&. xaC s6rL t6 H dod^sv. 6 aQa xsvtQ(p ^sv 
ra H, dLa6rr]fiarL ds ra H& xvxXog yQa(p6fisvog s6raL 
rfj d'S0SL. ysyQdq>d^C!} xal serco 6 K&A. ^s6sl aQa 

15 ietlv 6 K&A. ^s6sl 8s xal r} FA. doQ^sv aQa i6tl 
t6 & 6rj^stov. i6rL 8\ xal t6 H dod^sv d'i6sL aQa 
i6rlv r] H&. d^i^SL ds xal rj FA. dod-st6a aQa i6rlv 
i] 'bnb rav H&A ycctvCa, xaC i6rL rfj 'bnb rcov EZA 
i'6rj. 6od^st6a ccQa xal 'f] 'unb rcov EZA. xal XoLni] 

20 aQa r] 'vnb rav ZEB do&st6d i6rLV. 

k8\ 
'Eav sCg naQakk^Xovg tfj %^i6sL dsdoiiivag s^vdsCag 
ccnb dsSofiivov 6r]^sCov svd^sta yQaii^i] dx^f]^ eCg 6sdo- 
(livov k6yov t^r]%^r]6sraL. 



5. yap] supra add. m. 2 v. 8. t&v] del. m. 2 Vat., 

om. a. 11. Post EZ add. (isysQ-fi PVat.v. 12. ro] t^ a. 

13. v,vyiXog] comp. a. 14. Post d-iasi (pr.) add. SsSofiivog a. 

ysygdq^d^co — p. 58, 10. 8o&sv &q(x] om. hic a; eorum loco 
propter transmutationem foliorum (u. praef.) reperiuntur p. 76, 16 
XQiYmvov — p. 80, 7 inl ttjv AR 18. H0J] &J Vat., 



DATA. 57 

XXXIII. 

Si ad rectas parallelas positione datas recta linea 
ducitur data magnitudine, datos efficiet angulos. 

nam ad rectas parallelas positione datas ^B, Jz/ 
recta linea ducatur EZ data magnitudine. dico, eam 
datos efficere angulos BEZ, EZA. 

nam sumatur in recta AB datum punctum H, et 
per H rectae EZ parallela ducatur H®. itaque 
ZE=H@ [I, 34]. sed data est EZ:, quare etiam 
^ jj j^ g if data est [def. 1]. 



K 



et punctum H datum 
est. itaque circulus de- 

scriptus centro H, radio 

^ 7y ZJ autem H& datus erit 

positione [def. 6]. describatur et sit K®A. positione 
igitur datus est circulus K&A. uerum etiam recta 
FA positione data est. itaque datum est punctum 
& [prop. XXV]. uerum etiam H datum est; itaque 
H® data est positione [prop. XXYI]. uerum etiam 
FA positione data est. itaque datus est angulus H&/J. 
ei LH&A = EZA [l, 29]. quare etiam L EZA datus 
est [def. 1]. ergo etiam qui relinquitur L ZEB datus 
est [I, 29; prop. lY]. 

XXXIY. 

Si ad parallelas rectas positione datas a dato puncto 
recta linea ducitur, secundum datam rationem secabitur. 



H add. m. 2. yavicc] ycovi&v P. 19. v.ai (pr.)] om. Vat. 

20. ZEJ5] ZEz/ b (u. praef.). iari v, v add. m. 2. Seq. 
demonstr. altera, u. app. 21. W] fts' b. 



58 AEAOMENA. 

£ig yocQ TtaQaXliqlovg tfj %-B6Bi dEdo^evag svQ-stag 
tag AB^ T/i a%o ds^ofiavov 6rj^eL0v tov E svQ^sta 
yQafi^ij 7]x&a 7] EZH. keyco, on Xoyog ietl r^g EZ 
TCQog ZH do&sig. 
5 i]x^(o yccQ aTto tov E 6r]^siov inl triv T/i xdds- 
tog 7] EK@. sTtsl aitb dsdo^svov 6ii]^slov rov E snl 
9-£<S£L dsdo^EVTjv sv&stav tY]v T/i sx^d^Eta yQafi^r] r]xtai 
'^ E® dsdo^Evr]v 7t0L0v6a ycoviav tr]v vjtb tav E@H, 
&£<SSL aQa satlv r] E@' Q^sasL ds jcal ixatSQa t&v 
10 AB, Tzl' dod-sv ccQK iatlv sxdtSQOv t&v K, @. i6ti 
ds xaL t6 E dod^EV dod^EtGa ccQa i6t\v ixatsQa t&v 
EK, K@. Xoyog ccQa tr]g EK TtQbg tr]v K@ dod^sig. 
xaC i6tLV hg r] EK nQog tr]v K@, ovtcag rj EZ TtQog 
tr]v ZH. loyog ccQa xal trjg EZ TtQbg tr]v ZH dod-SLg. 

15 Is'. 

'Eav ccTto dsdoiiEvov 6r]^£L0v inl %^e6el dEdo^svr]v 
Evd-Etav Et^&Eta yQa^^i] axO^f] xal t^r^&f] Eug dsdoiiEVOV 
Xdyov, dLcc ds rijg tofirig itaQa ti]v %s6sl dsdo^svt^v 
sv&stav Evd-Etu yQafifi^ ^X^V^ didotaL i^ ax%Et6a r?" 

20 d-E6£L. 

d%o yaQ dEdo^ivov 6r]^EL0v tov A i%\ \ti6EL 8e8o- 

}iivr]v Evd-SLCiv tr]v TB sdd-Eta yQa^fir] ilx^(o r] AA 

xa\ t£t^r]6d^co ELg dESo^ivov Xoyov tbv trjg AE %Qbg 

EA, xa\ ^x^^ ^^^ "^ov E ti] BT %aQdXkr]Xog i) ZEH. 

25 Xiya, otL %i6£t, i6t\v r] ZEH 

1. S£So(iivc(s] bis b (non a). 5. 8v9stK yidQ-sros b. G. 
inei] insl ovv b. ini — 8. E&] om. b. 8. notovaav b. 

E@H] E&J b. 10. tmv] ro Vat. K, criiiEioav a. 11. 
E]JE a. 12. EK, K@] 0K, KE a. Post Xoyos add. 

ieriv a. tTjv] a; ro PVat. v, sed corr. m. 2 Vat. 13. 

Y.ai iariv oig] ihg Ss a. 14. Seq. demonstr. altera, u. app. 



Z/ \K 



H <9 



DATA. 59 

nam ad parallelas rectas positione datas AB, F/J 
a dato puncto E recta linea ducatur EZH. dico^ 
'rationem EZ : ZH datam esse. 

j nam ducatur a puncto E ad jTz/ perpendicularis 
• EK®. quoniam a dato puncto E ad rectam positione 

datam Fzl recta linea ducta 
^A est E & datum efficiens 

angulum E&H. E0 data erit 
positione [prop. XXX]. ue- 
rum etiam utraque AB, Fzl 
— /j positione data est; itaque 
utrumque punctum K, @ 
datum est [prop. XXV]. uerum etiam E datum est. 
itaque utraque EK, K® data est [prop. XXVI]. quare 
ratio EK : K & data est [prop. I]. et est 
EK:K&-=EZ: ZH [VI, 2]. 
ergo etiam ratio EZ : ZH data est [def. 2]. 

XXXV. 

Si a dato puncto ad rectam positione datam recta 
linea ducitur et secundum datam rationem secatur, et 
per punctum sectionis rectae positione datae parallela 
recta linea ducitur, ducta recta data est positione. 

nam a dato puncto A ad rectam positione datam 
FB recta linea Azi ducatur et secetur secundum 
datam rationem ^E : EA, et ducatur per punctum E 
rectae BF parallela ZEH. dico, ZEH positione 
datam esse. 



15. Xs'] Xr §. 22. rS] rj PVat.T, &B a; corr. Monac. 
361 m. 2. 25. ZEH'] ZH a. 



60 AEAOMENA. 

fjxO^a yccQ ajtb rov A i%\ rrjv BF xdd^sros rj A@. 
STcel aTtb dedo^svov 6riyisCov rov A s%\ %i6Bi dedofiivrjv 
sv&stav rijv B F ev&sia yQa^firj rjxrat rj A& dsdo^ivr^v 
7C0L0v6a ycovCav rrjv vnb r&v A®/1^ &i6si aga isriv 
5 rj A&. &i6si 8s xa\ rj BF' dod^sv aga rb & erjfistov. 
s6ri ds xa\ rb A dod-iv. 6od^st6a aqa i6r\v rj A@. 
xa\ ins\ Xbyog rijg ^iE n^bg rrjv EA dod-sCg, cig 6s 
rj ^E JiQbg rrjv EA^ ovrag rj &K TtQbg rrjv KA., 
Xoyog aQa xal 6 rr]g &K TtQbg rrjv KA dod-sCg. 6vv- 

10 d^ivrt (XQa koyog i6r\ rrjg &A TtQbg AK dod^sCg. 8o- 
&st6a 8s r] &A' doQ^st^a aQa xa\ rj AK. «AAcc xa\ 
rfj &i6sL. xaC i6ri rb A Sod-iv do&sv aQa xa\ rb K. 
ins\ ovv dia dsdo^ivov 6rj^sCov tov K naQa &i6SL 
dsdo^ivrjv sv&stav rrjv BF sv&sta yQafi^ij '^xrai 'f] ZH^ 

15 d^i6SL aQa i6r\v rj ZH. 

'Eav anb dsdo^ivov 6rj^sCov i7t\ &i6sL dsdo^iivriv 
svd^stav svd^sta yQafifii] ax&f] xa\ nQ06rs&fj rtg avrf] 
sv^sta koyov s^ov^a TtQbg avrr]v dsdo^ivov, dia Sh 
20 rov TtiQarog rfjg n:Q06rs&sC6r]g naQo. rr]v ry ^i6sL 
dsdo^ivTjV svdstav svd-sta yQa^fir] ax&y, didoraL ■i] 
d%&st6a rf] d-i6SL. 

dnb yaQ $sdo^ivov 6r]fisCov tov A in\ &i6SL dsdo- 

^ivr]v svd^stav rrjv BF sv&sta yQafi^'^ ^X^^ V -^-^» 

25 xa\ nQ06xsC6^G) rf] AA rj AE Xoyov sxov6a n^bg rr]v 



2. iniC] inl a. icn6'] om. a. 4. A&/f\ z/ add. m. 2 

Vat. 6. So&iv\ 8o- supra m. 1 v. 7. yicci] om. Vat., add. 
m. 2. TTjV] om. a. So&sig — 8. EA] P in mg. m. 1, sed 
alio atramento. 8. Post KA add. Pv: Sod^^lg Se 6 t^g 

/JE Ttgbg zriv EA Xoyog, et dein supra scr. So^fig m. 1 P. 10. 
Ante rfjg supra add. yicd (comp.) m. 2 v. 11. aQo] Ss a. 



I 



z 


J 


K 


H 




/ 








/ 






B 


/ 




T 



DATA. 61 

ducatur enim a puncto A 2A BT perpendicularis 
A@. quoniam a dato puncto A ad rectam BT po- 
sitione datam recta linea ducta est A® datum effi- 

ciens angulum A&A, A® po- 
sitione data erit [prop. XXX]. 
uerum etiam BF positione 
data est; itaque punctum 
datum est [prop. XXV]. ue- 
^ rum etiam A datum est. 

ergo A & data est [prop. 
XXVI]. et quoniam ratio AE : EA data est et 
AE:EA=®K: KA [VI, 2], etiam ratio ®K : KA 
data erit [def. 2]. componendo igitur ratio ®A : AK 
data est [prop. VI]. data est autem ®A. quare etiam 
AK data est [prop. II]. uerum etiam positione data est. 
et punctum A datum est; quare etiam K datum est 
[prop. XXVII]. iam quoniam per datum punctum K 
rectae positione datae BF parallela ZH ducta est, 
Zif positione data erit [prop. XXVIII]. 

XXXVI. 

Si a dato puncto ad rectam positione datam recta 
linea ducitur, eique aliqua recta adiicitur rationem ad 
eam habens datam, et per terminum adiectae rectae 
recta linea ducitur rectae positione datae parallela, 
ducta recta data est positione. 

nam a dato puncto A ad rectam positione datam 
BF recta linea ducatur AA, et rectae A^ adiiciatur 
AE rationem ad AA habens datam, et per punctum E 

16. ^s'] XI' j3. 20. T^] om. /3. 21. ^i&slav^l om. PVat. 
svQ^sia] om. v. 25. J(z/] dA a. 



62 AEAOMENA. 

A/i dsSofievov, dLcc de rov E rfj BF TtaQccXXrjkog ^O'» 
7} ZK. ksyco, ori d-a<Set i^rlv 7] ZK. 

rix^co yccQ djtb tov A inl rriv BF xd&erog ij A& 
xal di^^x^^ ^^^ "^t) H. STcel dnb dedo^evov CrnieCov 
5 rov A enl Q^eGeu dedofievtjv ev&etav rrjv BF evd-eta 
yQafifi'^ rjxrai rj A& dedofievrjv 7COiov<3a yaviav ri^v 
VTtb A®r, &e6ei ccQa edrlv rj &AH. Q-e6ei de xal 
rj BF' dod-av dga e6rl rb @ 6rjfietov. e<3ri ds xal 
rb A dod-ev dod^etGa dga i6rlv rj A&. xal inel Xoyog 

10 i^rl rrjg AA TtQbg rrjv AE dod-sig, cjg de rj AA TtQog 
rijv AE, ovrag r] &A TtQog rijv AH, loyog aQa xal 
T^g &A TtQbg rijv AH do&eig. do&et^a de rj &A' 
do%-et6a aQa xal rj AH. dkkd xal rfi ^e^ei. xaC i(Sn 
8o&ev t6 A' dod^ev aQa xal t6 H. inel ovv did 

15 dsdofievov GrjfieCov rov H naQa %^e6ei dedofievrjv sv- 
_%etav rijv BF sv^sta yQafifirj rjxrat rj ZHK, d-s6st 
aQa i6rlv rj ZHK. 

'Edv sig naQakkrikovg rfj %e6ei dsdofievag evd^eCag 
20 evd-eta yQafifirj dx^fj xal rfirjd^fi etg dsdofisvov Xbyov, 
did dh rrjg TOfi^g TtaQd rdg rfi &e0si SsSofisvag svd-sCag 
sv^sta yQafifiij dx^f}, dsdorat rj dy%et6a rfj %i6si. 

slg ydQ TtaQaXXijlovg rfj ^s^si dsdofisvag sv&sCag 

rdg AB^ JTz/ sv%sta yQafifiij ^x%(0 r] EZ xal r6rfi7]6d'6) 

25 sCg dsSofisvov koyov rbv rrjg ZH nQbg rijv HE, xal 

diiqx^cxi 8id rov H oTtorsQcc rcbv AB, FA TtaQaXXrjlog 

rj &K. keyci), oTt ^sesi iarlv rj &K. 

1. AJ] AE a,. 7. aQcc iaxlv tj ©AH] t) AH &. 8. fet 

— 9. A@] om. a. 9. A 0] Ad Vat. 1.5. Post H add. Ttaqk 

SsSofisvov ari(isiov rov H a. 17. ZHK] ZH a. 18. ^^1 

Xr}' ^. 25. ticci] om. Vat., ins. m. 2. 26. H] H rj Vat. 

TtaQccXXriXos] comp. Vat., TcaQaXlrjX- in ras. m. 2 v. 




DATA. 63 

rectae BF parallela clucatur ZK. dico, ZK datam 
esse positione. 

ducatur enim a puncto A a,d BF perpendicularis 
^0 et educatur ad H. quoniam a dato puncto ^ 
ad rectam positione datam BF recta linea ducta est 

^& datum efficiens angu- 
lum A&r, recta &AH po- 
sitione data erit [prop. 
XXX]. uerum etiam BF 
positione data est; itaque 
punctum & datum est [prop. 
XXV]. uerum etiam A datum est. ergo A& data 
est [prop. XXVI]. et quoniam ratio zlA : AE data 
est et AA : AE = &A : AH [VI, 4], etiam ratio 
&A : AH data erit [def. 2]. data est autem &A. quare 
etiam AH data est [prop. 11]. uerum etiam positione 
data est. et datum est punctum A^ quare etiam H 
datum est [prop. XXVII]. iam quoniam per datum 
punctum H rectae BF positione datae parallela recta 
linea ducta est ZHK, ZHK poeitione data erit 
[prop. XXVIII]. 

XXXVII. 
Si ad parallelas rectas positione datas recta linea 
ducitur et secatur secundum datam rationem, et per 
terminum sectionis rectis positione datis parallela 
recta linea ducitur, ducta recta data est positione. 

nam ad parallelas rectas positione datas AB, TA 
recta linea ducatur EZ et secetur secundum datam 
rationem ZH: HE, et educatur per punctum H utri- 
que AB, FA parallela &K. dico, &K datam esse 
positione. 



64 AEAOMENA. 

silrj^pd^o) yccQ snl rij? AB dod^av 6r]^eiov tb A, 
xal xatrixd^a aTtb tov A 8x1 triv FA xd&stos rj AN. 
ijtsl anb dedo^Evov (SrjiieLov tov A stcI %'i6eL dedo- 
fiivrjv evd^elav rrjv JTz/ evd-eta yQa^fiij rjxtai, rj AN, 
5 dedofiivrjv %0L0v6a ycovCav trjv vnb t&v AN^^ d^i^ei 
uQa e6tlv rj AN. Q^i^ei 8\ aal i) Pz/* do&ev aQoc 
t6 N 6rj^ei0v. ^6ti de xal tb A do&iv dod-etda ccqu 
e6tlv r} AN. xal enel Xoyog e6tl Tijg ZH TCQbg ti)v 
HE do&etg, ag de rj ZH TCQbg trjv HE, ovtcog r] NM' 

10 TCQbg trjv MA, Xoyog aQa xal trjg NM iCQog tijv MA 
dod^etg' cS6te xal trjg NA XQbg tr^v MA e6ti dod^elg 
X6yog. do&et6a de r] NA. dod-ei6a ccQa xal rj AM. 
aXlcc xal tfj %-i6ei. xaC i6tL doQ^hv tb A' 8o%-%v ccQa 
xal t6 M. inel ovv dia dedo^ivov ^rj^eCov tov M 

15 TCaQcc %i6eL dedo^ivrjv evd-etav trjv FA ev%eta yQa^^i] 
i]XtaL r] @K, %i6eL ccQa i6tiv r] ®K. 

Xr]' . 
'Eccv eCg 7CaQaXkr]Xovg tf] d^i^ei dedo^ivag evxteCag 
ev^eta yQa^i^i] a%%f] xal 7tQ06ted'f] tig avtf] ev%eta 
20 Xoyov exov6a JCQog avtijv dedo^ivov, Slcc d^ tov TciQa- 
tog TCaQcc tccg tfj %-i6eL 8e8o^ivag TCaQcckXrjXog ex^d-ettt]', 
yQa^^i] axd-f], didotac r] cc%d'et6a tfl d^i^SL. \ 

elg yccQ icaQaXXr]Xovg tf] d^i^SL dedo^ivag evd^eCagi 
tdcg AB, rk/ evd^eta yQa^iii] ^x^^ V ^Z, xal icqog- 

2. Kcctijx^^] Sirjxd^o) a. A] A a,. 5. tcov] ttjv Vat., : 

del. m. 2. 7. Sod^slaa] d-fasi a. 8. rijv] tjj a. 9. HE (pr.)] , 
H supra scr. m. 1 v. NM] MN a. 10. NM] MN va. 11. ' 
MA] AM ii. Xoyog iarl So&sig a. 13. &XXci] om. a. 17. irj'] : 
X&' p. 18. si&Eiccg rfj &e6Si SEdofisvug § (non a). 20. Post | 
TtsQDctog cum editoribus desidero tfjg jtQoats&siarig. 21. Ttug- \ 
dXXriXog] svdsiag |3. 22. ax^si v, corr. m. 2. &x&stGci] in 
hoc uocabulo incipit b; titulus est: svhXsiSov $s$o(isvu trig d^soi- 
vog iKSoasag, mg. XsiTtsi rj &QX11- 



DATA. 65 

sumatur enim iii recta AB datum punctum A, et 
ducatur ab A ad Fzi perpendicularis AN. quoniam 
a dato puncto A ad rectam positione datam Iz/ recta 

linea ducta est AN datum 
d -? — -. --S efficiens angulum ANA, 



0- 



H 



r 



. L 



M 



—K positione data erit AN 
[prop. XXX]. sed positione 

/l etiam TA data est. ergo 

^ '" punctum N datum est 

[prop. XXV]. uerum etiam A datum est. itaque recta 
AN data est [prop. XXVI]. et quoniam ratio ZH\ HE 
data est et ZH:HE = NM:MA [VI, 2], etiam 
ratio NM:MA data erit [def. 2]. quare etiam ratio 
NA : MA data est [prop. VI]. sed data est NA. 
ergo etiam AM data est [prop. II]. uerum etiam 
positione data est. et datum est punctum A^ itaque 
etiam M datum est [prop. XXVI 1]. iam quoniam per 
datum punctum M rectae positione datae FA parallela 
recta linea ducta est @K, ®K positione data erit 
[prop. XXVIII]. 

XXXVIII. 

Si ad parallelas rectas positione datas recta linea 
ducitur, eique adiicitur aliqua recta rationem ad 
eam habens datam, et per terminum rectis positione 
datis parallela recta linea ducitur, ducta recta positione 
data est. 

nam ad parallelas rectas positione datas AB, FzJ 
recta linea-ducatur EZ, eique adiiciatur aliqua recta 



In figg. codd. Pv etiam EHZ perpendicularis est. 

Euclides, edd. Heiberg et Menge. "VI. 5 



66 AEAOMENA. 

xet0d-(o tig avxfi ivd^sta rj EH koyov exov6a tcqos 
trjv EZ dedofisvov, dia ds tov H bnotsqa t&v AB^ Fz/ 
s^dd-et&v TcaQaXXrjXos sv&sta yQa^ifiij ^x^^ 'h ®^- ^cVcJ, 
OTfc d-sdst e6ttv rj @K. 
6 eiXri(p^(o yccQ snt T^g AB dod^sv 6r]^stov tb iV, 
xal r^x^^ ^^^ ^O"^ -^ *'^^ '^W ^^ xdd-stog svQ^sta 
yQa^^irj rj NM xal dtYixQ^co snl th A. inel anb dsdo- 
^isvov Grj^stov tov N snl d-s^st dsdofisvrjv sv^stav 
trjv F/l svd-sta yQa^firj rjxtat rj NM dsdo^svrjv not- 

10 ov6a ycovtav tijv vnb NM^d, Q-s6st aQa i6tlv rj ANM. 
%'s6st 8\ xal rj FA. dod^sv aQa i6tl tb M 6rj^stov. 
s6tt de xal tb N do&sv. dod-st6a aQa i6tlv r} NM. 
xal inel koyog i6tt irijg ZE nQog ti}v EH Sod-eig^ ag 
de rj ZE n^bg tijv HE^ ovtojg i^ NM n^bg tijv NA^ 

15 X6yog aQa xal tfjg MN n^bg tijv NA dod^eig. dod^et6a 
ds rj NM' 8o%-st6a aQa xal rj NA. dkXa xat tfj ^s6st. 
xai i6ti xb N doQ-sv dod^ev ccQa xal tb A. inel ovv 
dtd dsdo^isvov 6r]^siov tov A naQcc &s6st dsdofisvrjv 
svd-stav tijv AB sv&sta yQa^^ij ijxtat rj &K, d-s6st 

20 ccQa i6ttv r} @K. 

'Edv tQ tycivov sxd6tr] t&v nXsvQ&v dsdo^svrj ^ ta 
^eysd-st, dedotat tb tQiycovov ta eldst. 

tQtycbvov yaQ tov ABF sxd6tr] t&v nXevQ&v 
25 dedonevrj i6tco ta (leys&st' ksyco^ OTt to ABF tQi- 
yovov dsdotat tc5 stdst. 

2. ti^v'] aitriv triv b. 3. si3%'H&v'\ om. b. TtuQdXXrikos] 
b, om. rell. 6. iV] M b, item lin. 8, 17. 7. NM] MN b, 
item lin. 9, 12, 16. 10. iViWz/] MJ v, MNB b et dein 

add. 8o%^£laa &qa iatl ^ MN. ANM] AMN Pv, AM 

Vat., MN h. 12. So^slaa] Hardy; ^sffa Pvb, ^jrft Vat.; 

Parisin. 2472 &iaBi del. et in mg. scr. m. rec: '8o9h^ ut puto. 



A 



E 



N 



M 



DATA. 67 

EH rationem Sid EZ habens datam, et per H utrique 
rectae AB, jTz/ parallela recta linea ducatur @K. 
dicOj @K datam esse positione. 

nam sumatur in recta ^B datum punctum N, et 
ducatur ab N ad F^ perpendicularis recta linea NM 
et educatur ad A. quoniam a dato puncto iV" ad 

rectam positione datam 
® 7 I ^ JTz/ recta linea ducta est 

— B NM datum efficiens angu- 
lum NM^, positione data 

—j erit ANM [prop. XXX]. 
sed positione etiam JT^/ 
data est. ergo punctum M datum est [prop. XXV]. 
uerum etiam JV datum est. itaque recta NM data est 
[prop. XXVI]. et quoniam ratio ZE : EH data est 
et ZE.EH^NM.NA [VI, 2], etiam ratio MN:NA 
data erit [def. 2]. sed data est NM. ergo etiam NA 
data est [prop. II]. uerum etiam positione data est. 
et datum est punctum N. itaque etiam A datum est 
[prop. XXVII]. iam quoniam per datum punctum A 
rectae positione datae AB parallela recta linea ducta 
est @K, @K positione data erit [prop. XXVIII]. 

XXXIX. 

Si trianguli unumquodque laterum datum est magni- 
tudine, triangulus datus est specie. 

nam trianguli ABF unumquodque laterum datum 
sit magnitudine. dico, triangulum datum esse specie. 

14. HE] EH Vat.b. 15. MN] NM P. 16. NA] MA b. 
n. insi — 18. A] om. b. 21. X&'] ji' b. 23. to] v.(xl 

V. 26. biSh] corr. ex stSri m. 2 v. 

5* 



68 



AEAOMENA. 




EHXEi6%-Gi yccQ svdsla rfj &e0£i dsdopi,evr] rj ^M, 
nsnsQccrco^Evrj }isv xara rb z/, ansLQog ds xaTa rb 
koLitov^ xal XS16&C0 rfi fisv AB l'6r} 7] AE' do&st6a 
ds rj AB' 8od^st6a aqa %al rj zJE' 
5 «AAa xal tij Q's6si' naC i6ri dod^sv rb 
A' 8o%^sv aQa xal rb E' tfj ds BF 
t6ri ri EZ' do&st<Sa 8s rj BT' do- 
%sl6a ixQa xal rj EZ' aXXa xal rfj 
%s6si' xaC s6ri doQ^lv rb E' dod^sv 

10 clcQa xal tb Z' rfj 8s AF i'6r] r] ZH. dod^st^a ds rj AF' 
dod-£i6a ccQa xal rj ZH. dXla xal tf] d-s^si. xaC s6ti 
do&sv tb Z' do&sv aQa xal tb H. xal xsvtQa ^sv . 
Tto E, dia6rr]^ari ds ta EA xvxlog yEyQacp&G) 6 AK®'l 
%-s6£i ccQa s6tlv 6 AK&. Tcdliv xsvrQG) ^sv r<p Z,| 

15 dia6rr]^ari ds r<p ZH xvxXog ysyQd(pd-c3 6 HKA'' 
d-E6Ei ccQa £6riv 6 HKA' %E6£i ds xal 6 A&K xvxkog' 
do%\v (XQa £6ri xal rb K 6r](iEtov. £6ri d£ xal ixd- 
rsQOv r&v E, Z do%sv' doQst^a aQa s6rlv £xd6rr] r&v 
KE^ EZ, ZK tfj %£6Ei xal ta fiEyi&Ei' didotai ccQa 

20 t6 KEZ tQCycovov tc3 £i'd£i. xaC £6tiv i'6ov ts xal 
ofioiov ta ABF' dsdotai ccQa tb ABF tQCycovov ta 
stdEi. 



In figg. codd. PVat. esi AB = AT, EJ 
om. PVat.v; pro d hab. A b. 



ZH: litt. M 



1. SsSo^svri r^ d^sasi sv&sla b. SsSo(isvri] om. Pv. ztM] 
JH et supra H scr. M m. 1 b. 5. Post So&sv add. Ss 

(comp.) b. 10. Tfi] 7] b. ■^(pr-)] '^V ^^- ^^- ^-^] -^^ ^- 
14. ^■sGSi — J K@] om. b. jtdXiv] kccI ndXiv b. 15. ZH] 
EJ V, supra scr. m. 1 ZH. 17. xai (pr.)] om. b. hn] 

Kal icTi V. 18. IxaoTT}] kticetsQa b. 20. toJ xai t6 v. 21. 
TM (pr.)] airm t6 b. 



DATA. 



69 




ponatur enim recta positione clata ztM, terminata 
in puncto ^, ceterum autem infinita, et ponatur 
^E= AB. sed data est AB. quare etiam ^E data 

est [def. 1]. uerum 
etiam positione data 
est. et datum est punc- 
tum^; itaque etiam 
E datum est [prop. 
XXVn]. ponatur 
EZ = Br. sed data 
est BF. quare etiam 
EZ data est [def. I]. 
uerum etiam posi- 
tione data est. et datum est punctum J5; itaque etiam 
Z datum est [prop. XXVII]. ponatur autem ZH= AF. 
sed data est ^r*. quare etiam ZH data est [def. 1]. uerum 
etiam positione data est. et datum est punctum Z*, 
itaque etiam H datum est [prop. XXVII]. et centro E, 
radio autem E^ circulus describatur AK@. itaque 
AK& datus est positione [def. 6]. rursus centro Z, 
radio autem ZH circulus describatur HKA. itaque 
HKA datus est positione [ib.]. sed etiam circulus 
AK& positione datus est. ergo etiam punctum K 
datum est [prop. XXV]. uerum etiam utrumque punc- 
tum E, Z datum est. itaque unaquaeque rectarum 
KE, EZ, ZK positione et magnitudine data est 
[prop. XXVI]. ergo triangulus KEZ datus est specie 
[def. 3]. et aequalis et similis est triangulo ^^JT [I, 8; 
I, 4-, VI, def. 1]. ergo triangulus ABF datus est 
specie [def. 3]. 



70 AEAOMENA. 

(l'. 

'Eccv XQtyavov ixddrr] tav yavL&v dedo^evrj ri ra 
(isysd-Si, dsdoxai t6 xQCyavov xa sidsL. 

XQiydivov yccQ xov ABF sxcc6xrj x&v ycovi&v dsdo- 
5 (isvT] s6xG) xa fisysd-SL' Xsya, bti dsdoxat xb ABF 
XQiyojvov TK> sidsi. 

ixxsi^&G) yccQ xfi d-s0SL xal xa fisys&SL dsdofisvrj 
svd-sta 7} ^E, Ttal 6vvs6xdxco JtQog xfj AE xal xots 
nQog avxf] 6r](iSL0Lg xotg ^, E xfi fisv vnh FBA ycavCcx. 

10 tar] ycovCa sv&vyQafi(iog rj vnh ^z/Z, xf] d\ i)nh x&v 
AFB i6r] 7] 'bnh x&v AEZ,' loLnr] ccQa r] vnh x&v 
BAF XoLnfj l'6r] xfj vnh x&v ^ZE iGXLV. do^stGa 8s 
sxd<3xr] xcbv nQhg xotg A, B., F' dod^stda ccQa ^al sxdGxr] 
xS)v nQhg totg z/, E, Z. insl ovv n^hg %^s6sl dsdo- 

15 (isvr] svd^sCa t^ zlE xal ta n^hg avtf] 6r](iSLC0 dsdo- 
(isva t<p z/ svxtsta yQa(i(ir] rjxtaL r] /JZ dsdo(isvr]v 
noLov6a ycovCav tr]v nQhg ta z:/, d^s6sL ccQa i6t\v r] AZ, 
dLoc ta ccvtd d^ xal i] EZ %s6sl i6tCv' dod^sv ccQa 
i6tl t6 Z 6r](iSL0v. s6tL ds xal sxdtSQOv t&v A, E 

20 dod-iv do&st6a aQa i6tlv sxd6tr] x&v z/Z, ^E, EZ 
xf] d-s6sL xal ta (isysd^SL' dsdotaL aQa th /iZE tQC- 
ycovov Toj slbsL. xaC i6tLV b(jLOLOV ta ABF tQLycovco' 
dsdotat ccQa xal th ABF tQCyoovov tc5 sidsL. 



1. fi'] (loc' h. 5. Xiyco — 6. siSsi] om. v. 8. rfj] 

xriv b. 9. ccvxfi] ccvrolg v, corr. m. 1. 11. AFB] BFA 

Vat.v. farf] om. b. 12. BAT] BFA Pb. Xontf^ — iariv] 
XoiTC^ rfj vTtb rcbv B TA fcrj 7] vnb rdtv /^ E Z ieriv b. rmv] 
om. Vat. 13. Post F add. J b. xai'] om. b. 15. SsSo- 
lisvca 67\{i,sla) b. 16. rat] rrjv b. 17. rtjv] rrjv b. &iasi 

a •'• „ 

— z/ Z] So&siaa agcc sariv r) JZ \ h; puncta , n, o ei mg. X" i/ 



DATA. 



71 



XL. 

Si trianguli singali anguli dati sunt magnitudine, 
triangulus datus est specie. 

nam trianguli ABF singuli anguli dati sint magni- 
tudine. dico, triangulum ABF datum esse specie. 

ponatur enim recta zlE positione et magnitu- 
dine data, et ad ^E et puncta in ea posita z/, E 
angulo FBA aequalis construatur angulus rectilineus 
EziZ et angulo AFB aequalis 
/iEZ [I, 23]. reliquus igitur 
angulus BAT reliquo ATjE ae- 
qualis est [I, 32]. sed singuli 
anguli ad puncta A^ B, F positi 
dati sunt. itaque etiam singuli 
anguli ad z/, E^ Z positi dati sunt 
[def. 1]. iam quoniam ad rectam 
positione datam^^ et datumpunc- 
tum in ea positum A recta linea 
z/Z ducta est datum efficiens angu- 
lum ad A positum, ^Z data erit positione [prop. XXIX]. 
eadem igitur de causa etiam EZ positione data est. 
itaque punctum Z datum est [prop. XXV]. uerum 
etiam utrumque punctum ^, E datum est. quare 
unaquaeque rectarum AZ, AE, EZ data est positione 
et magnitudine [prop. XXVI]. ergo triangulus AZE 
datus est specie [prop. XXXIX]. et similis est tri- 
angulo ABF [VI, 4]. ergo etiam triaugulus ABF 
datus est specie [def. 3]. 




&S(;si ocQa sativ ri dZ m. 2. 

z/Z] Zd b. 



18. iativ] iatt Vat.v. 20. 



72 AEAOMENA. 

ficc'. 
'Eav TQLycovov ^Cav e%ri yaviav dsdoiiBvriv^ TteQi 
de rijv dsdofievrjv ycovtav aC tcIsvquI tiqos aXl^/ias 
koyov 'e%(o6i dedofievov, dedotai ro TQiycovov ra eldei. 
5 exsTG) yaQ tQiycovov xo ABF ^tav ycovtav dedo- 
^ev7]v f^v 'bno xcbv BAF, jieQl de xijv vno xcbv BAF 
aC nkevQal aC BA, AF jcqos aV.ijXas koyov e%ex(x>6av 
dedo^evov Xeyco, oxi xb ABF XQiycovov dedoxai xa 
eldei. 

10 exxei6&c3 yaQ xfi d-eaei xal xa (leys&et dedoiievrj 
ev&eta rj ^Z xal avve6xdxco TtQos xfj ^Z evd-eia xal 
xa TCQOS avxfj arj^eioj xa Z xf] vno xcbv BAF yavCa 
l'6r} Yj vnb x&v AZE. dod^etaa de rj vnb xcbv BAF' 
dod-et0a aQa xal rj vnb xcbv ^ZE. mel ovv jiqos 

15 d-e0ei dedo^evr] e^u&eCa xfi ^Z xal xco TtQos avxfj dsdo- 
^svco 0rj^sCc3 x<p 'Z evd-eta yQafi^rj r^xxai r]ZE dedofievrjv 
7C0i0v6a ycovCav xr]v vnb xcov /iZE, %^e6ei ccQa eGxlv 
r] ZE. xal enel Xoyos e6xl TTjg BA TCQbs xr]v AF 
6o&sCs, 6 avxbs avt(p ysyovexco 6 tris ^Z TCQbs tr]v 

20 ZE xal eTcetevx^co r] ^E' X6yos ccQa xal tfjs AZ 
TCQbs ti]v ZE do&Sis' dodstGa de r] AZ' 8o%st6a 
ccQa xal 7] ZE. aXXd xal xf] %s6si. xaC s6xi xb Z 
Sod-sv dod-hv aQa xal xb E. s6xi 8\ xal sxdxsQOv 
x&v A, Z do%ev' dod-et6a aQa e6tlv exd6tr] tcbv 

25 ^Z, Z£, zlE tf] %e6ei xal xdo fieye%si' dsdoxui 
ccQa xb z/ZE tc5 sidsi. xal enel dvo XQCycova xd 
ABF, ^EZ fiCav ycovCav fiCa ycovCa L6r]v i%ei, x^v 

1. fia'] fijS' b. 2. ^xvl h^'' V) corr. m. 1. yaviav] 

comp. Vat.] 6. twv (pr.)] om. b. B^T (alt.)] BAF 

ycavluv b. 12. BAF} B supra scr. m. 1 b. 13. 15 (pr.)] 

ycovia 'h b. 15. crjusioj SeSoiiivco b. 24. Z] E b. 27. 

?^Si b. . - J 



DATA. 73 

XLI. 

Si triangulus unum angulum datum habet et latera 
datum angulum comprehendentia rationem inter se 
habent datam, triangulus datus est specie. 

habeat enim triangulus ABF unum angulum da- 
tum BAF, et latera angulum BAF comprehendentia 
BA, AF inter se rationem habeant datam. dico, tri- 
angulum ABF datum esse specie. 

ponatur enim recta ziZ positione et magnitudine 
data, et ad rectam ^Z et punctum in ea positum Z an- 
gulojB^Faequalis construatur angulus ^Z^ [I;23]. sed 

datus est angulus BAF. 
itaque etiam angulus ^ZE 
datus est [def. 1]. iam 
quoniam ad rectam posi- 
tione datam z/Z et datum 
punctum in ea positum Z 
recta linea ducta est ZE 
datum efficiens angulum 
AZE,ZE data erit positione [prop. XXIX]. et quo- 
niam ratio BA : AF data est, aequalis ei fiat ratio 
AZ\ZE et iungatur AE. itaque etiam ratio AZ\ZE 
data est [def. 2]. sed data est AZ. itaque etiam ZE 
data est [prop. II]. uerum etiam positione data est. 
et punctum Z datum est; quare etiam E datum est 
[prop. XXVII]. sed etiam utrumque punctum A , Z 
datum est. itaque unaquaeque rectarum AZ,ZE, AE 
positione et magnitudine data est [prop. XXVI]. ergo 
triangulus AZE datus est specie [prop. XXXIX]. et 
quoniam duo trianguli ABT, AEZ unum angulum 
uni angulo aequalem habent, iBAT=iAZE, et 




74 AEAOMENA. 

VTcb x&v BAF rfj vnh r&v ^ZE, jtEQl ds ricg vnb 
r&v BAF^ zJZE ycavCccs rag nksvQag avdXoyov^ o^iolov 
aQa s6rl rb ABF rQiycovov ra /iEZ rQiyava. ds- 
dorav dl rb ^ZE r^ eldst' dsdorai ccqu xal rb ABF 
5 rQiycovov ra sldsi. 

'Eav rQiycovov aC nksvQal TCQbg alXtllag loyov ^xg)6i 
dsdo^svov, dsdorat rb rQCyavov ra stdst. 

rQiycbvov yocQ rov ABF ai TcXsvQal JtQog alXy]Xag 

10 Xoyov sxsraaav dsdo^svov Xsyoj, oxi rb ABF r^C- 
ycavov dsdorau tc5 sldsi. 

STCxsCdd^G) yccQ dsdo^svrj ra fisysd-si, sv&sta r} A. 
aal snsl koyog s6r\ rr^g AB TCQbg BF dod-sCg, 6 avrbg 
ai)ra ysyovirco 6 rfjg z/ TCQbg ri^v E. 8o&si6a ds tj zt' 

15 dod-sida ccQa xal r} E. tcccXiv insl X6yog idrl rfjg BF 
TCQbg rijv AF do&sCg, 6 avrbg avra ysyovirco 6 rijg E 
TCQbg rijv Z. do&si^a ds rj E' do&si0tt ccQa xal r} Z. 
xal ix rQi&v svd-scav, ccC si^uv i'6ai rQi6l ratg do&sC- 
0aig ratg /i^ £^, Z, cov aC dvo rrjg loiTCrig fisC^ovig Si6i 

20 Tcdvrr] iisraka^^avd^svac^ rQCycavov 6vvs6rdro rb H&K' 
ci6rs l6r\v sivai rijv ^sv A rfj H®, rijv ds E rf} 
@K, rijv ds Z rfl HK. dod-st6a dl sxd6rr} rav 
zJ, E, Z' dod-st6a ccQa xal sxd6rr} r&v H&, &K, 
KH ra ^syi&sc Sidorac aQa rb H&K rQCyovov ra 

25 sidsi. xal insC i6xiv cog r} AB TCQbg ri}v BF, ovrcog 
7} A TCQog ri}v E, i'6r} de r} ^ev A rf} H&, {} ds E 



1. BAr] ABF b, item lin. 2. 2. JZE] dEZ b. 6. 
(i^'J fiy' b. 8. T«] iv trc5 b. 9. ABT] AF b. 10. ixera- 
auv] ^xovGi b. 12. rc5 fisyi^ai] om. b. 16. AF] AB Vat., 
BA \. 17. trjv] om. b. kui] om. b. 18. Post rptmv 

add. 8ij b. tQtai] om. b. 19. talg] rj b. (isl^ovfg] 



DATA. 



70 



latera angulos B^i F, zlZE comprehendentia proportio- 
nalia, similis erit triangulus ABF triangulo z/£Z 
[VI, 6]. sed t\ AZE datus est specie. ergo etiam 
triangulus ABT datus est specie [def. 3]. 

XLH. 

Si trianguli latera inter se rationem habent datam, 
triangulus datus est specie. 

nam trianguli ABT latera inter se rationem ha- 
beant datam. dico, triangulum ABT datum esse specie. 

ponatur enim recta data magnitudine A. et quo- 
niam ratio AB : BT data est, aequalis ei fiat ratio 




r@ 



K J E Z 



A : E. uenim data est recta /i. itaque etiam E 
data est [prop. II]. rursus quoniam ratio BT: AT 
data est, aequalis ei fiat ratio E : Z. uerum data est 
recta E. itaque etiam Z data est [ih.]. et ex tribus 
rectis, quae aequales sunt datis tribus rectis zJ, E, Z, 
quarum duae reliqua maiores sunt quouis modo con- 
iunctae, triangulus construatur H&K [I, 22], ita ut 
sit A = H&, E = &K, Z = HK. sed data est una- 
quaeque rectarum zi, E, Z. quare etiam unaquaeque 



-itovsg in ras. 3 litt. (Jcov?) v. 20. Ttcivvg'] navxi Vat., corr. 
m. 2. 24. Xff] supra scr. m. 2 v. 



76 AEAOMENA. 

rfi &K, £6tLV ccQU cjg rj j4B tcqos tijv BF, ovrag rj 
H& TiQog rriv &K. ndXiv inai icriv ag rj BF TiQog 
rijv FA^ ovrag r} E TiQog r^^v Z, i6rj 6e rj (ihv E 
rfj &K^ rj 6e Z rfj HK^ e6rtv ccQa cjg rj BF TCQog 
5 r^^v FA, ovrcog rj &K TtQog rrjv KH. e8ei%^ri 8a xal 
ag 7] AB TtQog rrjv BF, ovrcog rj &H TtQog rijv &K' 
di' i6ov aQa e6rlv ag rj AB TCQog rrjv AF^ ovrog rj 
&H TCQog ri}v HK. o^oiov ccQa i6rl rb ABF rQi- 
ycovov ra H&K rQiydtvco. dedorai 8e t6 H&K rQi- 
10 ycovov ra eldeL' dedorai aQa xal t6 ABF rQLyovov 
ra eidei. 

(ly. 
'Eav rQiy(bvov oQd^oyavtov neQl (liav r&v d^ei&v 
ycovL&v aC nXevQal TCQog dXXr]kag X6yov excoGL deSo- 
15 ^evov, dedoraL rb rQiyavov ra etdeL. 

rQLyavov yccQ dQ&oyavLOv rov ABF dQd-iiv i%ov- 

rog rrjv vTcb r&v BAF yavLav, TceQL [iiav r&v 6^eL&v 

avrov ycavLcbv rijv 'bnb ABF at ickevQal at FB, BA 

TCQog «AAr^Aag X6yov exerc36av dedo^evov Xeycj^ otL 

20 dedoraL rb ABF rQLycsvov ra eldeL. 

exxeLGd-G) yocQ rfj d^e^eL xal ra fieye&eL dedo(ievi] 

evd^eta rj ^E^ ocal yeyQacpd^a enl rr\g /iE rjfiLXvxhov 

rb ^HE' d-e6eL ccQa e6rl rb AHE rj^iLXvxkLov. xal 

enel X6yog ierl rfjg FB TCQbg rrjv BA dodsLg, 6 avrbg 

25 avra yeyoverco 6 rrjg jdE TCQbg rrjv Z' X6yog ccQa xal 



2. H&'] J& h. Trjv] om. b. iariv] om. v. 4. f)K] 
K Vat., add. m. 2. 5. @K] K& b. 7. AB] BA Vat.v. 
AF] Brh. 8. HK] K& b. 12. /xy'] fi*' b. 15. tm 
iiSai] T^ %-B6Si b. 16. ZQiymvov — p. 80, 7. inl xt]v AF] 

eorum loco in ba hic propter transmutationem foliorum (u. praef.) 
reperiuntur, quae leguntur p. 56, 14. ysyQdcpQ-a — 20. iGxiv., 



DATA. 77 

rectarum H®, &K, KH magnitudine data est [def. 1]. 
ergo triangulus H®K datus est specie [prop. XXXIX]. 
et quoniam AB.Br=zl'.E et z/ = H@, E= @K, 
erit AB '. BF = H® : ®K. rursus quoniam 

BF: TA = E'.Z 
ei E= ®K, Z = HK, erit BF: rA = ®K: KH. 
sed demonstratum est, esse etiam AB :Br= &H: &K. 
quare ex aequo est AB:Ar=&H:HK [V, 22]. 
itaque /\ ABFr^ H&K [VI, 5]. uerum triangulus 
H&K datus est specie. ergo etiam triangulus ABF 
datus est specie [def. 3]. 



XLIII. 

Si trianguli rectanguli latera alterutrum acutorum 
angulorum compreliendentia inter se rationem habent 
datam, triangulus datus est specie. 

nam trianguli rectanguK ABF rectum habentis 
angulum BAF latera alterutrum acutorum angulorum 
eius ABF comprehendentia FB, BA inter se rationem 
habeant datam. dico, triangulum ABF datum esse 
specie. 

ponatur enim recta positione et magnitudine data 
AE, et in AE describatur semicirculus ZlHE. itaque 
semicirculus AHE datus est positione [def. 8]. et 
quoniam ratio FB : BA data est, aequalis ei fiat ratio 
AE : Z. itaque etiam ratio AE: Z data est [def. 2]. 
sed data est recta AE. quare etiam Z data est 
[prop. II]. et est TB > BA [I, 19]. itaque etiam 

deinde dem. altera propositionis Xy' et propos. XS' usque ad 
p. 58, 10. Sod^sv uQcc. 17. rcov (pr.)] ti^v v, mut. in rmv m. 2. 

18. uvTov] supra m. 1 Vat. t»jv] corr. ex tav m. 2 v. 

t&v ABr V. 23. z/(alt.)] A Vat., corr. m. 2. 



78 AEAOMENA. 

rvjg ^E TtQog rrjv Z do&stg. do^et^a ds rj /lE' do- 
d-£t6a uQa xal rj Z. xat £6ri ^ei^cov rj FB rrjg BA' 
^£i^c3v uQa ical rj E^ rf^g Z. ivrjQ^66&c3 rfj Z l'6ri 
rj z/i/, xal £7iE^£vx&ci} rj HE, xal x£vrQ<p }i£v r<p z/, 
5 6ia6rr]fiart 81 rto z/H xvxXog y£yQdcp&c3 6 ®HK' 
d'£0£t ccQa ierlv 6 ®HK xvxXog' didorai yaQ avrov 
t6 xivrQOv rfj O^i^Et zal r] ix rov xivrQov ra ^Eyid^Et. 
d-E6Ei dl xal t6 ^HE rj^ixvxXiov. dod-Ev aQa idrl 
t6 H 6rjfi£iov. £6ri Se xat ixdrEQOv r&v z/, E So&ev 

10 dod-Et6a aQa i6rlv Exd6rrj rcbv H/i^ ^E, EH rfi %-£6Ei 
xat rip ^Eyid-Et' didorat ccQa t6 H^E rQiycovov ra 
Eldst. inEt oi)V dvo rQtyovd i6ri rd ABF^ /JEH 
Htav yovtav ^ta ycovia. l'6riv hyovra rijv vtco rav 
BAF rfi vnh r&v ^HE., tceqI dh dXXag yavtag rdg 

15 'bnb r&v FBA, E^H rdg nkEVQag dvdXoyov, r&v Ss 
Xotncov r&v vnb BFA, jAEH ixarEQav d^a iXd66ova 
6Qd"fig, b^otov aQa i6rl t6 ABF rQtycjvov ra AEH 
rQiyd)VG). didorat ds t6 ^EH rQtycovov ra EldEt' 
dedoTat aQa xal t6 ABF rQtycjvov tc3 EtdEi. 



20 



fi8'. 

'Edv rQiycovov (itav E%ri ycavtav dEdofiEvrjv, n£Ql dl 
dlkriv ycoviav aC nkEVQal nQbg d'kXr(kag X6yov £X(o6i 
d£do(iEvov.) didorat t6 rQtycovov rm £l8£i. 



2. ilbI^cov'] tisttovP, comp. V. 4. HE] EJFf a. 6. f)HK] 
H@K a. 7. Tc5 iisys&Si] in ras. a. 10. So&slea] &s6si a. 
13. ycoviav] ycavla v. T&v] tj]v Vat., del. m. 2. 14. rag 
aXXag PVat.v. 15. FBA, EJH] ©FA, ^EH v. xdg — 

16. zlEH] om. V. 16. BFA] r&v AFB a. 17. ABT] 

BFA V. 18. dsdoTat — si8st] om. v, add. mg. m. 2. 20. 
^S'] Xs' §. 21. ^XV] ho'^ ^- 



DATA. 



79 



EJ>Z [V,16-, V, 14]. aptetur rectae Z aequalis z/if 
[IV, 1], et ducatur HE, et centro z/, radio autem ziH 
circulus describatur &HK. itaque circulus &HK 
datus est positioue [def. 6]; nam datum est eius cen- 
trum positione et radius magnitudine. uerum etiam 
semicirculus z/H£Jpositione datus est. itaque punctum 





K je; ZJ3 



r 



H datum est [prop. XXV]. sed etiam utrumque 
punctum J, E datum est. itaque unaquaeque recta- 
rum jHz/, JE, EH positione et magnitudine data est 
[prop. XXVI]. ergo triangulus HJE datus est specie 
[prop. XXXIX]. iam quoniam duo trianguli sunt 
ABF, JEH unum angulum uni angulo aequalem 
habentes, LBAr= ZlHE [III, 31], et latera alios 
duos angulos FBA, Ez/H comprehendentia proportio- 
naUa et reliquos angulos BFA, zJEH singulos simul 
minores recto [I, 17], erit AABT^ JEH [VI, 7]. 
sed A AEH datus est specie. ergo etiam /\ ABF 
datus est specie [def. 3]. 

XLIV. 

Si triangulus unum angulum datum habet et latera 
alium angulum comprehendentia inter se rationem 
habent datam, triangulus datus est specie. 

In P Jf centrum est semicirculi. 



80 AEAOMENA. 

sGtg) tQLycovov t6 ABF fiiav b%ov ycavCav dsdo- 

(lEvrjv ttjv VTcb t&v BAF, :tEQl ds akkrjv yoavCav tijv 

vjtb tG)v ABF aC TcXsvQal aC AB^ BF koyov EX£t(o6av 

TCQog aXX^^Xag dedo^evov Xiyco^ oti tb ABF tQCycovov 

5 dsdotat t(p sldsi. 

fi?) s6tG) dfj rj vnb tcov BAF ycovCa op^t^, aAA' 
s6tGi TtQdtSQOV d^sta^ xal riid-Ga ajcb tov B GrjfisCov ijcl 
tr}v AT xd&stoc; rj BA. stcsI 8od^si6d s6tiv rj vicb 
BziA ycijvCa^ s6tL ds xal rj vnb tav BAA dod-st6a, 

10 xal XotTCri ccQa r} vnb tav ABA do&st6d s6tiv Ssdotai 
aQa tb BAz/ tQCyavov t(p sldsf Xoyog ccQa trjg BA 
nQbg trjv BA dod^sCg. aXkd trig AB nQbg t^v BF 
loyog s6tl do&sCg' xal Tijg BA ccQa n^bg trjv BF 
koyog s6tl dod^sCg. aaC s6tLv ^Qd^ij rj vnb t&v BAF' 

15 Ssdotai aQa t6 BAF tQCyovov ta sLdst' do&st^a aQU 

s6tlv r] vnb t&v BFA ycavCa. s6ti 8% xal rj vnb t&v 

BAF 8od^st6a' xal Xotnr} aQa rj vnb t&v ABF s6tv 

dod-st6a' dsdotaL ccQa t6 ABF tQCycovov tca sidsi. 

dXXcc drj s6tG} rj vnb t&v BAF ycavCa d^^Xsta^ 

20 xal sx^s^Xr]6d^G) rj FA inl t6 E, xal rjx^co dnb tov B 
6Yi^sCov inl trjv AE xdd-stog rj BE. insl dod'st6d 
s6tiv rj vnb tav BAF, xal rj scps^rlg ccQa rj vnb tav 
BAE do&st^d i6tiv. s6ti 8\ xal ^ vnb t&v BEA 
do&st6a' %al koinrj ccQa rj 'bnb tav EBA do&st^d 

25 s6tiv' dsdotai ccQa t6 EBA tQCycovov t^ sldsf loyog 



1. ^x^v] ixav P. 2. 8s] om. a. 6. Ante iiri acld. d 

fiev ovv dg&r] ianv 17 TtQbg ra A ywvicc, SsSsiKrai rb 6Vofia 
SsSoiisvov Tc5 si'Ssi a. 8. iTtsl] om. b. 13. ■nccL — 14. So- 
&sig] om. b.' 14. BdF yaviu b. 15. BJT] z/BT b. 16. 
v,(xi — 17. ^o^S^atoa] om. v, xal Xontr] aqa 17 vTto rav ABJ So- 
&siad iari mg. m. 2. 18. v.a.1 ro Vat., del. v.ui m. 2. 19. 
iilXa St] iarco] &U' hrco b. ratv] om. v. 22. 17 (alt.)] .supra 



DATA. 



81 




sit triangulus ABT unum habens angulum clatum 
BAF, et latera alium angulum ABF comprehendentia 
AB, BF rationem inter se habeant datam. dico, tri- 
augulum ABF datum esse specie. 

iam ne sit i BAF rectus, sed sit prius acutus, 
et ducatur a puncto B Sid AF perpendicularis BA. 
quoniam datus est i BAA et 
etiam i BAA datus est, etiam 
reliquus i ABA datus erit [1, 32; 
propp. III, IV]. quare /\ BAA 

1/ \v datus est specie [prop. XL]. ita- 

^ ^ r que ratio BA : BA data est 
[def. 3]. sed ratio AB . BF 
data est. itaque etiam ratio B^ : BF data est 
[prop. VIII]. et rectus est i BAT. itaque ABAT 
datus est specie [prop. XLIII]. quare i BFA datus 
est [def. 3]. sed etiam i BAF datus est. itaque 
etiam reliquus i ^BJTdatus est [I, 32; propp. III, IV]. 
ergo A ABF datus est specie [prop. XL]. 

iam uero sit i BAF ob- 
tusus, et producatur FA 
ad E, et ducatur a puncto 
B a,d AE perpendicularis 
B E. quoniam datus est 
i BAF, etiam angulus dein- 
ceps positus BAE datus erit [I, 13; prop. IV]. uerum 
etiam i BEA datus est. quare etiam reliquus i EBA 
datus est [I, 32; propp. III, IV]. itaque A EBA da- 
tus est specie [prop. XL]. quare ratio EB : BA data 

m. 2 Vat. 23. iarLv] iart, v. ^ari] ^ariv v. 24. rav] 

om. Vat. 

Enclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 6 




82 AEAOMENA. 

uQa Trjg EB TtQog trjv BA do&sig. Tfjg 8\ AB TtQog 
rrjv BF Uyog fVrt dodsig' xal tTJg EB ccQa TtQbg tijv 
Br Xoyog e6tl dod^sig. xat iativ OQ&r] rj vno tcbv 
BEF yavia' dsdotat aQa tb EBF tQtycovov t(p eldst' 
5 dod-st6a aQa s6tlv yj vnb BFE. s6tt ds xal r} vtco 
BAF ycovta do&stea' xal Xotnri aQa r] vitb ABF 
yovta do&Et<sd sCttv dsdotat aQa tb ABF tQtyavov 
tm stdst. 

fis\ 

10 'Eav tQtycovov (liav sif] ycoviav dsdo^svrjv, at de 
TtsQt trjv dsdo^evrjv ycoviav TtksvQal GvvaytcpotSQat cog 
liia TtQog trjv kot%r]v loyov s%G36t dsdo^evov., dedotat 
tb tQiycovov ta sidst. 

s6tco tQiyavov -tb ABF ^iiav yoviav dsdo^evrjv 

15 sxov trjv V7tb tav BAF, nsQt ds trjv vnb BAF yco- 
viav at TtXsvQai^ tovts0tt 0vva^q)6tSQog rj BAF cjg 
^ia TtQbg tijv FB loyov systco dsdo^svov ^syco, oTt 
t6 ABP tQiycovov dedoTai ta sldsi. 

tst^rj^d-co yaQ tj vjtb tav BAF ycovia di^a tPj AA 

20 svd^sia' doQ^st^a ccQa s6tlv rj v%b tS)V BAA ycovia. 
xal insi i6ttv cog rj BA TtQbg ffjv AF, ovtcog rj BA 
TtQbg trjv A r, svalXai, ag rj AB TtQbg trjv BA, ovtcog 
rj AF TtQbg triv FA' xal cjg 6vva^(p6tSQog ccQa rj BAF 
nQbg tYjv Br^ ovtcog rj AB TtQbg tfjv BA. kbyog ds 

26 0vva^(poteQov trjg BAF TtQog trjv BF do&eig' koyog 
aQa xat trjg BA TCQbg trjv BA do&eig. xai cVti do- 



1. EB] BE Y. 2. ■xal rfjg EB apa] r^g 8e EB v. m«i 
— 3. ^o^O^fig] oxn. b. 6. BF£] riov ABF ymvia. b. 6. tibv 
BAF b. x&v ABF \). 13. x6] corr. ex xat m. 2 v. 14. 
fiiccv ^xov ycoviav 8edo(ievr}v b. 15. xmv] om. b. vtio xwv 



DATA. 83 

est [def. 3]. sed ratio AB : BF data est. itaque 
etiam ratio EB : BF data est [prop. VIII]. et reetus 
est i BEF. itaque A EBF datus est specie [prop. 
XLIII]. quare L BFE datus est [def. 3]. sed etiam 
i BAF datus est. itaque etiam reliquus i ABF da- 
tus est [I, 32; propp. III, IV]. ergo A ABT datus 
est specie [prop. XL]. 

XLV. 

Si triangulus unum angulum datum habet et latera 
datum angulum comprehendentia in unum coniuncta 
ad reliquum rationem habent datam, triangulus datus 
est specie. 

sit triangulus ABF unum angulum datum habens 
BAF, et latera angulum BAF comprehendentia h. e. 
BA -j- AF in unum coniuncta ad FB rationem ha- 

beant datam. dico, triangu- 

lum ABF datum esse specie. 

secetur enim i BAF in 

duas partes aequales recta 

Azl. itaque i BAA datus 

est [prop. II]. et quoniam 

BA:Ar=^BA:^r [VI, 3], 

permutando erit AB : BA = AT: Fz/ [V, 16]. itaque 

BA + AT: Br = AB: BA [V, 12]. uerum ratio 

BA -\- AF : Br data est. itaque etiam ratio BA : BA 

In fig. cod. b est AB = AF, itaque A^ Ju BF. 




BAF b. 19. AJ] AB Y. 20. BAJT v. 22. BJ] BA b. 
24. Ss] ccQK b. 25. BAF] F om. b. 26. BA] Ad b. 

6* 



84 AEAOMENA. 

d-6t6a rj 'bTch t&v BA/1 y&vCu' didoTat aQa xb AB^ 
TQiycovov x& slSsi,' dod^stSa ccQa B6tlv rj vnh t&v AB/1 
ytavia. £0tL ds xal rj vjth tav BAF yayvta dod^et^a' 
xal Xotnrj aQa rj vnh t&v AFB dod^et^d i^tiv didotai 
5 aQa t6 ABF tQtyavov tc3 eldei. 

'Eav tQiycavov iiiav exf] ycoviav dedofiivi^v^ tcsqI 
ds aXXrjv ycoviav at nksvQal evva^cpotSQai hg fiia 
TCQhg tr}v Xomriv Xoyov s%Gi6i dsdo^ivov, didotat th 

10 tQiycovov t(p sldsi. 

s6tco tQiycovov th ABF ^iav i^ov ycoviav dsdo- 
(livrjv tijv vTch t&v ABF, tcsqI 6h aXXrjv ycaviav tr]v 
VTch tcbv BAF aC nXsvQai^ tovtieti dvva^cpotSQog i) 
BAF nQhg tijv BF X6yov i%itc3 dsdo^ivov Xiyco, ott, 

Ih th ABF tQiycovov didotai ta stdsi. 

tst^rjiSd-co yaQ rj vnh tcov BAF ycovia di^a t^ AA 
sv^^sia' s6ttv aQa cog 0vva^(p6tsQog rj BAF nQhg trjv 
FB, rj AB nQhg trjv BA. X6yog 6s tov 0vva^(potiQov 
trjg BAF n^hg trjv FB dod-sig' X6yog ccQa xal tfjg AB 

20 nQhg trjv BA Sod^sig. %ai i6ti dod-st^a rj vnh tcov 
ABA ycovia' didotai ccQa th ABA tQiycovov ta stdsi' 
8o%-st6a ccQa i^tlv ij vnh tcov BAA ycovia, xai i6tiv 
avtrjg 8inXa6icov rj vnh BAF' do%st6a aQa i6tl xal rj 
'bnh ta)v BAF. s6ti dh xal rj vnh tcbv ABF dod-st6a' 

25 xal Xotnij ccQa rj vnh tcbv AFB do&st6d i6tiV Sidotai 
ccQa th ABF tQiycovov rra stdsi. 

3. BAT] AB, AF h. 4. AFB] ATJ h. 5. Seq. dc- 

monstr. altera, u. app. • 6. fis'] om. b (non ^). 8. avv- 

a(icp6rsQCii] om. b. 11. ^x^v h. 18. tovtiativ codd. 14. 

BAT] BAr cbs jxia b. BF] FB h. 18. 17] ovvfog ii b. 



DATA. 85 

data est [def. 2]. et datus est L BAJ. quare A ABzi 
datus est specie [prop. XLIV]. itaque /. ABJ datus 
est [def. 3]. uerum etiam L BAF datus est. itaque 
etiam reliquus L AFB datus est [I, 32; propp. III, IV]. 
ergo triangulus ABF datus est specie [prop. XL]. 

XLVI. 

Si triangulus unum angulum datum liabet et latera 
alium angulum comprehendentia in unum coniuncta 
ad reliquum rationem habent datam, triangulus datus 
est specie. 

sit triangulus !kBr unum habens angulum datum 
ABF, et latera alium angulum BAF comprehendentia • 
h. e. BA -\- AF ad BF rationem habeant datam, 
dico, triangulum ABF datum esse specie. 

secetur enim L BAF in duas partes aequales 
recta AA. quare BA -\- AT : TB = AB : Bzf [VI, 3; 

V, IG; V, 12]. uerum ratio 
BA + AF : FB data est. 
itaque etiam ratio AB : BA 
data est [def. 2]. et datus 
est L ABA. quare A ABA 
datus est specie [prop. XLI]. 
itaque L BAA datus est 
[def. 3]. et eo maior est duplo L BAT. quare etiam 
L BAT datus est [prop. II]. uerum etiam L ABT 
datus est. itaque etiam reliquus /. ATB datus est 
[I, 32; propp. III, IV]. ergo A ABT datus est 
specie [ptop. XL]. 

19. B^r] TA^ b. 23. iexlv v. xat] om. v. 24. 

ioxiv V. 




86 AEAOMENA. 

Ta dsdo^sva av&vyQccii^a ta sidsi sig dedofisva 
TQiyava diaLQSttai ta sidsi. 

s6tco dsdo^isvov svd^vyQafi^ov ta sldsi tb ABF^E' 
5 Ae/o), oti t6 ABF^E svd-vyQa^^iov sig dsdoiisva tQt- 
ycova diaiQsttai ta sldsi. 

STCst^svid^GiGav yccQ at BE, EF. stcsI dsdotai tb 
ABFzJE svd^vyQa^^ov ta sldsi, do&st0a aQa s6tXv rj 
VTcb t&v BAE yavia. xui s6ti loyog tfig BA XQbg 

10 tijv EA do&sig. sjtsl ovv dod^stiSd s6tiv rj vnb tav 
BAE yoovca xai s6ti loyog tfig BA TtQbg ttjv EA 
dod^Sig, dsdotai aQa tb BAE tQiycovov ta sidsi' do- 
d-st6a aQa s6tlv rj vnb t&v ABE ycovCa. s0ti ds xal 
oXr] rj VTcb t&v ABF ycovia dod'st6a' xal koiTcij aQa 

15 r) rjTcb tcbv EBF dodst^d s6tiv. xai s6ti Xoyog trlg 
AB TCQbg trjv BE dod^sig^ trjg ds AB JCQbg trjv BF 
Xoyog s6tl do&sig' xal tr}g EB aQa TCQbg trjv BF 
?^6yog s6tl dod^sCg. KaC s6ti dod^st^a rj vicb tSiv FBE 
ycovCa' dsdotai aQa tb BFE tQCycovov ra sidsi. did 

20 td avtd di) xal t6 FAE tQCycovov tc3 sldsi Ssdotai' 
td ccQa dsdofisva sv&vyQa^iia ta sidsi sig dsdo^sva 
tQCycova diaiQsttai ta sidsi. 

fir}'. 
'Edv dnb Tijg avtfig sv&sCag dvo tQCycova dvayQacp^ 
26 dsdo^sva tw sidst, koyov si,si TCQbg aXXrjka dsdofisvov. 
dnb ydQ trjg avtrjg svd^sCag tfjg AB dvo tQCycova 



2. sig dsSo^Bva tco si'8si xgiycavci diaiQslrca b, item lin. 5. 

7. JBEl ^BE b. 'lO. E.4 ] ^E b, item lin. 11. insi — 

12. So&sig^ nescio an interpolata sint. 13. ^ativ \. 15. 

Tcov] om. b. i6tiv~\ iati v. 17. EB] FB b. Tifv] om. b. 



DATA. 



87 



XLVII. 

Rectilineae figurae specie datae in triangulos specie 
datos diuiduntur. 

sit figura rectilinea specie data ABF^E, dico, 
fio-uram rectilineam ABF/JE in triangulos specie 
datos diuidi. 

ducantur enim BE, EF. quoniam data est figura 
rectilinea ABFJE specie, LSAE datus erit [def. 3]- 
et ratio BA : EA data est [ib.]. iam quoniam L BAE 
datus est et ratio BA : EA 
data est, A BAE datus erit specie 
[prop. XLl]. itaque /.^5£Jdatus 
est [def. 3]. uerum etiam totus 
angulus ABF datus est [ib.]. 
itaque etiam qui relinquitur 
LEBT datus est [prop. IV]. et 
ratio AB : BE data est [def. 3]. uerum ratio AB : BF 
data est [ib.]. itaque etiam ratio EB : BF data est 
[prop. VIII]. et datus est /. FBE. quare A BTE 
datus est specie [prop. XLI]. eadem de causa etiam 
triangulus F^E specie datus est. ergo rectilineae 
figurae specie datae in triangulos specie datos diui- 
duntur. 

XLVIII. 
Si in eadem recta duo trianguli describuntur specie 
dati, rationem inter se habebunt datam. 

nam in eadem recta AB duo trianguli specie dati 




BF] BE h. 18. $o&sig. y.ai iari,'] om. b, sed post §6x1 

sign. hab. omissionis m. 1. iati] om. Vat., iativ v. 20. 8s- 
Sorat. Tc5 si'$si b. 24. Svo] om. Vat. ccvayQacp-f] xqi- 

yava Vat. 



88 AEAOMENA. 

dsdo^Bva xa eldei avayeyQacpd-a xa ABF^ AAB' Xeyo^ 
OTfc loyoii e6xl xov AFB TtQog tb A^B dod^eig. 

i]X^(o6av aTcb xCov A^ B 6rjfieLC3v xfi AB evd-eia 
TtQog dQ&ag at AE, HB xal ex^e^Xtjdd-coGav eTcl xa Z, 0, 
5 xal dtcc xav P, z/ 0r]^eL(ov x^ AB evQ^eCa TcaQaXkriloL 
riid^co6av aC Em, Z^&. enel SedoxaL xb ABF xql- 
yavov x(p eideL^ Xoyog e&xl xrjg FA jtQbg xr^v BA 6o- 
d-eCg. enel ovv dod'et6d e6xLv rj vnb xStv FAB yavLa, 
e6xL de xal ri vnb x&v EAB dod-etGa, xal XoLTtrj aQa 

10 i^ vTcb xa)v EAF e6xL dod^et^a. e6XL de xal r] vnb 
x(bv AEF ycovLa doQ^et^a' xal XoLnrj aQa rj vnb xav 
EFA dod'eL6d e6XLv' dedoxac a.Qa xb AEF XQLycovov 
x(p eldeL' ^oyog ccQa xr]g EA n^bg xr]v AF dod-eig. 
xrig dh FA nQbg xr]v AB Xoyog e6xL do&eLg' xal xrjg 

15 EA ccQa nQbg xr]v AB X6yog i6xL dod^ecg. dLcc xd 
avxd 6i] xal r^g ZA n^bg xr]v AB loyog e6xl do&eig' 
&6xe xal xf]g EA n^bg xr]v AZ Xoyog e6xl dod^eig. 
xaC e6xLV hg rj AE n^bg xr]v AZ., ovxcog xb AH nQbg 
xb @A' a)6xe xal xov AH n^bg xb A& koyog e6xl 

20 dod-eCg. xaC e6XL xov ^ev AH r]fiL6v xb ABF, xov 
de A& i^fiL6v xb AAB' xal xov ABF ccQa n^bg xb 
AxdB Xoyog e6xl SoQ^eCg. 

'Edv dnb xi]g avxf]g evd-eCag dvo evd^vyQa^^ia ^ ot 

25 exv^ev^ dvayQacpf] dedo^eva xa eideL, Xbyov €\eL nQbg 

dXXr]Xa dedo^evov. 

1. AJ B] ABJ Ya.t.h. 2. ATB] ^JBFvb. AdS] 

ABd vb. 6. evQ-etai cil b. 7. Post sidsi hab. So&tiad iart\ 
i) V7tb BAT '/avici b. 9. itai (alt.)] om. Vat. 10. EAr\ 

AFE ycovia b. iati 8o&siaa] do&stad iazi b. ^on] ^ariv vi| 
11. t&v (pr.)] om. b. yavLa] om. b. 12. iart codd. 13i| 
EA] AE \. AT] FA b. 15. EA] AE h. dga] om. b;l 




DATA. 89 

describantui* ABF, AAB. dico, rationem ATE\AAB 
datam esse. 

ducantur a punctis A, B ad rectam AB perpen- 
diculares rectae AE, HB et producantur ad Z, @, et 
per puncta jT, A rectae AB parallelae ducantur EFH, 
ZA&. quoniam A ABF datus est specie, ratio 

FA.BA data est [def. 3]. 
iam quoniam /. FAB datus 
est [ib.] et etiam L EAB 
datus est, etiam qui relin- 
quitur L EAF datus erit 
[prop. IV]. uerum etiam 
L AET datus est [I, 29]. 
itaque etiam reliquus L E FA datus est [1 , 32 ; 
propp. III, IV]. quare A AEF datus est specie 
[prop. XL]. itaque ratio EA : AF data est [def. 3]. 
uerum ratio FA : AB data est. itaque etiam ratio 
EA : AB data est [prop. VIII]. eadem de causa 
etiam ratio ZA : AB data est. itaque etiam ratio 
EA: AZ data est [ib.]. et est AE : AZ = AH : &A 
[VI, 1]. quare etiam ratio AH: A& data est [def 2]. 
et rectanguli AH dimidia pars est A ABF, rect- 
anguli autem A& dimidia pars A AAB [I, 41]. ergo 
ratio ABT: AAB data est [V, 15; def. 2]. 

XLIX. 

Si in eadem recta duae quaelibet figurae recti- 
lineae describuntur specie datae, rationem inter se 
habebunt datam. 

AB] ABrh. 18. xat iarivl om. b. AE] EA b. 19. 
0A] A@ h. 20. ABr tQlyavov b. 21. Ad B] ABJ v. 



90 AEAOMENA. 

ccTib yccQ tfjg avrrls evd-Eiag trjg AB 8vo Evd-v- 
yQK^lia, a 6tv%£v^ dsSoiieva ta sldEL avayEyQacp&G} 
ta AEFZB^ AZl B' XEyco, oti Xoyog icftl tov AEFZB 
TCQog AAB do&Eig. 
6 E7tE^Evx^c36av yccQ a[ AZ, ZE' Sidotai aQa exa- 
<3tov tav EFZ^ EZA, ZAB tQiycbvov ta stdEi,. xal 
iTCEi ccTcb tfjg avty\g Ev&Eiag trjg EZ dvo tQCycova dsdo- 
(liva ta EidEi dvayiyQaTttai ta EZF, EZA, Xoyog 
ccQa E6ti tov FEZ TtQog tb ZEA dod^Sig' xal 6vv- 
10 Q^ivti ccQa loyog iGtl tov FEAZ TtQbg tb ZEA do- 
d-Eig. tov ds ZEA itQbg tb ZAB Xoyog i6tl do&Eig, 
ijtsidiJTtEQ ccnb tijg avtrjg sv&Eiag trjg AZ dvayiyQaTttai' 
Tial tov FEAZ ccQa TtQbg tb ZAB koyog i6tl do&Eig' 
%al avv&Evti tov FEBZA TtQbg tb ZBA koyog idrl 
lo dod^Eig. tov 8e ZAB TtQbg tb AAB Koyog ietl do- 
^•Eig' xal tov FEABZ ccQa TtQbg tb AAB Xoyog idtl 
dod-Eig. 

V . 
^Edv 8vo Evd^Etai TtQbg dXXr]kag Koyov £X(o6i dsdo- 
20 ^ivov, aal td dit' avt&v sv&vyQa^^a ofioia xal b^oicog 
dvayEyQa^^iva ^Qbg d?,Xrjla Xoyov e\ei dsdofiivov. 

dvo yaQ Evd-Etai aC AB, JTz/ '.::tQbg dXXrjXag Xoyov 
i%it(o6av dEdo^ivov, xal dvayEyQdg)d-c3 dnb tcov AB^ 
FA ofioia xal b^oiojg XEi^Eva sv&vyQa^iia td E, Z' 



2. irvxB b. Tc5 siSsl] om. b. b. AZ] AB v. ^Kaarov] 
hv.dxsQov b. 6. XQiyoivov b. 8. EZT, EZA] AEZ, ETZh. 

9. iati] om. b. 10. TtQog t6 ZEA] om. Vat., supra add. 

jrpog t6 EZA m. 2. 11. itQog] xai v, add. TtQog m. 2. ro] 
om. b. 12. AZ] AB AZ b. 13. FEAZ] ATE, JZ h. 

TfQO?] v.ai (comp.) Vat., mut. in nQ6g m. 2. 14. FEBZA] 
FEABZ aQa b. ZBA] BZA Vat., ZBJ v, ZAB b. 20. 
ra oiioia b. rs yiai Vat.v. 24. rs v.ai v. 



DATA. 



91 




nam in eadem recta AB duae quaelibet figurae 
rectilineae describantur specie datae AEFZBj A/IB. 
dico, rationem AEFZB : Azi B datam esse. 

ducantur enim AZ, ZE. itaque unusquisque tri- 
angulorum EFZ, EZA, ZAB datus est specie [prop. 
XLVII]. et quoniam in eadem recta EZ duo tri- 
anguli specie dati descripti sunt, 
EZr,EZA, ratio TEZ-.ZEA 
data est [prop. XLYIII]. quare 
etiam componendo ratio 

TEAZ : ZEA 
data est [prop. VI]. uerum ratio 
ZEA : ZAB data est, quia 
trianguli in eadem recta A Z de- 
scripti sunt [prop. XLVIII]. 
quare etiam ratio FEAZ: ZAB 
data est [prop.VIII]. et componendo ratio rEBZA:ZBA 
data est [prop. VI]. uerum ratio ZAB: AAB data 
est [prop. XLVIII]. ergo etiam ratio rEABZ:AAB 
data est [prop. VIII]. 

I 

^^Si duae rectae inter se rationem habent datam, 
etiam figurae rectilineae in iis similes et similiter de- 
scriptae inter se rationem babebunt datam. 

nam duae rectae AB, TA inter se rationem habeant 
datam et in AB, TA similes et similiter positae figurae 
rectilineae describantur E, Z. dico, etiam earum inter 
se rationem" datam esse. 

In fig. cod. b litterae A et B, E et Z permutatae sunt; 
rectam AB om. PVat.v, ZA om. b. 



92 AEAOMENA. 

^Eyco, ort xal 6 nQog akXtjXa avxGiv koyog sGxai 
dodsLg. 

eiXritpd^a yaQ rav AB^ F^ rQtrr] dvdXoyov rj H' 
€6rcv a^a cog r] AB TCQog rijv JTz/, rj FzJ TtQog rijv H' 
5 Xoyog 8s 6 rrjg AB TCQog Jz/ dod^eig' Xdyog aQa xal 
rrjg Iz/ TtQog rrjv H do&sig' aGrs xal rrjg AB nQog 
rrjv H Xoyog i6rl do&sig. dig ds rj AB JiQog rrjv H, 
ovrcog t6 E nQog rb Z' Xoyog aQa rov E iiQog rb Z 
dodsig. 
10 va'. 

'Edv dvo svd^stai, TtQog dXki]Xag Xoyov ^x(o6l dsdo- 
[isvov xal dx' avrCbv svd"vyQa^^a^ c^ srv%sv^ dvayQacpf] 
dsdofisva r<p sidsL, X6yov s%sl TtQbg aXkr]ka ds8o(isvov. 
dvo ydQ svd-stai aC AB, F^ TtQbg dXXijXag X6yov 
15 sxsrco0av ds6oiisvov, xal dvaysyQagid^co dnb r&v AB^ 
r^ svd-vyQafi^a, a srv%sv., dsdo(isva ra sldsL rd E, Z' 
Xsyco, oTfc rov E jtQog rb Z^X6yog i6rl do&sig. 

dvaysyQacpd-co yaQ dnb rr\g AB ra Z ofiOLov xal 
b^ioiag xsi^isvov rb AHB. dsdoraL ds rb Z tc3 sidsL' 
20 dsdoraL ccQa xal rb AHB rm sidsL. dlXd (ii]v xal 
t6 E dsdoraL tc3 si'dsL xal dvaysyQanrai dnb rfjg avtrig 
sv&siag rr]g AB' X6yog ccQa rov E n^bg t6 AHB 
dod-sig. xal insl X6yog i0rl rrjg AB n^bg rr]v Jz/ 

1. v,ui — 2. 8o%eig] Xoyo? iatl xov BE Ttqbg rbv ZJ So- 
^sls b. 1. ^atai] comp. Vat. 3. t&v] corr. ex to m. 2 

Vat. tQitri] bis b. 4. owcos ■jj FJ b. tiji/ (alt.)] om. b. 
5. o] om. b. ti}v Tz/ v. 6. 6 tfjs FJ P. 8. Xdyog 

— Z] om. b. Kccl tov V. 12. ta Scn' § (non b). a\ as 
Vat., item lin. 16. 15. &n6] vno h. 16. hvx^ b. ta] 

corr. ex tm m. 2 Vat. 17. ori Xdyog ^otl tov E TtQbs tb Z 

Sod-ds b. 18. t<p] corr. ex rd m.*2 v. 19. iv&vyQa\ni,ov 

tb AHB Vat.v. AHB] AHh, item lin. 20, 22. 20. xa/ (pr.)] 
supra m. 2 v. 



DATA. 



93 



E 




A 



B r 



J H 



sumatur enim rectarum AB, FzJ tertia proportio- 
nalis H [VI, 11]. itaque est AB: TzJ = Tzi : H. 

uerum ratio AB : Tzi 
/\ data est. itaque etiam 

ratio Pz/ : H data est 
[def. 2]. quare etiam 
ratio AB : H data 
est [prop. VIII]. sed 
AB:H= E:Z [VI, 19 coroll.].^) ergo ratio E:Z 
data est [def. 2]. 

LI. 

Si duae rectae inter se rationem habent datam et 
in iis quaelibet figurae rectilineae specie datae de- 
scribuntur, rationem inter se habebunt datam. 

nam duae rectae AB, FA inter se rationem ha- 
beant datam, et in AB, FA quaelibet figurae recti- 
lineae specie datae describantur E, Z. dico, rationem 

E : Z datam esse. 

describatur enim in recta 
AB figurae Z similis et 
similiter posita figura AHB. 
uerum figura Z data est 

BA / \ / specie. quare etiam AHB 

g y data est specie [def. 3]. 

sed etiam E specie data 
\ et in eadem recta AB descripta est. quare ratio 
f E : AHB data est [prop. XLIX]. et quoniam ratio 




Pro triangulis rectangula hab. b; item in figg. prop. LI. 



I 



1) u. uol. n p. 131 not. 



94 AEAOMENA. 

do&stg, xal avayiyQwxtai anh tcbv AB, Jz/ o^oia 
xal b^oCcag xsi^isva svd-vyQa^i^a ta AHB^ Z, koyog 
aQa tov AHB tcqos tb Z dodsig- tov 8s AHB TtQog 
t6 E Xoyog s6tl dod^stg' xal tov E aQa TtQog to Z 
5 X6yog s6tl dod^sCg. 

'Eav aTCo Ssdo^svrjg svd^sCag ta ^sys&si dsdofisvov 
ta sldsL sidog dvayQatpfj, dsdotai tb dvayQacpsv t& 
^sysd^si. 

10 djib yaQ dsdofisvrjg svd^sCag t<p ^sysQsi tfig AB 
dsdo^svov Tc3 sidsi sldog dvaysyQacpd^co tb AF^EB' 
ksya, oti t6 AF^EB dsdotai Tra (isysd-si. 

dvaysyQag^&c} yccQ dnb' Tijg AB tstQaycovov t6 AZ' 
dsdotai aQa tb AZ ta sidsi xal ta (isys&Si. xal sjisl 

15 dnb Tijg avtfjg svd-sCag tfjg AB dvo svd-vyQa^fia dva- 
ysyQantai dsdo^sva ta sidsi td AFz/EB, AZ, Xoyog 
aQa tov AFzlEB jiQbg t6' AZ do&sCg- dsdotai ds 
t6 AZ ta [isys&si' dsdotat aQa xal t6 AF^EB t<o 
^sysdsi. 

20 vy'. 

'Edv dvo sidr] ta sidst Ssdo^sva ^ xal fiCa nXsvQa 
tov svbg TtQbg ^Cav TtXsvQav tov sts'Qov Xoyov sjri 
dsdo^svov, xal at Xoinal nXsvQal TCQbg tdg XoiTtdg 
TcXsvQag Xoyov s%ov6i dsdofisvov. 



2. sv&vyQa^(ia^ om. Vat. v. rd] xw Vat. AHB] corr. 
ex ABB m 2 Vat., ABE h. 3. AHB (utrumque)] A H h. 

4. E (alt.)] om. b. 8. aldos &vayQccq>y tc5 sI'8bi, b. 11. 

rrn] ro PVat.v. sl8og r«5 sI'8sl b. 12. Post ^4 add. K v, sed 
ras. del. AFJEB] B om. b. 13. yap] om. b. 14. ro] corr. 
ex rm m. 1 v. 15. SsSo^svce rc5 stf8si 6cv(xysyQccTtrai, b. 16. 
tm si8si] om. Vat. 17. 8s8orai — 18. iLsys%^si] om. PVat.v 
Hardy. 17. SsSorai] So&sv Gregorius et Peyrardus. 8e] 



DATA. 95 

AB : Jz/ data et in rectis AB, F^ similes et simi- 
liter positae figurae rectiliueae AHB, Z descriptae 
smit, ratio AHB : Z data erit [prop. L]. uerum ratio 
AHB : E data est. ergo etiam ratio E : Z data est 
[prop. VIII]. 

LII. 

Si in recta magnitudine data figura specie data 

describitur, figura descripta data est magnitudine. 
nam in recta magnitudine data AB figura specie 

data describatur AFzlEB. dico, figuram AFAEB 
datam esse magnitudine. 

construatur enim in recta A B 
quadratum AZ. itaque AZ datum 
est specie et magnitudine [def. 3]. 
et quoniam in eadem recta A B 
duae figurae rectilineae specie datae 
AF^EB, AZ descriptae sunt, ratio 
ATAEB : AZ data erit [prop. 
XLIX]. sed A Z datum est ma- 

gnitudine. ergo etiam ATA EB data est magni- 

tudine [prop. II]. 

LIIL 

Si duae figurae datae sunt specie et unum latus 
unius ad unum latus alterius rationem habet datam, 
etiam reliqua lateia ad reliqua latera rationem habe- 
bunt datam. 




In fig. cod. P litterae T, E pennutatae sunt. 



'AaL b.^ 18. TM (pr.)] om. b. Kai] om. v. 21. ^ ra d'8et 
Se^oiisva h. 23. nQog] supra scr. m. 1 v. 



96 



AEAOMENA. 



£<3t(o dvo sldr] ra eldst dsdo^svcc xa A^^ E@, xal 

loyog ri]g 5z/ jtQog tyjv Z@ dod^Sig' Xeyco, oTt xkI 

XG3V koL7i5)v nXsvQ&v TtQog 

xag XoLTiag nlevQag ^oyog 

5 i6xl dod^stg. 

insl yccQ loyog idxl 

xrlg zlB TtQog xrjv Z& 

dod^SLg^f xijg ds^B TCQog 

xi]v BA Xoyog i6xl dod^sig, 

10 xal xrjg AB ccQa TtQog 

xrjv Z0 Uyog i6x\ do&sig. xfjg dh Z& TtQog EZ Uyog 
iaxl dod-stg' xal trijg AB aQa TtQog xrjv EZ Xoyog 
s6xi do&Sig. dia xa avxcc drj xal x&v Xofzcbv TtXsvQ&v 
TCQog xag Xontccg koyog i0xl do&stg. 




15 



vd'. 



'Eav dvo sldrj dsdoiisva xtp sldst JtQog aXXrika Xoyov 
s%ri dsdofiivov, xal aC nXsvQal avx&v nQbg aXXtjXas 
Xoyov s^ovGc dsdofisvov. 

8vo yccQ sldrj dsdo^sva xdi stdst, xa A, B TtQog 
20 aXXr]Xa Xoyov ixita dsdo^svov Xiyco, oxv xal ai TtXsvQot 
avx&v TtQog dXXijXag Xoyov s%ov0i dsdofiivov. 

xb yccQ A xco B i]xot 8/iotdv idxtv rj ov. s6x(a 

TtQOXSQOv 0^0 tov, xal siXricp%^c3 x&v FA, EZ XQixrj dvd- 

Xoyov r] H. s6xiv aQa cog r] FA TtQbg xrjv H, ovxag 

25 xb A TtQbg xb B. Xoyog ds xov A TtQbg xb B doQ^sig' 

Xoyog aQa xal xfjg FA JtQog x^v H dodsig. xai si6iv 

1. si'Srf\ corr. ex elSst m. 2 Vat. dsSo^iva t<p si'Ssi b. 

zai] om. Vat., add. m. 2. 2. Z0] Zd v. ' 7. Z0 

BA b. 8. TJJs Ss — 9. Sod-sis] om. b. 10. Kui — 11. So9sig 

om. V. 11. Z& (pr.)J EZ b. r;)? Ss Z9 — 12. iatl So9sig 

om. b. 14. JtQOs] in ras. m. 2 v. Xontag nXsvQag b. 



DATA. 



97 



sint duae figurae specie datae AA^ E@, et ratio 
Bzi : Z& data. dico, etiam reliquorum laterum ad 
reliqua latera rationem esse datam. 

nam quoniam ratio zlB:Z® data est et ratio 
/IB : BA data [def. 3], etiam ratio AB : Z& data erit 
[prop. Vlir]. sed ratio Z&:EZ data est [def. 3]. 
itaque etiam ratio AB : EZ data est [prop. VIII]. 
eadem de causa etiam reliquorum laterum ad reliqua 
ratio data est. 

m . "^- 

^» Si duae figurae specie datae inter se rationem 
habent datam, etiam latera earum inter se rationem 
liabebunt datam. 

duae enim figurae specie datae A, B inter se ra- 
tionem babeant datam. dico, etiam latera earum inter 

se rationem habere da- 
tam. 

nam A figurae B aut 
similis est aut non simi- 
lis. sitprius similis,et su- 
matur rectarum Iz/, EZ 
tertia proportionalis H 
[YI, 11]. itaque est 
r^:H=A:B [VI; 19 
coroll.]. uerum ratio 
A : B data est. quare 
etiam ratio F^ : H 
data est [def. 2]. et rectae F^, EZ, H proportionales 
sunt. quare etiam ratio FzJ : EZ data est [prop. XXIV]. 

/^, « y 
16. SsSonsva f(8st Svo § (/S, cc, y m. 1). 22. A] om. b. 23. 
Tcov] ra h. 24. oijtoos 5 b. 

Euclide», edd. Heiberg et Menge. VI. 7 




98 AEAOMENA. 

at Fz/, EZ^ H avdXoyov xal rijg rk/ ccQa nQog xriv 
EZ Adyog £6tl dod^ELs. icaC sGtlv o^olov to A xa B' 
xal aC Xotnal aQa TtXsvgal TtQog rag kotnag itksvQag 
Xoyov £\ov6i dsdo^svov. 
5 fiij s6T(ja dij ofiOLOv rb A x<p B, xal avaysfQacpd^G} 
ano xfig EZ xa A o^olov xal o^oicog xsLfisvov xb E@' 
dsdoxaL aQa xal xb E& X(p sldsL' dsdoxaL ds xal xb B' 
kdyog aQa xov B TCQbg xb E® do&SLg' xov ds B JiQbg 
xb A Xdyog i0xl do&SLg' xal xov A aQa TtQbg xb E® 
10 Xoyog s6xl dod^SLg. xal o^olov xb A xa E&' koyog 
aQa xijg Fz/ TtQbg xi^v EZ dod-sCg. dLo. xa avxa d^ 
xal x&v XoLTtSiv nXsvQ&v nQog xag Xomag nXsvQccg 
Xoyog s6xl do&sCg. 

vs'. 

lo 'Eav %coQLOV xa sl'dsL xal xa fisysd-st dsdofisvov fj, 
xal at nXsvQal axtxov xa^fisysd^SL dsdofisvaL s6ovxaL. 

S6XG3 %c!iQLOV x& sl8sL xal TK» fisysd^SL dsSofisvov 
xb A' Xsya>, oxl xal at nXsvQal avxov dsdofisvai si6l 
X(p fisysd-SL. 

20 sxx£l6^(o yccQ xfj d^s6SL xal xa fisys&SL dsSofisvr] 
E^dd-sta -fj BF, xal avaysyQcctpd^G) anb xfjg BF x^ A 
ofiOLdv xs xal 6[iOLCi)g xsl^svov xb /i. SiSoxaL di) xb A 
To5 £l'dsL. xal insl anb dsdo^ivrjg £vd^£Lag xfjg BF xg 
fL£yi%-£L d^do^ivov £ldog avayiyQanxai xb ^, didoxaL 

25 ccQU xal xb /1 Tco ^£yi%£i' didoxaL dh xal xb A' 



3. ■nal — 6. B] bis Vat., corr. m. 2. 3. ai] om. b. 6. 
E@] B@ h. 8. tov (pr.)] kuI rov b. B (alt.)] EB h. 9. 
&Qa] om. b. 10. iativ ofioiov h. tc5] tov h. 13. Seq. 
demonstr. altera, u. app. 17. nal tm (isy^d^si] om. b. 18. 
avtov] -ov corr. ex -&v m. 2 Vat. slaiv P. 21. tm] t6 P. 



DATA. 99 

et simiKs est A figurae B. ergo etiam reliqua latera 
ad reliqua latera rationem habebunt datam [prop. LIII]. 
iam ne sit similis A figurae jB, et describatur in 
recta E7j figurae A similis et similiter posita figura 
E® [VI, 18]. itaque etiam E® data est specie [def. 3]. 
uerum etiam B data est. quare ratio B : E0 data 
[prop. XLIX]. sed ratio B : A data est. itaque etiam 
ratio A : E& data est [prop. VIII]. et ^ -^ E®. 
ergo ratio FA : EZ data est [per priorem partem huius 
prop.]. eadem de causa etiam reliquorum laterum ad 
reliqua latera ratio data est. 

LV. 

Si spatium specie et magnitudine datum est, etiam 
latera eius magnitudine data erunt. 

sit spatium specie et magnitudine datum A. dico, 
etiam latera eius data esse magnitudine. 

ponatur enim recta posi- 

tione et magnitudine data 

BF, et describatur in recta 

B r spatio A simile et 

similiter positum spatium 

z/ [VI, 18]. itaque A da- 

tum est specie [def. 3]. et quoniam in recta magni- 

tudine data BF figura specie data descripta est ^, 

A etiam magnitudine data erit [prop. LII]. sed etiam 




In fig. cod. h A, d parallelogramma sunt. 



22. Tf] om. b. To (pr.)] corr. ex ra m. 2 v. dif] 

Ss b. z/] A b. 23. Post si'd£i add. SsSoraL agcc %al tb d 
t(p siSsi b. Tc5 ^sys&si,'] om. b. 25. Ss] om. b. 

7* 



100 AEAOMENA. 

^oyog aQcc tov A tcqos tb A dod^ecg. xai iGtiv 
ofiocov t6 A ta /1' Xoyog aQa tfjg EZ TtQog ti]v BF 
dodsLg, do&et6a dh tj BF' dod^eWa aQa xal rj EZ. 
xau i6ti X6yog tf^g ZE itQog tijv EH dod-ecg' dod-etea 
5 ccQa xal rj EH. dia ta avxa drj xai eKa^tri t&v Xoi- 
7CG)v dedotai ta ^eye%ei. 

vs'. 
'Eav dvo LGoyavLa TtaQaXlrjXoyQafi^a TCQog aXlrjla 
K6yov ixV ^s^o^evov , f'<?rat 6>g rj trov 7Cqg)tov nkevQa 
10 TCQog trjv tov devteQOv TcXevQav^ ovtcag rj XoiTcri tov 
devteQOv nXevQa TCQog rjv r] eteQa tov TCQcbtov X6yov 
e%ei dedo^evov, bv t6 7caQallrjl6yQa^fiov TCQog t6 
7CaQaXkrjX6yQa^^ov. 

dvo yaQ i6oyd)vi,a naQa^Xrjk6yQa^(ia ta A, B TCQog 

15 akXrjla X6yov i%et03 dedo^evov Xeyo), oti i6tlv cig i] 

r^ nQog tijv EZ, ovtcag rj EH TCQog rjv rj r& Xoyov 

e%eL dedofievov, bv t6 A 7caQaXli]l6yQafifiov TCQog t6 B 

n:aQaXXrjX6yQafifiov. 

ix^e^Xr]6&co yaQ iic evd^eCag trjg F® ev&eta rj FK, 
20 xal 7ce7COLr]6d'Ci) cog r] F^ nQog ti]v EZ^ ovxag r] EH 
TCQog ti]v FK, xal 6vfi7ce7tXr]Qco6d-cj tb FA 7caQaXlr]X6- 
yQafifiov. inel ovv i6tLV (bg i] F^ nQog f^v EZ, 
ovtag r] EH nQog tr]v FK^ l'6r] de i6tLV r] Iz/ xf] 
KA, i6xLv ccQa c)g rj KA nQog tr]v EZ, ovtcag r] EH 
25 nQbg ti]v FK. xal ne^l i'6ag yovCag t&g 'bnb tS)v 



1. iaxiv] om. Vat. 3. So^sleu 8\ i] Eri^ om. P. 5. 
IjcaffTTj] Ixarfpo: b. 6. SiSorcci] om. b. Seq. demoiistr. 

altera, u. app. 8. naQa.XXriK6yQcnnLa] comp. Vat., omnibus 

litteris m. 2. Xoyov ^XV '^Q^S aHTjia SsSofiivov b. 9. 

hvl ~V ^O"^- ^^ ^*' ™- 2 V. 12. %}? Vat. ov] om. b. 



DATA. 



101 



spatium A datum est. quare ratio A : A data est 
[prop. I]. et est A ^^ A. itaque ratio EZ, : BT data 
est [prop. LIV].; uerum data est recta BT. quare 
etiam EZ data est [prop. II]. et ratio 2.E : EH 
data est [def. 3]. ergo etiam EH data est [prop. 11]. 
eadem de causa etiam reliqua latera singula data sunt 
magnitudine. 

LVI. 

Si duo parallelogramma aequiangula inter se ra- 
tionem liabent datam, erit ut latus primi ad latus 
secundi, ita reliquum latus secundi ad rectam, ad quam 
alterum primi rationem habet datam, quam parallelo- 
grammum ad parallelogrammum. 

nam duo parallelogramma aequiangula A, B inter 
se rationem habeant datam. dico, esse ut TA ad EZ, 
ita EH ad rectam^ ad quam T® rationem habet da- 

H tam, quam par- 

allelogrammum A 
ad parallelogram- 
mum B. 

producatur enim 
T® in directum^ 
ut fiat TK, et 
fiat TA:EZ = EH: TK [VI, 12], et expleatur par- 
allelogrammum TA. iam quoniam est TA:EZ = EH:TK 
et TA = KA [I, 34], erit KA:EZ = EH: TK. et 




E 



jrapaUTjioypafifiov] corr. ex tQiycovov m. 2 v, et sic deinde 

per totam prop. 15. ieriv] om. Vat., add. m. 2. 16. tjv 

7)} rriv b. 17. ov — B] z6 b. 19. FK] F om. b. 24. 
EH] E supra m. 1 v. 25. jrfpi] comp. Vat. 



102 AEAOMENA. 

FKA, HEZ ai nXsvQal avti7CE7c6vd-a6LV' i'6ov aQa i6tl 
t6 K^ ta HZ. xal sjisl X6yog ietl tot) A TiQog t6 B 
do&sig-, l'6ov ds tb B ta FA, X6yog ccQa E6tl tov &A 
TCQog t6 FA dod-SLg. cjg dh t6 0z/ TCgbg t6 FA, ovtcog 
5 'fj &r TCQog trjv FK- xal ti]g @r aQa TCQbg ttjv FK 
Xoyog s6tl dod-sig. xal snsi s6tiv ag rj Fzl TCQbg 
tijv EZ, ovtcog r} EH TtQog f^v FK, tj ds r& nqbg 
tijv FK X6yov sxsl do&svta, ov t6 A iciqCov TCQbg 
t6 B, s0tLV aQa ag rj FA TCQbg trjv EZ, ovtag i^ 
10 EH TCQbg r^v rj &r koyov ^x^l, bv t6 A xchqlov TCQog 
tb B x^Q^ov. 

'Eav dod^sv TcaQo. 8od'sl6av TcaQa^Xrjd-y sv dsdo^svrj 
ycovCa, dsdotai t6 rcldtog tf}g TCaQa^okfig. 

15 SoQ-sv yccQ tb AH TCaQcc do&st^av f^v BA TcaQa- 
fis^kt]6d-co sv Ssdofisvr] ycpvCa trj vnb t&v FAB' ksya, 
Stt 8o^st6d s6tLV i} FA. 

avaysyQd(p&(x) yccQ dnb tfig AB tstQaycjvov t6 EB' 
dod-sv aQa s6tl t6 EB. xal Slt^x^^^^v at EA, ZB, FH 

20 inl td A, &. xal snsl do&sv i6tLV sxdtSQOV tcav 
EB, AH, X6yog ccQa tov EB n^bg t6 AH Sod-sCg. 
l'6ov ds t6 HA ta A&' 2.6yog ccQa xal tov EB n^bg 
tb A& dod-sCg' &6ts xal trjg EA n^bg trjv AA Ibyog 
i6t\ dod^sCg. i'6r] ds rj EA t^ AB' X6yog aQa xal T^g 

25 BA nQog A2I do&sCg. xal insl dod-st6d i6tLv ij vnb 

1. ai] om. Vat., add. m. 2. 2. KJ] FJ b. 3. @J] 
A b. 4. FA (pr.)] Fz/ b. 6. xai'] om. Vat., add. m. 2. 7. 
r@] FK b. 8. FK] r& b. A] B b. 9. B] A b. 10. 
EH] HE b. Tjv 7j] T?fv b. A] B h. 11. B] A b. IS., 
So&iv] add. tco ^SYsdsi. b. 15. Ti]v] in ras. v. 19. iariv 
Siijx&caaav] 'i7i§t§Xi^a&aeav b. ZB] BZB h. 20. J, 
B, J b. 21. EB (alt.)] B supra scr. m. 2(?) v. TtQog] comp. 



DATA. 103 

latera aequales angulos FKA, HEZ comprehendentia 
in contraria proportione sunt. itaque K^ — HZ 
[VI, 14]. et quoniam ratio A : B data est et B== FA, 
ratio 0z/ : FA data erit. uerum @^ : rA = ®r: FK 
[VI, 1]. quare etiam ratio ©jT: FK data est [def. 2]. 
et quoniam est Tz/ : £Z = EH : FK et F® ad FK 
rationem habet datam, quam spatium ^ ad 5, erit 
ut jTz/ a.d EZ, ita EH ad rectam, ad quam @r ra- 
tionem habet, quam spatium A ad spatium B. 

LVIl. 

Si datum spatium datae rectae adplicatur in dato 
angulo, latitudo spatii adplicati data est. 

nam datum spatium AH datae 

-^ ^ rectae BA adpHcetur in dato an- 

gulo FAB. dico, FA datam esse. 
construatur enim m AB qua- 

. l^ dratum EB [l, 46]. itaque EB 

datum est. et educantur EA, ZB, 
rn ad z/, ®. et quoniam utrumque 



r"-^ ^^ © EB, AH datum est, ratio EB : AH 

data erit [prop.I]. uerumH^ = ^0 
[I, 35]. quare etiam ratio EB : A® data est. ita- 
que etiam ratio EA : AA data est [VI, 1; def. 2]. 
uerum EA = AB. ergo etiam ratio BA : AA data est. 
et quoniam datus est /. TAB, cuius pars /. AAB 



In fig. cod. b litterae d, & permutatae sunt. 



22. HA] H corr. ex E m. 2 Vat., AH vb. A&] AJ b, 

item lin. 23. 23. Ad\ A& h. 24. Uyog iariv b. 25. AJ] 
Tr]v &A b. 



h 



104 AEAOMENA. 

rcbv FAB^ cov ij vno zlAB dod^stdd isnvy koiTCri aQa 
rj V7C0 r&v FA^ i6rv do&eWa. s0rt ds xal rj vnb 
rcbv T/iA 8o%si6a' oQd-^ yaQ' lotTCrj ccQa 7] vno r&v 
AFzJ dod-sldd i6riV dsdorai aga t6 AF/J rgiycovov 
5 rco sidsL' Adyog aQcc s6rl rrjg FA TtQog r^v AA dod-sig. 
rfjg Ss AiA iiQog rrjv AB Xoyog ierl dod^sig' xal r^g 
FA ccQa TCQog rrjv AB X6yog ierl do&stg. xai ieri 
dod'SL6a rj BA' 8oftSi6a aQa xal rj AF. xai i6ri rb 
nXdrog rov TcaQa^Xrjfiarog. 

10 vrj\ 

'Edv do&sv jtaQa do%-Si6av TtaQa^Xrjd^fj ikksZicov 
sldsi 8s8o^sv(p rw si'8sL, 8s8orai rd nXdrrj rov iXksi- 
fiarog. 

^od^sv yaQ rb AF JcaQa 8od-si6av rrjv AA TcaQa- 

15 ^sfiXrl^d^d} iXXsiTCov st8si 8s8o^svco ra FA' Aeyo, on 
^o&Si^d i6riv sxarsQa r&v BF, BA. 

rsrfirj^d^a yaQ rj AA 8i%a xard t6 E 6rj[isi0v' 8o- 
&Si6a ccQa i6rlv rj EA. xal dvaysyQdcpQ^Gj dnh rfjg 
EA ra FA Ofioiov xal d^oiojg xsC^svov svd^vyQafi^ov 

20 t6 EZ, xal xaraysyQdq^d-co ro 6%r\^a' 8s8orai ccQa xal 
rb EZ ra sl'8si. xal insl aTcb 8s8o[idvrjg svd-siag f^g 
EA 8s8o[isvov ra si'8si si8og dvaysyQanrav rb EZ, 
8s8orai aQa t6 EZ ra (isys&si. xaC i6riv i'6ov rotg 
AF^ K@' 8s8orai ccQa xal rd AF, K& ra ^sysdsi. 

1. JAS] BA@ b. 2. rAJlcorr. ex AFJ m. 2 Vat., 

rA& h. isn — 4. AFzi] om. Vat. 3. F^A] F&A b. 

4. J n:/ (utrumque)] Ar@ b. 5. AJ] A@ h. 6. JA] 

A@ h. AB] BA h. 8. &qu] &Qa iari h. iiai (alt.)] 

jrpdff b. ieti] om. Vat. 12. nldrr]] corr. ex a7tX& ry m. 2 
Vat. iXXslfiarog] iXXsinovtog h. 15. FJ] JF vb. 16. 
BF] FB h. 17. Sixa] bis Vat., alt. del. m. 2. 18. nai] 
om. Vat. 20. cxiiiia] EZ PVat.v, mut. in axfjiia m. 2 Vat. 



DATA. 



105 



datus est, qui relinquitur L TA/I datus erit [prop. IV]. 
uerum etiam /. T/iA datus est; uam rectus est. ita- 
que reliquus /, ATA datus est [I, 32; propp. III, lY]. 
quare A ATA datus est specie [prop. XL]. itaque 
ratio TA : AA data est [def. 3]. sed ratio AA : AB 
data est. quare etiam ratio TA : A B data est 
[prop. VIII]. et data est BA. ergo etiam AT data 
est [prop. II]. et est latitudo spatii adplicati. 

LVIII. 

Si datum spatium datae rectae adplicatur deficiens 
figura specie data, latitudines spatii deficientis datae 
sunt. 

nam datum spatium AT datae AA adplicetur de- 
ficiens figura specie data TA. dico, utramque BT, BA 

datam esse. 
-^ Z secetur enim AA in duas 

partes aequales in puncto E. 
itaque data est EA [prop. II]. 
et construatur in EA figu- 
rae TA similis et similiter 
posita figura rectilinea EZ 
[VI, 18], et describatur fi- 
A JE B z/ gura. itaque etiam EZ, data 

est specie [def. 3]. et quoniam 
in data recta E^ figura specie data constructa est 
EZ, EZ data erit magnitudine [prop. LII]. et est 
EZ = AT-\- K® [I, 36: VI, 26; I, 43]. quare etiam 
AT -]^ K® datae sunt magnitudine [def. 1]. et figura 



K 


\ 






r 


k 
\ 



21. Tco si8sL\ om. b. 
xa] To Pb. 



23. EZ] 0Z Vat. 24. xat] om. v. 



106 AEAOMENA. 

'naC s6ti xo AF dod^av ta nsys&sc VTtoxsitai ydg- 
XoiTcbv aQa to K® dod^ev s6ti ta (isysdsi. s6ti ds 
xal ta sldsi dod-sv bfioiov yaQ s6ti ta F^' tov @K 
aQa dsSofisvai sidlv aC TiksvQaC' dodst^a aQa s6tlv 
t} KF' xaC s6Xiv i'6rj tf] EB' do&Si6a aQa s6t\v xa\ 
5 7] EB. s6ti ds xal ij E^ 8od-si6a' Ka\ Xoinij aQa ij 
B/1 dod-st6d s6tiv. xal Xoyog tfjg Bjd JtQog tijv BF 
dod^sCg' do&Si6a aQa s6t\ xa\ rj BF. 



vd-\ 

10 'Edv dod-sv TCaQa dod^Si6av TcaQa^Xrj&fj vnsQ^dXXov 
Sidsi dsdofisvc)^ dsdotai td ■jtXdtiq rijg VTtSQ^okrjg, 

dod-sv yaQ to AB naQa 8oSsl6av tijv AF naQa- 
^s^X7]6d-(o vnsQ^dkXov stdsi dsdoiisvca tco FB' ksya, 
bti do&si^d i6tiv sxatsQa t&v ©JT, FE. 

15 tstfirj^&co yaQ dC^a rf AE xatd ro Z 6r}fisiov, xa\ 
dvaysyQdfp^ai djtb trjg EZ ta FB b^oiov xa\ bfioCcog 
xsC^svov t6 ZH' 7tSQ\ xi]v avtiiv aQa didfistQov s6ti 
t6 ZH tco FB. ^xd-co avt&v did^stQog r] &EM, xa\ 
xataysyQd<pd-o t6 6xr}fia. xai sns\ b^oiov i6ti t6 FB 

20 rc3 ZH, dsdotai ds t6 FB ta sl'dsi, dsdotai ccQa xa\ 
t6 ZH ta sldsi' xa\ dvaysyQajttai dnb ds8o^svi]g 
svd^sCag tf]g ZE' do^sv aQa i6t\ tb ZH t(p ^sysd^si. 
s6ti d\ xa\ xb AB Sod^sv do&svxa ccQa i6x\ xd AB, 
ZH. xaC i6xiv l'6a ta KA' doQsv ccQa i6t\ t6 KA 



1. ta> — yd.Q] om. b. 2. ian ^e'] om. b. 3. ^^o^si'] 

om. b. ' rco (alt.)] xo b. 7. iaxiv v. BT] ZHBrF. 

11. Post SsSoiLiva add. rc5 stSsi Vat.v. 13. FB] FJ b. 

17. To] tm P. 18. avt&v] avtov v. 22. tm fisys&si] 

om. b. 



DATA. 



107 



^r data est magnitudine (ita enim supposuimus); 

itaque quae relinquitur K& data est magnitudine 

[prop. IV]. uerum etiam specie data est [def. 3]; 

nam similis est figurae Pz/ [VI, 24]. itaque figurae 

0K latera data sunt [prop. LV]. itaque recta KF 

data est; et est KF = EB [I, 34]. quare etiam EB 

data est [def. 1]. uerum etiam E^ data est. quare 

etiam quae relinquitur 5z/ data est [prop. IV]. et 

ratio JSz/ : BF data est [def. 3]. ergo etiam BF data 

est [prop. II]. 

LIX. 

Si datum spatium datae rectae adplicatur excedens 

figura specie data, latitudines spatii excedentis datae 

sunt. 

nam datum spatium AB datae rectae AF ad- 

plicetur excedens figura specie data FB. dico, utram- 

que &r, FE datam esse. 

secetur enim ^E in duas 

partes aequales in puncto 

Z, et construatur in EZ 

figurae FB, similis et si- 

militer posita figura ZH 

[VI, 18]. itaque ZH cir- 

cum eandem diametrum po- 

sita est atque FB [VI, 26]. 

ducatur earum diametrus ®EM, et describatur figura. 

et quoniam FB ~ Zif et FB data est specie, etiam 

ZH data erit specie [def. 3]. et constructa est in 

data recta ZE. quare ZH data est magnitudine 

[prop. LII]. uerum etiam AB data est. itaque 

AB-^ZH datae sunt [prop. III]. ei AB-\-ZH=KA 



Tvr 


H 


zl 


z 


\ 








E 


\ 



K 



& 



108 AEAOMENA. 

Tc3 ^eysd-et, e6rt de xal ta ei'det' o^olov yaQ e6xi 
T(p FB' Tov KA ccQa at nXevQal dedo^evat ei^Cv 80- 
d^eWa aQa e6rlv r} K&^ C3V r} KF dod'et6d icriv leii 
yccQ e6ri rfj EZ' Xotnri aQa 7] F® e6ri, do%^et6a' xa\ 
5 koyov e%ei tcqoq rrjv ®B dod-evra' dod^et^a aQa xal 

7] ®B. 

r. 

'Eav TtaQakXrjXoyQafi^ov dedo^evov ra eldet xal ra 
fieyed^ec Sedofievcj yvafiovc av^rj&fj r) {leLco&ri, dedorai 

10 ra TtXdrr] rov yvd}fiovos. 

7caQaXXr]X6yQa^Hov yocQ rh AB dedo^ivov ra eHdei 
xal ra iieydd-eL rjvli]6d'G) 7CQ6reQOv dedofievG} yvd^novL 
ra EFBziZH' Xeycj, ort do&etdd eGnv iaareQa rav 
FE, AZ. 

15 ineX yaQ dod^ev i6rL t6 AB, i0rL 8e xal 6 EBAHZ 
yvd)^G)v dod-etg, xal oXov ccQa ro AH dod-ev i^riv' 
aXXd xal t« el'8eL' o/iotov ydQ i6rL ra AB' rov AH 
ccQa dedonevaL eielv at nXevQaL' dod^et^a aQa idrlv 
exarsQa t&v AE, AZ. i'0rL de xal ixareQa rcov FA^ 

20 A^ dod^et^a' Xom^ ccQa exareQa rmv EF, /IZ i6tL 
do&et^a. 

ndXLv drj naQaXXrjX6yQa^iiov tb AH dedo^evov ta 
etdeL xal ta fieye&eL ^eiieLdt^d^a dedo[ievcj yvdt^ovi 
Tc3 EFBAZH' Xeyco^ otL do&et^d i6tLV ixareQa rav 

25 r^, ^Z. 

2. aQcc KA b. 4. ^ffrt (prius)] iativ v. 5. apa ietl b. 

11. nuQuXXriXoyQa^iLOv] tQiy tQiycovov v; con*. supra m. 2. 

12. r]o^r]e&o} v. ta SiSoiisvo} h. 15. EBdHZ] Post £ 
add. r Vat. m. 2, h;' EBJZHy. 16. yv&iia}v] -cov coit. 
ex ov m. 2 V. t6] ta b. 17. tai (alt.)] t6 h. 19. hri 
Si] wate h. httv v. FA — 20. rmr] om. b. 20. iaTi\ 
iativ V, om. b. 22. jfapaHrjidypajt/iov] corr. ex tQiyuivov 
m. 2 V. tb AH SsSQ^ihov] om. b. 



I 



DATA. 109 

[I, 36; I, 43]. itaque KA data est raagnitudine [def. 1]. 
ueruin etiam speeie data est [def. 3]. nam similis est 
figurae FB [VI, 24]. itaque figurae KA latera data 
sunt [prop. LV]. itaque recta K@ data est, cuius 
pars KF data est (nam KF = EZ [I, 34]). quare 
quae relinquitur F® data est [prop. IV]. et ad ®B 
rationem habet datam [def. 3]. ergo etiam ®B data 
est [prop. II]. 

LX. 

Si parallelogrammum specie et magnitudine datum 

dato gnomone augetur aut minuitur, latitudines gno- 

monis datae sunt. 

nam parallelogrammum AB specie et magnitudine 

datum prius augeatur dato gnomone EFBAZH. dico, 

utrumque latus FE, AZ datum esse. 

nam quoniam datum 
est AB et etiam gnomon 
jBF5z/ Zii" datus est, etiam 
totum AH datum erit 
[prop. III]. uerum etiam 
specie datum est [def, 8]; 
nam simile est parallelo- 
grammo AB [II def. 2; 

VI, 24]. quare latera parallelogrammi AH data sunt 

[prop. LV]. itaque utrumque AE, AZ datum est. 

uerum etiam utrumque FA, AA datum est [ib.]. ergo 

reliquum utrumque ET, AZ datum est [prop. IV]. 
iam rursus parallelogrammum AH specie et ma- 

gnitudine datum minuatur dato gnomone ETBAZH. 

dico, utrumque latus TE, AZ datum esse. 



U E 



110 AEAOMENA. 

ijtel yccQ do^sv iotL t6 ^H, ot> 6 EFB^ZH 
yvaficav dod-Ecg i6tLV^ loMov ccqk to AB doQ^sv iGttv 
«AAa xccl ta sfdsi,' tov AB uQa aC nXsvQal dsdo^ivuc 
£i6lv' dod^st6a ccQa i6tlv ixatsQa t&v FA, AA. eGtt, 
5 ds xal sxatsQa t&v EA, AZ dod-SL6a' xal loLTCri aQu 
sxatsQa tS)v EF^ AZ doQ'aL0cc i6tLv. 

w. 

'Eav dsdofiivov ta sldsL slSovg TcaQcc ^luv t&v 

TtXsvQ&v 7taQaXl7jk6yQa[i^ov xg)qlov TCaQa^Xrjd^fj iv dsdo- 

10 ^ivrj ycovLa, sirj Ss tb sidog TtQog tb TtaQalXrikoyQU^- 

liov Xoyov dsdo^ivov, didotaL tb TcaQaXXrjX6yQa^[iov 

ta sldsL. 

dsdo^ivov yccQ ta sldsL stdovg tov AZFB naQu 
ybCav tcbv nksvQSiv t^v FB 7CaQaXlrjX6yQafi(iov xgjqlov 
15 naQa^s^XrjG&ca tb Iz/ fV dsdofiivrj ycavLa tfj vnb tiov 
AFB, ?.6yog dh ^'^rco tov AF sl'Sovg TtQbg tb FA 
naQaXXrjloyQa^^ov dod-SLg' Xiya^ otc didotUL tb FzJ 
ta sldsL. 

^X^<^ y^9 ^''^ ii*^^ ■'^o^ B tfi Zr TtttQaXlrjXog ^ BH, 
20 Slcc dh tov Z tfj FB naQttXkr]Xog rj ZH, xttl dLr]x^c}- 
6av ttt Zr.) HB inl ra 0, K erjiista. 

insL do&stGa iotLV r] 'bnb tcbv ZFB ycovLa xul 
?.6yog iatl trjg ZT TtQog tijv FB dod-sig, dod^sv aQa 
tb ZB TtaQttkkrikbyQtt^^ov ta sidsL. didotai d^ rel 



1. ov] &v b. 4. iatlv] om. Vat. hriv v. 5. xa/(alt.) 
— 6. iatLv] om. b. ; 8. ^ra blSsl] om.H b. 9. TtccQaXXriU- 

YQu^liov] tQiycovov v, corr. m. 2, et sic deinde per totam hanc 
et seq. propos. 10. ^xv] h^'- Vat.v. TtQbg ro] om. b. 13. 
tm si'SsL] om. b. 16. ATB] BFA b. hta] iari b. AT] 
AFB \, ABh. 21. HB] HB, Ad v, KH, B& h. 0, K] 



DATA. 



111 



nam quomam datum est AH, cuius gnomon 
EFBzi ZH dsitus est, reliquum AB datum erit [prop.IV]. 
uerum etiam specie datum est [II def. 2 ; VI, 24]. quare 
latera parallelogrammi AB data sunt [prop. LV]. ita 
que utrumque FA, A/i datum est. uerum etiam 
utrumque EA, AZ datum est [ib.]. ergo etiam reli- 
quum utrumque ET, AZ datum est [prop. IV]. 

LXI. 

Si cuilibet laterum figurae specie datae spatium 
parallelogrammum adplicatur in dato angulo et figura 
ad parallelogrammum rationem babet datam, parallelo- 
grammum datum est specie. 

nam cuilibet lateri TB figurae specie datae AZTB 
spatium parallelogrammum adplicetur T^ in dato 

angulo ATB, et ratio fi- 
gurae AT ad parallelo- 
grammum Jz/ data sit. 
dico, Jz/ datum esse specie. 
ducatur enim per punc- 
tum B rectae Z T parallela 
BH, per Z autem rectae 
TB parallela ZH [I, 31]. 
et producantur ZT, HB 
ad puncta ®, K. 
[uoniam L ZTB datus est et ratio ZT: TB data 
est [def. 3], parallelogrammum ZB specie datum est 

' In figura cod. b litterae J, K permutatae sunt. 

I 

'K^&V. 22. ZPB] Zr V. 23. ttJ?] corr. ex t^ m. 2 Vat. 

i 24. Tco itSBL (alt.)] om. b. 




112 AEAOMENA. 

sldeL ro AZB sldog. xal avaysyQanxai. ano T^g avr^g 
evd-eiag r^g FB' Uyog aQa e6xl xov AB eidovq 
TCQog xb ZB naQaXXriXoyQa^^ov dod-eCg, xov de ZB 
TCQog xb FA Xoyog e6xi dod-etg, enetSri xal xov AB 
5 nQbg xb Iz/ vnoxetxat' l'0ov de xb Pz/ x^ KB' 
loyog aQa xal xov KB nQog xb FH e6xi dod-eig' 
co6xe xal xrig ZF nQog xrjv FK Xoyog e0xl dod-etg. 
xfig 8e Zr n^bg xrjv FB Xoyog e6Xi dod-sig' xal 
xrjg Br aQa nQog xr}v FK Xoyog e6xl dodsig. xal 

10 enel dod^et^d e6xiv rj vnb xav ZFB ycovCa^ xal r\ 
ecpe^rjg aQa rj vnb x&v BFK e6Xi dod-ei6a. e6xi de 
xal rj vnb x&v BFA dod^et^a' xal Xoinij aQa rj vnb 
x&v AFK dod-et6d e6xiv. e6xi de xal rj -bnb AKT 
ycovCa dod^et^a' i'6r] yccQ xri vnb KFB' Xoinrj ccQa ri 

15 vnb FAK e6xi do&et6a' dedoxai aQa xb AFK xqC- 
ycovov xa ei'dei' Xbyog ccQa e6xl xf}g AF n^bg xrjv FK 
dod-eCg. xrjg de KF nQog xrjv BF X6yog e6xi do&eCg' 
xal xrjg AF ccQa n^bg xijv FB Xbyog e6xl dod^eCg. xaC 
e6xi dod^et6a r} vnb xav AFB ycovCa' dedoxai aQa xb 

20 FA naQaXXrjXoyQa^fiov xa ei'dei. 

'Eav dvo ev&stai n^bg dXXTJkag koyov e%C36i dedo- 

[isvov xal dvayQag)ij dnb [lev xrjg [itdg dedo^ievov tc3 

ei'dei eidog, dnb de xijg exeQag ;uw^iov naQaXXrjlo- 

25 yQafifiov ev dedofievt] ycovCa, e%ri de xb eldog nQog 



1. AZB] AZFB Vat., T add. m. 2 v. slSog] om. b. 3. 
ZB &QCC b. 4. insiSt] — 5. vTrdxfirai] om. b. 5. tc5] tov b. 

11. ^(TTtv V. hxiv V. 13. ATK] r add. m. 2 Vat. ;' A FK b. 

iaxiv So&slGcc b. ^axiv Pv. vnb rabv b. 14. So- 

&£tecc yavia b. ydg iaxi b. vnb xmv BFK b. Xonti] 



DATA. 113 

[I, 34; def. 3]. sed figura AZB specie data est et 
[ in eadem recta FB descripta. quare ratio figurae AB 
1 ad parallelogrammum ZB data est [prop. XLIX]. 
uerum ratio ZB : Iz/ data est, quoniam supposuimus 
etiam rationem AB : FA datam esse [prop. YlllJ. est 
autem FA = KB [I, 35]. quare etiam ratio KB : FH 
data est. itaque etiam ratio ZF : F K data est 
[VI, 1; def. 2]. uerum ratio ZF'. FB data est. itaque 
etiam ratio BF: FK data est [prop. VIII]. et quo- 
niam i ZFB datus est, etiam qui deinceps positus est 
L BFK datus erit [I, 13; prop. IV]. uerum etiam 
L BFA datus est. quare etiam qui relinquitur L AFK 
datus est [prop. IV]. sed etiam /. AKF datus est; 
nam aequalis est angulo KTB [I, 29]. itaque reli- 
quus L FAK datus est [I, 32; propp. IIT, IV]. ergo 
A AFK specie datus est [prop. XL]. itaque ratio 
AP-rK data est [def. 3]. uerum ratio Kr^BT 
data est. itaque etiam ratio AF : BF data est 
[prop. VIII]. et datus est /. AFB. ergo parallelo- 
grammum FA datum est specie [I, 34; def. 3]. 

LXII. 

Si duae rectae inter se rationem habent datam et 
in altera describitur figura specie data, in altera autem 
spatium parallelogrammum in dato angulo, et figura 



apa] mats ■nul Xontri b. 15. icxi] iativ P, om. v. AFK] 
AKF Vat., TKA b. 16. yf F] JT^ b. 17. KF^ FK Vat. 

18. v.ai (pr.) — SoQ^dg] om. b. AF] A in ras. v. 19. 

z? FB P. 20. TCaQccXXriXoYQcc^^ov] om. b. 23. ta siSel] om. b. 

25. ^x^i V. ngbg to] om. Vat., supra add. m. 2. 
Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 8 



114 AEAOMENA. 

t6 TcaQaXXriKoyQa^liov koyov dedo^evov^ dsdotat TcaQ- 
akXfjXoyQa^^ov ra eidsi. 

dvo yaQ svd-stat at AB^ TA TtQog allrjkas Xoyov 
s%sxGi6av dsdoytsvov^ Kal avaysyQd(pd-co aTtb ^sv rij? 
b AB dsdo^svov ra sldst sldos rb AEB, dnb de rrjg F/i 
jiaQaXXyjXoyQa^^ov ro z/Z ev dedoiievTj ycovta rfj vTib 
r&v ZJTz/, koyog de e6r(o rov EB eldovg TCQbg t6 Zz/ 
TtaQakXrjXbyQa^liov do&stg' Xeyco, ort dsdorat rb AZ 
naQaXXr]X6yQa^^ov t« sl'dsi. 

10 dvaysyQd(p&03 yaQ dnb rrjg AB ra AZ, o^otov xal 
ofiotcog xst^svov TcaQalXrjXoyQaiifiov t6 AH. eTcel Xoyog 
s6rl rrjg AB TCQbg rrjv FA dod^sig, xal dvayeyQajcrat 
dnb rS)v AB^ FA o^ota ical 6fiotcog %et^eva evd^v- 
yQafifia rd AH, Zz/, Xoyog aQa e6rl rov AH TCQog 

15 t6 ZA dod^eig. rov 6e ZA ■KQog t6 EB Kbyog e6rl 
Sod-eig. xal rov EB ccQa JCQbg t6 AH koyog e<Stl 
dod^eig. aaC e6rt dod-eWa rj vnb r&v BA& ycovia' 
t0r] yaQ e6rt rf] vjcb ZFA. stcsI ovv dsSo^evov ta 
efdst eldovg rov EB naQa fiiav rav TcXevQ&v t^v AB 

20 TcaQa^e^Xrjrat rb AH ev dedo^evi] ycavia. rfj 'bicb r&v 
@AB xal Xoyog e6rl rov EB etdovg TCQbg rb AH 
TCaQaXXrjkoyQa^^ov dod^eig, dedorat ccQa t6 AH tc3 
eldet. xai e6ttv o^otov ta ZA' deSotat ccqu xal t6 
ZA Td5 eidst. 



5. rco sl'Ssi] om. b. AEB] EB h. 7. r&v] xriv b. 8. 

do&sig — 9. TtuQuXlriXoYQaiiiiov] om. b. 10. Zd b. ofioiov 

T£ Vat. Kul ofioicog Ksinsvov] om. b. 11. insl ovv Vat.b. 

14. iari] om. b. 15. EB] BA b. 16. y.ai — 17. SoQsig] 

om. b. 17. xwv] xfjs b. 18. xrjv ZFJ h. ra si'Ssi] 

om. b. 19. EB] EAB h. AB] AE xatQiov h. 20. xav] 
rijg h. 22. So&sig] So&staa h. 



DATA. 



115 



f ad parallelogrammiim rationem liabet datam, parallelo- 
I grammum datmn est specie. 

; nam duae rectae ^B^ Fz/ inter se rationem lia- 

' beant datam, et describatur in AB figura specie data 

AEB, in Jz/ autem parallelogrammum ^Z in dato 

' angulo ZT/i , et ratio figurae EB ad parallelogram- 

mum TjA data sit. dico, parallelogrammum z/Z da- 

tum esse specie. 

describatur enim 'va.AB parallelogrammo /iZ, simile 
et similiter positum parallelogrammum AH [VI, 18]. 
quoniam ratio AB : TA data est 
et in AB^ T/1 descriptae sunt si- 
miles et similiter positae figurae 
rectilineae AH, Tj/i, ratio AH-.Z^d 
data erit [prop. L]. uerum ratio 
Zz/ : EB data est. quare etiam 
ratio EB: AH data est [prop. VIII]. 
et i BA& datus est; nam aequalis 
est angulo ZTz/ [VI def. 1]. iam 
quoniam lateri AB figurae specie 
datae EB adplicatum est AH in 
dato angulo ®AB et ratio figurae EB ad parallelo- 
grammum AH data est, AH datum est specie 
[prop. LXI]. et simile est parallelogrammo ZA. ergo 
etiam ZA datum est specie [def. 3]. 




-^H 



J 



116 AEAOMENA. 

1/. 
^Eav tQLycovov ta sldei dedo^ivov fi^ t6 ano ixdatrjg 
t&v nXavQcbv avrov nQog tb tQiyavov koyov 6%ei dsdo- 

flEVOV. 

5 ^'^TOJ tQLycovov dedo^Bvov ta eldeL t6 ABF^ xccl 
KvciyeyQ(x<p&c} ccnb exccGtrjg t&v nkevQcbv ccvtov tetQcc- 
ycovcc tcc EB, Fz/, FZ' Xeyco, otL excc6tov t&v EB, 
jT^, rZ TCQog tb ABF tQLycovov X6yov e%eL dedo^evov. 
ejtel yccQ anb trjg uvtfig evd^eCag tf^g BF ev%-v- 
10 yQafifia dedofieva ta efdeL ccvayeyQantaL, ct hv^ev, tcc 
ABF, Fz/, kdyog ccQa tov ABF n^bg t6 F^ dod^eig. 
dLoc Ta avtcc dij xal exateQov t&v EB, ZF n^bg t6 
ABF tQLycovov Xdyog eatl do^eig. 

15 'Eccv tQtycovov a^^Xelav exr} ycoviav dedo^evrjv^ ^ 
(let^ov dvvataL rj trjv a^^Xetav ycoviav vnoteCvovGa 
nXevQcc tCov tijv dfi^Xetav ycovCav neQLe%ov0cbv nXev- 
qS)v, ixetvo t6 xcoqCov n^bg t6 tQCycovov koyov e%eL 
dedo^evov. 

20 e6t(a tQCycovov d^^XvyavLov t6 ABF d^^Xetav 
ycovCav iyjov tijv hnb tav ABF dedo^evrjv, xal dLrjxd^co 
en' evd^eCag Tij? BF evd-eta rj BA, xal ^'^-S^to dnb tov A 
enl f^v Fzl xd&etog r] A/i' Xeyoo, ort, S ^iet^ov e6ti 



3. x&v nXtvQ&v] tfjg ■nXBvq&s b. Post ccvtov add. tsxqcc- 
yavov Vat.v. 5. dsdoiisvov xm si'dsi] om. b. 6. xsxQccyava] 
comp. Vat. 8. Fd] jrh.' ABF] F add. m. 2 Vat. 

itsi] ^x^i b. 9. &it6] om. b. 10. sfSsi hv^ev &vu- 

ysyQccTfxcci xd (& om.) b. txvxs Vat. 11. ^Br" (alt.)] FJ b. 

x6] om. P. rj] FAB XQiycavov (comp.) b. 16. vno- 

xsivovGoc] -ccv V, del. v m. 2. 21. yaviccv ^jfov] P, -ov corr. 



DATA. 



117 



LXIII. 

Si triangulus specie datus est, quadrata in siugulis 
lateribus eius constructa ad triangulum rationem habe- 

bunt datam. 

sit triangulus specie da- 
tus ABF, et construantur 
in singulis lateribus eius 
quadrata EB, T/i, FZ. dico, 
unumquodque quadratum 
EB, rj, rz ad triangu- 
lum ABF rationem habere 
datam. 

nam quoniam in eadem 
recta BF quaelibet figurae 
rectilineae specie datae ABF, Fzl descriptae sunt, 
ratio ABF^.r^ data erit [prop. XLIX]. eadem de 
causa etiam ratio utriusque quadrati EB, ZP ad tri- 
angulum ABF data est. 




LXIV. 

Si triangulus obtusum angulum datum habet, 
spatium, quo quadratum lateris sub obtuso angulo sub- 
tendentis maius est quadratis laterum obtusum angu- 
lum comprehendentium, ad triangulum rationem ha- 
bebit datam. 

sit triangulus obtusiangulus ABF obtusum angu- 
lum ABF habens datum, et producatur in directum 
recta BF, ut fiat Bzi, et ducatur ab A ad FA per- 



ex coT m. 1; ^xov Vat. et corr. ex ^x^v m. 2 v; ^x^v ytoviav b. 
t&v'] Trjv (comp.) Vat., del. m. 2. 23. m\ om. b. 



118 AEAOMENA. - 

t6 ccTtb rijg AF xS)v unh t&v AB^ jBr', xovt£6tL t6 
(Jtg 'hTth t&v z/5, BF, exetvo th %c3qCov n^hg th ABF 
tQiycovov X6yov £%el dedo^Bvov. 

inel yaQ dod-et6d edtiv rj vnh ABF, xal i^ vnh 
5 t&v AB^ dod^etdd e6tiv. e6ti de xccl tj 'hnh tcov 
AzJB dod^et^a. xal lotnij aQa tj vnh t&v AAB do- 
d'et6d e0tLv. dedotat ccQa th /iAB tqiycovov td5 etdeL' 
loyog ccQa trjg A/1 n^hg trjv AB dod-eig. xai e6tiv 
d)g ii AA n^hg trjv z/5, ovtcog th 'bnh t&v AA, BF 

10 nQhg th 'vnh t&v z/J5, BF' aGte xal tov 'vnh tav 
^A, Br nQhg th 'vnh tcbv ^B, BF Xoyog e6tl dod-eig' 
xal tov dlg 'bnh t&v AB, BF ccQa n^hg th 'bnh t&v 
A/1.^ BT Xoyog i0tl dod^eig. d^ld tov 'vnh t&v AAy 
BF nQhg th ABF tQiycovov Xoyog i6tl So&eig' xal 

15 tov dlg 'bnh tCbv zJBF ccQa n^hg th ABF tQiycovov 
Xoyog i<3tl dod-eig. xai i6ti th dlg -vnh tav AB, BF, 
(p ^et^6v i(3tL th dnh trijg AF tmv dnh tav AB, BF' 
ixetvo aQa th %c3Qiov n^hg th ABF tQiyavov X6yov 
i%ei dedo^evov. 

20 1«'. 

'Edv tQiyovov 6i,eiav %/; yoviav dedofievrjv^ co 
hXa06ov S^vvatai 'fj frjv o^etav ymviav 'bnoteivovGa 



2. Twi'] Tj)s b. JB, BT] FBA b. ABF^ ATh. ;5. 
Ilet] %5t b. 4. '}] 'vnh xtbv ABT yavia b. jtat] v.ul i\ 

icps^fjg ccQu b. 5. robv (utrumque)] rjjs b. ^ativ v. 6. 

AJ, JB P (AJ in fine, z/B init. lin.) Vat.; AJB Vat. m. 2, 
KccL] om. Vat. 8. A^] BJ b. J B] JA h. Post 8q- 
d-sLg add. ieriv P. iariv] om. b. 10. rov] ro b. tmv (alt.) 
om. Vat., add. m. 2. 11. JB, BF] ABFh. 12. kkL' 

mars v.aL h. rov] r6 h. dB] dA h. uqu] om. b. ro 
rb Sig h. 13. AJ] JA h. BF] T om. b. Xoyog — 14 
BT] om. b. 13. JA] AJ v. 15. JBT] JA, BF h. 




DATA. 119 

pendicularis AA. dico, spatium, quo quadratum 
rectae AT maius est quadratis rectarum AB, BF, h. e. 
duplum rectangulum rectis zlB, 
BF comprehensum ad triangu- 
lum ABF rationem habere datam. 
nam quoniam datus est iABF, 
etiam /, ABzl datus est [I, 13; 
prop. IV]. uerum etiam /. AAB 
datus est. itaque etiam reliquus 
l AAB datus est [I, 32; propp. III, IV]. quare 
A AAB datus est specie [prop. XL]. ergo ratio 
AA : AB data est [def. 3]. et est 

AA.AB = AAxBF.ABxBr [VI, 1]. 
itaque etiam ratio AAX BF . zlB X BF data est 
[def. 2]. quare etiam ratio ^ABxBF: AA X BT 
data est [prop. VIII]. uerum ratio AAxBT:l\ABT 
data est [1, 41]. itaque etiam ratio 2ABxBT:AABT 
data est [prop. VIII]. et duplum rectangulum rectis 
AB, BT comprehensum est spatium, quo quadratum 
rectae AT maius est quadratis rectarum AB, BT 
[11, 12]. ergo illud spatium ad AABT rationem 
habet datam. 

LXV. 

Si triangulus acutum angulum datum habet, spatium, 
quo quadratum lateris sub acuto angulo subtendentis 



16. ian] om. b. z/B] AB h. 17. «] av b. rav (alt.)] 
T?Js b. Post B r add. b : 3 o:qcc fisttov ^axai to aTtb x&v 

AF xqs anb tibv AB, BF. 18. aga] om. b. ABT] 

om. b. 21. a] wg b. 22. ^Xattov in ras. 4 litt. m. 2 v. 

Svvritai. b. 



120 AEAOMENA. 

TCkevQoc tcbv rrjv o^etav ycoviccv nBQiE%ov6G)v nXevQ&v^ 
ixetvo t6 %GiQLOv TiQog t6 TQCycovov Xoyov £%£i dsdo^evov. 
£6tco XQtycovov o^vyavLOv t6 ABF^ 6i,Biav bxov 
ycoviav dEdo^svrjv tijv vtco tav ABF^ jcal r]x&(0 anb 
5 tov A BTcl trjv BF xdd-stog r} AA' XByco, OTt, a elae- 
66v B6ti t6 aTCO TTjg AF tcav ajtb tcov AB^ BF, tow- 
B0tt t6 dlg vTcb tcov FB, BA TCQbg tb ABF tQiycovov 
Xoyov BXBi dBdofiBvov. 

btcbI yccQ 8od^Bt6d B0tiv rj vnb tcov ABA ycovia., 

10 B6ti 8b xal ii vnb tcov AAB dod-Bi6a, xal Xoinrj aQa 
'fj vTcb t&v BAA B0tL do&Bt6a' dsdotaL aQa t6 ABJ 
tQiycovov ta BidBi' Xdyog aQa tf}g BA nQbg trjv AA 
dod-sig' co0tB xal tov vnb tav FBA n^bg t6 vnb 
tcbv FB^ AA X6yog B0tl dod-Big' zal tov dlg vnb t&v 

15 FB, BA aQa. aXXd tov vnb tcbv BF, AA n^bg ro 
ABF Xoyog B6tl dod^Big' xal tov dlg vnb tcbv FB, BJ 
(XQa nQbg t6 ABF tQiycovov Xoyog B6tl do&Big. xai 
B6tL t6 dlg vnb tcbv FB, BA, co eXa066v B6tL t6 dnb 
tfjg AF tav dnb tcbv AB^ BF' cb aQa BXa666v e6ti 

20 t6 dnb trjg AF tcbv dnb tcov AB, BF, bxblvo ro 
%coQiov nQbg t6 ABF tQiycovov X6yov B%Bi dBdofiBvov. 

'Edv tQiycovov dBdofiBvrjv £%rj yooviav, t6 vnb t&v 
trjv dedo^Bvrjv ycoviav nBQLB%ov6cbv bv&bl&v dQ&o- 
25 ycbviov nQbg t6 tQiycovov X6yov B%Bi dsdo^iBvov. 

1. rcov] twv vnb r&v b. 5. iXuttov Vat. 6. ian] 

Svvatai V. tovtiati] om. b. 9. AB^] AJB t. 10. 

nui (alt.)] om. Vat. 11. ABd] ABF \. 13. Post So&tis 

add. xai iativ ag ij Bz/ Ttgbg zJA, ovtmg ro vnb TB, BJ ttqos 
tb vTtb FB, AzJ v; u. schol. nr. 125. tov] to b. FBJ] 

BF/i b. 14. tov] to b. 15. BJ] AA b. a.qa] loyog 

iatl So&sig b. 16. ABF tgiywvov b. tov] to b. 17. 

tgiyavov] om. Vat., add. m. 2. 18. vTto] 6 vno P. co] 




DATA. 121 

minus est quadratis laterum acutum angulum com- 

prehendentium, ad triangulum rationem habebit datam. 

sit triangulus acutiangulus ABF acutum habens 

angulum datum ABF, et ducatur ab ^ ad 5r per- 

pendicularis ^z/. dico, spatium, 

quo quadratum rectae A F minus 

est quadratis rectarum AB^BF, 

h. e. duplum rectangulum rectis 

g/_ — . — ^j-, rB,B^ comprehensum ad AABF 

rationem habere datam. 
nam quoniam 7 AB^ datus est et etiam L AAB 
datus est, etiam reliquus /. BAA datus erit [I, 32-, 
prop. IV]. quare A ABA datus est specie [prop. XL]. 
•ergo ratio BA : AA data est [def. 3]. itaque etiam 
ratio FBxBA : FBxAA data [YI, 1; def. 2]. 
quare etiam ratio 2 FB X BA : FB X AA data est 
[prop. Vni]. uerum ratio BTxAA-.AABr data 
est \I, 41]. itaque etiam ratio 2 TB X BA : AABT 
data est [prop. VIII]. et duplum rectangulum rectis 
TB, BA comprehensum est spatium, quo quadratum 
rectae AF minus est quadratis rectarum AB, BF 
[11, 13]. ergo spatium, quo quadratum rectae AF 
minus est quadratis rectarum AB, BF, ad AABF 
rationem habet datam. 

LXVI. 

Si triangulus datum habet angulum, rectangulum 
comprehensum rectis datum angulum comprehenden- 
tibus ad triangulum rationem habet datam. 

rog b. ^Xartov in ras. m. 2 v, item lin. 19. 19. Uaaaovl 
TcaQccXXriXov Vat., del. et supra scr. ^lattov m. 2. iatLv v. 

24. dQ&oymviov^ om. b. 



122 AEAOMENA. 

£6ta XQiycovov xh ABF dsdofievrjv biov y(oviav 
xr\v TCQog xa A' Xeyca, oxi xo vno x&v BAF xghg 
xh ABF XQtycjvov koyov e%eL dedofie^vov. 

^Xd-co yccQ ccTth xov B enl xijv AF xd&exog ri BA. 
6 eTiel ovv dod-ei6d e6xiv rj VTch xcbv BAF ycovca, eGxi, 
de xal 7] VTch xcbv AAB ycjvLa dod-et6cc, xal Xonffi 
aQa rj vTch AB/i ycovta dedoxac dedoxat ccQa xh ABA 
XQtycovov Tco eldet. Xoyog aQa e6x\ xfig AB TCQhg xijv 
Bzi dod-eig. dig de rj AB TCQhg Bz/, ovxcog xh vtco 
10 x&v BAF TCQhg xh vnh xcbv 5z/, AF' axSxs xal xov 
vnh xav BAF TCQhg xh 'hnh xcbv BA^ AF Xoyog e6t\ 
doxtsig. xov de vnh x&v AF, BA TCQhg xh ABF tQi- 
yavov loyog e(Stl dod-eig' xal xov vnh xcbv BAF uQa 
nQhg xh ABF XQiycovov Xoyog s(Sxt dod^eig. 

'Edv tQiycovov dsSo^svrjv sxfj ycoviav, a ^et^ov 
dvvavTttt at trjv dedo^evrjv yooviav neQte%ov6at nXevQat 
cog fiia xov dnh xrjg kotnrjg, ixetvo xh xcoQiov n^hg xo 
XQiycovov koyov s%st 6sdo[is'vov. 

20 edxco XQiycovov xh ABF dedo^evrjv exov ycoviav 

xrjv vnh xcbv BAF' ?.eyco, oxt, co ^et^ov s6xt xh dno 

0vva^cpoxeQov xr]g BAF xov dnh xrjg BF, exetvo to 

XcoQiov nQhg th ABF tQiycovov khyov e%ei dedo^evov. 

dtrix^co yaQ sn sv^siag trjg AB sv&sta r] AA, 

25 xat xsia&co xfj AF i'6r] rj AA, xai snt^svx^st6a rj AF 
dtr]x^c3 snl t6 E., xal rjx&co dtd tov B tfj AF naQ- 



1. ^x^v] -ov corr. ex -cov m. 2 v. 2. TtQog xa A] imb 

T&v BAF b. Tc5] To P. 3. ABF Tgiycovov] VTtb Tdiv 

ABF b. ix^i} om. b. 7. ycavia SedoTai,] iaTi Sod-Btaa b. 




DATA. 123 

sit triangulus ABF datum habens angulum ad A 
positum. dico, rectangiilum comprehensum rectis 
BA, AT ad A ABT rationem 
habere datam. 

ducatur enim a -B ad AF per- 
pendicularis B^. iam quoniam 
datus est LBAF et etiam LA/JB 
datus, etiam reliquus /. ABA datus 
erit [I, 32; propp. III, FV]. itaque 
A ABA datus est specie [prop. XL]. quare ratio 
AB : BA data est [def. 3]. uerum 

AB:BA = BAx AF: BA X AT [VI, 1]. 
itaque ratio BA X AF: BA X AF data est [def. 2]. 
sed ratio AFx BJ : A ABF data est [I, 41]. ergo 
etiam ratio BA x AF: AABT data est [prop. VIII]. 

LXVII. 

Si triangulus datum habet angulum, spatium, quo 
quadratum summae laterum datum anguhim comprehen- 
dentium maius est quadrato reliqui, ad triangulum 
rationem habebit datam. 

sit triangulus ABF datum habens anguhim BAF. 
dico, spatium, quo quadratum summae laterum BA, 
AF maius est quadrato lateris BF, ad A ABF ratio- 
aem. habere datam. 

\ producatur enim in directum AB, ut fiat AA, et 
iponatur AA = AV, et ducta AF producatur ad E, et 
ducatur per B rectae ^JT parallela BE. et quoniam 

8. iaxi] om. V. «pos — p. 126, 9. ^s^oftsVov] om. b. 10. 
BAT] Bjr P. 21. r&v'] om. v. 26. rjj AT] supra add. 
'm. 2 V. 



124 AEAOMENA. 

dXXi^Xog rj BE. jcat snEl i'6r} s0tlv rj AA rfj AF^ 
l'drj ccQa i6tl xal rj ^B tfj BE. xal dirjXtaL tcg rj BF' 
t6 ccQa vnb t&v ^FE fista tov ccTcb r% BF l6ov 
i6tl ta anb Tij? Bz/. i'6rj Se rj ziA jrfj AF' tb aQa 

5 anb 6vvafig)otiQov rijg BAF i'6ov i6tl ta vnb t&v 
^FE (ista tov anb trjs BF' a6ts tb anb 6vvancpo- 
tsQOv trjg BAF tov anb tfjg BT [isii,6v i6ti t& vnb 
t&v ^TE. 

Xsya drj, ott, tov viib tav zl FE TtQbg t6 ABF 

10 tQtycavov Xoyog i6tl dod-stg. 

iTtsl yccQ dod-st6d s6tiv rj vnb t&v BAF ycovia^ 
Tial rj ig)s^rig ccQa rj vnb t&v ^AF i6tt dod-st6a. s6tt 
ds xal sxatSQa t&v vnb t&v Azir, ^FA 8od-st6a' 
r][ii6stat yaQ Si6i tfjg vnb tav BAF' \dsdotat yaQ rj 

15 vnb BAF'^ dsdotat ccQa t6 zlAF tQtycovov ta sldst' 
Xbyog ccQa i6t\ tfig /iA n^bg tr\v AT do&stg' co6ts 
xai Tov anb tfjg Az/ n^bg t6 dnb tfjg ^T Xoyog ietl 
dod^stg. xal inst ag rj BA n^bg tijv AA, ovtcog rj 
ET nQbg triv T^, dXX' tbg fisv rj BA n^bg AA^ ovteig 

20 t6 vnb BA, A/i n^bg tb dnb AA., hg Ss r\ ET nQog 
TA, ovtcog t6 vnb tav ET, Tzi nQbg t6 dnb TA, 
Ttal ag ccQa t6 vnb t&v BA, AA n^bg t6 dnb tf\g AA.^ 
ovtag t6 vnb t&v ETA nQbg t6 dnb tfjg TA' xal 
ivalXd^., G)g ccQa t6 vnb t&v BAA nQbg t6 vnb tCov 

25 ETA, ovtcog t6 dnb tfjg AA nQog t6 dnb tf\g AT. 
Xoyog b\ tov dnb tf\g AA n^bg xb dnb tfjg AT 8o- 
Q-sCg' Xoyog ccQa xat tov vnb tCbv BAA nQbg t6 vnb 
tav ETA dod^sig. i'6r\ ds r\ AA tf\ AT' Xoyog aQu 

1. 7] BE] mg. m. 1 P. 2. wai (pr.)] supra add. m. 2 v. 

5. laov — 6. JFE] bis P. 12. iariv v. hriv v. U. 

SeSorai yag r) vnb BAF] deleo. 27. Xoyog — 28. So&sig] om. v. 



DATA. 



125 




AA = AT, erit etiam z/5 = EE [I, 29; VI, 4; V, 14]. 
et ducta est aliqua recta BT. itaque est 

ATxTE ^ BT^ = Bz/2.1) 
uerum ^A = AT. quare 
(BA + ATf 
= ziTxTE+ BT\ 
itaque {BA + ATY rect- 
angulo zlT X TE maius est 
quam BT^. 

iam dico, rationem ^TxTEiAABT datam 
esse. 

nam quoniam iBAT datus est, etiam qui deinceps 
positus est i AAT datus erit [I, 13; prop. IV]. 
uerum etiam uterque angulus A/IT, ATA datus est; 
nam dimidii sunt anguli BAT [I, 32; I, 5]. itaque 
A /lAT datus est specie [prop. XL]. quare ratio 
z/^: z/F data est [def. 8]. itaque etiam ratio AA^ : AT^ 
data est [prop. L]. et quoniam est BA : AA = ET'. TA 
[VI, 2], et BA.AA = BAxAA: AA' [VI, 1], et 
ET'.TA = ET^x TA : TA' [ib.], erit 

BAXAA: AA^ = ETx TA: TA\ 
itaque permutando [V, 16] etiam 

BA X AA : ET X TA = AA^ : AT\ 



rig. om. V. 



1) Hoc sic fere demonstrat scho- 
liasta (u. schol. nr. 133): si EZ «= Zz/, 
erit ^FxrE -\- rZ* = ZJ^ (11, 5). 
commune adiiciatur BZ*. ergo 
z/rx TE -I- rZ'-\-B Z- = Zz^^+ B Z\ 
est autem rz^ -\- BZ^ = BF^ et 
Zz/^ 4- BZ^ = Ez/l itaque 

dr X FE + BF^ = JBz/*. 




126 AEAOMENA. 

Tov VTib tCbv BAF TtQog tb vnb t&v EF^ dod^eCg. 
tov de VTcb t&v BAF TCQbg tb ABP tQiyovov Xoyog 
ietl dod^sig, dicc tb 8o%'Bl6av alvai trjv vnb t&v BAF' 
ycal tov 'hnb t&v z/FE aqa TCQbg tb ABF Xoyog i6tl 
5 dod^stg. xac s0tt tb vTcb AFE, dt ^et^ov e6tt tb ccTtb 
6vva^(potSQOV Tijg BAF tov anb trig BF' a aQa 
fist^dv ifSti ro anb GvvaficpotsQov tfig BAF tov aTcb 
ffjg -BP, ixstvo t6 xc3qiov TCQbg tb tQcycovov Xoyov 
£%si dsdo^ivov. 

10 ^r]'. 

'Eav dvo i6oy(ovia TcaQa^kTjXoyQa^^a TCQbg akXriXa 
X6yov s'xT] dsdo^ivov, xal ^Ca TcksvQa TCQbg ficav nXsv- 
Qav koyov sxt] dsdofisvov, xal ?j koLicri tcXsvqcc TCQog 
tijv koLTCrjv TclsvQav loyov s%sl dsdofiivov. 

15 dvo yccQ L6oyd)VLa TcaQaklrjXoyQafifia ta AB^ Fz/ 
TCQbg aXXriXa Xoyov ixita dsdofiivov, ixitco ds xal fiia 
TcXsvQcc nQbg fiiav nksvQav Koyov dsdofiivov, xal s6ta 
tfig BE nQbg f^v Z/i X6yog dodsLg' Xiyco, otL xai 
trjg AE n^bg trjv ZF X6yog i6tl do&SLg. 

20 naQa^s^Xi]6d-G} yccQ naQcc trjv EB ta Jz/ l'6oi 

naQaXXr]X6yQafifiov tb EH, xal xsi0&co^ K>6ts in sv- 

%-SLag slvaL tr]v AE tf] E&' in' sv^siag aQa i6tl xa\ 

i] KB tf] BH. i 

insl ox)v X6yog iotl tov AB n^bg t6 FA dod^sig 



5. vTtb Twv V. Post nBi^ov hab. aQu punctis del. P. '■* 
Sequuntur tres demonstr. aliae, u. app. 10. Itj'] 4^' b. ' 
sic deinceps. 11. JtaQuXXriXoyQcciifiK] XQiycavcc v, corr. m. J 

et sic lin. 15 et per propp. LXIX — LXXIV. TtQbg aXXriltt 

om. Vat. 12. tpi v. 13. xa/] om. b. 16. ^vfrca (pr.) 

iXBT(oaav b. s^etco (alt.) — 17. dsSofiivov] om. b. 18 

BE] EB b. Ante So&dg hab. iGti v, del. m. 2 (?). 19 

Zrj rZ b. 21. TtaQaXXriUYQUfinov] TtQog Vat. 22. ^rr 



DATA. 



127 



uerum ratio AzJ^ : ^F^ data est. itaque etiam ratio 
BAxAJ.Erx T^ data est [def. 2]. uerum 
AA = AT. quare ratio BA X AT: ETx TA data 
est. sed ratio BA X AT: AABT data est, quia 
L BAT datus est [prop. XLYI]. itaque etiam ratio 
ATX TE : AABT data est [prop. VIII]. et 
ATx TE est spatium, quo (BA + ATf maius est 
quam BT^. ergo spatium, quo (BA + AT^ maius est 
quam BT^, ad triangulum rationem habebit datam. 



LXVIII. 

Si duo parallelogramma aequiangula inter se ratio- 
nem habent datam, et unum latus ad unum latus ra- 
tionem habet datam, etiam reliquum latus ad reli- 
quum latus rationem habebit datam. 

nam duo aequiangula 
parallelogramma AB, TA 
inter se rationem ha- 
beant datam, et habeat 
etiam unum latus ad 
unum latus rationem da- 
tam, et sit ratio BE: ZA 
data. dico, etiam ra- 
tionem AE : ZT datam esse. 

I adplicetur enim rectae EB parallelogrammum EH 
[parallelogrammo Tz/ aequale et ita ponatur, ui AE,E& 
jin eadem recta sint [I, 45]. quare etiam KB, BH 
iin eadem recta sunt [I, 29; I, 14]. 

iam quoniam ratio AB:TA data est, et TA = EH, 

22. icTiv V. 24. ovv\ om. b. xo] 




i~^ 23. BH'\ om. b. 

iTJJV b. 



128 AEAOMENA. 

i'6ov ds rb Iz/ tw EH, X6yog aqa tov AB TtQos t6 
EH do&ecs' K>0t£ xal tijg AE TtQog trjv E® loyog 
s(5tl do&ecg. nal enel l'6ov e<5tl tb EH ta Fz/, e6ri 
de xal ieoycoviov, t&v EH, F^ aqa avtLTCen^vd-aCLv 
6 ai TcXevQal aC TteQt tag i'6ag ycoviag' e^tiv aQa hg -jj 
EB TCQbg trjv Zz/, ovtag tj FZ TtQbg trjv E®. loyog 
de tflg EB TtQbg tijv Zz/ do&eig' nal trig FZ ccQa 
TtQog trjv E® Koyog e6tl do&ecg. tfjg de E® TtQog 
tijv AE Xoyog iarl do&eig' xal rrjg AE ccQa TtQog 
10 Ti^v rZ X6yog e<5rl dod^eig. 

'Eav 8vo %aQakkrik6yQa^n,a dedofievag ext] ycoviag 

xal X6yov ^Qbg aXXrjka exj] dedofievovj xal (iia TtkevQa 

TtQbg (iiav TtXevQav k6yov ex^ dedofievov^ xal rj koiTtii 

15 TtlevQa TtQbg rrjv Xoi7tr]v TtXevQccv k6yov e%ei dedo^ievov. 

dvo yaQ 7taQaXXrjl6yQa(L(ia ra AB, HE Sedo^ievag 

exovra ycovCag rag TtQbg rotg zf, Z TtQbg aXXrjXa X6yov 

ix^rco dedo^ievov, l6yog 8e e6rco rfig zfB TtQbg rijv ZH 

Sod^eig' Xeyco, oTt xal rrjg Az/ JtQbg rrjv EZ koyoi 

20 Sedorai. 

ei (lev ovv t^oycoviov e^n rb AB 7taQaXXrjX6yQa(i-, 
fiov Tc5 EH 7taQaXXr]XoyQd(i(iG}, cpaveQ6v. ^ 

el de ov, 6vve6rdrco 7tQbg rfj ^dB xal ra 7CQbg axrti 
0rj(iei(p Tto z/ rfi 'b^tb rcov EZH ycovCcc l'6rj rj 'b^tb r&r 



1. EH] EA h. x6 (alt.)] om. v. 3. ^ffrtv v. 6. TZ 
ZF V, Fz/ b. 7. v.ai — 8. iat'i~\ Xoyog Hqcc ■nccl xfis E& jrpo 
TT/v rz b. 10. Zr V. Seq. demonstr. altera, u. app. Vc 
Kai(alt.) — 14. dsSoiiivov] bis Vat., alt. del. m. 1. 13. fiia 
^iav b. nXsvQo] om. b. 14. ^rsi v. 14. i^V — ^^- ^*' 
om. § (non b). 16. nagaXXriXoyQaiiyia'] corr. ex stapaXijji' 



DATA. 129 

ratio j4B : EH data erit. itaque etiam ratio AE : E@ 
data est [VI, 1; def. 2]. et quoniam EH parallelo- 
grammo Tz/ aequale est idemque aequiangulum, 
latera parallelogrammorum EH, Fz/ aequales angu- 
los compreliendentia in contraria proportione erunt 
[VI, 14]. . quare EB : Zzl = FZ : E@. uerum ratio 
EB : Zz/ data est. itaque etiam ratio JTZ : E& data 
est [def. 2]. uerum ratio E@ : AE data est. ergo 
etiam ratio AE : TZ data est [prop. VIII]. 

fLXIX. 
Si duo parallelogramma datos habent angulos et 
rationem inter se habent dg^tam, et unum latus ad 
unum latus rationem babet datam, etiam reliquum 
latus ad reliquum latus rationem babebit datam. 

nam duo parallelo- 

a K FA . In rri7 

■^^\ — \ ^ — gramma AB, HE 

\ I II- ^ ' 

\ 1 i datos habeant angu- 

^ ;© los ad A, Z positos 

j i et inter se rationem 

-i L I habeant datam, ratio 

autem AB : ZH sit 

data. dieo, etiam rationem AA : EZ datam esse. 

iam si aequiangulum est parallelogrammum AB 

parallelogrammo EH, adparet [prop. LXVIII]. 

sin minus, construatur ad z/5 et punctum in ea 

positum A angulus BAK angulo EZH aequalis [I, 23], 

m.^ 2 Vat. ■ 17. tdg] om. b. Ttqog (alt.)] xai Tcgog v. 18. 
iXBTaaav h. Post SsSo^svov add. Xoyog yuQ b. z/B] ^B b. 
20. Si8otai\ iatl So&sig b. 23. t^] ttjV b. 24. tcav (pr.)] 
tfjg b. 

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 9 



130 AEAOMENA. 

BzlK^ xul 6v(i7CS7ckrjQ66d-co t6 zlA nagaXXriX^yQa^^ov. 

inel dod^elGd s6tiv ixareQa tCbv vtco zJAF, AKd^ xal 

XoLTCrj aQa i] vno tcbv A/iK i6xi 8o^Ei6a' 8i8otai uQa 

t6 A/IK tQtycovov ta eidet,' koyog aQa i6tl tijs AA 

5 7CQ0S T7JV AK do&etg. xal inel Xoyog i6tl tov zJF 

TCQog tb Z& dod-etg' vnoxeLtat yaQ' KaC i6ttv i6ov tb 

zir ta zJA, Xoyog ccQa xal tov AA TCQog tb Z® 

dod-etg. xai i6tiv i6oyd)viov t6 z/y/ ta Z0, xal Xbyog 

iatl tov AA TCQbg t6 EH dod^eig, xai iett trjg AB 

10 jcQbg trjv ZH' vjcbxettat yccQ' Xbyog ccQa i6tl xal tfjg 

^K TCQbg trjv EZ dod-eig. tfig de AK XQog trjv AA 

Xbyog^ iatt dod-eig' xal T^g AA ccQa JCQog trjv EZ 

. Xbyog i6tl dod-eig. 

# 

o'. ■ 

15 'Edv dvo TCUQaXXrjXoyQd^^av jceQt iGag ycoviag ?] 
neQt dvieovg ^eV, dedo^ivag di, aC TcXevQal TCQog dXXiq- 
kag Xbyov exco6L dedo^ivov, xal avtd td naQaXXr]Xb- 
yQafifia TCQbg dXXrjXa Xbyov e^et dedofiivov. 

dvo yaQ TCaQaXXrjXoyQd^ficov t&v AB^ EH neQt 

20 i:6ag ycoviag tdg nQbg totg F, Z r} TceQl dvi6ovg fiiv, 
dedo^ivag di, aC TcXevQal nQbg dXXr^Xag Xbyov ixetco- 
6av dedo^ivov, TovTfWt Xbyog e6t(o tijg fiev AF nQog 
tijv EZ dod^eig^ Tijg 8e BF n^bg trjv ZH' Xiya, brt 
xal tov r.d n-Qog tb Z& Xbyog i6ti dod-eig. 



1. BAK h. avnnXriQmG&co P. 2. kccI insi Pv. vno 
ti]v ABzJ, KdB b. 3. tcov] ttjv b. iaxtv v. 4. rd] 

corr. ex tm m. 2 v. b. .dF] AF P. 6. vTr67isi.rat — 8. 

tfo^&fis] om. b. 7. Kcci] om. Vat. 8. iariv] om. b. 'J. 

.dA] B b. ro] ri]v h. EH] ZH h. Kcci — 10. yttp] 

om. b. 9. zJB\ BJ v. 11. JA] AJ v. 19. nccgaXXrilo- 
yqdfifKov] corr. ex nagccXXi^Xcav m. 2 Vat. EH] E@H h. 



DATA. 131 

tt expleatur parallelograminum AA. quoniam uterque 
angulus /iAT, AKA datus est [I, 29; prop. IV], etiam 
reliquus L AAK datus erit [I, 32; propp. 111, IV]. 
itaqiie A A/IK datus est specie [prop. XL]. quare 
ratio AA : AK data est [def. 3]. et quoniam ratio 
AF: Z0 data est (lioc enim supposuimus) , et est 
Ar=AA [I, 35], etiam ratio AA\Z& data erit. 
et AA aequiangulum est parallelogrammo Z0, et 
ratio AA : EH data est itemque ratio AB : ZH (lioc 
enim supposuimus). quare etiam ratio AK: EZ data 
erit [prop. LXVIII]. uerum ratio /iK : AA data est. 
ergo ratio AA : EZ data est [prop. VIII]. 

LXX. 

Si in duobus parallelogrammis latera angulos aut 
aequales aut inaequales, sed datos, comprehendentia 
•inter se rationem habent datam, etiam ipsa parallelo- 
gramma inter se rationem habebunt datam. 

„ „ nam in duobus 

parallelogrammis 
! AB, EH latera 
angulos ad jT, Z po- 
{ sitos comprehen- 

ly; . j^ 2 j irf dentia aut aequa- 

Iqs aut inaequales, 
sed datos, inter se rationem habeant datam, h. e. 
data sit ratio AF: EZ itemque ratio BF: ZH. dico, 
etiam rationem Jz/ : Z ® datam esse. 
Figg. codd. corruptae sunt. 



20. Z, r V. ri niQiA ^iteo b. 21. Ssl om. b. 23. 

ZH] zrb. 



132 AEAOMENA. 

£0tc3 yaQ i^oyaviov t6 F^ tk» Z0, xal Tcaga- 
^s^Xrj^d^G} TCaQa tr}v FB evd-etav t(p Z@ ■JiaQallr^lo- 
yQaii^co i'6ov TcaQakkrjXdyQa^iiov t6 JTM, xal xsiGd^a 
K)<3t£ ijt' evdsiag eivai trjv AF tfi FN' Tcal rj zlB 

5 aQa tfj BM e6tiv en ev&e^ag. xal i'6ov ectl tb BN 
ta 7j@' e6ti de xal iGoyavLOV t&v BN, ®Z aQa 
avtiTceTtovd^a^iv cct nlevQal a[ TCeQi tag i'6ag yavCag' 
e6tiv aQa hg rj FB TtQog tijv ZH, ovtag r] ZE TCQog 
tijv FN ^oyog de trjg FB TCQog tijv ZH dod-eig' 

10 Xoyog aQa xal trjg EZ TCQog tr^v FN dod^eig. tr\g de 
EZ TtQog trjv AF Xoyog e6tl Sod^eig' xal trjg AF 
aQa TCQog tijv FN Xoyog e6tl do&eig' (o6te xal tov 
FA TCQog t6 FM Xoyog idtl dod-eig. eati de t6 FM 
ta Z& i'6ov' Xdyog aQa nal tov FA TCQog t6 EH 

15 dod^eig. 

^rj edtco drj i^oyaviov t6 AB tc3 Z0, %al 6vv- 
eGtdtco :iCQbg tfj BF ev&eia xal tco TtQbg avtfj 6rj^ei!co 
ta r trj VTtb tSiv EZH ycovCa i'6i] ycovCa rj vTcb BFK, 
xal 6vii7tenKriQa6d'<xi t6 FA TcaQallrj^oyQa^^ov. xal 

20 inel do&ei6d i6tiv rj vnb tav A TB , e6tL 8\ xal rj 

• vnb KFB dod-et^a, xal loinrj ccQa rj ■bnb AFK e6ti 

do&et^a. e6ti de xal 7] vnb tCbv FAK 8od-ei6a' %al 

Xomrj ccQtt rj vnb tcov AKF i6ti dod^et^a' didotai ccQa 



' 2. TtceQaXXrjXoygdfifiaj] corr. ex TtdQccXX-^lcp m. 2 Vat. 3. 

7taQC!XXr]X6YQC((iiiovli av&vyQcc^^iov v. 5. BM] EM h. iart.v 
laov vb'. 6. ^ariv v. t&v^ ro h. &Z] HZ b. 8. 

ZE] EZE h. 9. Xoyog — 10. FN] om. b. 13. Tz/] PA h. 
EM] MN h. Uari] laov h. Sb] Ss xoft P (xori punctis 

del.) v. To (alt.)] coit. ex rc5 m. 2 v. 14. l'aov] om. b. Xoyog 
— 16. Z&] bis b. 14. TO EH] rrjv EM h. 15. So&Hg] 

comp. Vat. 16. fiTj] yiccl /x^ b. avvsardrco r^ b. 18. F] 
Kr h. 1'aT} ycovia] om. b. rcov BFK Vat. v, del. r&v 

m. 2 Vat.; Br h. 19. xat (alt.)] om. b. 20. ij (pr.) — 



DATA. 



133 



sit enim jTz/ aequiangulum parallelogrammo Z.0, 
et adplicetur reetae FB parallelogrammo Z & aequale 
parallelogrammum FM et ita ponatur, ut ^JT et FN 
in eadem recta sint [I, 45]. quare etiam z/5 et BM 
in eadem recta sunt [I, 29; I, 14]. et est BN = Z&. 
uerum etiam aequiangula sunt. itaque in parallelo- 
grammis BN, &Z latera aequales angulos comprelien- 
dentia in contraria proportione sunt [VI, 14]. est 
igitur rB:ZH==ZE: FN uerum ratio FB : ZH 
data est. itaque etiam ratio EZ : FN data est [def. 2]. 
sed ratio EZ:Ar data est. quare etiam ratio AF: FN 
data est [prop. VIU]. itaque etiam ratio Fzl : FM 
data est [VI, 1 ; def. 2]. est autem FM = Z&. ergo 
etiam ratio Iz/ : EH data est. 

iam ne sit AB aequiangulum parallelogrammo Z0, 
et construatur ad rectam ^jT et punctum in ea posi- 

tum r angulo EZH 
aequalis angulus BFK 
[I, 23], et expleatur 

parallelogrammum 
FA. et quoniam datus 
est i AFB et etiam 
L KTB datus est, 
etiam qui relinquitur AFK datus erit [prop. IV]. uerum 
etiam LTAK datug est [I, 29; prop. IV]. quare etiam 

In figg. codd. AB est rectangulum, KB parallelogrammum. 

21. Sod-siaa] iyiareQcc xwv AFB, KFB ytovi&v b. 20. ^gxl — 
21. do^ffffo;] mg. m. 1 P et add. r&v ante KFB Vat.; om. v; 
fort. omittenda. 21. Post SoQ^uaa mg. add. lgti yccQ (comp.) 
iativ ry TtQog (comp.) rm Z Sod^siaj] Vat. m. 1, del. m. 2 (?); 
u. schol. vTib rmv AFK Vat.v. ' iariv v. 22. rAK\ 

AKFh. 23. iariv v. 



E. 



,0 



A K /i A 




\ 


\ 



T 



B Z 



H 



134 AEAOMENA. . 

ra AFK tQiycjvov tfp eidsr ^oyog aga i6tl trjs AF 
TtQog tijv FK do&sig' r^g ds AF TtQog tijv EZ Uyog 
satl doQ-stg' aal tfjg FK ccqk TtQog ti]v EZ loyog s6t\ 
dod-sig. s6ti 8s xal trjg FB TtQog ttjv ZH Xoyog 
5 do&Sig, v.ai s6tiv l^t] rj vno t&v KFB ycovta tfj vno 
tcbv EZH' loyog aQa s6ti tov FA JtQog tb Z& 
dod^Sig. l'6ov 8s tb FA tcci FA' ^oyog ccQa s6t\ tov 
TA TtQbg tb Z& dod-sig. 

oa'. 
10 'Eav dvo tQiyavcov 7tsQ\ l'6ag yoviag t] jtSQ\ avi- 
6ovg yisv^ dsdo[isvag ds., at nXsvQOi itQbg aXXr^kag Ap- 
yov s%036i Ssdofisvov., icai avta ta tQiycova TtQbg aXlrjla 
koyov s%si dsdo^vov. 

Svo yccQ tQiycbvcjv t(bv ABF, AE& nsQ^ i'6ag 
15 ycoviag tag otQbg totg ^, z/ -J) 7tSQ\ dvi6ovg (isv, dsdo- 
fisvag ds, aC 7cXsvQa\ TtQog ccXXriXag koyov syst(j36av 
dsdo^svov., xa\ s6tc3 Xoyog trjg fisv BA, TiQog trjv EA 
dod-sig, tfjg ds AF TtQbg tr]v A&' Xsyco, ort xai tov 
ABF tQiyavov Xoyog s6t\ dod^s^g TtQbg tb EA& 
20 tQiycovov. 

6v{iTtS7tlr]Q(o6d-co yccQ ta AH^AZ TtaQaXlrjXoyQafifia. 

ins\ ovv dvo naQccXXrjXoyQafifiav tav AH^ AZ 

nsQ\ tag i'6ag ycaviag r] nsQ\ dvi6ovg fisv^ dsdofisvag 



1. ArK] ABF h. Post TQiycovov hab. Sia (comp.) p,' 

punctis del. Vat. 3. xai — 4. SoQ^dg] om. b. 4. Post 

Xdyog hab. icTi v, del. m. 2(?). 5. xaij om. b. 6. iari] 

om. V. r6] om. b. 7. l'aov — 8. So&sig] bis b ; alt. loco det 
m. 2. 7. to] om. b. iart Kcci v. S. Z€>] ZH h. 10. 
rag l'aag b, item lin. 14. 12. avrd] ravrd § (non b). 13. 
i^Bi b. 14. r&v] rd b. 15. rdg — d] om. b. 16. &Xl'q^ 
Xovg b. 18. Tr;s] rov b. 19. rCQbg ro z/E@ Xoyog iarl 

So&sig b. 20. rQiycovov] om. vb. 



DATA. 



135 



reliquus L^KF datus est [I, 32; propp. III, IV]. ergo 
A AKF datus est specie [prop.XL]. quare ratio AF: FK 
data est [def. 3]. uerum ratio AFiEZ data est. itaque 
etiam ratio Fiirr^Z data est [prop. VIII]. uerum etiam 
ratio rs : ZH data est, et est L KFB = EZH. 
quare ratio FA : Z & data est [per priorem partem 
liuius prop.]. est autem FA = F/l [I, 35]. ergo ratio 
FA : Z& data est. 

LXXI. 

Si in duobus triangulis latera angulos aut aequales 
aut inaequales, sed datos, comprehendentia inter se 
rationem habent datam, etiam ipsi trianguli inter se 
rationem babent datam. 

nam in duobus triangulis ABF, ^E® latera 
angulos ad A, z/ positos aut aequales aut inaequales, 

sed datos, com- 
prehendentia inter, 
se ' rationem ha- 
beant datam , et 
sit ratio BA : E/J 
data itemque ratio 
AF : ^0. dico, 
etiam rationem 
A ABT: AEA® datam esse. 

nam compleantur parallelogramma AH, AZ. 

iam quoniam in duobus parallelogrammis AH^ AZ 

latera angulos aut aequales aut inaequales, sed datos, qui 

ad A^ A positi sunt, comprehendentia inter se ratio- 

nem habent datam, etiam parallelogramma inter se 

In fig. cod. b trianguli sunt aequilateri. 




136 AEAOMENA. 

df ras ^Qog tolg A^ A aC TcXevQal TtQog aXlTjXag Xoyov 
e'%ov0i dedo^Evov^ %al xa TcaQallrjloyQaii^a Xoyov £%st m 
dsdo^svov TiQbg alXriXa' Xoyog aQa rov AH iCQog xo 
ZIZ dod-eig. xat idxi xov ^ev AH rj^L6v xb ABrl 
5 XQcycovov^ xov de AZ. xb zlES' Xoyog aQa xov ABP} 
nQog xb ^E& xQCycovov dod^eig. 

^Eav 8vo XQLycivcov ai xe ^a^eig iv dedo^evco Xoyco 

co6i xal aC ijc' avxag rjy^evaL anb xav ycovL&v rixoL 

10 t6ag ycovCag 7C0L0v6aL t) avCcovg ^ev, dedo^evag de, xag 

nQbg xatg ^daedLv, xal avxa xa XQCycova TCQbg aXXrjXa 

X6yov e%eL dedo^evov. 

e6xco 8vo XQCycova xa ABF, AEZ, xal i'}x&co6av 

a[ AH., ^S 4]X0L i6ag ycovCag 7tOLOv6aL xag vTcb xav 

15 AHF^ /]®Z tJ avC6ovg (lev, dedo(ievag de, xal e6xo 

Xoyog xrjg ^ev BF JCQbg EZ do&eCg., xrjg de AH TtQbg- 

'.xrjv zf& dod^eCg' Xeyco, oxl xal xov ABF XQtycivov 

TCQbg xb zlEZ XQCycovov Xoyog i6xl dod^eCg. 

6vfiJte7cXi]QG)6d-c} yaQ ta KF, AZ TcaQaXXrjXoyQaiifia. . 

20 xal inel aC vnb xav AHF, A&Z ycovCat rjxoL i6ai 

eC^Cv, r] avL60L }iev, dedo^ievaL de, l'6ri 8\ r] ^ev vnb 

,xcbv AHF xfi vTtb KBr, rj de vjtb x&v z/0Z xfj vno 

xav AEZ, xal aC TiQbg xotg 5, E ccQa ycavCat ^xoc 

i'6aL ei6lv rj avi6oi ^iv, dedo^evai di. xal inel Xoyoq 

25 e6xl xfig AH TCQbg xr^v A& dod^eCg, l'6rj de r] ^iev AH 

xfi KB, rj dh ^& xfi AE, Xoyog aQa i6tl xal trjg 

1. tdgl om. b. 2. naQaXXriXoYQa^fia] zQLyava v. TtQog 

ilcXXriXa Xoyov E|st diSo^ihov b. 4. ABF — 5. rd] om. b. 

ABF tQiymvov b. 6. rd] om. b. 8. ^dasig avxwv b. 9. 

maiv V. ai] supra add. m. 2 v, om. b. Post avxdg hab. 

Sid xb iK V.01V0V Xoyov ^y^ovai SsSoiisvov b. dno] iv. b. 



DATA. 



137 



rationem habebunt datam [prop. LXX]. itaque ratio 
AH-.ydZ data est. et dimidia pars parallelagrammi 
AH est triangulus ABF et parallelogrammi z/Z tri- 
angulus AE& [I, 34]. ergo ratio AABr:A^E& 
data est [V, 15-, def. 2]. 

LXXII. 

Si in duobus triangulis et bases in data ratione 
sunt et rectae ad eas ab angulis ductae angulos ad 
bases efficientes aut aequales aut inaequales, sed datos, 
etiam ipsi trianguli inter se rationem babebunt datam. 
sint duo trianguli ABr,^EZ,et ducantur AH,^® 
angulos efficientes AHF, A&Z aut aequales aut in- 

aequales, sed datos, 
et data sit ratio 
BT \ EZ itemque 
ratio AH:A®. dico, 
etiam rationem tri- 
anguli ABF ad tri- 
•angulum AEZ da- 
tam esse. 



A. 



K. 



A 



B 




H 



r E 



r^) 



nam expleantur parallelogramma KF, AZ. 

et quoniam anguli AHF, A@Z aut aequales sunt 
aut inaequales, sed dati, et /. AHr= KBF, LA0Z = AEZ 
\1, 29], etiam anguli ad B, E positi aut aequales erunt 
aut inaequales, sed dati. et quonia]?! ratio AH:A& 
data est, et AH = KB, A& = AE, etiam ratio 
KB : AE data erit. uerum etiam ratio BF : EZ 



10. ri] i\roL P. 11. ^dasGi vb. 14. AH, /i@] AH@JE b. 

J&] @J V. 16. trrjv EZ b. . 19. AZ, KF h. 22. rwv 
KBF b. 23. Kdl insL b. aQo] om. b. 25. r^g] corr. ex 
xov m. 2 Vat. AH (^r.)] AK h. 



138 AEAOMENA. 

KB TtQog trjv AE dodsig. e(5ti d\ xal ti]'g BF TCQog 
trjv EZ Xoyog dod^sig, xal at TCQog totg 5, E 0r]^Hotg 
ycDViai i]toi i'6ai ^i^iv, 7] avi6oi fieV, dedo^avai ds' 
oial tov FK aQa TtaQallrjkoyQccfiiiov TCQog tb AZ 
5 TCaQaHrjloyQafifiov Xoyog i^tl doQ^sig' c66ts xal tov 
ABF tQiycovov ^tQog tb AEZ tQiycovov Xoyog i6tl 
doQ^Eig. 

oy'. 

^Eav dvo TCaQallrikoyQd^iicov tcbqX i'6ag ycovCag ?J 

10 %eqI aviGovg fieV, dsdo^ivag di, at nkevQal ovtcjg 
exc}0LV, codits SLvai ag tijv tov TCQatov nksvQav TCQog 
trjv tov devtiQov icXevQav^ ovtcog tr]v XoLicr^v tov dsv- 
tiQOv TcksvQav TCQog aXXrjv rtva, £jj?j ds r] AoiTtr) tov 
iCQcatov TclevQa TCQbg avtijv Xoyov dedofiivov, xal avta 

15 ra TcaQalkriXoyQa^Ha iCQbg aXXr]ka Xoyov s%sl dsdo- 
fiivov. 

dvo yaQ TcaQaXXrjXoyQd^^cov t&v AB, EH 7Csq\ 
i'6ag ycavLag t) tcsql aviSovg jieV, dsdofiivag di, tdg 
XQbg totg r", Z at TcksvQal ovtGjg ixit(o6av TCQbg dXXr]- 

20 Aag, &6ts slvaL d)g tr]v FB nQbg W/v ZH, ovtcog ti]v 

EZ TCQog tr]v FK, trijg ds AF nQbg tr]v FK koyog 

e6t(o dod-SLg' Xiyco., otL xal tov FA naQalXr^XoyQd^fiov 

TCQbg tb EH 7caQalXr]X6yQaafiov Xoyog s0tl dod-sig. 

e6t(o yaQ jCQOteQOV tb AB ta EH l^oycoviov., xal 

25 TcaQa^s^Xi^^&o naQa tr]v BF svd^stav ttp EH naQ- 

2. B] z/ b. 4. Kr b. 12. ovxmg] mets b. 13. «Utjv 
— 14. 8b8oh,svov\ trjv XoiJtijv tov Ttpebrou Xoyov ^x^iv (sic §, 
l^XBi b) dsSofihov b. 13.- ^x^i .'v. 14. avtd] om. b. 15. 
ngbg aXlrjXa] om. b (non §). 18. tccg l'aag b. 19. al 

TcXsvgai] E itXsvgdg b. 21. FK] Arh. tf]g — 22. So- 

d-sig] Xoyov ^xsiv SsSoiisvov. b. 21. fqv (alt.)] om. v. 23. 
naQaXXriXoyQaiifiov] om. b. 24. ngotSQOv] om. b. 25. BF] 
rB vb. EH] HE b. 



DATA, 139 

data est^ et anguli ad puncta B^ E positi aut aequales 
sunt aut inaequales, sed dati. quare etiam ratio par- 
allelogramnii FK ad parallelogrammum AZ data est 
[prop. LXX]. itaque etiam ratio trianguli ABF ad 
triangnlum AEZ data est [I, 41-, V, 15; def. 2]. 

LXXIII. 

Si in duobus parallelogrammis latera angulos aut 
aequales aut inaequales, sed datos, compreliendentia ita 
se habent, ut sit, ut unum latus primi ad unum latus 
alterius^ ita reliquum latus alterius ad aliam aliquam 
rectam, et reliquum latus primi ad hanc.rationem da- 
tam habet, etiam ipsa parallelogramma inter se ratio- 
nem habebunt datam. 

nam in duobus parallelogrammis AB, EH latera 
angulos comprehendentia aut aequales aut inaequales, sed 

datos, qui ad F, Z 
positi sunt , ita 
inter se habeant, 
ut sit rB : ZH 
= EZ : FK, et 
ratio A F : FK 
data sit. dico, 
etiam parallelogrammi FA ad parallelogrammum EH 
rationem datam esse. 

sit enim prius AB parallelogrammo EH aequi- 
angukim, et adplicetur rectae B F parallelogrammo EH 
aequale paxallelogrammum r& ^) et ita ponatur, ut 

Fig. om. P. 




X~ 



1) Hanc demonstrationis partem falsam esse adparet, pri- 
mum enim supponitur, alterum parallelogrammi P0 latus 



140 AEAOMENA. 

aXkrjXoyQdfifiG) l6ov icaQaXXiqXoyQa^^ov to F&^ nal 
xEi0&co co6xE E7C Evd^Eiag Eivai rrjv AF rf] KF' e% 
EvQ^Eias aQa £6tl xal r] ^ B rfj &B. xal etceI i6ov 
i&xl t6 r& tg5 EH, E6XI 8e %al iiSoyaviov^ x&v FQ^ 
5 EH aQa avxL7tE7c6v&a6iv aC TclEVQal aC jceqI rag l'6as 
ycoviag' EGxiv uQa loq tj FB tcqos xtjv ZH^ ovxcog »/ 
EZ TCQog xijv FK' cjg ds 7] FB TCQog xijv ZH, otiTco? 
rj EZ xal TCQog r]v i] AF Xoyov exel SeSo^evov Xoyog 
aQa xr]g AF TCQog xr]v FK do&Eig' co6xe xal xov AB 

10 TCQog xb jT©, xovxEdxi TCQog xb EH Xoyog e<5xI dod-Eig. 
lir] E0XCO dr] i0oyd)Viov., xal GvvE6xdxG) TCQog xf] FB 
Ev&Eia xal xa TCQbg avxf] 6r]^Ei(p xa F xfj vtco x&v 
EZH ycovca l'6r] 7] vtco x&v BFA, xal CvfinETcXr^QcbGd^c}— 
xb FM 7CaQaXlr]X6yQa^}iov. 9 

15 ETCEi dod-EiGa E6xiv ExaxEQa x&v V7tb x&v AFBy 
AFB., xal loinr] ccQa r] vTcb xcov ATA e6xi do&EtGa. 
dddoxaL ds xal r] vTcb xcov FAA' xal XoiTcr] ccQa r] v%b 
TAA dEdoxac' co6tE dEdoxat xb AFA XQiycovov xa 
El'dEL' X6yog aQa isxl xr]g AF TCQbg xr]v FA 8od-£Lg. 

20 xal ETCEL E0XLV, cjg r] FB TCQbg xr]v ZH, ovxcog i] EZ 
TCQbg r]v r] AF X6yov e%el dEdo^ivov, xfjg 8e AF TCQog 
xr]v FA X6yog i6xL dod-ELg, e6xlv ccQa oog r] FB TCQog 
xr]v ZH.^ ovxmg r] ZE TCQbg xr]v FA. xai eGxlv i'6r] 



3. dB] JE h. @B] B& \h. 4. ^ati] hviv v, lara b. 

tav] t6 h. 8. y,ai] om. vb. ^v 17] ttjj' b, item 

lin. 21. Post SsSo^ivov add. as &Qa 7] EZ TtQog Tr]v TK, 

ovtmg 17 EZ TtQOg ti]v AF Xoyov i%£i, dsdofiivov h. 9. 

tov] to h. 11; tf]] triv Vat. 15. t&v (alt.)] om. Vat.v. 

16. xibv] om. Vat. AFAE h. iativ v. 17. 8i — 

18. didotai (alt.)] uQa b. 17. FAA So&bIgu P. 18. r&v 

FAA V. to] ■Kal to v. 20. TB] BT Vat. 23. ZE] /f£ P, 
EH V, EZ b. 



DATA. 141 

AF ai KF in eadem recta siut [I, 45]. itaque etiam 
JB et &B in eadem recta sunt [I, 29 ;J, 14]. et quo- 
niam r& parallelogrammo EH aequale et aequi- 
angulum est, latera parallelogrammorum r&, EH 
aequales angulos compreliendentia in contraria pro- 
portione sunt [VI, 14]. itaque FB : ZH = EZ : FK. 
uerum ut FB ad ZH, ita EZ etiam ad eam rectam, 
ad quam AF rationem habet datam. quare ratio 
Ar:rK data est. itaque ratio AB : TQ [VI, 1; 
def. 2], h. e. ^5 : EH data est. 

iam ne sit aequiangulum, et construatur ad rectam 
FB et punctum in ea positum F angulo EZH 

aequalis angulus BFA 

A A d M 



\ 



— ^^ [1, 23], et expleatur.par- 
! allelogrammum FM. 
I quonianj uterque 

I angulus ATB, AFB 
^ ^ 'jf datus est, etiam qui 
relinquitur iAFA da- 
tus erit [prop. IV], uerum etiam L FAA datus est [1, 29-, 
prop. IV]. quare etiam reliquus L FAA datus est [I, 32; 
propp.in, IV]. itaque A^r^ datus est specie [prop.XL]. 
quare ratio AF: FA data est [def. 3]. et quoniam est, 
ut FB ad ZH, ita EZ ad eam rectam, ad quam AF 
rationem habet datam, et ratio AF: FA data est, erit 



aequale esse rectae FK, id quod demonstrandum erat. tum 
Euclides demonstrat, rationem AF: TK datam esse, id quod 
snppositum erat. 



In figg. codd. AB est rectangulum, AB autem parallelo- 
grammum; item p. 143. In P praeter has figuras rectangulum 
inuenitur sine litteris. 



142 AEAOMENA. 

7] vTtb BFA ytovia tfi vno tGjv EZH' koyog ccQa tov 
FM TcaQaXXrjloyQd^^ov :iQbg rb EH TcaQaklriloyQa^- 
[lov dod^etg. l6ov ds i6Ti xb FM ra Jz/' koyog aQu 
Tov rk/ TiQog t6 EH 6o&stg. 

5 oS'. 

'Eav dvo 7taQaXXrjX6yQa(iiia Xoyov exX] dedo^evoi\ 

ijtOL ev l0aLg yavCaig r] avCGoig ^eV, dedo^svaig de, 

e6tai (dg 7] Toi) TtQatov TcXevQa n^bg trjv tov 6ev- 

teQov TcXevQav, ovtag 7] eteQa tov devteQov nlevQU 

10 nQog ii]v rj Xoiicr] tov iCQcotov Xoyov e%ei dedo^evov. 

dvo yaQ naQaXXrjXoyQa^^a td AB^ EH TCQog dXlriXa 

Xdyov exetci) dedo^evov r]toi ev i6aig ycovCatg r] ev 

dvCcfOig ^ev, deSo^evaig de, talg TCQbg totg P, Z' Xeyco, 

oti e6tlv ag rj FB JtQbg ttiv ZH^ ovtcog rj EZ nQog 

15 jjv rj AF X6yov e%eL dedofievov. 

t6 yaQ AB tc5 EH 3]t0L C^oyavLov e6tiv ■/) ov. 

s6tcj 7CQ6teQOV L6oy(bvLOv, xal jcaQa^e^Xi]6&o TCaQU 
f^v FB ev&stav ta EH jcaQaXXrjXoyQd^^G) i6ov naQ- 
aXXrjX6yQa[iLLOV t6 jT©, xocl xeC^Q^co a6te en ev&eCag 
20 sLvai tijv AF tfj FK' in^ ev&eCag aQa e6tL xal rj AB 
ty B@. xaV enel X6yog i6tl tov AB n^bg tb EH 
dod-eCg., l6ov 8e t6 EH ta P©, X6yog aQa e6tl tov 
AB nQbg tb r& do&eCg' a6te xal trjg AF n^bg fqv 
FK Xoyog e6rl dod^eCg. xal inel l6ov i6rl- tb r& tco 

1. vno (pr.)] 0™- -P) ''orr. ex ccTto m. 2 Vat. ; vTtb rov (com]i 
Vat. (rov del. m. 2), vnb rfjg b. BFA] Gregorius; FAB 

PVat.v (B supra m. 2) b. rov] Kal tov v. ^ i. EH] H0P, 
@H Vat.v. G. Ante Xoyov add. Ttgbg aXXrilci b. 8. htai] 
Eata b. wg — 10. 8eSoy.8vov] mg. m. 1 ^. 10. f/i' i} Xoim^] 
tijv XoLitriv b. 13. tulg] om. b. 14. EZ] EH v. 20. 

FK] KF \. 21. ietlv •Kal v. • to] tjj P. 22. to] ta v. 
23. ^^o^S^ft'?] om. Vat., add. m. 2. mats — 24. SoQ^sig] om. 1' 



DATA. 



143 



FB : Z H= ZE : FA. etest LBTA^EZ H. quare ratio 
FM : EH data est [per priorem partem huius prop.]. 
uerum rM== Tz/ [1,35]. ergo ratio F^l.EH data est. 

LXXIV. 

Si duo parallelogramma rationem habent datam et 
in. angulis sunt aut aequalibus aut inaequalibus, sed 
datis, erit, ut unum latus primi ad unum latus alte- 
rius, ita alterum latus alterius ad eam reetam, ad quam 
reliquum primi rationem liabet datam.^) 

nam duo parallelogramma AB, EH inter se ratio- 
nem habeant datam et in angulis sint.aut aequalibus 

aut inaequalibus, 

^ sed datis, qui ad 

r, Z positi sunt. 
dico, esse ut FB 
ad ZH, ita EZ 
ad eam rectam, ad 

K — ■ — ' Z— H quam AF ratio- 

nembabet datam. 
nam AB parallelogrammo EH aut aequiangulum 
est aut non est. 

prius sit aequiangulum, et adplicetur rectae FB 
parallelogrammoT' EH aequale parallelogrammum F® 
et ita ponatur, ut AF et FK in eadem recta sint 
[I, 45]. itaque etiam ^B et B® in eadem recta 
sunt [I, 29; I, 14]. et quoniam ratio AB : EH data est 
et EH=r0, ratio AB :r® data erit. itaque 
6tiam ratio AT^rK data est [YI, 1; def. 2]. . et 
Fig. om. codcl. 
1) u. prop. LVI. 




144 AEAOMENA. 

EH^ E6ti da xal taoyaviov, rav F0, EH aQU avxi- 
Ttsnov&aGiv ai nlevQal at tcsqI tk? l'0ag ycaviag' sanv 
aQa ag rj FB jtQog trjv ZH, ovtcjg rj EZ TCQog tijv 
FK. tfjg ds FK TCQog tijv AF koyog E6tl dod^scg- 
5 £6ti,v aQa &>g rj FB TCQog trjv ZH, ovtcog i] EZ HQog 
iqv rj AF Xdyov s%Bi dsdoiiEvov. 

^rj s6tco dij l6oy6vLOv, xal CvvE6tdtGi TCQog ty FB 
Evd-Eca xal ta TCQog avtfj Gtjuelg) ta F tf} vno EZH 
yovia l'6rj r] vtco xcbv AFB, xal 6v^%E7ckriQa6%^(i3 tb 

10 FM TcaQaXliqkoyQaiiiiov. 

ETCsl ovv loyog E6tl xov FA ^Qbg xb EH dod-Etg, 
l'6ov ds t6 Tz/ tco FM, koyog ccQa E6tl xov FM TCQbg 
xb EH do&Eig. naC e6xlv l'6r] r] vnb xav AFB ycovia 
tfj vnb tcbv EZH' E6tiv ccQa cog i] FB nQog tijv ZH^ 

15 ovtcog 7] EZ nQog 7]v i] FA Xoyov E^Ei dEdofiEvov. 
trlg ds FA nQbg tr]v FA Xoyog E6tl do&Eig' E6tiv aQu 
Gjg r] FB n^bg ti]v ZH, ovtcog 7] EZ n^bg r]v i] AF 
Xoyov E%Ei SeSo^ievov. 

oe'. 

20 'Eav dvo tQiycova nQog ciclkrjla koyov Ejf] SeSo- 

• iiEvov, ^toi Ev i6aig ycovCaig iq iv dvi6oig iiev^ SeSo- 

^Evaig ds':, E6tai cog 7] xov nQcoxov nksvQd n^bg xi]v 

xov Sevxeqov nlEVQav, ovxcog r] ixEQa xov dEvxEQov 

nlEVQa nQog r]v 7) koini] xov nQaxov X6yov E%Ei 8e8o- 

25 flEVOV. 

1. hri. — EH] ovx.h. Utiv v. 3. EZ] corr. ex Eff 
m. 2 V, item lin. 5. 4. AF'] AB v. 5. xai iaxiv v. 6. 
riv ii\ x-qv b, item lin. 17. HAF b. • 7. ngog] om. v, add. 
m. 2. 8. a-ur^] avxriv b. x&v EZH b. 9. xaij om. Vat., 
add. m. 2. 12. 8s ro] SsSorai b. 13. xai] om. b. 14. rcov] 
om. Vat. 15. EZ] Eif b. TtQOs ijv] ri]v b. FA] FA b, 
item lin. 16. 17. 17 (pr.)] supra scr. m. 2 v. FB] FA h. 




DATA. 145 

quoniam JT© parallelogrammo EH et aequale et aequi- 
angulum est, latera parallelogrammorum F®, ^if aequa- 
les angulos eomprelienclentia in contraria proportione 
erunt [VI, 14]. quare FB : ZH= EZ : FK. uerum ratio 
rK: AF data est. ergo est, ut FB ad ZH, ita EZ 
ad eam rectam, ad quam AF rationem habet datam. 
iam ne sit aequiangulum, et construatur ad rectam 
FB et punctum in ea positum F angulo EZH aequa- 

lis angulus AFB 
[I, 23], et explea- 
tur parallelogram- 
mum FM. 

iam quoniam ra- 
tio Fz/ : EH data 
est et r^ = FM 
[1, 35], ratio FM: EH data erit. et est L^rB = EZH 
itaque est, ut FB ad ZH, ita EZ ad eam rectam, ad 
quam FA rationem habet datam [per priorem partem 
buius prop.]. uerum ratio FA : FA data est. ') ergo 
est ut FB : ZH, ita. EZ ad eam rectam, ad quam 
AF rationem babet datam. 

LXXV. 

Si duo trianguli inter se rationem babent datam 
et in angulis sunt aut aequalibus aut inaequalibus, 
sed datis, erit, ut unum latus primi ad unum latus 
alterius, ita alterum latus alterius ad eam rectam, ad 
quam reliquum primi rationem babet datam. 

1) u. p. 140, 15—19. 

AT] HAr\). 20. ^xv] ^'orr. ex ^x^i m. 2 v. 21. ijrot. 

— 22. de] om. ^ (non b). ' 21. iv (alt.)] om. v. 22. ^atcct] 
iarca b. 24. Post TCQwrov hab. Xoyov del. m. 1 Vat. 
Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 10 



146 AEAOMENA. 

s<3t03 dvo tQtyova ta ABF^ AKZ, TtQog aklrjla 

Xdyov e^ovta dsSo^Evov, xal £6t(o6av ai TtQog totg A^ A 

yfoviai ^toi l6ai ») avi6oi fisv, dsdo^avai ds' Xsyco, 

oti sGtlv cog rj AB TtQog tijv AE, ovtcjg rj AZ TCQog 

5 i^v 7] AF k6yov s%si dsdo^svov. 

6v^7CS7tXrjQd)6&(X) yaQ ta AH, A ® naQa^XrjXoyQa^iia. 

xal ijtsl X6yog i^tl tov ABF tQiycbvov TtQog tb 
AEZ tQiymvov dod^sig^ Adyog aQa xal tov AH naQ-. 
aXkrj^oyQcc^fiov TtQog tb A& naQa^lr^^oyQafi^ov do- 
10 dsig. STtsl ovv 8vo TtaQaXkriX6yQa^^a ta AH, A& 
TtQbg aXkrjka koyov s%si dsdo^svov i]toi sv l'6aig yco- 
vCaig iq avi6oig fisv, dsdoiisvaig da, sGtiv aQa C3g ij AB 
nQog tijv AE, ovtog rj AZ TtQog ^v rj AF k6yov s%si 
dod^svta. 
15 os'. 

'Eav tQiyavov dsdopisvov ta sidsi ccTtb ttjg xoQV(prlg 
STti tr}v (i(x6iv xdd-stog dxd^, rj d%%^si6a nQog trjv 
^d6iv k6yov s%si dsSo^svov. 
s6ta) tQiyavov dsdo^svov 
20 r« sldsi tb ABF, xal %'&'« 
dytb tov A sitX trjv B F xd&stog 
r) AA' ksyca, oti X6yog s6tl 
trig AA TtQbg trjv BF do&sig. 

STtsl ydQ dsdotai tb ABF tQiyavov ta sl'dsi, do- 
25 d-SL6a ccQa s6tl xal r] vnb ABA ycovia. s6ti Ss xal 




2. ^^^ofra] i%6Taac(.v b. ai] om. b. 4:. AB] AF P. 

JE] BE h. 5. i]v i]] rijv b. 6. J &j JE b. 8. Po8t 
TQiycovov add. ^ffrw si Ss 6 b. 12. t;] ?jTot Vat. , -rot del. 

m. 2. iv &vlaoig b. 13. r^v r]] Ttqv b. 18. SsSoiisvov 

T& sl'8si b. 19. ^ffro — 20. sl'Ssi] om. b. 22. Ante i] AJ 
add. ^TiTKi h. Xoyog] r]^dXoy6g h. 25. ioTl iiai] om. b. 

ABd] Tcbv AzlB h. 



DATA. 147 

sint duo trianguli ABF, AEZ, inter se rationem 
habentes datam, et anguli ad A, z/ positi aut aequales 
sint aut inaequales, sed dati. dico, esse, ut AB ad 
AE, ita z/Z ad eam rectam, ad quam AT rationem 
liabeat datam. 

expleantur enim parallelogramma AH, /1®. 

et quoniam ratio /XABF: l\AEZ data est, etiam 
ratio parallelogrammi AH o.^ parallelogrammum /d® 
A 




data [1,41; def. 2]. iam quoniam duo parallelogramma 
AH, A@ inter se rationem habent datam et in an- 
gulis sunt aut aequalibus aut inaequalibus, sed datis, 
erit^ ut AB ad AE, ita ^Z ad eam rectam, ad quam 
AF rationem babet datam [prop. LXXIV]. 

LXXVI. 

Si in triangulo specie dato a uertice ad basim per- 
pendicularis ducitur, ducta recta ad basim rationem 
habet datam. 

sit triangulus specie datus ABF, et ducatur ab A 
a.d BF perpendicularis AA. dico, rationem AA : B F 
datam esse. 

nam quoniam A ABF specie datus est, etiam 
L ABA datus erit [def. 3]. uerum etiam /. BAA 

10* 



148 AEAOMENA. 

rj vTcb tS)v B^A 8o^ei6a' xal Xoitctj aQa rj vtio tcjv 
BA^ i<jti do&eiGa' de^^otat aQu t6 ABzI tQcyavov 
t(p eldsf koyog aQa e6tl tijs BA TCQog tijv AA do- 
d^eig. tfjg Se AB TCQog t^v BF koyog e6tl Sod^eig' 
5 Ttal tfig AA uQa nQog tijv BF Xoyog iotl dod^eig. 

'Eav dvo eldrj dedo^eva rc3 eldec TCQog aXXitiXa Xoyov 
e%ri dedo^svov^ xal ^ia TcXevQo. bTCOiaovv ivbg tSiv eid&v 
TCQbg bnoiavovv t&v tov eteQOV Xoyov e%ei, dedofievov. 

10 dvo yaQ sl'drj ta ABI\ AEZ, dedo^eva ta sidei 
TCQbg aXktjXa Xoyov iyietco dedofievov Xsya), oti '/.al 
/Lita TcXsvQo. bnoLaovv tov ABF TCQbg ^Cav jcXsvQav 
OTCOiavovv tov /4EZ, Xbyov s%sl dsdo^svov. 

avaysyQaq^Q^co yaQ anb tcov BF^ EZ tstQccycova 

15 ta BH, E0. insl anb trjg a^iftfjg evQ^Cag tfjg BF 
dvo eldr] dvaysyQantai, a stv%sv^ dedofieva ta eldei, 
ta ABF, BHj Xoyog aQa tov ABF n^bg tb BH do- 
d^eCg. dLcc td adtd dij ndXiv xal tov ^EZ n^bg tb 
E& Xoyog i6tl do&eig. inel ovv Xoyog i0tl tov ABF 

20 nQbg tb AEZ do&eCg, dXXd tov ^ev ABF nQbg tb 
BH X6yog i0tl dod-etg, tov d^ ^EZ n^bg tb E® 
X6yog i6tl dod-eCg, xal tov BH aQa n^bg tb E@ X6yog 
i6tl do&eCg' S)6te xal tfjg BF nQbg t^v EZ X6yog 
i6tl dod-eCg. 



1. T&v (utrumque)] rj)? b. BJA] BAJ b. 2. iariv v. 
rgiycavov] comp. supra scr. m. 1 v. 4. jtQog ttJv BF] 

om. Vat. Post do^sig add. SiSotKi &qu tb ABF tQiycovov 

tm eI'Sbl b. 5. tr)g] tov b. 7. rco s^Sbi] om. P. 8. ^XV. 
corr. ex ^x^i v. 9. rav] om. Vat.' 12. ABF — 13. tov^ 

om. b. 14. t&v] tiig b. 16. itvx^ Vat.vb. 18. itciXLv 
om. b. 20. ro (alt.)] om. b. 



DATA. 



149 



datus est. quare etiam reliquus /. BA/J datus est 
[I, 32; propp. III, IV]. itaque ^ AB^ datus est specie 
[prop. XL]. ratio igitur BA : A^ data est [def. 3]. 
uerum ratio AB : BF data est [ib.]. ergo etiam ratio 
AA.BT data est [prop. VIII]. 

LXXVII. 

Si duae figurae specie datae inter se rationem habent 

datam, etiam unum quodlibet latus unius figurarum 

ad quodlibet latus alterius rationem habebit datam. ^) 

nam duae figurae ABF, z/JSZ specie datae inter 

se rationem habeant datam. dico, etiam unum quod- 

libet latus figurae ABF 
ad unum quodlibet latus 
figurae AEZ rationem 
habere datam. 

construantur enim in 

Br, EZ quadrata BH, 

E® [I, 46]. quoniam in 

eadem recta B F duae 

quaeuis figurae descriptae 

sunt specie datae ABF, 

BH, ratio ABF: BH 

data erit [prop. XLTX]. 

iam eadem de causa rursus etiam ratio AEZ : E® 

data est. iam quoniam ratio ABF-.z/EZ data est, 

ratio autem ABFiBH data est et ratio ^EZ:E0 

data, etiam ratio BH:E& data erit [prop. VIII]. 

itaque etiam ratio BF^EZ data est [prop. LIV]. 

In figg. codd. PVat.v pro H est N. 

1) u. prop. LIV. 




150 AEAOMENA. 

07]'. 

'Eav dod-sv sidog TiQog ti oQd-oyciViov koyov £%ri 
dsdofievov, xal fita TcXsvQa TtQog ^tav tcIsvqccv koyov 
E%ri dod-£VTa, dEdorai tb dQd-oyavLov ra eldst. 
5 dod^av yaQ sidog rb AZB nQog n dQd^oycbviov rb 
r^J Xoyov s%sr(o dsdofisvov.f xal sGrco Xoyog r^g ZB 
TtQbg T7JV EzJ do&SLg' Xsya, ori dsdorai rb Jz/ ra 
stdsi. ' I 

avaysyQdg)d-co yccQ aTtb rrjg ZB rsrQayavov rb ZH^ \ 

10 Hal TtaQa^s^XijG&ca TtaQcc rr}v E/i ra ZH i'6ov TtUQ- 
aklrjkoyQafi^ov t6 EK, xal xsi6d-co &6rs sn' svdsiag 
sivai rrjv FE rfj E&' sit' svd^sCag ccQa s6rl xal ij 
Mzl rfj ^K. %a\ snsl aitb ri]g avrr^g svd^sCag rf^g ZB 
dvo svd-vyQa^fia , ct hvxsv, dsdo^sva ra si'dsi dva- 

16 ysyQanrai ra AZB^ ZH.^ X6yog ccQa iorl rov AZB 
JtQbg rb ZH do&sCg. rov ds AZB TtQbg rb jTz/ loyog 
s0ri do&sCg' aal rov ZH ccQa TtQog rb FA Xoyog s6rl 
do&sCg. akXcc rb ZH ra EK s6ri i'6ov' xal rov F/l 
aQK TtQbg t6 EK k6yog iarl dod^sCg' &6rs xal rrjg FE 

20 TtQbg rr^v E0 X6yog i6rl do&sCg. xal insl i'0ov s6rl 
xal l6oyG)ViOv t6 ZH ra EK, [s6ri ds xal dQ&o- 
y(oviOv'\ avnnsTt^vd^a^iv aQa auTwv aC nXsvQaC, xaC 
£6riv cag r] ZB n^bg E^, ovrcog 7] E& n^bg ZA. 
2,6yog 8h 'bn6%sirai rrjg ZB n^bg ttjv E^ doQ-sCg' 

2. %i;] con-. ex l^£i v. 3. Tfpds] om. Vat. , add. m. 2. 

4. ^'j(^ff\ ^^si V. Tco si'Ssi] om. b. 5. SoQ^sv — dQ^o- 

yAviov] tb AZB rtQog b. 11. iKKsiad-a b. 13. J K] 

EJ b. 14. sv%"vyQccniLa] stSsi v. hv^s b. 15. ^ZB(pr.)J 
AB V, ABZ b. ZH] BZH v. 16. Xoyog ieri] om.b. 18. 
&XXd — 19. So&sig] om. b. 18. t6] rm v. rco] mut. in t6 
m. 2 v. 21. xat (pr.) — 23. iaTiv] uqu b. ' 21. iativ v. 

8s] yuQ edd. ?ffrt Ss xai dQd-oywviov] deleo. 23. EJ] 

xr]v z/E b. T^v ZA b. 24. vTto-ASitcci] om. b. 



DATA. 



151 



Lxxvni. 

Si data figura ad aliquod rectangulum rationem 
habet datam, et unum latus ad unum latus rationem 
habet datam, rectangulum datum est specie, 

nam data figura AZB ad aliquod rectangulum F^ 
rationem habeat datam, et ratio ZB : Ezl data sit, 
dico, jTz/ datum esse specie. 

construatur enim vo. ZB quadratum ZH [I, 46], 
et adplicetur rectae E^ quadrato ZH aequale par- 



i-M 




allelogrammum EK et ita ponatur, ut FE et E& 
in eadem recta sint [I, 45]. quare etiam Mk/ et ^K 
in eadem recta sunt [1, 29; I^ 14]. et quoniam in eadem 
recta ZB duae quaelibet figurae specie datae de- 
scriptae sunt AZB, ZH, ratio AZB : ZH data erit 
[prop. XLIX]. uerum ratio AZB: FA data est. itaque 
etiam ratio ZH: FA data est [prop. VIII]. est autem 
ZH= EK. quare etiam ratio FA : EK data est. itaque 
etiam ratio rE:E® data est [VI, 1; def. 2]. et quoniam 
ZH parallelogrammo EK aequale est et aequiangulum, 
latera eorum in contraria proportione erunt, et erit 
ZB : EA = E® : ZA [VI, 14]. uerum supposuimus, 

In figg. cocld. Vat.v ducta est iVS'. pro A hab. Z, pro K 
autem B b. 



152 AEAOMENA. 

Xoyog aQa xal r^g E& TCQog trjv ZA dodsLg. rrjg ds 
E® TCQog t^v FE koyog ietl dod^SLg' xal trjg FE 
ccQa TtQog tijv ZA k6yog i6tl do&sig. i'6rj 8\ r] AZ 
xfi ZB' [tEtQayovov yccQ' ti]g AZ aQa TCQog EzJ 
5 Xdyog do&etg' 6vyxELtaL ydQ'^ xal tfjg FE aQa TCQog 
f^v jBz/ Xoyog iatl do&Eig. xac i6tiv oQd-tj rj TCQog 
tw E ycjvia' didotai aQa tb FzJ ta EldEi. 

'Eav dvo tQiycova fiiav ycovCav ^ta ycavCa l6r]v 
10 E%ri., xat ajro t&v tGov yavccov inl tag ^dCEig xd&Etoi 
EV&Etac yQafi^al dxd-cb0LV, fj de, cag rj tov TCQoytov tQi- 
yavov ^d0Lg JCQog f^v xd&Etov, ovtag rj tov itEQOv 
tQLyavov ^d^Lg TCQog trjv xdd-Etov, Cdoycbvia E0taL ta 
tQCycova. 

15 £6tco dvo tQCycova td ABF^ &ZH l6ag Exovta 
ycovCag tdg JCQog totg Z, B, xal ijx&ooGav aTcb tcov Z, B 
nd&EtOL aC Bz/, ZK' E6tco di, djg rj AF TCQog trjv BA^ 
ovtag ii &H TCQog f^v KZ' Xiyco, oVt i^oyavLOV i6ti 
t6 ABF tQCycovov tco &ZH tQLycivco. 
20 TCEQLyEyQdcpd^co yaQ tceqI tb &ZH tQCyavov xvxXog^ 
ov t^rj^a £6tco tb &ZH^ xal 6vv£6tdtco TCQbg tfj &H 
Evd^ECa xal ta jCQbg avtfj 6r}fi£Ca) ta & r^ 'bnb t&v 



2. E01 EJ h. rE(pr.)] r@ h. 3. ZA] EJ& h.^ l'ar} 

— 6. do^S^sts] om. b. 3. AZ] ZA Vat.v. 4. rstQdyaivov 

— 6. yccQ] deleo. 6. ierl So&tig Vat.v. GvyKenca vccqI 
v7t6v.SLroci yccQ Hardy; del. Gregorius et Peyrardus. 9. larjv] 
corr. ex l'aov m. 2 v. 10. hrj] corr. ex %f(. m. 2 v, om. b. 

11. svd^slai] om. b. 17] add. m. 2 v. 12. ovrcag — 13. 

xa^fTOf] mg. om. accent. m. 1 P. 12. ovnag — 13. ^ccaig] 

oi) (sic) rji ^dcaei rov SsvrsQOV h. 15. @ZH] Z0 b. 17. 
ag] om. b. 20. @ZH rQiyavov] 0Z b. 21. ov rd Pv- 

22. r&v] T^s b, et sic per totam hanc prop. 



DATA. 



153 



rationem ZB : E^ datam esse. quare etiam ratio 
E&: ZA data est [def. 2]. uerum ratio E& : TE 
data est. itaque etiam ratio FE : ZA data est 
[prop. YIII]. est autem AZ = ZJ5. quare etiam ratio 
TE:E/i data est^) [prop. VIII]. et rectus est angulus 
ad E positus. ergo TA datum est specie [def. 3]. 



LXXIX. 

Si duo trianguli unum angulum uni angulo aequa- 
lem liabent, et ab angulis aequalibus ad bases rectae 
lineae perpendiculares ducuntur, et est, ut basis primi 
trianguli ad perpendicularem , ita basis alterius tri- 
anguli ad perpendicularem, trianguli aequianguli erunt. 
sint duo trianguli ABT, &ZH angulos ad Z, B 
positos aequales habentes, et ducantur a Z, B per- 

pendiculares B^, 
B /i\ /W ZK-^ sit autem 

AT:B^==@H:KZ. 
dico , triangulum 
A B T triangulo 
&ZH ae quiangu- 
lum esse. 

circumscribatur enim circum &ZH triangulum 
circulus [IV, 5], cuius segmentum sit &ZH, et con- 

In fig. cod. Vat. Z0 et AH perpendiculares sunt ad 
@H, ZK et AM oblique ductae. rectam ZA om. Vat. vb. in 
priore figura cod. h /\ ABF aequicrurius est; in altera figura 
et in textu pro H hab. E b. 

1) Euclides hic paulo brevior est quam solet; ita concludi 
uoluit: quoniam ratio FE-.AZ data est, et AZ—ZB, etiam 
ratio JTE : ZB data erit. uerum ratio ZB : E^ data est (bypotli.). 
quare etiam ratio TE -. EJ data est [prop. VIII]. 




154 AEAOMENA. 

BAF ycovCa iGiq i] vnh t&v H&A^ nul i7tE^av%%^c36av 
KL ZA, AH, xal 'i]xd-G} xd&srog r] AM. 

ircal tdt] i0rlv 7] 'hnh r&v BAA rf] vnh r&v A@H, 
E6rt de xal y] vtco rStv &AH rf] 'bnh ABF l'0r]^ xal 
5 koniY] aQa i] ■yjro r&v BFA Xoiiif] rfj 'vnh rav @HA 
£6nv t6y]' ofiOLOV aQa s6r\ rh BAF rQiycovov ra &HA 
rQiyd)v<p. xal Kad^arot r^y^Evai SLalv at BA, AM' 
£6rLV aga ag r] AF TtQhg rr]v BA, ovrcog 'f] ®H TiQhg 
Ti)v AM' r]v de, dyg 'f] AF n^hg rf]v BA, ovrcog 'f] 

10 @H TCQog T7)v ZK' 'VTtoxsiraL yaQ' xal cag ccQa 'f] @H 
TCQhg rf]v AM^ ovtcog f] ®H TCQhg rf]v ZK' l6r] aQa 
E6rlv 'f] ZK rfi AM' e6rL 6e xal 7caQdkkr]kog' xal f] 
ZA aQa rfj ®H 7CaQdkXr]X6g e6rLv' L'6r] aQU e6rlv 'f] 
'VTch rav ZA® yavCa rfj 'i)7ch r&v A®H. aXX' 'f] ^ev 

15 VTch ra)v A®H rfj vnh r&v BAF e6rLv l'6r]' -f] 8\ 
vnh ZA® rfj 'bnh r&v ZH® e6rLV i'6r]' xal f] fjnh 
rcjv BAT aQa rf] 'vnh r&v ZH® e6rLV l'6r]. e6rL de 
zal 'fj 'bnh r&v ABF rf] vnh r&v ®ZH l'6r]' XoLnf] 
ccQa 'f] 'bnh r&v BFA Xotnfi rfj 'vnh rcbv Z®H i6rLv 

20 i'6r]' t6oyciVLOv ccQa e6rt rh ABF rQtycovov r<p Z®H 
rQtyavfp. 

n . 
'Eav rQtycovov ju,to;v e%r] ycovtav dedo^evrjv, xat rh 
vnh r&v rf]v dedo^evr]v ycovtav neQte%ov6ix)v evd-et&v 

25 nQhg rh dnh rf]g Xotnf]g nkevQdg rerQdyavov khyov 
eiY] dedo^evov, dedorat rh rQtyojvov ra ei'det. 

£6rco rQtycjvov rh ABF dedofievr]v e^ov yavtav 



1. yotviu] om. b. ■f}] om. b. H&A] &A b. 3. ^nsi] 

v.ul imi Vat.v. BAJ] JAB b. A&H] A& b. 4. 

hti — iar}] om. b. 5. BTA] BTJ b. &HA] &EA b. 

6. BAF] BTA Vat., ABF v. &HA] AE b. 7. Bd] 



DATA. 155 

struatur ad rectam @H et punctum in ea positum ® 
angulo BAF aequalis angulus H@A [I, 23], et du- 
cantur ZA, AH, et perpendicularis ducatur AM. 

quoniam est /. BAA = A@H, est autem etiam 
L@AH = ABF [III, 21; X. svv. 1], etiam reliquus 
angulus BFA reliquo angulo @HA aequalis erit [1,32]. 
quare ^ BAF ^ @HA [VI, 4; VI def. 1]. et per- 
pendiculares ductae sunt BA, AM. quare 

AF.BA =@H: AM [VI, 4; V, 22]. 
erat ^Viieva AF-.BA = @'H: ZK', nam ita supposuimus. 
itaque @H : AM = @H : ZK [V, 11]. quare ZK 
rectae AM aequalis est [V, 9]. uerum etiam parallelae 
sunt [I, 28]. itaque etiam ZA rectae ®H parallela 
est [I, 33]. quare est LZA@ = A@H [I, 29]. sed 
L A@H= BAT et LZA@ = ZH® [UI, 21]. itaque 
etiam LBAr=ZH@. uerum etiam L-^Br=@ZH. 
reliquus igitur angulus BFA reliquo angulo Z®H 
aequalis est [I, 32]. ergo triangulus ABF triangulo 
*Z@H aequiangulus est. 

LXXX. 

Si triangulus unum angulum datum habet, et 
rectangulum comprehensum rectis datum angulum 
comprehendentibus ad quadratum reliqui lateris ratio- 
nem habet datam, triangulus datus est specie. 

sit triangulus ABF datum habens angulum ad A 

BAh. 8. BJ] ABd h. 9. AM — 10. rrjV] om. b. 10. 
vitov.Hxui ydq\ om. b. 11. AM — ZK] ZK, ovtwg 17 @E 

TtQog rriv AM h. 13. ieriv] om. b. 14. r^] rijg h. &ixdh. 
16. rcbv ZA& Vat.v. larf] om. b. 18. @ZH] corr. ex 

Z@H m. 2 Vat. 19. BTA] BAF v. Z@H] Z@ b, item 
lin. 20. 24. svQ-siaov] om. ^ (non b). 25. nXavQ&g rsrQa,- 

ycavov] om. b. 



156 AEAOMENA. 

rrjv TtQog tc5 ^, xal t6 vnb x&v BAF JiQog xh UTcb 
XTjg BF Xoyov e%ix(o dsdofisvov Xeyco, ort didoxav xb 
ABF XQiycovov xa eideL. 

7]Xd-(oi3av yccQ anb x&v A, B enl xag BF, FA 
5 xdd^exoL aC Bzf, AE. enel ovv do&et^d eGxiv rj vnb 
BA^ ycnvta, e0xi de xal ri 'bnb xcav A^ B doQ-elGa., 
didoxai ccQa xb A^B XQiycovov tc3 eldet' Xoyog aQa 
i6xl xfjg AB n^bg xijv BA dod^ecg' K)6xe aal xov vnb 
xcbv BAF nQbg xb vnb x&v AF, Bzi Xoyog i6xl 

10 dod^eig. Tc5 de vnb x&v AF, Bzl l6ov i6xl xb vnb 
xcbv BF, AE' exdxeQOv yccQ avx&tv dmXd^Lov i6xL xov 
ABF XQLyavov' loyog ccQa >cal xov vnb xcov BAF 
nQog xb "bnb xcbv BF., AE do&evg' xov de vnb xcov 
BAF nQbg xb dnb Tijg BF Xoyog i6xl dod^eCg' xal 

15 xov vnb x&v BF, AE ccQa n^bg xb dnb T^g BF 
2,6yog i6xl dod-eig., aal xijg BF n^bg AE loyog i6xl 
dod-eCg. 

ixxeL^d^cj xfi %-i6eL xal xa (leyid^ec dedofiivrj ev%-eia 
ij ZH, xal yeyQdcpd-co inl xrjg ZH x(ir}{ia xb Z@ll 

20 dex6fievov ycovCav l'6rjv xfj vnb x&v BAF' dod-et^a de 
fj vnb x&v BA r ycovCa' do%-et6a ccQa xal rj iv x<p 
Z®H X{ir]^axL ycovCa' d-i6eL ccqk i6xl tb Z&H xfirj^a. 



1. TtQbg Tc5] om. b. tw] to P. to (pr.)] con-. ex tc5 

m. 2 V. BAr] ABF PYat. 2. Xiyco] S^Xov b. Supra 
SsSotai add. &qcc (comp.) Vat. , del. m. 2. 4. yap] om. b. 

Tttg] T^v b. 6. TTjv BAJ b. ^ariv v. r&v] xr]v b. 7. 
aQa (pr.)] om. b. 8. xov] x6 b. 9. xwv (pr.)] xf]s b; item 
lin. 10, 11, 13 (alt.). 9. BAF — xwv'] om. Vat. xav (alt.)] 
xov b. 10. ds] om. b. Bd] JB v. 11. SiTtldciov] supra 
add. m. 2 Vat. iaxLv v. 12. ABT] ATB v. 13. BF] 
r supra scr. m. 1 b. 15. iitb xwv] om. b. aQct] om. b. 

16. KuL — 17. So&iig] om. b. 20. Ssxd^svov] SsSo(isvriv %ov 
PVat.v. icxTjv] supra scr. m. 2 v. xwv] xr^g b, item lin. 21. 

21. xa — 22. Z0if (alt.)] ZIH b. 



DATA. 



157 



positum, et BAx AF ad BF^ rationem habeat da- 
tam. dico, triaugulum ABF datum esse specie. 

ducantur enim ab A, B ad BF, FA perpendicu- 
lares BA , AE. iam quoniam i BAA datus est, et 




etiam /. AAB datus, A AAB specie datus erit [I, 32; 
propp. III, lY; prop. XL]. quare ratio AB : BA data 
est [def. 3]. itaque etiam ratio BA X AT \ AT X BA 
data est [YI, 1; def. 2]. uerum AFxBA^^BTxAE 
(nam utrumque eorum duplum est trianguli ABT 
[1,41]). itaque etiam ratio BAxAT:BTxAE 
data est. uerum ratio ^^X^r": ^P^ data est, quare 
etiam ratio BTxAEiBT^ data est [prop. YIII], 
et ratio BT: AE data est [VI, 1; def. 2]. 

ponatur recta positione et magnitudine data ZH, 
et construatur in ZH segmentum Z®H, quod angu- 
lum capiat aequalem angulo BAT [III, 33]. datus 
autem /. BAT quare etiam angulus in segmento 
Z&H positus datus est. itaque segmentum Z&H 
positione datum est [def. 8]. ducatur ab H ad ZH 



In figg. codd. Pb A centrum est circuli, AHKQ quadra- 
tum. in b figg. buius demonstr. et demonstr. alt. permutatae 
sunt. pro K hab. if b, ut ff bis inueniatur; & om. b, rectam 
Z0 omnes codd. 



158 AEAOMENA. 

i]%&(0 ccxb Tov H Tfi ZH TtQog OQd^^g "h HK' d^east 
aqa i6xlv 7] HK. xal 7C£jiOLiJGd-(o, cog 'fj BF TtQog triv 
AK, ovtcog 7] ZH TtQog trjv HK. Xoyog ds tflg BF 
TCQog xriv AE dod^sig' Xoyog ccqcc xal xijg ZH TtQog 
6 xi}v HK dod^Sig' do&sWa ds rj ZH' doQ-si0a ccQa 
xai rj HK. dXla xal xfi d^s^sf xac s6xl dod-sv xb H 
dod-sv ccQa xal xb K. %#•« did xov K xfi ZH jtaQ- 
dXXrjXog rj K&' Q-s6si ccQa s6xlv r] &K' d^s6sc ds xal 
xb Z&H Xfirj^a' dod-sv aQa s6xl xb & 6rj(isi0v. sns~i 

10 ^svxd-Gjdav aC Z&^&H, %al ri%%^Gi xd&sxog rj &A' do4 
d^sWa (XQa s6xlv rj &A. s6xl dh xal xb & 6rj^stot 
doQ-sv, xal sxdxsQov x&v Z^ H' dsdoxac ccQa sxd6xi^ 
x&v @Z, ZH, &H xfi ^s^si xal xa ^sys&st' dsdoxai 
ccQa xb Z&H XQiycovov X(p sidsi. xal sjtsC s6xiv., 63^ 

15 rj Br TtQbg xrjv AE, ovxojg r) ZH TtQbg xrjv HK., l6% 
d^s rj HK xfi &A, s6xiv ccQa cjg rj BF TtQbg xrjv AEy 
odxcog r} ZH TtQbg xrjv &A. xaC s6xlv l6ri 7} vnl 
x&v BAF ycavCa xfi {jTtb xG)V Z&H' l6oywvLOv ocqi 
s6xl xb ABF XQCyovov X(p &ZH XQLy^ovco. dsdoxac* 

20 ds xb &ZH XQCyavov xa sidsL' dsdoxaL ccQa xal xb 
ABF XQCycovov x& stdsL. 

7ia'. 

'Edv XQstg svd^staL dvdXoyOv ov6aL xql61v sv&sCaLg 

dvdkoyov ov6aLg xdg dxQag sv dsdoiisvci k6yc3 s%c36iv^ 

25 ital xdg ^i6ag iv dsdofisva> koya s%ov6lv xal idv 

dxQa JtQbg x^^v dxQav X6yov s%ri Ssdo^svov, xal ij fis^i 

1. HK'] H@ b, et sic deinde per totam prop. pro K 

hab. @, pro & autem I. 6. Sod-slg — 6. HK'] om. b. 7. 

ZH] &Hh. 8. Si] &QU b. 12. SoQ^bv] om. b. 16. &A] 

IK b, item lin. 17. 18. &Qtt] om. b. 19. @Z/f] /ZB b. 

didoxai — 20. dSu] om. b. 21. ABF] AT V. Seq. 



DATA. 159 

perpendicularis HK. quare HK positione data est 
[prop. XXIX]. ei^2^i Br:AE==ZH'.HK [VI, 12]. 
uerum ratio BFxAE data est. quare etiam ratio 
ZHiHK data est [def. 2]. sed data est ZH. data 
igitur etiam HK [prop. II]. uerum etiam positione 
data est. et datum est H. datum igitur etiam K 
[prop. XXVn]. ducatur per K rectae ZH parallela 
K@ [1, 31]. positione igitur data est &K [prop. XXVIIIj. 
uerum etiam segmentum Z&H positione datum est. 
ergo punctum & datum est [prop. XXV]. ducantur 
Z@, &H, et perpendicularis ducatur &A. data est 
igitur &A. uerum etiam punctum & datum est et 
utrumque Z, H. itaque singulae &Z, ZH, &H posi- 
tione et magnitudine datae sunt [prop. XXVI]. ergo 
{\Z&H datus est specie [prop. XXXIX]. et quoniam 
est Br.AE=ZH'. HK et HK= &A [I, 34], erit 
Br:AE= ZH: &A. [ei est L BAF = Z&H quare 
triangulus ABF triangulo &ZH aequiangulus est 
[prop. LXXIX]. uerum |A &ZH datus est specie. 
ergo etiam A ABF datus est specie. 

LXXXI. 

Si trium rectarum proportionalium termini extremi 
ad extremos terminos trium rectarum proportionalium 
datam liabent rationem, etiam medii ad medios datam 
rationem habebunt; et si extremus ad extremum ra- 
tionem habet datam et medius ad medium, etiam reli- 

demonstr. altera, u. app. 23. ovaai\ o^auLg b. 24. ^y(aaiv\ 
^xovaai b. 25. S^ovai b. 17] om. b. 26. ayiQCi xs b. 

rriv\ om. b. ^irf^ -tj in ras. v. 1^] om. b (non §). iisarj 
TS b. 



160 AEAOMENA. 



TCQOS t^v (iE6rjv xal ri lotTtij axQcc TCQog r^v XoLitrjv 
axQav Xoyov £%£i dsdofiEvov. 

TQstg yKQ evdstat avdXoyov ov6at at y^, 5, F XQt- 
6tv ex^d-Etatg avdXoyov ovdatg tatg z/, JS, Z tdg dxQag 
5 Ev dESofiEVG) Xoytp E%Etc36av, xal E0t(o Xoyog rijg ^ev A 
TCQog trjv A do&etg^ trjg ds F TCQog trjv Z Xoyog do- 
&£tg' XEyo, ort %a\ trjg B jtQog tijv E Xoyog idrl 
dod-Etg. 

iTCEt yaQ Xoyog i6rt rr}g ^ev A nQog rrjv A dodstg, 

10 rrjg ds F nQog f^v Z Sod-Etg, Xoyog aQa tov hicb t&v 
A, r TCQog t6 VTcb tav z/, Z dodstg. dXXd rra ^ev 
'bjcb tcbv A., T l'6ov i^tl tb djcb tr]g B, ta ds vjtb 
tS)v A, Z i'0ov i6tl t6 dnb trjg E. X6yog aQa i6tl 
tov dnb trjg B TCQbg t6 dnb trjg E So&stg' a>6tE otal 

Ib rfjg B TCQbg rr]v E X6yog i6rl dod-stg. 

EGrco drj icdXtv rrjg ^ev A TCQbg rrjv A X6yog dod^Etg., 
rrjg Se B iCQbg rr]v E X6yog dod^Etg' XEyco, oTt xcct 
rfjg r TCQbg rrjv Z X6yog idrl do&Etg. 

iiCEl X6yog i6rl rrjg (iev A TCQbg rrjv A, rrjg de B 

20 TCQbg rijv E do&Etg., X6yog i6rt aal rov dnb rrjg B 
•jtQbg t6 ditb rfjg E do&Etg. dXXd ra (iev dnb rfjg B 
i'6ov t6 'bTtb r&v A, F, rip ds dnb rfjg E i'6ov i6tl 
t6 VTcb rS)v A, Z' X6yog ccQa i6rl rov 'bnb t&v A, F 
TtQbg t6 'vnb tcov A, Z do&Etg. xal (itag TcXsvQdg 

25 rfjg A TCQbg (itav TcXEVQdv rrjv A X6yog i6rl dod^stg' 
xal XotTCfjg aQa rrjg F TCQbg XotTtrjv r^v Z X6 og i6rl 
do&Etg. 



1. fqv (pr.)] om. b (non j3). aKQcc] om. Vat., uqu b. 7. 

rjje] del. m. 1 Vat. 10. tov] -nal tov v. 11. to] corr. ex tc5 

m. 2 V. 14. £ j d b. 17. B] supra scr. m. 2 v. X6yos ieti I3. 

19. iiisl yccQ Vat. V. [lbv A TtQbg tr}v d, tr^g Si] om. b. 



DATA. 161 

quus extremus* ad reliquum extremum rationem habebit 
datam. 

trium enim rectarum proportionalium A, B, F ter- 
mini extremi ad extremos terminos trium rectarum 

A I 1 d I- : 1 

B i— 1 E ! 1 

r 1 ' Zh 1 



proportionalium ^, E, Z datam babeant rationem, et 
sit ratio A : /1 data et F : Z data. dico, etiam ratio- 
nem 5 : E datam esse. 

nam quoniam ratio A : A data est et F : Z data, 
ratio Ax r : ^ XZ data erit [prop. LXX]. sed 
Axr=B^, AxZ = E^ [VI, 17]. quare ratio 
B^ : E^ data est. itaque etiam ratio B : E data est 
[prop. LIV]. 

iam sit rursus ratio A : /d data et ratio B : E 
data. dico, etiam rationem T : Z datam esse. 

quoniam ratio A: /1 et B :E data, etiam ratio 
B^ :E^ data erit [prop. L]. sed B^ = A x T, 
E^ = AxZ [VI, 17]. itaque ratio AxT^AxZ 
data est. et unius lateris A ad unum latus zl ratio 
data est. ergo etiam reliqui F ad reliquum Z ratio 
data est [prop. LXVIII]. 



Fig. om. b. 



22. i'aov ieti b. roav] rT]s b. rijs] corr. ex r&v m. 2 v. 
iaril comp. Vat. 23. vnb r&v (pr.)] icTtb rijg b. v.al 

rov b. 25. yl'] AZ y. 

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 11 



162 AEAOMENA. 

'Eav te66aQeg ev&stai dvdloyov aOcv, e6tat, atg rj 
7CQd}trj TtQog TJv rj SevtsQa k6yov sxbl dedo^evov, ovtcag 
rj tQctri TCQog r}v rj tetdQtrj Xoyov e%ei dedo^evov. 
5 e6t(o6av te66aQeg evd-elai dvdkoyov at ^, 5, JT, ^, 
hg ri A TCQog trjv B, ovtcog r] F TCQOg trjv /i' Xeyo), 
oti e6tiv, G)g '^i A TCQog rjv rj B Xoyov e%ei dedo^evov^ 
ovtcog r} F TCQog rjv r] ^d koyov e%ei dedo^evov. 

e6t(o yaQ TCQog r^v rj B koyov e^ei dedofievov r] E, 

10 xal 7cejcoi'^6d-C3, ag rj B TCQog trjv E^ ovtag r] /d TCQog 
trjv Z. Xoyog de tfjg B TCQog trjv E dod^etg' Xoyog 
aQa xal tfjg z/ TCQog tfjv Z e6ti dod^eCg. y,al eiceC 
iativ, d}g ri A TCQog tijv JS, ovtag 'fj F TCQog trjv z/, 
s6ti de xaC, c}g 'fj B TCQog tijv E, ovtcog 'r] A JCQog 

15 tfjv Z, di' i'6ov uQa e6tCv, dtg 'Y] A TCQog tf]v E, ovtcjg 
'T] r TCQog tf]v Z. naC e6tiv 'T] fiev E TCQog r]v f] B 
koyov exBi dedo^evov, f] de Z TCQog r]v f] A' ^6tiv 
aQa cjg f] A TCQog ^v -1] B X6yov i^ei dedo^evov, ovtcog 
'f] r TCQog r]v f] A X6yov ^%ei Sedo^evov. 

20 Tcy'. 

'Edv te66aQeg evd^etai ovtog ex(o6i TCQog dXXiqXag^ 
ca6te tQi&tv Xrjcpd-et^av e^ avt&v bicoicovovv jcat te- 
tdQtr]g ai^talg 7CQ06kr]cp%'eC6r]g dvdXoyov, TCQog f]v f] 



2. ws] om. b (non ^). 3. TtQwTri] corr. ex tov TtQwTov 

m. 2 V. JtQog rrjv dsvTtQuv b. 4. TtQbg Trjv TSTaQrriv b. 

5. ^(STco V. avuXoYOv ovGca b. 7. iaTLv^ v,ui v. fjv'\ 

r} b. 8. r]v ij z/] ttjv rjS b. 9. 17 B TtQbg 7]v b. j] (alt.)] 
rfl b. 12. iari,] om. Vat., iari-v v. nat (alt.)] om. v. 14. 
^ariv V. 16. r] J h. E — 17. ^] EH Uyov ^xovaa 

TtQbg Tr]v B" 17 8e ZH Xoyov ^x^vaa ^Qbg rrjv d b. 17. r\v 

r\] TTjv b, item lin. 18. 2l. iimaiv Vat., l%ovai §. 22. 



DATA. 163 

Lxxxn. 

Si quattuor rectae proportionales sunt, erit ut 
prima ad eam, ad quam secunda rationem habet da- 
tam, ita tertia ad eam, ad quam quarta rationem 
habet datam. 

sint quattuor rectae proportionales A, B, F, z/, 
ita ut sit A : B = F: ^. dico, esse, ut A ad eam, 
ad quam B rationem habeat datam, ita F ad eam, ad 
quam z/ rationem habeat datam. 

A, 1 E\ 1 

B I 1 Z 1 1 

ri 1 

Z/i 1 

nam sit E ea, ad quam B rationem habet datam, 
et fiat B : E = zf : Z. uerum ratio B : E data est. 
quare etiam ratio ^ : Z data est [def. 2]. et quoniam 
est A : B = F: ^, est autem etiam B : E = zl : Z, 
ex aequo [V, 22] erit A : E = F : Z. et est E ea, 
ad quam B rationem habet datam, Z autem ea, ad 
quam z/. ergo est, ut A ad eam, ad quam B rationem 
habet datam, ita F ad eam, ad quam z/ rationem 
habet datam. 

LXXXIII. 

Si quattuor rectae ita inter se habent, ut tribus 
quibuslibet ex iis sumptis et quarta ad eas adsumpta 
proportionali, ad quam reliqua rectarum ab initio pro- 

h^cp&siewv i^ ccvrwv^ i^ uvraiv Xr}cp9a)Civ h. onoiaiovv b. 

23. avxalg] corr. ex avxfig m. 2 v. icvdloyov^ om. b. 

11* 



164 AEAOMENA. 

XoiTti] t&v i^ ccQXVS ts66(xQC)v ev&si&v Xoyov £%bi dsdo- 
(levov, avdXoyov yCyvsGQ^ai taq ti66aQag svd^eLag, eOtai^ 
cog r] tetccQtr] TtQos ti]v tQitr]v, ovtcog r] devti^a TtQog 
r]v i] TtQOitr] X6yov e^ei 8edo(iivov. 

5 e6t(X}6av ti66aQeg evd-eiaL at A^ B^ r, zJ ovtcog 
exov6ai TtQog akXr^kag., &6te tQt&v Xr](pd-ei6a>v e^ aiftav 
b7toiG)vovv tSiv A^ 5, J^ 'X.al tetaQtr]g avtatg 7tQ06- 
Xr^cpQ^eC^r^g tr]g E, TtQog y]v r] ^ k6yov i%eL dedofiivov., 
avdXoyov elvat tdg A, B, F, E ev&SLag' Xiyc), otL e6tCv^ 

10 ag r] zJ TtQog tr]v n, ovt&g i] B TtQog r]v r] A X6yov 
e%eL dedo^ivov. 

eTtel yaQ s6tLV^ cog r] A JtQog tr]v 5, ovtog r] F 
TtQog tr]v E, tb ccQa 'bnb tStv A^ E l'6ov e6tl ta V7tb 
tcbv B, r. xal eTtel X6yog e6tl tfjg E TtQog ti]v A 

15 dod^eCg^ X6yog ccQa i6tL xal tov vnb tcov A, A TtQbg 
t6 V7tb t&v A, E dod^eCg' ta de 'bnb t&v A, E e6tLv 
l6ov t6 ■bitb t&v B, F' X6yog ccQa xal tov vnb t&v 
z/, A JtQog t6 vTtb tcov -B, JT e6tL dod^eCg. e6tiv ccQa 
cog r] ud TtQbg ti]v F, ovtog r] B TtQbg r]v r] A X6yov 

20 e%eL Sedofiivov. 

7tS'. 

*Edv dvo ev&etaL do&ev %oqCov TteQiiico^iv ev dedo- 

fiivTj yavCtt^ "fj de stiQa tfjg etiQag 8o%^eC6r] fisC^ov ^, 

xal exatiQa a^bt&v i6taL do&et6a. 

25 dvo yaQ ev&etai aC AB, BF dod^ev xoqCov TteQL- 

sxito6av tb AF iv dsdo^ivr] yovCa tf] 'bxb tov ABF, 



1. tEaaccQOiv] om. b. 2. avcc).0Y0v — 4. SiSo(iivov] mg. 

om. acc. m. 1 P. 2. 'ylv£e9cci, vb. ^(srcci — 4. SsSofiivov] 

ccl i^ &QXVS fv&stcci. ovtcog l^ovoi TtQog aXXijXag b et deinde 

rep. p. 162, 22. mcts — p. 164, 2. sid^siccg. 3. TStaQtr}] S P. 

tQitriv] y P; -t- in ras. m. 1 v. SsvtiQu] § P. 7. ccutulg] 



DATA. 165 

positarum rationeni habet datam, quattuor rectae in 
proportione sint, erit, ut quarta ad tertiam, ita -secunda 
ad eam, ad quam prima rationem habet datam. 

sint quattuor rectae A^ B, F, /i ita habentes inter 
se, ut tribus quibuslibet ex iis sumptis A, E, T et 
quarta ad eas adsumpta E, ad quam A rationem habet 
datam, proportionales sint rectae A, B, F, E. dico, 

esse, ut z/ ad F, ita B ad 
' ' eam, ad quam A rationem 

^ '~ ' habeat datam. 

I i 1 nam quoniam A:B = r:E, 

A , _, erit AxE^BxT [VI, 16]. 

j^, et quoniam ratio E:A data 

est, etiam ratio AxA:AxE 
data erit [VI, 1; def. 2]. uerum AxE = BxT. 
quare etiam ratio AxA:Bxr data est. ergo est 
ut A : r, ita B ad eam, ad quam A rationem habet 
datam [prop. LXXIV]. 

LXXXIV. 

Si duae rectae datum spatium in dato angulo 
comprehendunt, altera autem maior est data quam 
altera, etiam utraque earum data erit. 

duae enim rectae AB, BF datum spatium AF 
in dato angulo ABF comprehendant, FB autem maior 

corr. ex uvrfis m. 2 v. 8. E] Tts^Ttrrig h. z/] TsrdQtrig h. 

9. iarivl om. b. 10. 17 (tert.)] supra scr. m. 1 h. 12. 

aig ii8v h. 13. Tcof] ttjV b. 14. Tcor] ttJ^ b. £] d b. 

J] E h: 15. r&v] r^v b, item lin. 16, 17, 18. 16. 

A, E] E, A h. So&iig] om. b. ra] ro Vat. iGov iariv 

Vat.b. 17. To] tc5 Vat. 18. B, F] F, Bh. iari] 

iariv V. 19. J] AA h. 24. larai] comp. Vat. m. 1, omni- 
bus litteris m. 2; iari b. 



166 AEAOMENA. 

17 de FB T^g BA dod-SL67] ^eit^av e6tG}' Xeyco, ottj 

do&etiSd e6tLV excctSQa t&v BA^ BF. ] 

enel yccQ rj BF tfjg BA do&eLdr] fieL^cjv ^<?rtv,' 

e0t(o tj dod^etCa rj ^F' Xoltcyi uQa rj zlB tfj BA l'6i] 

5 ietLV. xal 6v^7ce3cXr}Qcb6d-(o tb A/i. xal enel i'6y] 

i6tlv rj AB tfj z/5, Xoyog aQU i6tl trjg AB TtQog 

trjv BA dod^eCg' dod^et^a de xal rj vnh t&v ABA 

ycovCa' dedotaL aQa tb AA ta efdei. inel ovv tb AF 

dod-ev TCaQa doQ^etCav t^v z/P TtaQa^e^XrjtaL vneQ- 

10 ^dXXov etdei dedo^eva> ta AA., dedotaL uQa tb nkdtog 

tfig vneQ^oXrjg' dod-et6a uqu i6tlv rj BA. dkXa xal 

rj ydF' xal oXr] uQa rj BF dod^et6d i6tLV. e6tL de 

xal r] AB do&et6a' ixatSQa uQa t&v AB, BF do- 

&et6d i6tLV. 

15 ne'. 

'Edv Svo evd-etuL do&ev %c3qCov neQLe%(a6Lv iv dedo- 
fiivr] ycovCu^ '^ de 6vvu^(p6teQog 8o&et6a^ xal exateQa 
avt&v i6taL dod-et6a. 

8vo yaQ evQ-etaL aC AB, BF Sod^ev %(oqCov neQL- 
20 EiitC36av tb AF iv dedo^ivr] y(ovC(i tf] 'bnb t&v ABF, 
xal ^6to3 6vvufi(p6teQog i] ABF dod-et6a' Xeycj, otL 
xul exutiQu t&v AB, BF i6tL do&et^a. 

dLHJXd^c} ydQ r] FB inl tb z/, xul xeL6d-o Tt] AB 
l'6r] i] BA, xul Slcc tov /i tf] BA nuQdXXr^log ijx^^ 



2. iariv] om. b. 3. iTtei — 5. AJ] mg. m. 1 P; Ksia&a 
yc(Q tfi BA lat] ij d B, hccI Slcc xov d xfi AB TtaQd.XXrii.os i]X&(^, 
rj dE iati Sod^stacc agcc iarl i) /J F h. 4. ^ata 17] om. v. 1 

BA] AB Vat.v. 5. Kai (pr.)] om. Vat. 7. So&Btaa Ss kuC] \ 
Kccl So&staa b. 8. Sod-sv tb AT b. 10. AJ] A b. 11. \ 

f^g vTCtQfioXfig] tov vnsQ^Xri^cctog b. BJ] JB h. 12. lati] i 
MatLv V. 13. kiiatBQCc — 14. iativ] om. b. 16. sv&staC] 




DATA. 167 

sit data quam BJ[. dico, datam esse utramque 

BA, BT. 

nam quoniam BF maior est data quam BA, data 

sit ^r. itaque est ^B = BA. et expleatur A/1. 

et quoniam AB = ^B, 
ratio AB : /1 B data 
erit [prop. I]. datus 
autem etiam {_ AB/i. 
quare^ A/1 datum est 
specie [I, 34; def. 3]. 
iam quoniam datum 
spatium AT datae AT 

adplicatum est excedens figura specie data A^ , data 

erit latitudo excessus [prop. LIX]. quare BA data est. 

uerum etiam AT data est. itaque etiam tota BT 

data est [prop. III]. est autem etiam AB data. ergo 

utraque AB, BT data est. 

LXXXV. 

Si duae rectae datum spatium in dato angulo com- 
prehendunt et summa earum data est, etiam utraque 
earum data erit. 

duae enim rectae AB, BT datum spatium AT 
in dato angulo ABT compreliendant, et AB -\- BT 
data sit. dico, etiam utramque AB,BT datam esse. 

nam producatur TB ad A, et ponatur rectae AB 
aequalis BA , et per A rectae BA parallela ducatur 



om. /3 (non b). 17. ffwafiqporfpa b. 20. %&,v\ ri]v b. 21. 
Ktti — 22. BF] supra add. m. 2 v. 23. FB] BT vb. 

24. TtaQccXXr}loe] dia.n,STQog v, supra scr. £ m. 2. 



168 AEAOMENA. | 

ii ^E, xal 6v^7CenXrjQ(b0d^(o t6 ^z/. xccl ixd l6ri 
iatlv rj ^B rfj BA^ naC i6ti dod-etija r] vjtb AB^ 
ycivia, iTtel xal 7] icpe^rlg avtfj do&etad iGtiv^ dedotac 
aga t6 EB ta sldst. xal STcel do&et^d ioti 6vv- i 
5 afi(p6teQos rj ABF, l'6ri de rj AB tfj 5z/, do&et^a 
aQa i6tlv rj ^r. ijtel ovv do&ev tb AF TtaQd 8o~ 
^•st6av tijv ^r TtaQa^e^Xrjtat ikketnov sldet dedofisvc} 
ta EB, dedotai td nkdtri tov ikXeiufiatog' do&et6ai 
aQa ei6iv aC AB, Bzl. dXXd xal 6vva^tp6rsQog rj 
iO ABF do9-si6d i6tiV xal kotnii aQa i] BF dod-st6d 
s6tiv' do&Si^a aQa i6tiv sxatSQa ttbv AB^ BF. 

'Edv dvo svd-stai do&ev x(x>Qiov 7teQiexco6iv iv dedo- 

[levr] y(ovi<x, dvvr]tai de r] stSQa trjg eteQag do&svti 

15 fist^ov r] iv X6yG), xal exateQa aur&v e6tai do&et6a. 

dvo yaQ ev&stat aC AB, BF dod-sv %c3Qiov nsQi- 

s%stc36av tb A r iv dsdofisvr] ycovio. tf] vnb t&v ABF, 

tb ds dnb trjg FB tov dnb tr]g BA dod-svtc ^st^ov 

s6tco ?J sv X6y(p' Xsyc3, oti xal sxatsQa t&v AB, BF 

20 s6ti do^st6a. 

insl ydQ tb dnb trjg FB tov dnb rrjg BA dod^evn 
[let^bv i6riv i) iv I6ycp, d<pf]Qr]6d^c!} tb dod^ev tb vnb 
tcbv FBA' kotnov ccQa tov vnb t&v AFB nQog tb 

2. icri] iariv v. 3. avrf^g P. 4. xat'] om. b. iariv v. 

8. So&slGa &QCC iatlv i] AB h. 10. iarivl^ om. ,b. xai — 
11. iariv] om. Vat. 11. Ante So&slaa aga add. ^ari Ss 

nal 7] AB So&staa b. Seq. apud Peyrardum ea propositio 

cum lemmate, quae in P legitur ad finem libri; u. app. 12. 
^?'] ^^' Peyrardus. 13. Post So&sv add. aga v; del. m. 2. 

15. fisl^ov slvai b. ^arai] iari b. 16. ydq] om. b. ai] 
om. P. 17. iv] iari Sh v.ai b. r&v] r-^v b. 19. hru)] 

iariv (comp.) b. 21. BA] AB h. 23. tcov (utrumque)] rrjv b; 



DATA. 



169 




J E, et expleatur A^. et quoniam zlB == BA, et 
datus est i ABzl, quia etiam angulus, qui de- 
iuceps positus est^, datus est, EB datum erit specie 

[I, 34; def. 3]. et quo- 
niam AB -{- BF data 
est ei AB = BA , data 
efit.^F[prop.III]. iam 
quoniam datum spatium 
AF datae rectae AF 
adplicatum est deficiens 
figura specie data EB, 
latitudines defectus datae sunt [prop. LVIII]. itaque 
AB, BA datae sunt. uerum etiam AB -\- BF data 
est. quare etiam quae relinquitur B F data est 
[prop. IV]. ergo utraque AB, BF data est. 

LXXXVI. 

Si duae rectae datum spatium in dato angulo 
comprehendunt, alterius autem quadratum, comparatum 
cum quadrato alterius, dato maius est quam in ratione, 
etiam utraque earum data erit. 

duae enim rectae AB, BF datum spatium AF 
in dato angulo ABF comprehendant, FB^ autem, 
comparatum cum BA ^, dato maius sit quam in ratione. 
dico, etiam utramque AB, BF datam esse, 

nam quoniam FB^, comparatum cum AB^, dato 
maius est quam in ratione, auferatur datum FB X BA. 
reliqui igitur AFx FB ad AB^ ratio data est [def. ll]. 



item p. 170, 2, 11. 
B add. m. 2 v. 



FBJ] supra add. m. 2 Yat. dTB] 



170 AEAOMENA. 

ccTcb trig AB kdyoq i0tl do&SLg. xal iTtsl dod-iv i^ti 
t6 vTcb tS)v ABr, k'(3ti, ds xal tb vTtb t&v FB, B/1 
dod^iv., koyog aQa istl tov vTcb t&v AB^ BF JtQog tb 
VTtb tCbv FBA dod^Big. a)g 8\ tb 'bitb t&v ABF TtQbg 
5 t6 V7tb t&v FB, 5z/, ovtcjg 7] AB TtQbg ttjv BA' 
G)6tB xal filg AB Tt^bg t?)v BA loyog i6tl dod^Btg' 
&6tE Tial tov aitb tfig AB Ttgbg tb icTtb trjg BA koyog 
i6tl 8o%-BCg. Tot) 8b anb tfig AB ngbg t6 vnb tcjv 
BF^ koyog i6tl dod^Big' xal tov 'bnb tav BFA aqa 

lO nQog t6 anb trig AB koyog iatl dod^Bcg' a>6tB xal tov 
tBtQaxLg vnb tav BFA nQbg tb anb tijg BA loyog 
i6tl dod^BLg' tov tBtQaxig vnb t(Sv JSJTz/ aQa ^Bta 
tov anb T^g BA n^bg t6 anb tfig BA koyog i6t\ 
dod^Big. aXka t6 tBtQdxtg ■ i^nb t&v B TA ^Bta tov 

15 anb tiig BA tb anb 6vva^q)0tiQ0v i6tl T^g BF, FA. 
kbyog aQa i6tl aal tov anb 6vva^q)0tiQ0v tfjg B F, FA 
nQbg t6 anb tfjg BA do&Big' &6tB xal 6vva^cpotBQov 
tfjg BF^ nQbg trjv BA koyog i6tl do&Bcg' xal 6vv- 
^•Bvti aQa 8vo tcov FB n^bg tfjv BA Xoyog i6tl 8o- 

20 %-BCg' G>6tE xal (iLccg T^g FB n^bg trjv B^ Xoyog i6t\ 
8od-ECg. 6}g 8b rj PB nQbg 5z/, ovtcog t6 vnb tcov 
FBA nQbg t6 dnb tfjg BA' xal tov vnb tav FBA 
ccQa nQbg t6 anb tr^g BA Xoyog i6t\ Sod^sCg. ^od^^v 
8b t6 vnb tav FB, BA' ^od^BV ccQa xa\ t6 dnb t^j 

25 BA' 8oO-Et6a aQa i6t\v ^ BA' co6tE xa\ fj BF 8o- 



2. ^GTi — 3. AB, BF] supra add. m. 2 t. 2. FB, Bd] 
FBJ b. 3. AB, BT] ABFh. 4. cbg 8f — 5. BJ (alt.)] 

m§. m. 1 P, om. b. 4. iTto (alt.) — 5. to] om. Vat. , supra 
add. m. 2. 5. FB, BJ] FJB Pv. 7. wats] om. b. 

AB] AB ciQU b. 8. Jtgos] bis v, ijrius del. m. 2. 9. 

BTJ (pr.)] rJB b. Kai — 10. Sodsig] om. b. 10. J B] 

AB PVat.v. Kai — 12. So&sig] om. b. 15. Post BJ 




DATA. 171 

et quoniam AB X BF datum est, datum autem etiam 
FBxBz/, ratio ABxBT: FBxBzl data erit 
[prop. I]. uerum AB X BF •: FBx^B^ AB: BA 

[VI, 1]. quare etiam 
ratio AB : BA data est 
[def. 2]. itaque etiam 
ratio AB^ : BA^ data 
est [prop. L]. sed ratio 
AB'-.BrxrA data 
est. quare etiam ratio 
BFxTA: AB^ data est 
[prop. VIII.]. itaque etiam ratio ABFx FA : BA^ data 
est [ib.]. itaque ratio ABF X TA -^ BA^ : BA^ data 
est [prop. VI]. sed 45r X Tzr -f- BA'- = {BF + FAf 
[11,8]. quare etiam ratio (5F-}- FAy : BA^ data est. 
itaque etiam ratio {BF -\- FA) : BA data [prop. LIV]. 
itaque componendo etiam ratio 2 FB : BA data est 
[prop. VI]. quare etiam ratio FB : BA data est 
[prop. VIII]. uerum FB : BA = TB X BA : BA^ 
[VI, 1]. quare etiam ratio FBx BA : BA^ data 
est [def. 2]. sed FB X BA datum est. datum igitur 
etiam 5z/^ [p^op. II]. quare data est BA. itaque 
etiam BF data est (nam ratio FB : BA data est, 



add. ■jtQog rb artb rf]g Ez/ Xoyog iarl So&sLg. &XXa rb rsrQayiig 
inb r&v BFd ^isra rov cntb rfjg Bz/ b. 16. xat] om. b. 

BT, rj] BFJ vb. 17. rd] ri]v b. t?}?] oin. b. So&sig 
— 18. Bd] om. b. 18. Kal Gvv&svri aQu] om. b. 19. ra>v] 
Ttjv b. 20. yiai] om. Vat. iiiag] om. h. 21. mg — 23. 

S^o-^^ftff] om. b. 21. rr]v BJ v. 22. 7f gbg ro] gvv rcai P, 

corr. supra m. 1. 24. r&v] rr]v b. TB, Bd] FBJ vb. 

25. Bz/ (utrumque)] BF h. mers — p. 172, 3. yavia] xoci 
i-nsl Xoyog isrl rfjg FB ngbg ri]v BJ Sod-sig, tf]g Ss BA itQbg 
rr]v BA Xoyog iarl Sod-sig, v.ui iari Sod^staa r] BF h. 



172 AEAOMENA. 

d-Et&d BGtiv zfis yccQ FB TtQog tijv B/J Xoyos istl 
dod^Eig, xal dEdotat, rj Bzl' xai E6tL doQ^sv tb AF, 
xal dod-Et6a 'f] B yavia' do&Et^a aqa ictl xal rj AB' 
ExatEQa aqa tcov AB^ BF dod'£t6d E6tLV. 

5 nt,'. 

'Eav Eig xvxXov dEdo^dvov ta ^EyEd^Ei Ev&Eta yQa^fi'^ 
dx^f] dnoka^^dvov0a t^rj^a dExofiEvov ycoviav do&Et- 
6av.f dsdotai t] d%9'Et6a ta ^Eys&Ei. 

Eig yaQ xvxXov Ssdo^Evov ta ^EyEd^Et tbv ABF 
10 di^^xd^co r] AF dnolaii^dvov6a t^rj^a tb AEF Sexo- 
^EVov ycovCav dod-Et6av' kEyco, oti r] AF dsdotai ta 
^syE&Ei. 

£iXr](p&co yaQ tb XEvtQov tov xvxXov ro z/, xal 
£7ti^Evx^Et6a r] A/i diiqx^fco etcI tb E, xal E7i£t,£vx^(o 
15 r] FE' do&Et6a ccQa £6tlv r] vnb tcjv AFE' oQd^f] 
ydQ' £0ti 8e xal r] vnb AEF dod^Et^a' xal Xoinr] ccQa 
r] vnb t&v FAE dod^Etdd E6tiv' didotai aQa tb AFE 
tQiycovov t(p sldEt' Xoyog aQa E6tl trjg AE nqbg ti]v 
AF dod^Eig. dod^£t6a di i] EA r«3 [lEyEd^Ei, inEl xai 
20 6 xvxXog didotav ta ^Eyi&Ei' dod-Et6a ccQa i6tlv r] AF 
ta [iEyid-£i. 



1. tris — 2. Bz/] mihi admodum suspecta. 1. yccg] 

om. V. 2. Post Bz/ add. dhSorai aQcc kccI tj BF PVat.v. 

3. 7) B] T) A^r Vat. (supra scr. vjto m. 2), 7] vnb ABF v. 

4. Twv] tijg b. Seq. apud Hardium et Gregorium propositio 
illa, de qua dixi ad p. 168, 11. 5. jrj'] jrrj' Vat., edd.; 
«s' b. 9. yccQ] om. b. dsSo^isvov] dsxoy-svov h. Tor] 
corr. ex t&v m. 2 v, t6 b. 10. aTtoXcc^§av' b. AEF^ 
ABFh. 11. dedotai] 8o9ElGd. iati h. 13. ydg] om. b. 15. 
8o&ii6a ccQa iativ] insl 8o&£lad iati h. tobv] trjv b, item 
liD. 17. 16. yaQ iativ Vat.vb. tr^v AEF h. 17. ATE} 
FAE h. 18. T?5s] tov h. AE] EA Vat.v. 19. EA] AE b. 

iTtsl xat] iTisiS'^ h. 20. (isys&si] in hoc vocab. desinit b. 



DATA. 



et data est BzJ). et datum est AF 
i B. quare etiam AB data est [prop. LVII] 
utraque AB, BF data est. 



173 

et datus 



ergo 



LXXXVII. 

Si in circulum magnitudine datum recta linea du- 
citur abscindens segmentum angulum datum capiens, 
ducta recta data est magnitudine. 

nam in circulum magnitudine datum ABF pro- 
ducatur AF abscindens segmentum AEF angulum 
datum capiens. dico, AF datam esse magnitudine. 
sumatur enim centrum circuli 
^, et ducta Azl producatur ad E, 
et ducatur FE. datus est igitur 
LATE (nam rectus est [111,31]). 
uerum etiam i AEF datus est. 
quare etiam reliquus i FAE da- 
tus est [I, 32; propp. III, IV]. 
datus est igitur A AFE specie 
[prop. XL]. itaque ratio AEiAF data est [def. 3]. 
data est autem EA magnitudine, quoniam etiam cir- 
culus datus est magnitudine [def. 5; prop. III]. ergo 
AF data est magnitudine [prop. 11]. 




Pig. om. b. 



174 AEAOMENA. 

TCYl . 

'Eav €Cg xvxlov dedo^evov tc3 ^syed^st, evd-eta yQafi^rj 
ax&fl dedo^svrj ta ^eys&si, ccKokrixljetat tfirlfia dexo^s- 
vov ycovCav dod-et6av. 
5 eis yccQ xvxlov dedofievov tc3 ^eysd-et tbv ABF 
ev&eta y^a^^rj rjxd-cj r] AF dedo^ievr] ta ^eye&er Xeya^ 
ott, d7CoXr]i{;etaL t^f]^a dexo^evov ycnvCav dod^etdav. 

iil^qipQ^co yccQ tb xsvtQOv roi) xvxXov tb z/, xal 
STtL^svx^staa r} AA ^trix^ca inX tb E, xal STtstsvx&co 
10 rj FE. insl dod^st^d i^tiv sxatsQa tcbv EA, AF, 
Xoyog aQa iatl tfjg EA TiQbg trjv AF do&eCg. xaC 
i6tiv OQ^fi fj vjtb tcbv AFE ycovCa' dedotai uQa tb 
AFE tQCyavov ta eldeL' do&et0a ccQa ictl xal r] vitb 
tav AEF ycovCa. 

15 ^^'- 

'Edv xvxXov dedo^evov ttJ d-sdst inl tfjg TtSQKpeQeCag 
dod^ev 6rj^etov Xr^cpd^f], dnb 8h torStov TtQbg tf]v tov 
xvxXov TteQLcpeQetav xla6d-f] ttg ev&eta dedo{ievr]v yco- 
vCav 7totov6a, dsdotat t6 etsQOv neQag Tijg xXa6%^sC6r]g. 

20 xvxXov yaQ tfj d^s^et dedo^ivov tov ABF eLXr]g)&a} 

i%l tf]g TteQtcpeQeCag do&ev 6rj[ietov t6 B, dnb 8e tov B 

xexXd6&co svd-eta f] BAF dedofievr]v notov6a yavCav 

tf]v V7tb tcbv BAF' Xsya^ ott dsdotat t6 F 6r](istov. 

stXrjcp&co yaQ t6 xivtQOv t6 A, ^cal i7cst,svx%c!i6av 



1. jrrj'] %%■' Vat., edd. ; jr^' |3 (a). 7. anoXfiiptxocC] Xi^ipsrai 
PVat.v; &no supra scr. m. 2 Vat. So&siaav'] So&sig a. 10. 
Kal insi Vat. 12. twv] tfjg a. 13. iativ a. Kai] om a. 

15. jt&'] q' Vat., edd. ; tttj' ^(a). 17. crjiisiov] comp. Vat. 

&Ji6 — 18. 7tSQiq>SQSiav] xal &7fb tov aj](isiov ^. 18. ttsqi- 
(pSQSi-av] comp. Vat. 20. sllfj(p9(a yap a. 21. So&sv] 



DATA. 



175 



Lxxxvni. 

Si m circulum magnitudine datum recta linea du- 
eitur data magnitudine, segmentum datum angulum 
capiens abscindet. 

nam in circulum magnitudine datum ABF recta 
linea ducatur AF data magnitudine. dico, eam seg- 
mentum datum angulum capiens 
abscisuram esse. 

sumatur enim centrum circuli 
zl, et ducta recta Azl producatur 
ad E, et ducatur FE. quoniam 
data est utraque EA [def. 5; 
prop. III], AT, ratio EA : AT 
data erit [prop. I]. et /. AFE 
rectus est [III, 31]. itaque A AFE datus est specie 
[prop. XLIII]. ergo etiam /. AEF datus est [def. 3]. 




LXXXIX. 

Si in ambitu circuli positione dati datum punctum 
sumitur et ab eo ad circuli ambitum inflectitur recta 
aliqua datum angulum efficiens, alter terminus rectae 
inflexae datus est. 

in ambitu enim circuli positione dati ABF suma- 
tur datum punctum B, ei a B inflectatur recta BAF 
datum efficiens angulum BAF. dico, punctum I 
datum esse. 

nam sumatur centrum circuli ^, et ducantur B^, 



rv%ov a. 

yap] om. a 

tov v.vv.Xov Vat.va 



22. yaviav ■noiovGa a. 23. x&v'] tijg a. 24. 

t6 (pr.)] punctis del. P. Post ■ksvtqov add. 



176 AEAOMENA. 

aC -B^, z/n iTCsl dod-£v e0tLV ixdtsQov t&v B, ^, 
d-e6ei ccQa i6tlv 7) B/J. xal iTtel dod-et6d iativ i\ 
VTth tcbv BAF yavia^ dod-et6a dga i6tlv i] 'bnh 
B^ r. inel ovv TCQhg d-e6ei ev&eia xal ta JCQhs 
5 avtT] 6rj^ei(p rc3 z/ ev&eta '^xtai rj ^F dedo^evrjV 
7COiov6a yaviav tijv 'hnh tav BzJ F, do&et^a aQa i6tlv 
'fj /dV ffi %^e6ei' ^e6ei 8e do&els xal 6 ABF xvxkog' 
do&ev aQa i6tl th F 67]{ietov. 



I 



q • 

10 'Edv aTth dedo^evov 6rj}ieiov Q^e6ei dedofievov xv 
%lov iq)a7Cto^evrj ev&eta &X^Vj dedotai 'f} dx^ei6a tf] 
^e6ei xal ta ^eyed^ei. 

dnh yaQ dedo^evov 6rjiieiov rov F d^e^ec dedo^evov 
xvxXov Toi) AB itpaTCto^evr] evd^eta ^'^^co 'f] FA' Xeyco, 

15 oTfc 'fj FA e^dd^eta dedotai tfi &e6ei xal t(p ^eye&ei. 

ei^r}q)&(0 ydQ th xevtQov tov xvxkov th A^ xal 
iTce^e^vx^co^av at AA^ AT. iiceX 8o&ev i6tiv exdteQov 
t(Sv A^ r, do&et6a aQa i6t\v 'fj AF. xaC i6tiv 6q%-'^ 
'fj 'UTch tcov AAT ycovia' th aQa inl tfis AT yQacpo- 

20 (levov '^fiiX'vxXiov ^^ei 8id tov A. '^xetco xal i6tc} 

1. v,(xl iiifi V. kv.(ktBQOv xSiv] fKccGTov rfjg a. 2. Post 
Bd in P yial insl So&stad icxiv ij Bz/ et uncis et punctis del. 
m. 1. xat] om. a. 3. Post yoavia hab. v.ai iaxiv ccvxf]s 

8i7tXfj 7] 'hiih tfjg Bd r a. g^ (^l^)] ^^^ 'h Vat.v. 4. x&v 

BJ r Vat. , ttJs B/d r yavitt a. 5. sv&biu ypajtftTj a. 6. 

xcov] xfjg a; item lin. 19. Bz/T] BAF a. Sod^staa — 7. 

ABF] om. a. 7. Post xvxios add. So&sv aga iaxlv 15 z/F' &saei 
8e %al xh ABF w-nXog (comp.) a. 8. Post ari^slov del. ojtsQ ^Ssi. 
Sst^ai m. 1. Vat. 9. q'] qa' Vat., edd.; tT'»'' |3(a). 10. SsSo- 
^svov] om. ^. 11. ifpanxo^svT^] -rj? nsQKpsQsiag /?. 13. 

arnisiov — SsSoiiSvov] om. a. 14. sv%^sta yQa(i(irj a. 15. 

sv&sta] om. a. 16. xov xvjtiov] om. a. 18. xmv] xfjg a. 

20. 'f](iiKV'>iXiov] con: ex v.^vv.Xov m. 2 Vat. riv.sxui] iQ- 

Xsa&co a. 



DATA. 



177 




jr. quoniam datum est utrumque B, /1 [def. 6], 
positione data erit BA [prop. XXVI]. et quoniam 
datus est /. BAT, datus erit LBAT 
[III, 20; prop. II]. iam quoniam 
ad reetam positione datam et 
punctum in ea positum A recta 
dlicta est /i T datum efficiens 
angulum BAT, data erit AT po- 
sitione [prop. XXIX]. uerum 
etiam circulus ABT positione datus 
est. ergo punctum T datum est [prop. XXV]. 

XC. 

Si a dato puncto recta ducitur circulum positione 
datum contingens, ducta recta data est positione et 
magnitudine. 

nam a dato puncto T recta ducatur TA circulum 
positione datum AB contingens. dico, rectam TA 

datam esse positione et 
magnitudine. 

sumatur enim centrum 

circuli J, et ducantur AA, 

AT. quoniam datum est 

utrumque A, T, data erit 

AT [prop. XXVI]. et 

L AAT xectus est [III, 18]. 

itaque semicirculus in z/F descriptus per A neniet 

[III, 31]. ueniat et sit AAT itaque positione 

datus est AAT [def. 8]. uerum etiam circulus AB 




In fig. 2 pro B hab E Vat. v. 
Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 



12 



178 AEAOMENA. 

t6 ,dAT' Q's6ei, ccQa i0rl t6 ^AF' &e6ei Se xal 6 
AB xvxXos' So^ev eCtiv aQa tb A. aAAd xal tb F 
dod-sv e6tiv' dod^et6a aga i6tlv rj AF ty Q-eGsi xal 
ta ^eye&ei. 

5 qa'. 

'Eav nvyckov dedo^evov tfj d-e6ei Xrjq)&y trt 6r](ielov 
ixtbg dod-ev, anb 8e tov 6rjfieiov elg tbv x^xXov 8ia%%^fi 
tig e^hd-eta^ tb vnb trjg a%%-ei6rig xal trjg fieta^v tov 
6i^(ieL0v xal trjg xvQtrig neqitpeQEiag neQiex6fievov oqQ-o- 

10 ythviov do&ev i6tiv. 

xvxKov yaQ dedo^evov tfj d^e^ei tov ABF eCX^tpd^G) 
ti 6rj(istov ixtbg tb ^, anb de tov A 6rj(ieiov 8ir]xd-co 
tig evd^eta rj ^B te(ivov6d tbv xvxlov Xsyco., oji 
8od-sv i6ti tb vnb tcov 5z/, AF. 

15 ^xd^G) anb tov /i 6rj(ieiov tov ABF xvxXov i(p- 
antO(ievr] evd-eta i^ A^' 8o&ei6a aQa i6tlv rj Aid tfj 
%e6ei xal t& (leye&ei. inel ovv 8od-et6a. i6tiv i} A^^ 
Sod^ev aQa i6tl xal tb anb r^g AA. xai i6tiv l'6ov 
ta vnb t&v- B^F' Sod^ev aQa i6tl xal tb vnb tav 

20 B^r. 

, q/5'. ^ • 

'Eav xvxXov 8s8q(isvov tfj Q^s^si Xrjq)d"^ ti 6r](ietov 
ivtbg So&ev, 8ia 8h tov 6rj(ieiov Siax^fj tig evd^eta 
eig tbv xvxXov^ tb vnb tcov tfjg ax%^ei6rig t(irj(idtcov 
25 nEQisx6(ievov bQ&oyaviov So&sv i6tiv. 

1. '^AFi^x.)'] JFA a. 9iasi — ^AT] om. a. 2. 

&Qa iariv a. xai] om. a. 3. 8o&sv] 8o&sv ^od^iv &qc( a. 
&Qa] om. P. 5. qa'] qj3' Vat., edd.; q' |3(a). 7. 8s] 

om. §. 8. Tov ts p. 10. ^Gtui |3. Ht^ &sasi. 8s8o- 

fisvov a. ABT] AF a,. 13. J B] BJ va. 14. vnb rj)? 
BJr a. 15. J] r a. 16. sv&sla ypa/iftjj a. 8o&staa 

— A/J] 8s8otai UQa a. 18. AJ] JA Vat. 19. t&v (utrum- 
que)] T?Js a. ' 20. Seq. demonstr. alt.; u. app. 21. q^'] 



DATA. 179 

positione datus est. datum est igitur A [prop. XXV]. 
uerum etiam T datum est. ergo AT positione et 
magnitudine data est [ptop. XXVI]. 

XCI. 

Si extra circulum positione datum punctum ali- 
quod datum sumitur, et a puncto ad circulum recta 
aliqua ducitur, rectangulum ducta recta et recta inter 
punctum et conuexam ambitus partem posita com- 
prehensum datum est. 

nam extra circulum positione datum ABT suma- 
tur punctum aliquod z/, et a .puncto z/ ducatur recta 

aHqua ^B circulum secans. 
dico, datum esse Bz/ X ^T ■ 
ducatur a puncto ^ 
recta circulum ABT eon- 
tingeng A^ [III, 17]. ita- 
que A^ positione et ma- 
gnitudine data est [prop. 
XC]. iam quoniam A^ data est, etiam A^'^ datum 
erit [prop. LII]. et esi Azl^ = Bz/ X Zl T [IH, 36]. 
ergo B^ X ^T datum est [def. 1]. 

XCII. 

Si intra circulum positione datum punctum ali- 
quod datum sumitur, et per punctum recta aliqua ad 
circulum ducitur, rectangulum partibus ductae rectae 
comprehensum datum est. 




qy' Vai, edd.; qa' |3(a). 23. t6 Sod^sv (5. 8e] om. §. 24. 
t6] Toi) §. Tcov] TTjv (J. rfiTjftaTcor] tfiii^cc x6 ^. 25. 

^Grai § (non a). 

12* 



180 AEAdMENA. 

xvxkov yaQ dedo^svov tfj Q-s0£i rov BF sil^^pd^ci 
ri 6rj^SL0v ivrbg rb A dod-sv, dia 6s rov A birii^ci 
rtg sv\fsla Tj FB' Xsyco, ori dsdo^svov s6rl rb vjeb 
r&v FAB. 

5 sil^^q^&oj ya^ rb xsvrQov rov itvxXov rb ^, xa\ 
S7a^svxd-st6a r} AA SiTjj^^d^c} iTtl ra Z, E. snsl ovv 
dod-sv s0rLV sxdrsQOV r&v ^, ^, %'s6sl ccQa s6rlv 7} 
AA. %s6si Ss %aX 6 FBZ xvxkog' dod^sv aQa s6r\v 
sxdrsQov r&v Z, E. s0ri 8s xal rb A do&sv do&sWa 
10 ccQa sCrlv sxarsQa r&v ZA^ AE' do&sv ccQa s6rl rb 
vTcb rSiv ZA^ AE. xaC sGrLV i'0ov ra vicb BAF' 
do&sv ccQa s6rl xa\ rb vnb r&v FAB. 

■~ ^y'- 

'Eav stg xvxXov Ssdofisvov ra ^sys&SL sv&sta ypafi/xi) 
15 dx^fi d7CoXaii^dvov6a r^ij^a ds%6^svov yaviav doQ^st- 
<?av, xa\ rj sv rip r[i7]^ari yavCa dC%a r^rjd^fj^ 6vv- 
a^(porsQOL at rr}v dsdo^svrjv ycovCav nsQLS%ov6aL TCQbg 
rip/ dC%a rsfivov6av rrjv ycjtnav loyov s%ov6l dsdo- 
^svov, xa\ rb 'bnb 6vvafi(porsQOv r&v rrjv dsdofisvrjv 
20 ycovCav 7Csqlsxov6&v svxtSL&v xccl rijff xdrco dnoXa^^avo- 
fisvrjg djcb rrjg dC^a rs^vov6rjg rrjv ycovCav TCQog rfj 
7CSQL(pSQsCci dod^sv s6raL. 

sCg yaQ xvxXov dsdo^svov ra ^sysQsL rbv ABF 



1. T^ Q^iasi SsSo^Bvov a. 2. So&ev r6 A a, 3. SiSo- 
ybivov icxl^ So%kv a. 4. tcov] xf\<s a, item lin. 7, 9, 11. 5. 
xo (alt.)] xov a. 6. Ad\ dA a. E, Z va. 8. TBZ] 

PB a. 9. ^xaTfpog a. %6xiv v. 10. i(Sxlv — &Qti\ om. a. 
^CTi] icxiv V. 11. vTth T^s TAB a, item lin. 12. 13. qyj 
qd' Vat., edd.; q^' ^(a). 16, xat'] 17 S' ^. Post yavia 

add. Sod^staa §. avvcc(i<p6xsQog §. 19. vTt&\ aito §. avv- 
u\L(poxsQ(ov Vat. Twv] xov §. SsSo\i,svriv\ So&slaocv §. 




UATA. 181 

nam intra circulum positione datum BF sumatur 
pimctum aliquod datum A, et per A ducatur. recta 
aliqua FB. dico , datum esse FAxAB. 

sumatur enim centrum circuli /J, 
et ducta Azl producatur ad Z, E. 
iam quoniam datum est utrumque 
J, A, erit ^A positione data 
[prop. XXVI]. uerum etiam cir- 
culus FBZ positione datus est. 
itaque utrumque Z, E datum est 
[prop. XXV]. uerum etiam A datum 
est. quare utraque ZA, AE data est [prop. XXVI]. 
itaque ZA X AE datum est [prop. LII]. et est 
ZAxAE = BAxAr [III, 35]. ergo etiam FA X AB 
datum est [def. 1]. 

XCIII. 

Si ad circulum magnitudine datum recta ' linea 
ducitur abscindens segmentum datum angulum ca- 
piens, et angulus in segmento positus in duas partes 
aequales diuiditur, summa rectarum datum angulum 
comprehendentium ad rectam, quae angulum in duas 
partes aequales diuidit, rationem habebit datam, et rect- 
angulum comprehensum summa rectarum datum angu- 
lum comprehendentium et recta infra abscisa ab ea, 
quae angulum ad ambitum positum in duas partes 
aequales diuidit, datum erit. 

nam ad circulum magnitudine datum ABF recta 

22. Post 7tSQLq)SQ£ia add. vnb tfig 8ia%9siarig P. 23. yap] 
om. a. 



182 AEAOMENA. 

svd^sicc riid^ca rj BF a7CoXa^^dvov6a tfirjfia dsxo^svov 
ycoviav do&stffav trjv vnb BAT^ xal tstiirjGd^c} rj vtco 
BAF ycovia 8C%a tfj AA Evd^sCa' kiyca^ oti ^oyog i6tl 
Gvva^cpotiQov Tijg BAF JtQos f^v A/l do&sCg, xal 
5 oTi dod^iv icti t6 vno Gvva^cpotiQOv Tij? BAF aal 
trjs E/J. 

iTtst^Evxd-ca rj' J5z/. xal insl sis xvxlov dsdo^ivov 
ta ^syid^SL tbv ^AF Sirpitai svd^sta rj BF ajto- 
Xa^^dvov6a tfirjfia tb BAF dsxo^svov yaviav dod^st- 

10 6av trjv vTtb t&v BAF, dod^stGa ccQa iotlv rj BF ta 
[isyid-sc. did td a^vtd dij xal rj B/l doQ^stcd i6ti tc5 
^syid^sr X6yos ccQa i6tl trjs BT tcqos tijv BA doxtsCs. 
xal insl rj -bnb t&v BAF ycovCa dCxcc tit^rjtai ttj 
AA svd^sCcc^ s6tiv aQa d)g rj BA nQOS ti)v AF, ovtag | 

15 rj BE nQOS tijv EF' ivaXXd^ aQa as rj AB n^bs 
BE^ ovtas rj AF n^bs tijv FE' xal tbg aQa ' 
6vva(iq)6tSQ0S rj BAF nQos tijv BF^ ovtcos 7} A F 
nQbs ' trjv FE. xal insC i6tiv i'6rj rj vnb tcav BA E 
ycovCa ty vnb t&v EAF, s6ti dh xal rj vnb t&v AFE 

20 tfj vnb t&v BAE i6r}, Xoinij aQa rj vno t&v AEF 
loinfj tfj vnb t&v AB^ i6tiv l'6r]. i6oydiViov ccQa 
e6tl t6 AEF tQCycavov tw ABA tQiycbvc)' s6tiv ccQa 
iiS r} AF nQbs tijv FE, ovtcos r} A/i n^bs ti\v BA. 
aXX^ as r} AF nQbs tijv FE, ovtcjs 6vva(i(p6tSQ0s r] 

25 jB^, AF nQos tijv BF' i6tiv ccQa tbg 6vva}iq)6tsQos 
-^ BA, AF nQbs tijv BF, ovtcos rj AA nQbs tijv AB' 
ivaXXdi, 63S 6vva[i(p6tsQ0s rj BAF nQos tijv AA, ovtcas 
r} BF nQbs ti}V BA- X6yos ds tf}s 'BP nQbs ti}v BA 



1. sv&sla ypafifiTj a. 2. t?)s BAF a, item lin. 3. 5. V7c6\ 
&it6 a. BAF] Ar a. 6. EB a. 7. instBvx»a i] Bj] 

om. a. «al insL] ijtsl yccQ a. 8. rdv] corr. ex rmv m. 2 v. 



DATA. 



183 



ducatur B F abscindens segmentum datum angulum 
BAF capiens, ef angulus BAF in duas partes aequa- 
les secetur recta ^^. dico, rationem BA -\- AF: A^ 
datam esse, et datum esse {BA -^- AT^x E/J. 

ducatur B/J. et quoniam ad circulum magnitudine 
datum ducta est recta BF abscindens segmentum 
BAF datum angulum BAF ca- 
piens, data erit B F magnitudine 
[prop. LXXXVII]. eadem de 
causa etiam B^ data est magni- 
tudine. itaque ratio BF: B^ 
data est [prop. I]. et quoniam 
angulus BAF in duas partes 
aequales sectu^ est recta A^, 
erit BA^Ar^^BE^Er [VI, 3]. permutando [V, 16] 
igitur AB : BE = AF: FE. itaque etiam 

BA + Ar:Br=Ar: FE \Y, 12]. 
et quoniam L BAE^EAT et /. ^T^ = B^E [III, 21], 
reliquus i AEF reliquo angulo AB^ aequalis erit 
[I, 32]. quare A AEF aequiangulus est triangulo 
ABA. itaque AT: rE = A^:B^ [^1,4]. sed 
AF : FE = BA -^ AF : BV. quare 

BA-^ Ar:Br=A/i:^B IY,\1\ 




10. Trov] rfig a; item lin. 13, 18— 20pr. 11. BJ] BA P. 12. 
i6ri]'om. a. BT] FB a.* B/f\ EJ a. 13. insi] om. a. 

14. BA]AB V. 15. aQcc] aqa i^tiv a. i] (alt.)] om. PVat., 
add. m. 2 Vat. ngog (alt.)] xr]v ngog v. 16. B E] tijv B E Vat. 
m. 2, va. 18. i'ari i<>fiv a. 20. i'6rf] om. a. ta>v{a,lt.)] trjv a. 

21. ABd] AFE V. 22. ABJ tQLymvto- l^etiv] B^ a. 23. 
Ar] AB a. TE] BJ a. AJ] AF a. BJ] d supra 

scr. m. 2. v, TE a. -25. BT — 26. r^'v (alt.)] om. a. 26. 
BA, AT] BAT a. , JB] BJ .a. 28. BT] TB a. 



184 AEAOMENA. 

dod^stg' Xoyos ciQU xccl 6vvafiq)oraQOv rrjg BAF KQog 

• Tr}v AA 8o%ug. 

XsyG), otv xat t6 vtco 6vva[i(potkQOv T?jg BAF xal 
trjg E^ dod^sv s6tiv. 
5 snsl yaQ i0oy(bvi6v s6ti t6 AEF tQiycovov ta 
^EB tQiycbvc), s6tiv ixQa cag 7] B/1 TCQog tijv AE^ 
ovtag rj AF TtQog tijv FE. d)g ds rj AF TtQbg tr^v 
FE, ovtcjg s6 ti 6vva^(p6tsQog rj BAF JtQog trjv BF' 
xal ag 6vva^(p6tsQog ccQa r} BAF TtQog trjv FB., ovtcag 

10 s6tlv rj B^ nQog trjv z/E' t6 aQa 'bno 6vva^g)otsQ0v 
tfjg BAF xal trlg Ezl s6tiv l'6ov ta vno r&v FB^ BA. 
do&sv ds t6 V7tb r&v FB, JSz/* dod^sv ccQa xal rb vnb 
6vva^(potSQOv tr]g BAF xal trlg E^. 

qd'. • 

15 'Eav xvxkov dsSo^svov tfi d-s6si snl tr^g dia^stQov 
do&sv 6rjiisi0v Xrjcpd^fj, anb 8h tov 6r](isi0v TtQbg tbv 
xvxXov 7tQ06^Xrj&fj ng svd^sta xal anb Tijg rojLirlg TtQbg 
dQd^ag dx^fl tfj diax%si6ri^ dicc ds rov 6rj^siov., xad'' 
<?v([i/3aAA£fc rj XQbg dQ&dg tfj nsQicpSQSicc, TtaQcckkrjkog 

20 dx^f] tfj diax%si6r], dod-sv s6ti t6 6r]fisiOV, xad-' b 

6v^^d^Xsi rj TtaQaXXrjkog tf] diafistQGJ^ xal tb vnb 

tav naQaXXrjXcov nsQiSxb^svov 6Qd-oy(oviov do&sv s6rai. 

xvxXov yaQ tf] d^s6si dsdofisvov tov ABF inl dia- 

^stQOV tr]g BF siXrjcpd-ci dod^sv 6r]n,Siov t6 z/, 8id 8% 

25 iov A nQbg tbv xvxXov nQ06^E^Xr]6d'Ci} tig tvxov6a 
^f] AA, dnb ds tov A xf] AA n^bg bQd^dg yaviag 
svd^sta ^x^^ 'h ^E, did ds tov E tf] AA naQaXXrjXog 



4. f^g] rov a. iativ] -v add. m. 2 v. b. AEF] 

BEd a. 6. JEB] AEF a. 7. mg — 8. PE] om. a. 10. 
BJ] supra scr. m. 2 v. JE] J0 F. , 11. rav FB, BJ] 



DATA. .185 

permutando [V/ 16] BA-{-^r:AJ = Br: BJ. 
uerum ratio B F : B^ data. ergo etiam ratio 
BA -\- Ar : A^ data est [def. 2]. 
dico, etiam {BA -\- Ar).X Ezl datum esse. 
nam quoniam A AEF aequiangulus est triangulo 
AEB [III, 21; l, 15], erit BJ:AE=Ar:rE [VI, 4]. 
uerum AT : TE = BA -{■ AT : BF. quare etiam 
BA-{- AT: TB = BA:^E [V, 11]. itaque 

(BA + AT) xEzi = TBxBA [VI, 16]. 
datum est autem FB X J5z/ [prop. LII]. ergo etiam 

(BA + AT) X EA 
datum est [def.'l]. 

xcrv. 

Si in diametro eirculi positione dati datum punctum 
sumitur, et a puncto ad circulum recta aliqua adcidit, 
et a puncto sectionis ad ductam rectam perpendicu- 
laris erigitur, et per punctum, in quo perpendicularis 
concurrit cum ambitu, parallela ducitur ductae rectae, 
datum est punctum, in quo' parallela cum diametro 
concurrit, et rectangulum parallelis comprehensum 
datum erit. 

nam in diametro BF circuH positione dati ABF 
sumatur datum • punctum z/, et per z/ ad circulum 
ducatur recta aliqua AA, et ab A perpendicularis ad ^A 
recta ducatur AE, et per E rectae A^ parallela duca- 

T^S rBE a. 12. vav FB, Bz/] rfjg FBd a. uqu ^ari a. 

13. Ante- avvaiicpotsQov add. Tjjj a. Seq. duae demonstr. 
aliae, u. app. 14. qd'] qs' Vat., edd.; qy' /3(a). 19. Ttag- 
dXlriXog] Sid^stQog v, corr. supra comp. m. 2. 20. iati] htai §. 

22. dQ&oymviov} om. §. 23. Post iTii add. tfjg Vat.a et 

supra scr. m. 2 v. 27. sv&sla y()a(ifnj a. 



186. AEAOMENA. 

^'O'» rj EZ' Xeyco, ori do&sv b6xl tb Z, xal oii t6 
V7to tG)v A/l^ EZ %G)Qiov dod^ev s6tiv. 

dirild^co r} EZ inl tb 0, xal £%Bt,Ev%Q-(o rj A@. 
STtsl op^ij e0tLV rj vnb -t&v &EA yavca, rj &A 
5 didfietQog e6ti roi) ABF xvxkov 's6ti de xal rj BF' 
t6 H aQa xevtQov e0tl tov ABF xvxXov dod^ev aQU 
e6tl t6 H. s6tv ds xal t6 z/ dod-ev dod^st^a aQu 
s6tlv rj zJH ta ^sys&si. xal sTtsl jtaQaXlrjXog s6tiv 
il AA TTj ^@, naC s6ttv i'6rj rj &H tfj HA., l'6r] aQa 

10 s6tl xal fj ^sv 2dH tfi ffZ, ri de AA tfj Z&' 8od-eL6a 
de rj AH' dodst^a aQa xal rj ZH' alka xal t^ d-s'6SL' 
sxateQa aQa t&v HZ, HA dod-et6d 'e6tLv. xai e6tL 
dod^ev t6 H' do&ev aQa xal t6 Z e6tLV. xal STtsl 
xvxkov dsdo^evov tfj d^e^eL tov ABF elkrintaL 6rj- 

15 ^etov t6 Z So^ev.) xal dirjxtaL.rj EZ&^ do&sv aQa 
s6ti tb V7tb't&v EZ&- i'6r] ds rj &Z tfj AA' 8o%\v 
aQa s6tl t6 vnb tav AA^ EZ' onsQ ^Ssl det^aL. 



2. t&v] tfig a. 3. EZ] E@ a. t6 0] rrjv Z a. 4. 
r&v] rfjg a. 5. Post BF %dd. SidfisrQog a. 6. apa] om. v, 
add. m. 2. 7. rd (alt.)] om. P. SoQ-siea] &sa£i a. 9. HA] 
AH a. 10. iarlv v. xat] om. v, add. m. 2. Z0] 0Z a. 

8o&slaa 8s — 11. &sasL] om. a. 12. apa] om. PVat. v, 

add. m. 2 Vat. Kai iari] om. ,a. 13. iariv] om. a. insl] 
iariv ini a. 15. So&sv rb Z a. So&sv (alt.)] tial So&sv a. 

aga iari] om. a. 17. OTtSQ ^Ssl Ssl^ai] om. a. Post 

Ssi^ai add. rsXog atr. rubro m. 2 Vat. In fine: ETKAEIJOT 
^EJOMENA P; item Vat., in quo m. 2 atr. rubro ante ET 
add. rav (euan.), A mut. in cov, add. rsXog; tertium denique 
riXog m. 2 infra extremam figuram in imo folio ; rsi:og si^KlsiSov 
SsSofisva V; rsXog. svkIslSov SsSojisva rr^g ^savog snSoascog a. 



DATA. 



187 



tur EZ. dico, datum esse punctum Z et spatium 

reetis A/i, EZ comprehensum datum esse. 

producatur EZ ad &, 6t ducatur A®. 

quoniam L'®EA rectus est [I, 29], ®A diametrus 

est circuli ABF. uerum etiam BT diametrus est. 

quare H centrum est circuli ABF. itaque H datum 

est [def. 6]. uerum etiam z/ 

datum est. quare ^H data est 

magnitudine [prop. XXVI]. et 

qubniam A/i rectae E® parallela 

est, et ®H = HA, erit etiam 

AH=HZ QiA^ = Z® [1,29; 

1, 15-, 1, 26]. data est autem z/if. 

quare etiam Z H data est [def. 1]. 

uerum etiam positione data est. itaque utraque HZ, 

HA data est. et datum est H. quare etiam Z datum est 

[prop. XXVII]. et quoniam in circulo positione dato 

ABT sumptum est datum punctum Z, et ducta est 

recta EZ&, datum erit EZ X Z® [prop. XCII]. 

uerum @Z = AA. ergo datum est AA X EZ\ quod 

erat demonstrandum. 




APPENDIX. 



DEMONSTRATIONES ALTERAE. 

1. 
Ad prop. XIX. 

5 ^vvKtbv ds i6tC xkI ovtog. s6tG) tQiK ^sysd^ij tcc 
AB., r, z/, XKi tb ^sv AB tov F dod-svtt, ^st^ov s'6tco 
rj iv X6ya), tb dh F tov A dod-svtt (ist^ov rj iv koyci' 
Xsycj, otv xkI tb AB tov ^ dod^svti (ist^dv i6tLV ?J 
iv X6yco. 

10 insl yccQ tb AB tov F Sod-svtc pist^6v idtiv rj iv 
X6yc}, ag)rjQi]6d^(o tb dod^lv (isysd^og tb AE' Xomov 
KQK tov EB TCQbg tb F X6yog idtl dod^sLg' tb ds F 
tov /i do&svtt, (ist^6v idtLv t) iv X6yc}' xkl tb EB 
KQK tov /1 do^svtL (ist^6v i6tLV Iq iv k6y(p. K<pT]Qi]6&(o 

15 ovv tb dod^sv (isys&og tb EZ' Xoinov kqk tov ZB 
*7CQbg tb /i \6yog i6tl do&sig. xkl istL do&sv tb AZ' 
tb AB KQK tov ^ dod^svtL (ist^6v ictLv ^ iv X6yo3. 



1. Om. a. 



4. &XX(og t6 i&'] mg. m. 1 Vat., t6 i,&' om. v. 5. Svvcc- 

tov — ovx(ag] om. Vaf.v. Iffroa] ^anv P. 7. iLSi^ov iariv P. 

13. ■Kcci — 14. X6yi(p] mg. m. 2 v. .16. iori] iariv v. iezi] 

icTiv V, sed. v eras. 17. iariv] om. Vat., comp. add. m. 2. 



•1. 

. Ad prop. XIX. 

Aliter propositio XIX. 

Sic quoque demonstrari potest. sint tres magni- , 

tudines AB, F, ^, et AB, comparata cum F, data 

maior sit quam in ratione, F autem, comparata cum ^, 

data maior quam in ratione. dico, etiam AB, com- 

paratam cum z/, data maiorem esse quam in ratione. 

nam quoniam ma- 
E Z • B 
A 1 i 1 griitudo AB, comparata 

P [ I cum Fy data maior est 

■ • quam in ratione, aufe- 

ratur data magnitudo 

^E. itaq.ue ratio reliquae EB a.d F data est 

[def. 11]. uerum magnitudo F, comparata cum ^, 

data maior est quam in ratione. quare etiam EB, 

comparata cum ^, data maior est quam in ratione 

[prop. XIII]. iam auferatur data magnitudo EZ. ita- 

que ratio reliquae ZB ad z/ data est [def. 11]. et 

data est AZ [prop. III]. ergo magnitudo AB, com- 

parata cum ^, data maior est quam in ratione. 



1 92 • APPENDIX. 



1 



2. 
Ad prop. XXIV. 
"Akkcog xo avro. 1 

'Ensl loyog eatl Tijg A jtQog ti]v F dodsig.! d}g ds 
.5 ->; A TCQog tfjv r, ovt(og tb aTcb ti]g A jCQbg tb vTtb 
tmv ^, jT, kbyog aQU xal tov djtb t7\g A JtQbg tb 'bnb 
t&v A, r dod-stg. ta ds vjtb t&v A., F l0ov e6tl tb 
dnb tfig B' Xoyog aQa tov dnb trjg A nQbg tb dnb 
trjg B do&SLg' G>6ts xal tfjg A n^bg trjv B Xoyog ietl 
10 do&sig. 

3. 
Ad prop. XXVII. 

"AXXcog. 
KivtQca yaQ ta A, dia^triiiati ds tc3 AB nsQi- 
15 (pSQSia ysyQa^pd^co r] FBA' Q^iesi ccQa i6tlv rj FBA. 
^■iasi 8s xal 1] AB svd^sta' dod-sv aQa ietl tb B 
0rjfiEtov. 

4. 
Ad prop. XXX. 
20 "AXkcjg t6 avto. 

"H%%-G) 8id tov A 6ri^sCov tfj BAF svd-£ia naQ- 
dkkrikog rj EAZ. insl ovv did dsdo^ivov 6rj^Siov tov A 



3. tb avto^ om. v. 4. r^g] tov a. t»jv] to a. 6, 

Twv] corr. ex trjv m. 2 Vat., item lin. 7 in. 7. Ss] comp. 

supra a. to] tS> a. 8. B] FB v. tfjg] tov a. A] B P, 
BA j. 9. B (pr.)] r P, FB v. 10. Post Sodsig add. 

mateQcc yag t&v {trjg Vat.) A, B faag iTtOQiGcc^s&a iv ta 
olv.ii(o kyidetcp tstQaywvco Vat. , mg. m. 1 P cum signo omis- 
sionis. 13. aXXcag t6 aitd Vat. a. 14. nsQicpBQBia] comp. a. 



APPENDIX. 193 

2. 
. Ad prop. XXIV. 
Aliter idem. 
Quoniam ratio A : F data est, et^:P==^^:^xF 
[Vl/ 1], etiam ratio A^-.AxT data erit [def. 2]. 
sed Ax r^ B^ [VI, 17]. itaque ratio A'^ : B^ data 
est. ergo etiam ratio A : B data est. ^) 

3. 
Ad prop. XXVII. 
Aliter. 
-T/ Centro enim A, radio autem 

/ AB arcus deseribatur FB^. itaque 

■gi _,^ positione datus est FB^ [def. 6]. 

uerum etiam recta AB positione 
\ data est. ergo punctum B datum 

^\ est [prop. XXV]. 

4. 

Ad prop, XXX. 

Aliter id6m. 

Ducatur per punctum A rectae BA F parallela 

EAZ [I, 31]. iam quoniam per datum punctum A 



1) Ita hoc loco concludi non debuit. 



15. PBz/ -(pr.)] FB a (iu fig. cod. a arc. Bz/ deBcriptus nonest). 

&e6Ei] do^O-atca a. i] FB TCSQKpigsicc a. 16. &sast] So- 

&si6a a. xatj supra comp. add. m. 2 v. iari] om. a. 

21. Bd rj BF a.. naQd).XriXog svQ-sta ypafifttj a. 22. 

Ante iTtsL hab. %ai del. m. 1 v. 

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. ■ 13 



194 APPENDIX. 

naQU %^i6Bi dsdo^svrjv sv&stav rijv B^ F svd^eta yQafifii} 
rjxrai rj EAZ^ &a6Ei aqa a<Srlv rj EAZ. nal iTtal 
TcaQakXrjXog i^nv rj EAZ rfj JJ^JT, 'xat aig avrag 
i^TtSTiraxav rj ^A, i'6rj aQa isrlv rj 'bno EA^ ycovia 
5 rfj vnb AA r yovia. dod^st^a ds rj vno AAT' do- 
&£t0a aQa xal rj vnb EAA. insl ovv n^bg ^s6Ei dsdo- 
fiivfj EXJ&Sia rf} EAZ xal ra n^bg avrfi Grj^siO) dsdo- 
fiiva ra A svdsta yQafi^rj rjxrai rj A/i dsdofiivrjv 
noiOvGa ycoviav rrjv vnb r&v EA^, d^i^si aQa idrlv 
10 ^ AJ. 

5. 
Ad prop. XXX. 
"AX^Gig. 
EiXr}q)d^c3 inl rrjg BF do&sv 6rjiistov rb E, xal dicc 
15 rov E 0rj^Siov rfj AA naQallrjkog ^O-to rj EZ. insl 
naQaXkrikog i^nv rj ZE rfj Az/, xal sig avrag ifi- 
ninrcoxEv rj BE^, l'6rj aQa i6rlv rj vnb r&v ZE^ 
ycovia rfi hnb rav AAT yovia' doQ-Ei0a ds rj vnb 
rcbv A^F' do&st^a ccQa i^rlv xai r} vnb r&v ZEF. 
20 insl ovv nQbg d-iesi Ssdoiiivfj Ev&sicc rfj BF xal ra 
nQbg avrfj 6rj^EiG) dEdo^ivG) ra E svdsta yQa^^rj 
ijxrai rj EZ dsdofiivrjv noiov0a ycaviav rijv 'bnb rav 
ZEF, d^idsi ccQa i6rlv rj EZ. insl ovv dia dsdo- 
(livov 6rj(iEiov To-D A naQcc &i0Ei dsdo^ivrjv Evdstav 



1. TTjv] rfjg Vat.v; coit. m. 2 v. 4. 15 vTib EAJ iari a. 
5. ycavia] om. Vat.v. So9sl6cc St 17 vnb Ad F] supra add. 
m. 2 V. ^z^r (alt.)] r&v Ajra. 6. rcbv EAJa. 7. avrfj'] 
avrng a. 9. Post V7t6 hab. tj m. l.del. P. 13. &Xi,a)g ro. 

avro va. 14. BP] B a. So&sv'] rvxov a. 17. BEJ] 

B£r a. 18. yavia] om. Vat. So&slaa — 19. AJT] om. 
Vat., mg. KaraXsinetai (comp.) So&slaa ds ianv 15 vnb AdF 
yavia m. 2. 23. Sid] om. a. 



APPENDIX. 195 

rectae B^ F positione datae parallela ducta est recta 
linea EA Z, EA Z positione data erit [prop. XXVIII]. 

et quoniam parallela est 

£_ . ± ^ EAZ rectae BJr, et in 

/ eas incidit ^A, erit 

/ L EAA = AJT [I, 29]. 

B -J- -, — uenim i AAT datus est. 

itaque etiam iEA/l datus 
est [def. 1]. iam quoniam ad rectam positione datam 
EAZ et datum punctum in ea positum A recta linea 
dueta est A^ datum efficiens angulum EA/i, AA 
positione data erit [prop. XXIX]. 

5. 
Ad prop. XXX. 

%i Aliter. 

Sumatur in recta B T datum punctum E, et per 
punctum E rectae AA parallela ducatur EZ \\, 31].. 
quoniam parallela est ZE rectae 
A4 y et in eas incidit BEJ, 
erit iZEA = AAT [I, 29]. 
uerum i A/IT datus est. ita- 
que etiam- i ZET datus est 
[def. 1]. iam quoniam ad rectam 
positione datam 5P et datum punctum in ea posi- 
tum E recta linea ducta est EZ datum efficiens angu- 
lum ZET, EZ positione data erit [prop. XXIX]. iam 
quoniam per datum punctum A rectae positione datae 



Fig. alt. om. a. 

13^ 




196 APPENDIX. 

rrjv ZE svd^sta yQa^^ij fixtat r} A/i^ %sGsi ccQa 
i0tlv r] AJ. 

6. 
Ad prop. XXX. 
5 "AXXco^. 

ElXtlcpd-G) STcl tfis Br tv%hv 6ri(istov tro E, xal 
STis^svx^co 7] AE. insl dod^sv idttv to A ^rj^stov, 
&S6SI, ccQa ietlv rj AE' ^sdsi 8\ xal rj BF' dod^stda 
ciQa i6tlv ri 'bnh AEA ycavia. ^6ti ds xal rj vnh 
10 tSiv AAE ycovCa dod'st6a' xal Xomri ccQa rj vnh tcbv 
EAA do%^st6d i6tiv. insl ovv nghg %-s6sl dsdo^svij 
svd-sca tfj EA xal tcp n^hg a^Jtfj dsdo^svo) 6r}^SL(p 
Tc5 A svd-sta y^a^i^rj ijxtai rj A/J dsSo^svrjv noiov6a 
ycovCav trjv vnh t&v EAA., d-s6si, aga i6tlv rj AA. 

15 7» 

Ad prop. XXXIII. 

"AlXcag. 

EiXrjcpd-co inl tfjs FA do&sv 6r]iji.stov th if, xal 

xsC6d-(X) tfj EZ l'6r) r] HA. xsvtQOi iisv ta if, Sia- 

20 ^f^iiati ds rc3 Hzi xvxXog ysyQccq)d-co 6 ^B' &s6si 

ccQa i6tlv b jdB xvxkog' didotac yccQ avtov th xivtQOv 

ty %^i6si xal rj ix tov xivtQOv ta ^syid^si. %-i6si 8s 

xal ri AB' do%sv ccQa i6tl th B 6rj^stov. i6ti ds 

xal To H do%iv' %i6si ccQa i6tlv rj BH. %i6si ds 

5. &XX(og t6 avro a, et sic deinceps b(a). 6. tvxov] 

Sod^ev a. 7. iativ] ieri a. Post eri^itov add. So&lv Ss 

■Kccl tb E a. 9. 19 (pr.)] xal ij v. isTiv v. 10. AJE] 

AEzl a. 11. iativ] -v add. m. 2 v, iati, a. SsSo(iivT]v 

sv&stav tfj EB &. 12. o;'6t^] «'^r^v a. SsSofisva] om. Vat. v. 
13. A] J a. 14. EAJ] EJA a. 19. HJ] J h. kuI 
KsvtQa b. 26. ■KVKXog] comp. b, item lin. 21. JB] BJ v. 



APPENDIX. 197 

ZE parallela clucta est recta linea AA, AA positione 
data erit [prop. XXVIII]. 

6. 

Ad prop. XXX. 

Aliter. 

Sumatur in recta BT quodlibet punctum E, et 

ducatur AE. quoniam datum est punctum A, AE 

positione data erit [prop. 

/\ XXVI]. uerum etiam BF 

/ \ positione data est. itaque 

/ \ l_ AEA datus est. uerum 

B \ r etiam l_ AAE datus est. quare 

etiam reliquus LEAA datus 
est [I, 32; propp. III, IV]. iam quoniam ad rectam 
positione datam EA et datum punctum in ea positum 
A recta linea ducta est AA datum efficiens angulum 
EAA, AA positione data erit [prop. XXIX]. 

7. 

Ad prop. XXXIII. 

Aliter. 

Sumatur in recta TA datum punctum Hj et pona- 

tur rectae EZ, aequalis HA. centro H, radio autem 

HA circulus describatur AB. itaque circulus z/5 

positione datus est [def. 6]; nam datum est eius 

centrum positione et radius magnitudine. uerum etiam 

AB positione data est. itaque punctum B datum est 

[prop. XXV]. uerum etiam H datum est. quare 

recta BH positione data est [prop. XXVI]. uerum 

22. 17] supra add. m. 2 Vat. ^ien — 23. ^B] om. b. 24. 
tCTiv — p. 198, 1. uqa\ bis b. 



198 APPENDIX. 

xal rj rzl' dod^et^a ccqk i6tlv 'fj vtco t&v BH/1 ycovia. 
zal si ^ev 7taQdXh]X6s iotiv ij EZ rfj HB^ sGtai xal 
'}] vTcb EZH ycjvia do9-si6a' &6ts xal XoiTcij rj vnb 
ZEB yavCa dod^sl^d iotiv. si 8s ov, 6v^7CL7itst(o0av 
5 at EZ, HB xatd t6 @. insl iarj i6tlv rj EZ tfj ziH, 
tovts6tt tfj HB, xaL i6tt naQdkXrikog rj EB tfj ZH, 
t6rj oQa ^<?ft xal rj Z® tfj &H' co6ts xal ycovia r] 
-bnb &HZ ycovicc tfj vnb &ZH i6tiv l'6r]. do&st6a 
dh r] "bnb tav &HZ' do&st^a ccQa xal r] vnb t&v. 
10 HZ&' a>6ts xal r] ig)S^f]g i] vnb HZE dod^st^d i6tiv' 
xal Xomi] r] 'bnb t&v ZEB do&stdd i6ttv. 



Ad prop. XXXIV. 

"AXkcos. , 

15 Eig ydQ naQalX^^Xovg tf] d^s^si dsdofisvag tdg AB^ 
r^ dnb Ssdo^svov 6r]iisiov tov E svd-sta yQa^fi'}] ^xd-co 
'i] EZH' Xsyco, oti koyog i6tl ffjg HE n^bg tr]v EZ 
dod-stg. 

i]X^(o yaQ dnb tov E 6r]^siov inl ti]v Fzl xdd^stog 

20 'f] E& xal ix^e^XrJ6d-co inl tb K. insl dnb dsdofisvov 
6r]^SL0v tov E inl &s6sl ds8o^svr]v svd-stav tr]v FAI 
E^b^sta yQa^fi'}] ^xtaL 'f] E& 6sdofisvr]v noLOv6a ycoviav 
f^v ■bnb tcbv E&H, ^s6sl aQa i6tlv i] &EK' %^s6sl 
d\ xal ixatSQa tcov AB, TA' do%\v aQa i6t\v ev,dteQOv 



4. iativ] comp. b. 6. rb & ar]iisiov b. 7. iariv t. v.(xi{^r.)'\ 

supra comp. add. v. 8. ■utto (pr.) — 9. @HZ] 'vnb x&v 

&HZ iariv i'ari b. 9. W] om. b. 10. HZ@] H@Z b.' 

ij (i)r.)] om. b. HZE] r&v HZE v, twv @ZE b. 16. 

tov CTjftEiov rov Vat. 17. EZH] ZH a. 20. insl olv a. 



APPENDIX. 



199 



etiam Jz/ positione data est. ergo /. jBHz/ datus est. 

et si EZ rectae HB parallela est, etiam L EZH 

datus erit [I, 29; def. 1]. 
quare etiam reliquus 
LZEB datus est [I, 29; 
prop. IV]. si non sunt 
parallelae, EZ et HB 
concurrant in 0. quoniam 
EZ = ^H=-HB, et EB 
parallela est rectae ZH, 

erit etiam Z0 = ®H [Yl, 2; V, 14]. quare etiam 

L &HZ = ®ZH [l, 5]. uerum L &HZ datus [I, 15; 

def. 1]. itaque etiam L HZ® datus est [def. 1]. quare 

etiam angulus deinceps positus HZE datus est [I, 13; 

prop. IV]. 

prop. IV]. 




et reliquus L 2, E B datus est [I, 29; 



8. 

Ad prop. XXXIV. 
Aliter.^) 
Nam ad parallelas positione datas u4B, F/l a dato 
puncto E recta linea ducatur EZH. dico, rationem 

HE : EZ datam esse. 

g ducatur enim a puncto E 

ad fz/ perpendicularis E® ei 

producatur ad K. quoniam a 

•^ dato puncto E ad rectam po- 

sitione datam JTz/ recta linea 

ducta est E® datum efficiens angulum E®H, ®EK 

In cod. b fig.. prioris litterae B, E pennutatae sunt. 



A 



Z K 



E 







H 



1) Haec demonstratio eius casus, quo punctum datum inter 
parallelas sumitur, nihil diflFert a genuina. 



200 APPENDIX. 

Twv ©, K 0r]^si(ov. i^Tv de xal t6 E dod^ev do&st6a 
ccga i<3tlv sxateQa tav &E, EK' koyog ccQa trjg @E 
nQog EK So&SLg' cog ds rj &E TCQog tijv EK, ovtag ^ 
HE TtQog EZ' kdyog uQa zal tf^g HE TCQog EZ dod-sCg. 

5 9. 

Ad prop. XLV. 
"AXXco g. 
'Ex^s^kr]6d-co 7] BA sn' svd-stag, xal tf} AF icsC6%^(>i 
t6r}, xal STts^svx&co rj zJF. xal snsl koyog s6ti 6vv- 
10 a^cpotsQov trig BAF rCQog triv FB dod^sig, l'6r] di 
r] FA tfj z/y^, Xoyog ccQa tfjg BzJ TCQog tijv BF do- 
d^sig' xat s6ti dod^si^a r] vtco t&v A/dF' r]^i6sia yccQ 
s6ti tr]g vTcb BAF' dsdotai ccQa t6 B^F tQiycavov 
Tc3 sldsL' do&si^a uQa s6tlv r] vno t&v ABF ycavCa. 
15 E6ti d\ xal r] VTcb t&v BAF dod-Si6a' xal Xoiicr] ccQa 
i] -bnb t&v AFB do&Si6d s6tiv' dsdotat ccQa tb ABF 
TQCyojvov t<p sldsL. 

10. 
Ad prop. XLVI. 
20 "AkXog. 

KsC6d^co tf] FA L'6r] r] ^A, xal ins^svx^co r] ^F. 
insl Xoyog i6tl 6vva^(potsQOv tfjg BAF nQog ti]v FB 
dod-sCg,, l'6r] d^ i^ FA tf] A/d., loyog ccQa xal Tijg ^B 

1. 0, K GrnLiioiv'] K, & a. jtai] om. Vat., add. m. 2. 

So^BlGcc] &£0si a. 3. E^(pr.)] KE a. 4. EZ (utr.)] 

TTjv EZ a. Kai] om. v. 8. Itt' sv&Biag] om. b. 9. 

Post i'ffrj add. i} AJ b. Kai (alt.)] om. b. 11. JA] 

AJ b. 12. iativ r) vnb AJF yavia So&slaa h. r](iia£ia 

— 13. BAT] om. b. 13. t&v BAT Vat., t&v del. m. 2. 14. 
r yavia — 15. So&staa] om. b. 15. ^ga] om. Vat. v. 



APPENDIX. 201 

data erit positione [prop. XXX]. uerum etiam utraque 
^B, F/l positione data est. itaque utrumque punctum 
@, K datum est [prop. XXV]. uerum etiam E datum est. 
itaque utraque &E, EK data est [prop. XXVI]. quare 
ratio ®E : EK data est [prop.' I]. uerum 
SE.EK^ HE: EZ [VI, 4]. 
ergo etiam ratio HE : EZ data est [def. 2]. 

9. 
Ad prop. XLV. 
Aliter. 
Producatur recta BA in directum, et rectae AF 

aequalis ponatur recta, et ducatur zfF. et quoniam 
ratio BA -\- AF: FB data est, et 
FA = AA, ratio B^ : BT data 
erit. et LAAF datus est [prop. II]; 
nam dimidius est anguli BAF 
[1,32; 1,5]. quare A BA F datus est 
specie [prop. XLIV]. iiaque iABF 
datus est [def. 3]. uerum etiam 
L BA r datus est. quare etiam reli- 

quus L AFB datus est [I, 32; propp. III, IV]. ergo 

/\ABr datus est specie [prop. XL]. 

10. 

Ad prop. XLVI. 

Aliter. 

Ponatur rectae FA aequalis zlA, et ducatur z/F. 

quoniam ratio BA -\- AF: FB data est, et FA = AJ, 

16. r&v] om. v. 21. ^ FA tar\ xjj AJ h. JA] Ad v. 

22. avvaiLcpoTSQog b. FB] Fd v. 23. mo;i] om. b. 




-}r: 



202 APPENDIX. 

XQog tijv BF dodsis. xaC idtt do- 
d^eWa 'fj vTcb tcov ztBF yavia ' 3sdo- 
tai ccQa t6 ^ B r tQiycovov ta sldsi' 
8od-st6a ccQa idtlv i] 'bno t&v B^F A/ 

5 ycovia. TiaC i6tiv avtijg diTtlrj rj vno / 

BAF' fj aQa vno t&v BAF yavia / 

8o^si6d i6tLV dsdotai aQa tb ABF ^ 
tQiyavov ta sldsi. 

11. 
10 Ad prop. LIV. 

"AXlcog. 

'Exxsi0&co 8od-Si6a svd^sta rj H®. 

t6 dij A ta B TJtoi o^oiov i6tiv ?) ov. 

^6tco TtQotSQOv ofioiov, xal 7tsnoir]0d-co , cog r} F^ 

15 TtQbg tijv EZ, ovtcog r] H® TtQbg trjv KA, xal dva- 

ysyQd(f%-co dnb tcbv ff@, KA totg A^ B o[iOia xal 

bfioicog xsi^sva td M, N' dsSotai aQa ixdtSQOv tav 

M, N ta eldsi. xal insi i0tiv, d)g rj FA TtQog tr}v 

EZ^ ovtag rj H® TtQbg trjv KA., xal dvaysyQantai 

20 dnb tav FA, EZ, if 0, KA o^oia xal 6}ioicog xsifieva 

svd-vyQaiifia td A, 5, M, iV, i0tiv aQa cog tb A nQbg 

t6 5, ovtcog ro M n^bg tb N. k6yog ds tov A nQog 

t6 B do&Sig' kdyog ccQa xal tov M n^bg t6 N dod^sCg. 

dod^sv de t6 M' dnb yaQ dsdo^svrjg evd^eCag ta ^sys&ei 

"25 dvaysyQantai dsdofiivov sidog' 6o&sv ccQa xal t6 N. 



1. BT] BTJ P et Vat., in quo z/ del. m. 2; TB v. 6. 

JB^r(pr.)] T&v BAF h. t} &q<x — 7. iariv] So&siaa &qu 

■Kul 7] vnb x&v BAT' ^ati 8e v,ccl i] vnb toiv ABF ywvicc So- 

9siacc 'nccl Xoinr) aQcc i] vnb tcav AFB ycoviu So9slacc iari b, 

13. dTj] Ss h. iativ] om. b. 16. Post H@ del. nQog tr\v 



• APPENDIX. 



203 



etiani ratio JB : BF data erit. et L ^BF datus est. 
quare /\ zJBF datus est specie [prop. XLI]. itaque 
i B^ r datus est [def. 3]. et i BA F eo maior est duplo 
[I, 32: I, 5]. itaque L BAF datus est [prop. II]. ergo 
AABF datus est specie [I, 32; propp. III, IV; 
prop. XL]. 

11. 

Ad prop. LIV. 

Aliter. 

Ponatur data recta H&. 

iam A figurae B aut similis est aut non similis. 

sit prius similis, et fiat Fz/ : EZ = H& : KA 
[VI, 12], et in rectis H0 , KA figuris A, B simi- 
les et similiter positae describantur figurae M, N 
[VI, 18]. itaque utraque M, N data est specie [def. 3]. 



M 



H- 








et quoniam est FA : EZ = H® : KA, et in FA, EZ, 
H&, KA similes et similiter positae descriptae sunt 
figurae A, B, M, N, erit A:B==M:N [VI, 22]. 
uerum ratio A : B data est. itaque etiam ratio M: N 
data [def. 2]. uerum data est M [prop. LII]; nam 

m. 1 P. 17. dsSotai — 18. N] om. Vat. 20. KA] om. b. 
25. dsSo^svov slSog &vaysyQCiTtxcci b. 



204 APPENDIX. • 

ccvaysyQu^p&co 6i} ccTcb rijg KA teTQccycavov t6 S' 
dedorat uqu xo S ta eldsi' koyos uQa tov N nQog 
t6 S do&eig. dod^ev de tb N' do&ev ccQa xal tb ^' 
dod-eWa aQu itftlv rj KA. e6tt, d\ xal tj H® 8od'el6a' 
5 koyog ccQa e6tl trjs H® TCQbg tijv KA dod^eCg. xaC 
e6tiv G)g 7] H& TCQbg tijv KA^ ovtcog tj Iz/ TiQbg trjv 
EZ' Xoyog ccQa zal tijg JTz/ JiQbg tijv EZ do&eig. 
xaC etsttv o^olov tb A ta B' xal aC XoiTtal aQa nXevQal 
stQbg tag Xotnag nXevQag Xoyov £%ov6l dedo^evov. 
10 ^ii e6tci dii ofiotov axokov&cog dij ty nQoteQcc ajio- 
det^et tov TtQcotov detxvvtai. 

12. 

Ad prop. LV. 

"A XX (o g. 

15 "E6t(o looQtov t6 KAMN^ dedoiievov ta eidet xul 

Tc5 ^eyed-et' Xiya^ ort xal ai TtXevQul avtov dedo^evut 

eiol t(p fieyed-et. 

uvayeyQucpd^co yuQ unb tijg MN tetQuycovov tb MO * 
dedotat uqu ta etdet. aXXu xul t6 AN' Xoyog uqu 
20 e6tl tox) AN TtQbg t6 MO dod^etg. Sod^ev 8e t6 AN 
Tw ^eye&et' dod-ev icQa xul t6 MO ta ^eye&et. xui 
e6tt tetQuycovov t6 anb trig MN' 8o%\v uqu i6tl ro 
unb trig MN' 8o^et6u uqu i6tlv i} MN rc5 fieyid^et. 
8iu ta avtu 8ii xal exu6tr} tCbv MA, AK^ KS^ !slN 
25 8od^el6d i6tt ta ^eyid-et. 

1. &va'ys'yQdq)d'(o] ccvccydyQaTirui h. t^s] corr. ex tmv m. 2 
Vat. 2. slSei] ^Lsyt&ti b. 4. ^axi] ^axtv v. xat] om. b. 

5. iatlv ccQu V. iGti] ■A.ai Vat., om. b. 8. iativ] om. Vat. 

&Qa] om. b. 9. Xoinag &Qa b. 10. TtQotSQa &TtoSsi^si \ 

TtQwtrj Ssi^si b. 17. slaiv Pv. 20. iati] om. b. t6 A\ 
T— 21. MO] om. b. 21. Kai (pr.)] siipra atld. m. 2 v. '2."). 
Ante iazL add. aQa b. . iattv v. 



APPENDIX. 205 

in recta maguitudine data constructa est data figura. 
quare etiam N data est [prop. II]. iam construatur 
in recta KA quadratum 13 [l, 46]. itaque S' datum 
est specie. quare ratio N : S data est [prop. XLIX]. 
uerum data est figura N. itaque etiam S datum est 
[prop. II]. quare KA data est. uerum etiam H® 
data est. quare ratio H& : KA data est [prop. I]. et 
est H® :KA = rzl : EZ. itaque etiam ratio Tz/ : EZ 
data est [def. 2]. et est A '^ B. ergo etiam reliqua 
latera ad reliqua latera rationem habebunt datam [def. 2]. 
iam similis ne sit. tum congruenter superiori de- 
monstrationi fit demonstratio. 



12. 

Ad prop. LY. 

Aliter. 

Sit spatium KAMN^ specie 

et magnitudine datum. dico, etiam 

latera eius data esse magnitudine. 

construatur enim in recta MN 

quadratum MO [I, 46]. itaque 

datum est specie. uerum etiam 

AN. itaque ratio AN:MO data 

[prop. XLIX]. uerum AN datum 

est magnitudine. quare etiam MO 

magnitudine datum est [prop. II]. 

et est quadratum rectae MN. ita- 

que MN^ datum est. ergo MN data est magnitudine. 

eadem de causa etiam singula latera MA, AK, K!Sl, ISN 

data sunt magnitudine. 




206 APPENDIX. 

13. 
Ad prop. LXVn. 

KaT£6X£V(x6d^(o yccQ xk avta roig tcqotsqov, xal 
5 7Jx&(o anb tov A in\ Ttjv EF xcc&STog rj AZ, xal 
£7t£^svx^(o ri A^. 

xal sjtel dod-£i6d £0tlv rj 'bnb t&v BAF yojVLa 
xai E6TLV axytrig r]fiL6£La rj hnb r&v AFZ, ^6tL d\ nai 
r] vTcb T&v AZr do&£t0a, dsdoTaL aga t6 AZF tqC- 

10 yovov Tc5 £l'dEL' ^oyog uQa £6tI Tfjg AZ nQbg Trjv ZT 
do&sig. Trlg d£ ZF TtQbg Trjv FE Xoyog £6tI do&sig' 
dLitXaGmv yaQ £6tlv avTrjg' xal Trjg EF aQa TtQbg 
Trjv AZ l6yog £6tI dod-£Lg' co6t£ xal tov vnb t&v 
EFA TCQbg ro vnb tCov AZ^ TA Xoyog £6tI dod^Eig. 

15 Tov d£ vTtb T&v AZ^ TA TCQog t6 ATA TQLycovov 
Xoyog £6tI 8o^£Lg' dinM^LOv yccQ £6tlv avTov' xal 
Tov VTtb Tav ETA ccQa JCQbg t6 ATA TQcyavov Xoyog 
£6tl do^ELg. i'6ov d£ t6 ATA tQLycovov tc3 ABT 
tQLycjvG}' ini t£ yaQ tr\g avtr[g ^d^Ecog £6tL trjg AT 

20 xal iv taig ai)talg naQalXrjXoLg tatg AT, BA' xal 
tov vnb tav ET^ ccQa TtQbg t6 ABT tQLyovov Xoyog 
i^TL dod^ELg. xai i6TL t6 hnb t&v ETA, S ^el^ov i6TL 
t6 a;r6 6yva^(poT£Qov rijg BAT tov dnb Trjg BT' S 
ccQa ^£t^6v i6TL t6 dnb 6vva^(poT£Qov rfig BA, AT 

25 Tov dnb Trjg TB, ixEivo t6 xcnQiov n^bg t6 TQiyavov 
X6yov £X£L S£do}i£vov. 

3. aXXag] om. b. 4. KaTccaKSvdGQ-a) P. TiaTsaKSvdaQ"^ 
— 5. rjx&co] om. b. 5. A] J b. 7. tcoj'] om. v. 

'niiasicc Vat., corr. m. 2. t&v] tijv b. ^otiv v. 9. P( 
So&siaa add. kccI XoiTtii aga rj inb t&v FAZ iati (comp.) da- 
9'Staa b. 10. tm slSsi] om. b. Tfjg AZ iaTi v. IJ. 

a^T^s] aiTov b. EP] JBF b. 13. cofftf — 14. SoQ^sii] 



APPENDIX. 207 

13. 
Ad prop.LXVn. 
Aliter. 
Nam eadem comparentur,. quae antea, et ducatur 
ah j4 ad EF perpendicularis AZ, et ducatur Azl. 

et quoniam datus est /. BAF et dimidius eius est 
LJrZ [1,32; 1,5], et etiam /. ^Zr datus est, A^Zr 
datus erit specie [I, 32; propp. III, IV; prop. XL]. 

quare ratio AZ : ZF data 
est [def. 3]. uerum ratio 
Z r : FE data est ; nam 
rE=2Zr [1,26]. quare 
etiam ratio ET:AZ data 
est [prop. VIII]. itaque 
etiam ratio 

EFx r^iAZx rzf 

data est [VI, 1 ; def. 2]. uerum ratio AZxrj:/\Arj 
data est; nam AZx F^ == 2 AF^ [1, 41]. quare etiam 
ratio EFxr^ : A AF^ data est [prop. VIII]. uerum 
AArA = AABr', nam et in eadem basi sunt AF 
et in iisdem parallelis AF, Bzl [I, 37]. itaque etiam 
•ratio EFxFA : /\ABr data est.- et EFxT^ 
spatium est, quo (BA -\- AFy maius est quam BF^.^) 
itaque spatium, quo (BA -\- AFy maius est quam FB^, 
ad triangulum rationem liabet datam. 






1) 


Hoc demonstratum est p. 


125 


Fig. om. V. 




oin 


• v; 


supra 


add. m. 


2. 


13. rov] 


t6 b. ra>v] rrjg b, 


item 


lin 


14. 


15 


rov — 


16. 


avrovl 


om 


V. 15. AFJ] vnb 


r&v 


ABTh 


. 18. 


ABT] 


AFJ b. '19. Ante TJ5s(alt.) hab. xat 


del. 


m. 


2 V 


21. 


Tovl t6 


P, 


corr. m 


2. 


EFzi] EZrd b. 
ffl — 25. TB] or 


22. 


»] 


y.ai 


P, &v 


b. 


23. 


■nal rov 


V. 


Q. b. 


24. aQu] supra add 


. m 


2 Yat. 




lisi^ov aga v. 





208 APPENDIX. 

14. 
Ad prop. LXVIL 
"AXlcog. 
"HxoL yccQ fj A ycovLa OQd"!] iGriv t) o^sta r] dfi^Xsia. 
5 e0t(o TtQOTSQov dQd^ij' tb aqa aith 6vva^g)OTSQov 
Tfjg BAF tov ccTib tijg BF vnsQS%si ta dlg vjcb tav 
BAF. KaC s6ti tov d\g vitb tcbv BAF TtQbg tb ABF 
tQiycovov Xoyog dod^stg. 

S6TG3 di] o^sta i] vTcb r&v BAF, xal ^xd^co ccTtb 

10 Tov r snl Tr]v AB xdd-sTog rj Fzi. sjtsl 6^vyG)vi6v 

s6TL t6 ABF TQLycovov, xal accd-STog rjXTaL ri JTz/, ra 

aQa dnb r&v BAF i'0a s6tI ttk» ts dnb Tfig BF xal 

Ta dlg vTto t&v BAA. xolvov tiqo^xsl^&co t6 dlg vno 

Tcbv BAF' Ta ccQa dnb t&v BAF ^STa tov dlg vnb 

15 T&v BAF, onsQ s6tI t6 dnb 6vva^(poTSQOv Trjg BAF, 

l'6a S6TL Ta5 Ts dnb Trjg BF jcal Ta dlg vnb tcov BAA 

xal stL T(p dlg vnb Tcbv BAF, tovts6tl t» dlg vnb 

6vva(i(poTSQOv Tfjg FA^ xal Tfjg AB' g)6ts t6 dnb 

6vva(i(poTSQov Tfjg BAF [ist^ov i6TL tov dnb tfjg BF 

20 Tc3 dlg vnb 6vva^(potsQOv TJjg AAF xal tfig BA. 

xal insl dod-st6d i6tiv rj vnb t&v BAF ycovia., s'6tl 

ds xal r] vnb tSov A^F ycovCa do&st^a, xal Xoini] uQa 

r] vnb tav A FA s6ti dod^st^a ' dsdotai ccQa t6 AA F 

TQCycovov Tw sfdsi' X6yog ccQa i6TL Tfjg AA nQbg Tr)i' 

25 AF do&sCg' g)6ts xal 6vva^(p0TSQ0v Tfjg AAF nQog 

Ti]v AF Xoyog i^rl dod^sCg' xal tov vnb 6vva^(poTSQOv 



5. aTto] VTto h. 6. tov] ro b. 11. rd] ro b. 12. i'aa] 

laov b. 14. rd] ro b. &Tt6] vno b. 17. ra (alt.)] rov h. 

18. rAd] BAJ TKxl rfis Ad V. 19. rr)? BAT — 20. rw i)'i^\ 

rfjg FAd yial rfjg AB- mars rb ccnb avvaficporsQOV rfjs BAF 



APPENDIX. 



209 




14. 

Ad prop. LXtn. 

Aliter. 

Nam i A aut rectus est aut 
acutus aut obtusus. 

sit primum rectus. itaque 

{BA + ATY 
^Bn + 2BAxAr 
[n, 4; l, 47]. et ratio ^BAxAFiAABr data est 
[prop. LXVI; prop. VIII]. 

iam sit /. BAF acutus, et ducatur a P ad ^J5 
perpendicularis FA. quoniam A ABF acutiangulus 

est et perpendicularis ducta 
FA, erit B A^ + A T- 
= Br'-i-2BAxAA [n,13]. 
commune adiiciatur 

2BAX AR 
itaque 

BA' + AT^ -\-2BAxAr = {BA-\- AV)^ [E, 4] 
= Br^ -{-2BAXAA -\-2BAxAr 
= Br^ + 2 (FA + AA) X BA [E, 1]. 
itaque (BA + APy maius est quam BF^ duplo rect- 
angulo {FA -\- AA) X BA. et quoniam datus est 
L BAF, et etiam L AAT datus est, erit etiam reli- 
quus L ATA datus [I, 32-, propp. III, IV]. itaque 
A AAT datus est specie [prop. XL]. quare ratio 

Pr. fig.. in P adcl. m. rec. (supra ^crtt» Tt^Sitov h^%-r\), 
om. T. 




xov icTfo ttJs BjT vniQBxu rov Sig b. 22. dod^Eica] supra add, 
m. 2 Vat. 23. icrt.] icriv v, ycov/a b. 24. ^4//] z/^ b. 
Suclidea, edd. Heiberg et Menge. VI. 14 



210 APPENDIX. 

KQa rijg AAT xal trig AB tcqos tb VTth x&v BAF 
Xdyos i^tl do&SLg, xal tov dlg vjib 6vva(i(potsQOv rij? 
/4AT %aX rijg AB TCQog tb vnb t&v BAT Xoyog i6tl 
dod-Eig. Tov ds vnb tav BAT TtQbg tb BAT tQiycovov 
6 Xoyog ictl do&sig dia tb do&et6av elvac triv vjib t&v 
BAT ycovLaV ical tov dlg vnb 0vva^cpoteQOv trjg AAT 
xal tfig AB aQa XQbg tb ABT tQtycovov loyog icti 
dod-eCg. 

akXa di} eGtca a^^kela rj vnb BAT, xal ix^Xr]d'et6rig 

10 tfig BA riiQ-co in' avtijv xd&etog rj TE, zal xelG&gj 
tfi AE i'6r] rj AZ. ijcel ovv a^^letd istiv rj vnb 
BAT yc3vta.) xal xdd-etog rjxtat r] TE, td ixQa 
dnb tav BA, AT ^etd tov dlg vnb tav BAE^ 
tovteGtt tov 8\g vnb tcbv BAZ^ i'6a ictl ta 

15 dnb trjg B T. xotvbv nQO0xet6d-C3 tb dlg 'bnb t&v 
BAT' td ccQa dnb tav BAT fietd tov dtg vnb 
tcbv BAT, tovtedtt tb dnb 6vva^(poteQOv tr]g BAT 
^etd tov dlg hnb tav BAZ i'0a i6tl ta dnb 
trjg BT fietd tov dlg vnb t&v BAT. xotvbv 

20 dcpr]Qr]6d^Ci) tb dlg "bnb t&v BAZ' tb uQa dnb 6vv- 
a^cpoteQOv tr]g BAT i'6ov i6tl ta dnb tr]g BT xal 
ta Slg vnb tav BAy TZ' &6te tb dnb 6vva^(po- 
teQOv tfig BAT tov dnb tf]g BT vneQe%et ta dlg 
vnb t&v BA, TZ. xal inel dod^et^d i6ttv i] 'bnb 

25 BAT ycjvta, xal r] vnb EAT ixQa do&Et6d i6ttv. 
dkkd xal r] inb TEA dod-et6a' xal Xotni] ccqu ^ vnb 



1. &QCC tfig JAF] JAF &qu b. r&v] tT)g b. 2. Post 
So&Big add. tov 8s vnb tyg BA F nQog tb ABF tQiycovov X6yog 
iatl So&sig b. 3. vnb tav BAF] ABF tQiyavov b. 4. tov 
— 8. 8o%£ig] (o ccQa ^sl^ov iati tb djtb avvci^(potsQov tf]g BAF 
tov dnb tfjg BF, iv.slvo tb %coQiov TCQbg tb ABF tQiycovov 



APPENDIX. 211 

AJ '. AT data est [def. 3]. itaque etiam ratio 
{AA -{- AF) : AF data est [prop. VI]. quare etiam 
ratio {AA -{- AT) X AB : BA X AT data est [VI, 1; 
def. 2], et ratio 2 (AA -\- Ar)xAB : BAXAT data 
est [prop. VIII]. uerum ratio BA X AF: A BAF data 
est, quia datus est /. BAF [prop. LXVI]. ergo etiam 
ratio 2(AA -\-Ar)xAB:A ABT d&ta est [prop.VIII]. 
iam uero /. BAF obtusus sit, et ad productam BA 
ducatur perpendicularis FE, et ponatur AZ — AE. 
iam quoniam /. BAF obtusus est, et perpendicularis 
ducta est FE, erit BA^ -\- AT^ + 2 BA X AE 
h.e.BA^-\-Ar^-{-2BAxAZ 
= Br^ [U, 12]. commune 
-"^/^^ ;^\ adiiciatur 2 BAX AF:, itaque 

BA"" -\- AT^ -{- 2BAX AZ 

jBZ ^^ _^2BAX AT, h. e. [U, 4] 

{BA-\-Arf-\-2BAxAZ = Br^-\-2BAxAr. 
commune auferatur 2 BA X AZ. quare 

• (BA + Ary = Br^ -\-2BAxrz [ii, 3]. 

itaque {BA -\- AF)^ excedit BF^ duplo rectangulo 
BA X rZ. et quoniam datus est L BAF, etiam 
L EAF datus erit [I, 13; prop. IVJ. uerum etiam 
L FEA datus est. quare etiam reliquus L-^TE datus 



%6yov i%tL 8s8o[L£vov b. 4. rpiycovov] om. Vat. 7. TtQog] 

comp. Vat., omnibus litteris m. 2. 9. Ante aXXd add. aHo?. v. 

icXXu 8r) ^ffTco] ^atco Siq b. vnb xwv BAT ycavlcc b. 10. 
in uvtriv'] om. b. 11. ovv] om. b. 12. t&v BAT b. 13. 
twv (alt.)] om. b. 14. rov] fiETG; tov b. 18. fifTo; Totj] xal ro b. 

TcoTS b. 19. iLSta Tov] v.a.1 tc5 b. 21. Tra] corr. exTo m. 2 P, 
rc5 Tf b. 22. rd] rc^ PVat.v. 23. r^g'(pr.)] tov b. 24. 
iiTro Bjr] V7tb TTjs rcov EJr b. 25. xcci] om. v. ^crt. v, 
item p. 212, 1. 26. TEA] r&v TEA b. XoiTf^] XoiTtov 

PVat.v; corr. m. 2 Vat.v. 

14* 




212 APPENDIX. H 

AFE do&stdd a6TLV dadotai uqk tb AEF tQLycovov 
tip eidsi. Xoyog uqu rijg FA TCQog tijv AE dod-eig, 
tovta0ti TtQog tijv AZ' caGte xal tijg AF TCQog tijv 
rZ ^oyog i6ti dod^eig. r^g de AF nQog trjv FE 
5 ?,6yog e6tl do&eig' xal trjg EF a^a nqog trjv TZ Xoyog 
e6ti dod^eig' &6te xal tov vjib t&v EF, AB TtQog tb 
vTib t&v rZ^ AB l6yog e6tl dod^sig. tov de 'bnb tav 
AB, FE TCQog tb ABF tQiycovov l6yog e6t\ dod^eig' 
&6te %al tov 8lg vnb JTZ, BA TtQbg tb ABF tQi- 
10 ycovov X6yog iatl dod^eig. xai i0ti tb dlg vtco tav 
Zr^ BA, a ^eL^6v i6ti tb anb 6vva^(poteQov rijg BAF 
tov anb tiig BF.' « aQa ^ei^6v i6ti tb anb 6vva^(po- 
taQOv tr]g BAT tov ccjtb trig BT^ ixelvo tb xcoQiov 
TtQbg t6 tQiyavov X6yov e%ei dedo^avov. 

15 15. 

Ad prop. LXVII. 
"AXXtog. 
Ai^^X^^ V -5^ ^n:i t6 z/, xal xsl^&gj t^ TA i'6rj 
r] A^, xal i7te^evx^(o rj AT. 
20 ijtel ovv dod^eiGd idtiv r} vnb BAT ycovia^ xai 
i6tiv avtrjg rj^i6eia exataQa tav vnb A^T, ATA^ 
doxtel^a aQa i6tlv ixatSQa t&v 'bnb tatv AAT, ATA' 
xal Koinr] ccQa rj vnb AAT do&ei6d i6tiv' dedotai 
ccQa tb ATA tQiycovov ta etdei' l6yog aQa trjg AT 
25 nQbg ti]v Jz/ dod^eig. xal inel dod^ei^d i6tiv r] vnb 
A^T, xatrlx^<o avtfi i'6rj ixatsQa t&v -bnb ^ET, AZT. 

1. AFE] AEr F, Tu>v AFE h. to] xal t6 b. 3. 

Ttqbg xrjv (pr.)j t^s b. 4. FZ] ZF v. xfig — 5. So&s'is] 

hic om. b; add. post do&eis lin. 8. 9. vno] vnb tav h. 

BA] AB Vat.vb. 11. ZF] FZ Vat. (mut. in ZT m. 2) v. 

BA] AB \h. 12. (lii^ov] corr. ex ^isaov m. 2 v. 



APPENDIX. 213 

est [I; 32; propp. III, IV]. itaque A AET datus est 
specie [prop. XL]. quare ratio FAiAE b. e. FA-.AZ 
data est [def. 3]. itaque etiam ratio A F : FZ data 
est [prop. V]. uerum ratio Ar-.FE data est. quare 
etiam ratio EF '. TZ data est [prop. VIII]. itaque 
etiam ratio EFxAB : TZ X AB data est [VI, 1; 
def. 2]. uerum ratio ABx TE:AABT data est 
[1, 41 ; def. 2]. itaque etiam ratio 2TZxBA:/\ABT 
data est [prop. VIII]. et 2 ZPx BA est spatium, quo 
(BA -\- ATy maius est quam BT^. ergo spatium, 
quo {BA -\- ATy maius est quam BT^, ad triangulum 
rationem habet datam. 

15. 
Ad prop. LXVn. 
Aliter. 
Producatur BA ad z/, et ponatur AA == TA, et 
ducatur A T. 

iam quoniam datus est [_ BAT, et uterque angu- 
lus AAT, AT^ eius dimidius est [I, 32; I, 5], 
uterque angulus AAT, ATA datus est [prop. II]. 
itaque etiam reliquus LAAT datus est [I, 32; 
propp. in, IV]. quare /\ ATzt datus est specie 
[prop. XL]. itaque ratio AT: TA data est [def. 3]. 
et quoniam datus est /. AAT, construatur ei aequalis 
uterque angulus A ET, A Z T^) et quoniam est 

1) u. append. schol. nr. 33. 

14. to ABF XQiycovov vb. 17. alXaq] om. b. 18. inl 

t6 z^] om. Vat. iv.v.siG&co b. 20. vnb x&v b. 21. avxfi?] 
civxri ^- 22. x&v (alt.)] om. b. AFJ] FJ b. 23. iaxi 

So&tTaah. 24:. ATJ] J TA h. ccqk iarth. 25. vTtoAjr] 
VTtb x&v Ad r yavicc h. 26. vTcb dEF] VTtb x&v ^AF h. 



214 * APPENDIX. 

xal ijtsl i'6rj idTLv rj vtco B^F Tfj vjtb ^EF, xoLvri 
de 7] V7C0 ABF tov /IBE tQLycovov ov^a, '^al ^tov 
ZlBr, AoLTiri aQa rj vno BzlE Xoltc^ tfj vno BF^ 
Bf3tLV i'6rj' i0O'yciviov uQa tb BzlE tQLyavov ta ^BF 
5 tQLyavGi' s6tLV aQa cog r) EB TCQbs trjv -Bz/, ovrtog 
-)} zIB TCQog BF' tb aQa vnb tav EB^ BF^ tovtiGxu 
t6 VTcb t&v EFB fieta tov anb trjg FB^ i'6ov i6tl 
Tc3 dnb Bzl, tovtictc ta anb 0vva^<potiQOv ti]g BAF' 
i'6rj yaQ iGtiv rj AA tfj AF' tb aQa vnb tS)v EFB 

10 ^etd tov dnb tfjg FB i'6ov i6tl ta dnb 6vva^€potiQov 
trjg BAF' tb aQa dnb 6vva^<potiQov tfjg BAF tov 
dnb tr]g BF vneQi%eL ta vnb t&v BFE.' 

liyco ovv, oTfc Xoyog i6tl tov vnb t&v BFE n^bg 
tb ABF tQLycDvov dod^SLg. 

15 inel yaQ i'6r] i6tlv r) vnb BAE ycovCa tfj vnb BFA^ 
av r) vnb AAF tfj vnb AFA i6tLV l6r]^ Xoinrj aQa 
rj vnb FAE Xoinfj tfj vnb AFB i6tLV 167). i6ti, de 
zal rj vnb /JEF tfj vnb AZF i'6r]' Xoinfj cxQa rj vnb 
ZAF XoLnfj tf) vnb AFE i6tiv i'6rj. L6oycbvLOV ccQa 

20 i6tl tb AZr tQLyGjvov tm ^EF tQLyava' e6tLV apa, 
cjg rj FA nQbg tfjv AZ^ ovtcog rj AF n^bg FE' ical 
ivalXd^ ccQa, cog rj FA n^bg tfjv AF, ovtcog i] AZ 
nQog ti)v FE. Xoyog dh tfjg AF nQbg tfjv Pz/ dod^eCg' 
Xoyog ccQa xal tfjg AZ n^bg tfjv PE do&SLg. 

25 i]X^<*i dnb tov A inl tfjv BF xd&etog f] AH. 

xal inel dod^et^d i6tLV f] 'bnb AZF^ e6tv d\ xal 



1. vTto] vnb t&v b, item lin. 3. 2. Ss nQoayisiad^co f} 

iiTcb r&v ABF rovts b. ABF} corr. ex JBE m. 2 Vat. 

ovffa] om. b. 3. BFJ] FJ b. 4. far] iariv b. Post agu 
add. iati b. BJE] JBE b. 6. Br(pr.)] rrjv BT Vat.b. 

EB, BF] EBF h. 8. rrjg BJ b. ra (alt.)] rd Pvb. 



APPENDIX. 



215 




l_ BJr = zlEF et communis /. ABF, qui et trianguli 
JBE et trianguli /JBF est, reliquus angiilus BJE 

reliquo angulo BFzl ae- 
qualis erit [1, 32]. itaque 
A BzlE aequiangulus est 
triangulo /JBF. quare 
^5:5z/ = z/5:5r[VI,4]. 
itaque EBxBr= B^^ 
[VI, 17], h. e. ErxrB-\- FB^ [II, 3] = {BA + Arf 
(nam AA = AT). quare {BA + Arf excedit BT^ 
rectangulo BFx FE. 

iam dico, rationem BF X FE : A ABF datam 
esse. 

nam quoniam LB^E=Brzi, qworumi A^r= AFd 
[I, 5], qui relinquitur angulus F^E reliquo angulo 
AFB aequalis erit. uerum etiam i ^EF = AZF. 
quare reliquus /. ZAF reliquo angulo ^FE aequalis 
est [I, 32]. itaque triangulus AZT triangulo AEF 
aequiangulus est. quare TA \ AZ = ^T: TE [VI, 4]. 
itaque etiam permutando TA:^T=AZ:TE [V, 16]. 
uerum ratio AT: T^ data est. quare etiam ratio 
AZ:TE data est [def. 2]. 

ducatur ab A ad BT perpendicularis AH. 

et quoniam i AZT datus est, et etiam i AHZ 



9. AF] FA V. 10. rS\ BFh. 12. tc5 vnb r&v\ rov 

vnb rfjg b. 13. ouv] om. d. r&v^ rfig h. 15. vno (pr.)] 
imb Tjjs b, item lin. 17. vTto (alt.)] ijcb r&v b, item lin. 16, 
18, 19. 16. T^] rf]g b. feri iarLv v. 17. iarLv] om. b. 

18. AZr] ArZ h. 19. ^TE] ATE h. aQa] yccQ h. 

21. ij (pr.) — ovroog] bis b. rrjv FE h. 22. &Qa] 

om. b. jr] rj h. 25. BT] BZ h. 26. tj)? v4Zr b. 

^ffTlV T. 



215 APPENDIX. 

17 vjib AHZ dod^st^a, xal Xomrj uQa 7} 'bnh HAZ 
dod-£t6d i6tiv' didoxai ccQa t6 AHZ XQiycovov x& 
iidei' Uyog a^a i6xl xijg ZA jCQog xriv AH dod^sCg. 
xfjg dh ZA TtQog x^v FE Uyog idxl do&sig' xal rijff 
5 AH aQa XQog x^v FE X6yog iaxl dod^aig' &6ts xal 
tov vTio x&v AH, BF nQog xb vnb x&v 5r, FE 
2,6yog i6xl dod^sig. xov dh vnb xcbv AH, BF nQbg xb 
ABF xQiycovov kbyog i6xl do&Sig' xal xov vnb xav 
BF, FE uQa n^bg xb ABF XQiycavov 2.6yog i6xl do- 
10 d^sig' aaC i6xi xb vnb x&v BF, FE^ S ^st^bv i6xi tb 
anb 6vva^cpotSQOv tTJg BAF tov anb tfig BF' « aQa 
(isi^6v i6ti t6 anb 6vva[iq)otsQov trjg BAF tov dnb 
XTJg BF, ixstvo xb xoqCov n^bg xb xQCyavov k6yov 
sxsi dsdo^svov. 

15 16. 

Ad prop. LXVIII. 
"AXldjg. 
'ExxsC^d^co dsdo^svTj svd^sta rj K. 
xal insl X6yog i6xl xov A n^bg xb B dod^sCg, 6 
20 avtbg avta ysyovstcn 6 tfig K n^bg trjv A. koyog d^ 
xov A nQbg xb B do&sCg' 2.6yog ccQa xal xrjg K n^bg 
x^v A dod-sCg. doQ^st^a ds r] K' do&Si6a ccQa xal ij A. 
ndXiv insl kbyog i6xl 8o%-slg xfjg FA n^bg x^v EZ, 
6 avxbg avxa ysyovsxco 6 xfjg K nQog x^v M' k6yog 
25 uQa xal xrjg K nQbg xijv M 6o&sCg' do&st6a 8^ rj K' 



1. AHZ] AZH P, rav AHZ b. " HAZ] ZAH v, HZ b. 

4. y.a.1 T^s] bis v (in fine et initio folii). 5. uqu] om. b. 6. 
Tou] t6 P. tov VTto] om. Vat., corr. m. 2. r&v (pr.)] xov b. 

r£] E b. 9. BF, FE] BTE h, item lin. 10. &qcc] ■/., 
om. cett. 10.a]a)vh. ll.Br]BAY. 13. BT] z/rPVat. v. 

23. TTiv EZ] t6 E Z So&sig b. 24. 6 (utrumque)] om. P. 



APPENDIX. 



217 



datus est, erit etiam reliquus LHAZ datus [I, 32; 
propp. III, IV]. itaque A AHZ datus est specie 
[prop. XL]. quare ratio ZA : AH data est [def. 3]. 
uerum ratio ZA : FE data est. itaque etiam ratio 
AH : FE data est [prop. YIII]. quare etiam ratio 
AHXBF: BrxTE data est [YI, 1; def. 2]. 
uerum ratio AHxBF : A ABF data est [I, 41; 
def. 2]. quare etiam ratio BFxrE^AABr data 
est [prop. YIII]. et BFxrE spatium est, quo 
(BA -\- Ary maius est quam BF^. ergo spatium, 
quo (BA-\-Ary maius est quam BF^, ad triangulum 
rationem Iiabet datam. 

16. 
Ad prop. LXVIII. 
Aliter. 
Ponatur data recta K. 

et quoniam ratio A : B data est, eadem atque illa 
fiat ratio K : A. uerum ratio A : B data est. quare 
etiam ratio K : A data est [def. 2]. uerum K data 




E 



K M A 



est. data est igitur etiam A [prop. 11]. rursus quo- 
niam ratio FA : EZ data est, eadem atque illa fiat 



I 



In codd. K, M, A rectae inter se aequales delineatae sunt, 



218 APPENDIX. 

do&Si6(x aQd, za\ rj M. 60ti, de xal r} A dod^sMa' 
Xoyog aQa trlg A itQog tijv M do&stg. xal iTtel i6o- 
yavLOV i6ti tb A ta B, tb A aQa TCQbg tb B loyov 

£%£L tbv 6vyX£L^EV0V ix taV 7tl£VQG)V, tOVt£6tLV £% 

5 0-5 ov £%£L Xoyov rj FJ iCQbg trjv EZ, xal rj &r TtQbg 
trjv HE. aXka ^rjv %al rj K TtQbg tijv A Xoyov £%£l 
tbv 6vyx£Lii£vov ix tov bv ^%£l rj K TCQbg tijv M xal 
r} M TtQbg trjv A' 6 aQa 6vyx£L(i£vog ^oyog ix tov 
bv £%£L r] FA TtQbg trjv EZ xal rj &r TtQbg tijv HE 
10 6 avt6g i6tL ta 0vyx£L^£va) i^ oii bv £%£l rj K TtQbg 
trjv M xal ri M TtQQg trjv A, cjv 6 tr\g FA TtQbg trjv 
EZ Xoyog 6 avtog ictc tc5 trjg K TtQbg trjv M Xoya' 
XoLTtbg aQa 6 trjg &r TtQbg trjv HE Xoyog 6 avtog 
i6tL ta tfjg M TtQbg trjv A. rrjg d£ M TtQbg trjv A 
15 Xoyog dod^ELg' Xdyog aQa xal tfjg &r TtQbg tijv EH 
do&ELg. 

17. 

Ad prop. LXXX. 

"AXkcjg. 

20 "E6tGj tQiycovov t6 ABF d^do^ivrjv £%ov yaviav 

xijv JtQbg tc5 A, 2.6yog dh ^0tC3 tov vnb t&v BA, AV 

TtQbg tb anb tfjg FB do&£Lg' leyco, otL didotUL tb 

ABF tQLycovov ta £l'd£L. 

iit£L yccQ dod^£L6d i6tLV r} vnb tcov BAF ycovLa^ 

25 co ccQa ^£i^6v i6tL tb anb 6vva^q)0tiQ0v tfjg BAF 

tov anb BF^ ix£Lvo tb %c3qlov n^bg tb BAF tQL- 

ycavov X6yov i%£L d£do[iivov. S drj i6tL (let^ov tb 



1. htiv V. 2. A] FA b. insl] om. b. 3. A (pr.)] 

om. Vat. ; t6 &Qa A m. 2. 4. r&v TtXsvgav] t^? TtXevQ&s h. 

5. ov] ov b, supra corr. m. 1. X6yov] om. v. 6. HE] 

EH Vat.vb. avyHeliisvov ^et Xoyov (om. rov) b. 7. ri K — 9. 



APPENDIX. 219 

ratio K : M. quare etiam ratio K : M data est [def. 2]. 
uerum K data est. data est igitur etiam M [prop. II]. 
uerum etiam A data est. quare ratio A : M data est 
[prop. I]. et quoniam A parallelogrammo B aequi- 
angulum est, ^ ad 5 rationem habebit compositam ex 
rationibus^) laterum [VI, 23], b. e. 

A:B = (FA : EZ) X (©r : HE). 
iam uero etiam K: A = (K: M) X (M : A). quare 

{FA : EZ) X (&r: HE) = {K:M)x(M: A), 
quarum FA : EZ = K : M. itaque reliqua ratio 
@r: HE = M: A. uerum ratio M: A data est. ergo 
etiam ratio ®r:EH data est [def. 2]. 

17. 

Ad. prop. LXXX. 

Aliter. 

Sit triangulus ABF datum babens angulum ad A 

positum, et ratio BAxAF^rB^ data sit. dieo, 

triangulum ABF datum esse specie. 

nam quoniam /, BAF datus est, spatium, quo 
{AB -f- Bry maius est quam BT^, ad ABAT ra- 
tionem babebit datam [prop. LXYII]. iam spatium, 
quo (AB -\- Bry maius est quam BF^, sit A. quare 



1) iyi r&v nXsvQSiv neglegentius dictum est pro iv. r&v 
Tcbv nisvQ&v (Xoycav). u. uol. 11 p. 147 not. 

^X^t] om. V, supra add. m. 2. 8. ^x rov] i^ ov b. 9. jcatj 
add. m. 2 v. HE] EH \. 12. 6] om. v. 13. iJE] 

Eif vb. XoYog] loyat b. 6 (alt.)] o? 6 P. 14. A (pr.)] A 
X6y(a b. T^s (alt.)] xov b. 15. Post loyo^s (pr.) add. iexi v 

6 ttJs P. EH] HE b. 21. x&] x6 b. x&v] xt]v b. 

BA, AF] BAF b. 24. xwv] xijg h. 25. xfig] xov b. 26. 
jtQog xb &.nb xfjs ABF h. 27. iaxw to nsi^6v iaxi b. 



220 APPENDIX. 

anb 6vvan,tporBQOv rij? BAF xov cctco rijff jBP, sGza 
t6 ^ XC3Q10V' Xdyos ccqu rov J %(oqlov nQog ro ABF 
rQiycovov doO^sig. rov ds ABF TtQog rb vTcb tav BAF 
Xoyog i6rl doQ^slg dioc rb do&eWav elvai rijv 'bxb r&v 
5 BAF ycovCav Ttal rov z/ ccQa %(oqCov TtQbg rb V7tb 
r&v BAF A6yog i6rl do&sCg' rov 6e VTcb xcbv BAF 
TtQbg t6 dnb rrjg BF ^6yog eGrl dod-eCg' xal rov A 
aQa TtQbg t6 aTtb rrjg BF Xoyog e6xl dod^eCg' xal 6vv- 
%-evri Xoyog uQa rov A %GiQCov fiera rov aitb Tij? BF 

10 TtQbg t6 dnb rfig BF eGn do&eCg. dXXd t6 z/ x^Q^ov 
^erd rov dnb Tijg BF rb dnb 6vvafi(poreQov rrjg BA F 
e6riv' X6yog ccQa rov dnb 6vva[i(poreQOv rr^g BAF 
nQbg rb dnb Tijg BF do&eCg' w^Te xal 6vva^q)oreQov 
rrjg BAF n^bg r^v BF Adyog e^rl do&eCg. xaC e6xi do- 

15 d-ei6a rj^x^nb x&v BAF yovCa' dedoxai aQa t6 ABF 
rQCyovov ra eidei. 

18. 
Uulgo prop. LXXXVII. 
'Edv dvo evd-etai dod^ev %(oqCov neQLe%(o6iv ev dedo- 
20 iievri ycovC(x, t6 dh dnb rrlg ^eC^ovog rov dnb rrjg 
ekd66ovog do&evxi ^et^ov y, xal exaxBQa avx&v eGtai, 

dvo yaQ evd-etai at AB, BF dod-sv neQiexixc36av 

%(oqCov xb AF iv dedo^ivy yavCa xfj vnb xCov ABF^ 

25 t6 d% dnb xfig AB do&ivxi ^et^ov idxco xov dnb xrjg 

BF' Xiyc3, oxL 8od-et6d i6xLv ixaxiQa x&v AB, BF. 

Hanc propositionem cum sequenti lemmate ad finem libri 
post scholium nr. 175 habent PVat. (Vat.,); in Vat. propos. 
iterum legitur ad prop. tts' mg. m. rec. (Vat.j); om. vb. 

1. ^ffTco] om. b. 2. r6 (pr.)] om. Vat., add. m. 2. 3, 
Twv] tfis b. 4. Sod^iig iari b. 7. Ante nq^g hab. yaviav 



APPENDIX. 



221 




I ratio spatii z/ ad triangulum ABF data est. uerum 
ratio trianguli ABF : BA XAF data est [prop. LXYI], 

quoniam iBArd&- 
tus est. itaque etiam 
ratio spatii z/ ad 
BA X AF data est 
[prop. VIII]. sed 
T&iioBAxAr-.Bn 
data est. quare etiam ratio ^ : BF^ data est [ib.]. 
componendo igitur ratio ^ -\- BF^ : BF^ data est 
[prop. VI]. uerum A -\- BF^ = {BA + Arf. quare 
ratio {BA + AFy : BF^ data est. itaque etiam 
ratio BA -\- Ar : BF data est [prop. LIV]. et 
datus est /. BAF. ergo A ABF specie datus est 
[prop. XLV]. 

■ 18. 

Uulgo prop. LXXXVII. 

Si duae rectae datum spatium comprehendunt in 

dato angulo, et quadratum maioris quadrato minoris 

dato maius est, etiam utraque earum data erit. 

1^^ duae enim rectae AB, BF datum compreliendant 

'^^atium AF in dato angulo ABF, et AB^ dato maius 

sit quam BF^. dico, datam esse utramque AB, BF. 



del. m. 1(?) Vat. 10. Post BT add. Xoyog Pvb. 11. ro] 
rov b. 12. iaxLv] om. b. Hqcc iaxl b. 14. JBrj ^F Pv. 

ietC] iativ v. 15. rcav'] r^s b. 16. rc5 siSsi] om. P. 

18. ro-Oro nstcc tb 7tg'. 7t%' , P; ■n%' Hardy et Gregorius; jrs' 
Peyrardus. 19. Post %sqis%(a6iv add. 8o%svti (comp.) Vat.^. 

121. do&slGcc ^atut Vat.j. 24. ro AF] om. Vat.j. tcbv] 

L Vat.j. 25. rov &7t6 tijg BF] om. PVat-i. 



222 APPENDIX. 

eTfsl yccQ t6 ccTtb rij? ^B tov icno r^g BF dod-svtt 
^st^ov i6tLV, acprjQ^^G&co tb do&sv tb vjcb t&v AB^B/i' 
Xoiitbv ccQK t6 VTcb t&v BA^ AA l6ov i6tl ta «jro 
t^g Br. xal ijcsl do&iv i6ti tb vnb t&v AB^ BF^ 
5 66tv 6e xal t6 vnb t&v AB, BA dod-ev, Xoyog ccQa 
tov vnb tav AB^ B^ n^bg t6 vnb t&v AB, BF 
dod^etg. xaL i6tLv, ag t6 vnb tav AB, B^ nqbg t6 
vTib t&v AB, Br, ovtcog rj ^B TtQog BF' 2,6yog ccQa 
xal trjg zJB nQbg BF dod-eig' Xoyog ccQa xal tov anb 

10 tfig zIB nQbg t6 dnb trjg BF dod^etg. ta ds dnb 

trjg FB i'6ov t6 {)nb t&v BA, AA' Xoyog ccQa xal tov 

vnb t&v BA, AA nQbg t6 dnb tijg AB do&eig' xal 

tov tstQaxtg aQa vnb tav BA, AA ^std tov dnb trjg 

. AB nQbg t6 dnb Tijg BA loyog do&stg. dXXd tb 

15 tstQaxtg vnb tav BA^ AA ^std tov dnb Tijg BA 
tb dnb 6vva^(poteQov trjg BA, AA i6ttv' Xoyog ccQa 
xal tov dnb 6vva^(poteQOv Tijg BA, AA nQog t6 dnb 
xr\g AB do&etg' Koyog ccQa xal 6vvaficpoteQOv tfjg 
BA^ AA nQbg AB dod^stg. xal 6vvd'svtt 6vva^(potsQOv 

20 tfjg BA, AA ^std tijg AB, tovts6tt dvo t&v AB 
nQbg BA loyog i6tl do&etg' xal tfjg AB ccQa n^bg 
BA Xoyog i6tl dod^etg. trjg dh AB nQbg t^v BF 
X6yog i6tl dod^etg' xal tr^g AB ocQa nQbg BF loyog 
do&etg. xal insl k6yog Tijg AB n^bg BA Sod-etg^ xaC 

25 i6ttv, d}g rj AB nQbg BA, ovtog t6 dnb ti]g AB n^bg 
t6 vnb t&v AB^ BA^ X6yog ccQa xa\ tov dnb tfig AB 
nQbg t6 vnb tav AB^ BA do&etg. dod-ev de t6 vnb 
tCbv AB, BA' ovtc3g yaQ So&sv dcpfjQrjtat' do&ev ccqcc 



2. Post So9-iv add. yial ^etca Vat.^. 3. tc5] x6 P. 10. 
Tc5] T(5 P. 12. &7t6] vji6 Vat.j. 14. iarl 8o&tig Vat.i,e. 




APPENDIX. 223 

nam quoniam j4B^ dato maius est quam BF^, 
auferatur datum AB X BA. reliquum igitur 

BAxA/l = BT^ [def. 9]. 
et quoniam datum est 
ABxBF, datum autem 
etiam AB X BA , ratio 
ABxBJ.ABxBT 
data erit [prop. I]. et est 
ABxBA .ABxBr 
= AB:Br [VI, 1]. 
quare etiam ratio zfB-.BF data est [def. 2]. ita- 
que etiam ratio AB^-.BF^ data [prop. L]. uerum 
FB^^BAxAA. quare etiam ratio BAxAzf.^B^ 
data est. itaque etiam ratio 

4.BAxAA-\- ^B^ : BA^ 
data est [propp. Vm, VI]. uerum 

^BAXAA -}- BA^ = (BA + AAf [II, 8]. 
quare etiam ratio {BA -\- AA[f : A B^ data. ita- 
que etiam ratio BA -\- AA : AB data [prop. LIV]. et 
componendo ratio BA + AA -\- AB, h. e. 2 AB : BA 
data est [prop. VI]. quare etiam ratio AB : BA data 
est [prop. VIII]. uerum ratio AB : BT data est. Aaque 
etiam ratio AB : BT data est [ib.]. et quoniam ratio 
AB : BA data, et est AB:BA = AB^ : ABxBA 
[VI, 1], etiam ratio AB^ : AB X BA data erit 
[def. 2]. datum autem ABx BA (nam datum ablatum 
est). quare etiam AB^ datum est [prop. II]. data 



15. Tjjs] Tcov Vat.j. 21. v.al — 23. So&dg] om. P. 21. 
xal (t/aj a.Qa tfig AB Vat.j. 24. So&sig (pr.)] ierl do9sis 

Vat.i,j. 7.6'/og'\ Xoyog iari Vat.1,2. 



224 APPENDIX. 

xal t6 anb rijg u4B' dod-et^cc uqu rj AB. xai iGn 
loyog xfis AB nQo^ BF doQ-etg' do&etoa ccQa xal rj BF. 



Af}}iiia tov indvco. 

n&g do&ev edti, to vnb t&v ABF og&oychviov 
5 an^Xecag vnoxeLfievrjg rijg 'bjtb ABF yavtag; 

i]X&(o anb tov B 0r]^eiov xdd^etog rj J5^, xal ix- 
fie^Xfj6d^(o rj r^ enl tb 0, nal 6vyi,7tenXriQ(b6Q^(x) tb 
BA&A dQd-oycavLOV i'6ov ccQa ictl rc5 AF. xal ix- 
^e^X7]6d-(o fj AB ijil TO Z, xal zeL^d^G) tfj BF i'6rj 

10 fj JBZ, xal 6vincenXriQ(h6%'(i3 tb AZ oQd^oyaviov. inel 
ovv dod-et6d i6tiv fj vnb ABF' vnoxeitai yaQ' do- 
^■et^a 8e aal f] vnb ABA' 6qQ"^ yaQ' XoLnf] aQa fj 
vnb zfBF do9-et6d i6tLv. xal dQ&^ f} A' XoLnf\ ccQa 
f] r dod-et6d i6tLV' Sod^ev ccQa tb BFA tQLycovov ta 

15 eldet' koyog ccQa tfjg ziB n^bg BF dod^eig. i'6r] de 
f] BF tf] BZ' ^oyog ccQa xal tfjg AB n^bg BZ do- 
^■eLg' &6te xal tov B& n^bg ZA k6yog dod^eCg. 
l'6ov de tb B& ta AF' Xoyog aQa tov AF 
nQbg AZ do&eCg. xal do^^ev tb AF' do&ev ccqu 

20 xal tb AZ^ tovte6tL tb vnb ABZ.^ tovte6tL tb vnb 

ABr. 



Hoc lemma om. Hardy et Gregorius. u. schol. nr. 187. 



o 

2. JSr^pr.)] BJ Vat.1,2. 8. 6Q&OYmvtov'\ ^ codd., item 

lin. 10. ta] to P. 11. ABF yavia Vat. 12. ABJ] 

AB F. 13. 6g&T]] ± P. 15. tfjg] tov Vat. 18. tc5] 
to P. 



APPENDIX. 



225 



est igitur AB. et ratio ^B 
etiam BF data est [prop, II]. 



BF data est. 



ergo 



Lemma superioris propositionis. 

Quomodo datum est reetangulum AB X BF, si 
supposuimus, angulum ABF obtusum esse? 

ducatur a puneto B perpendicularis B/d , et pro- 
ducatur Pz/ ad ®, et expleatur rectangulum BJ®A. 
aequale est igitur parallelogrammo AF \1, 35]. et 

producatur z/jB ad Z, et 
ponatur BZ = BF, et ex- 
pleatur rectangulum A Z. 
iam quoniam i ABF datus 
est (nam ita supposuimus), 
datus autem etiam /. AB^ 
(nam rectus est), qui relin- 
quitur i ABF datus erit 
[prop. IV]. et /. z/ rectus est. itaque reliquus /. F 
datus est [I, 32; propp. III, IV]. quare A BFzI datus 
est specie [prop. XL]. itaque ratio zfBiBF data est 
[def. 3]. sed Br= BZ. quare etiam ratio ^B:BZ 
data est. itaque etiam ratio B & : ZA data est [VI, 1 ; 
def. 2]. uerum B& = AF. quare raiio AF: AZ data 
est. et datum est AF. ergo etiam [prop. 11] AZ 
datum est, h. e. ABxBZ, h. e. AB X BT. 



-T 



Fiff. om. P. 



Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 



15 



226 APPENDIX. 

19. 
Ad prop. XCI. 

EiXrjtpd^aj t6 xsvtqov tov xvxlov t6 E, xal ijts- 
5 ^6vx^(o rj ^E xal dirjx^^ «^^ '^o ^. >«a^ sjtsl dod^sv 
S6TIV sxaTSQOv Tav E, ^, do&stda ccQa sdTLV r] E^- 
^s0si ds xal 6 ABZ xvxkog' do&sv aqa i^tlv sxdts- 
Qov T&v A^ Z. S6TI 8\ xa\ t6 J do&sv dod^stea aQu 
s6tIv sxatsQa tav Azt, AZ' 8o%\v aQa iffTl t6 vnb 
10 T&v AAZ' xaC i0ttv l6ov tk» vtco t&v 5^, z/F* 
do&sv aQa i6tl xal t6 vnb t&v BA, ztF. 

20. 
Ad prop. XCIII. 
"AXkcog. 
15 At7]x&co rj AF inl t6 iS, xal xsiGd^ca tfj BF l'0rj 
r} FE, xal iTts^s^^x&Gj^av at EB^ B/J. 

ijtsl diTtXrj i6tLV rj vnb t&v AFB sxatSQag t&v 
vnb tcbv AFA, FBE, i'0rj aQa i6t\v rj 'bnb t&v FBE 
ycovCa tf] 'bnb t&v AFA, tovts0tl Tfi 'bnb t&v ABA. 
20 xoLvii nQ06xsL6d-G) rj vnb tav ABF' oXri ccQa rj vnb 
t&v ABF oXri tfj vnb t&v ZBE iotLV i'6rj. s6tL ds 
xa\ r] 'bnb tav FAB tfj 'bnb t&v FzfB i'6rj' loLni] 
ilcQa 'f] 'bnb tcav FEB Aom] tf] 'bnb tcbv AFB i6TLV 

4. Tov] To a. 5. z/E] AE a. A. nai] /dE a. G. 

iativ] om. a. t&v E, J — 7. ^KcctBQov] bis a. 6. r&v] 

tfig a; item lin. 9, 10. SoQsZaa] ^sGsi a. 17 EJ- d-sasi] 
T] EJ ^iast.- SsSotai PVat.v. 7. So&sv] in repetit. So&sig a. 
8. Z] J a. t6 J] om. a. So&siaa] &sasi a. &Qa\ 

om. Vat., add. m. 2. 9. AJ, JZ] AZ, ZA Vat.v, Zd (om. 
Ad) a. 10. A^Z] AJ, z/Z Vat. Bz/, ^F] Bd r Vr dSrn. 



APPENDIX. 



227 




19. 

Ad prop. XCI. 

Aliter. 

Sumatur centrum cireuli E, et ducatur ZlE et pro- 

ducatur ad A. et quoniam datum est utrumque E, ^, 

EA data erit [prop. 
XXVI]. uerum etiam 
circulus ABZ positione 
datus est. itaque utrum- 
que A, Z datum est 
[prop. XXV]. uerum 
etiam zl datum est. 
quare utraque AA, /iZ data est [prop. XXVI]. da- 
tum est igitur AA X AZ. et AA XJZ = BJX ^F 
[III, 36]. ergo etiam BA X z/T datum est [def. 1]. 

20. 
Ad prop. XCIII. 
Aliter. 
Producatur AF ad E, et ponatur FE == BF, et 
ducantur EB, B^. 

quoniam LAFB duplus est utriusque anguli ATA, 
FBE \1,S2;1,d], erit LrBE= Ar^,h.e. rBE=AB^ 
[111,21]. commimis adiiciatur /.^^JT. itaque totus an- 
gulus ziBF toti angulo ZBE aequalis est. uerum etiam 
L FAB = r^B [III, 21]. itaque reliquus angulus 

11. To] corr. ex tm m. 2 v. r&v BJ, J r} BJF a. 15. 
BT] FB a'. 17. 'tav {pr.)] t-qv a, item lin. 18 (alt.), 19 (alt.), 
21 (pr.), 22, 23. twv (alt.)] tfjg a, item lin. 19 (pr.). 18. 
AFJ, FBE] AE, EB a. 20. &ga ieriv a. 21." JBT] 

ABE a. ZBE] ^BE v, ABE a. 23. z/TB] z/T a. 

15* 



228 APPENDIX. 

l'6rj' iGoyaviov ccQa ietl t6 EAB tQiycovov t<p Jz/5 
tQiycivci' ^6tLV ccQa^ tbg i^ EA TCQog tijv AB, ovrragi 
ij Pz/ TtQos ti}v zJB' 7} de EA 6vva[i(p6tsQ6g fVrtv 
rj AFB' c)g (XQa 6vva^cp6tSQog rj AFB TtQog trjv AB^ 
5 ovtag rj FA TtQog trjv BzJ' xal svaXXai, aQa, Sg 6vv- 
a^q)6tSQ6g i6tiv rj AFB TCQog tijv JTz/, ovtog i6tlv 
r} AB TtQog tijv zlB' k6yog ds i6ti trjg AB TtQog 
tr]v AB dod^scg' sy.atSQa yaQ avtStv do&st6a' X6yog 
aQa i6tl ical 6vva^(potSQOv tfjg AFB TtQog tr]v FA 

10 dod-sig. 

xal STtsl i6oy(x)vi6v s6ti tb EAB tQiyoivov ta 
ZBA tQiyavci, s6tiv aQa, cng r] EA TtQog trjv AB^ 
ovtcag r] 5z/ TtQog tijv AZ.' r] dh EA 6vvaficp6tsQ6g 
i6tiv rj AFB' Gjg ccQa 6vva^(p6tSQog rj AFB TtQog 

15 tijv AB^ ovtcog rj BA TtQog tijv AZ' t6 aQa viio 
6vva^<potSQOv trjg AFB xal trjg Zzi i'6ov i6tl ta vjtb 
tS)v AB, BA' dod^sv ds i6ti t6 vnb t&v AB, BA' 
dod^Si6a yccQ sxatsQa avt&v do&sv ocQa i6ti xal t6 
vnb 6vva^(potSQOv trjg AFB xal rijg Zz/. 

20 21. 

Ad prop. XCm. 
"AXloig. 
AirixQ^a ^ AF inl tb Z, aal xsi6d^C3 tfj BA l6r] 
r] rZ, xal i7ts^svx^(o6av aC J5z/, ^.T, ^Z. 



1. iati] om. V. 2. EA] AE a. 3. d B] BJ a.. 17 (alt.)] 
Tfl a. 5. BJ] JB Vat. (BJ m. 2), a. 6. ovrag] xovx- 

iariv V, corr. m. 2. iarLv] om. Vat. 7. JB] BJ a, item 
lin. 8. 8. a-uTcov] ccvtfjg ian a. 9. avvceiicpotaQog Pv. 

12. ^A] AE F. 14. iariv 17 ATB] ian tjj ABF a,. avv- 
ap-qpoTfpos iatLv a. 16. ovttog iativ a. 16. rfjg (pr.)] toC a. 

17. tSiv (pr.)] tfjg a. AB, BJ {Y)r.)]ABJ va. AB,BJ (alt,»] 



APPENDIX. 



229 




FEB reliquo angulo zi FB aequalis est [I, 32]. 
quare A EAB aequiangulus est triangulo F^B. est 
igitur EA:AB = r^:JB 
[VI, 4]. est autem 

EA== Ar-{- FB. 
itaque 

Ar -{- TB : AB = r^ : BJ. 
et permutando [V, 16] erit 

Ar -\- TB : r^ = AB : JB. 

uerum ratio AB : AB data est 

[prop. 1] (nam utraque earum 

data est [prop. LXXXVII]). ergo 

etiam ratio AF -\- TB : F^ data est [def. 2]. 

et quoniam A EAB triangulo Z5z/ aequiangulus 
est [III, 21; I, 32; I, 5], erit EA:AB = BA: AZ 
[VI, 4]. est autem EA = AT -\- TB. itaque 

Ar-\- TB:AB = BJ: AZ. 
quare {AT ^ TB) X Zzl = ABxBA [VI, 16]. 
uerum AB X BA datum est (nam utraque earum 
data est [prop. LXXXVII]). ergo etiam 

{AT-{- TB)xZJ 
datum est [def. 1]. 

21. 
Ad prop. XCIII. 
Aliter. 
Producatur AT ad Z, et ponatur TZ = BA, et 
ducantur BA, AT, AZ. 



ABd V. dod-sv — AB, Bz/] om. a. rd] rcot P; <a mut. 

in m. 1 (?), sed t non del. 18. yap] yccQ iaxiv a. 22. 

&7.}.(os\ om. a. 23. SirixQ^oi] rubr. a. 



230 APPENDIX. 

STtel l'6r) e6x\v r} ^ev BA rfj FZ, rj ds ^B rtj ^F, 
dvo drj ui ABif B/i dv6l ratg ZP, Jz/ l'6ai stelv 
sxarsQa sxarsQa' xal yovCa rj vnb AB/1 yoivCa rij 
vno rS)v z/jTZ i0riv i'6rj, STtSid^jtsQ sv xvx^(p s6rl 
5 rb ABzJr rsrQanXsvQov' ^ddig aQa rj AA ^dasi rfl 
AZ. s6riv l'6r], xal rb AB^ rQiycovov ra Pz/Z rQi- 
yG)VG) s6rlv i'0ov, xal aC Xoinal ycoviai ratg koinalg 
yavCaig i'6ai, s6ovrai^ vcp' dg at i'<Sai nXsvQal vno- 
rsCvovdiV i'6r] ccQa s6r\v rj vnb r&v BA/i ymvCa rij 

10 vnb rS)v /JZF' do&Si6a ds sGnv rj vnb r&v BAA 
ycovCa' dod-stGa aQa s6r\ xa\ rj x)nb r&v z/ZF ycovCa. 
s6rt, ds xa\ rj vnb rcov AAZ yavCa ^o^stda' Ssdorai 
ccQa t6 AAZ rQiyovov r& sl8si' Xoyog aQa s6r\ rrjg 
ZA nQbg rrjv AA do&sCg' rj ds AZ GvvaficpdrsQog 

15 s6riv ri BAF Sid rb i'6r]v slvai r^v TZ rfj BA' 
koyog aQa s6r\ 6vva^<porsQov rfjg BAF n^bg rrjv AA 
dod^sCg. 

xa\ o^oCcog rm nQorsQov dsC^o^sv, ort rb 'bnb 6vv- 
a^cporsQOv rrjg BAF xa\ r^g E/i dod^sv i6riv. 



1. rZ] Z e corr. m. 2 P. z/B] BJ a. 2. taai] om. a. 

3. kv,ccxEQu\ om. a. ti)g AB/J a. 4. tcov] ttiv a. iv\ 
om. a. xvmZco] comp. a. 5. xb ABjr xstgdTtXsvQOv^ xa: 

A, B, r, J GrnLSla a. 7. iaov iativ a. 8. 1'aat. (pr.)] %ccl a. 

vjfotsivovaccL a. 10. t&v (utrumque)] T^g a, item lin. 11, 12. 

11. So&£taa SsSotai v. 12. yavia] om. v. Post So98Taa 

add. Tial lonti] ccQa r} vno xtjg AdTL iati So%£laa a. 14. avv- 
aficpdtsQov Pv. 15. iati Pa. 17] tjj a. FZ] Fd v. 16. 
tfis\ corr. ex tov (comp.) m. 2 Vat. 



APPENDIX. 



231 



quoniam BA = TZ et zIB = z/F [III, 26; III, 29], 
duae rectae jdB, B/1 duabus ZJT, JTz/ aequales sunt. 
et L ABA = ^rZ, quia quadrilaterum AB/d F 

in eirculo positum est 
[III, 22; I, 13]. itaque 
basis A^ basi zlZ ae- 
qualis est et A ABA 
= Fzl Z et reliqui anguli 
reliquis angulis aequales 
erunt, sub quibus aequalia 
latera subtendunt [I, 4]. 
quare /, BA^ = zlZF. uerum /. BA^ datus est. itaque 
etiam i^ZF datus est [def. 1]. uerum etiam L ^A Z 
datus est. quare A AAZ datus est specie [I, 32; 
propp. III, IV; prop. XL]. itaque ratio ZA'. AA 
data est [def. 3]. uerum AZ = BA -\- AF, quoniam 
rz = BA. ergo ratio BA -\- AF: AA data est. 
et simiKter atque antea demonstrabimus, 
{BA + AT) X EA 
datum esse. 




MAEINI PHILOSOPHI COMMENTAKIUS 
m EUCLIDIS DAT^. 



IlQcbtov dst &a6d'at, xi xo dedo^svov sjteixa, xi 
xo y^qriGi^ov rijg tibqX xovtov TtQay^axsiccs, siTCSiv JfCfl» 
XQtxov, vTCo xiva i7tL0x7]firjv dvdysxai. |l 

'OQi^ovxac Srj xb dsSo^svov TCoXXaxag, xal aXXas 
5 ^sv OL jtalaLoxsQOL, aXXcos 8s ot vsaxsQOL' Slo xal 
evvs^rj %aXs7triv slvaL xr^v dXrid-ri tisqX avxov djt6So0LV, 
xal sviOL (isv ovds 6QL6fi6v XLva avxov d7todsSc)Ka6LV, 
ISlov ds XL xov dsdo^svov svQiGxsLV STtSLQad^rjOav 
exsQOL ds 6v^7tXsh,avxsg "^dr] xd TtaQ^ sxsivcov OQi^sed-aL 

10 avxb S7ts%siQri6av xal ovds ovxol 0v}i(pG)vog savxotg. 
soixaGv 8s 7tdvxsg sx fiLag xal xrjg avxijg svvoiag xal 
v7toXriijjscog 6Q^7]d-svxsg XsysLV xl TtSQl avxov' xara- 
Xr]7txbv yaQ xl xb Ssdo^svov slvaL vTtsXa^ov. dto x&v 
K7tXov6xsQOV xal (iLa XLVL dLacpoQo. TtsQLyQacpsLv xb dsdo- 

15 [isvov TtQod^s^svcav OL ^sv xsxayfisvov, cog 'A7toXXd)VLog 
iv xfp 7tSQL VSV0SOV xal iv xfj xad^^Xov 7tQayfiaxsia, 
01 dl yvcoQL^ov, G)g zlL6dc3Qog' ovtoj yaQ xdg dxxtvag 
xal xdg ycoviag dsd^S&aL XiysL xal 7tav xb sig yv&div 
XLva iXd-^v, xa\ sl }ir] ^rjxbv sfrj. ivLOL dh Qrjxbv avxb 

20 slvaL dTtscpr^vavxo ^ a07tsQ doxst 6 UtoXs^aLog, dsdo- 
fiiva ixstva 7tQ06ayoQSvcov^ cov tb fiitQov i6tl yvcoQL- 

vTt6[ivr]^a slg xu SsSo^svcc svKlslSovg ano cpavrig ^iaQivov 
(fiXoao^ov m. 1 Vat. ; Ttgo&scoQia rmv svkXslSov SsSo^svav dcTto 
q)03vf]s ^agivov qptioffoqpov mg. m. 2 atramento rubro Vat. ; 
TtQoXsyofisva rav SsSo^svav svkXsiSov ano cpavrig (laQivov cpiXo- 
aocpov T. 7. Kal ^vioi iisv ovSs^ ^vioi ^sv yccQ ovS' Vat. 



Primum statuendum est, datum quid sit; deinde 
dicendum, quae utilitas sit disputationis de dato in- 
stitutae; tertio, ad quam scientiam referatur. 

definiunt igitur datum multis modis, atque aliter 
uetustiores, aliter recentiores. quare factum est, ut 
difficilis esset uera eius explicatio. ac quidam ne 
definitionem quidem eius tradiderunt, sed proprium 
aliquid dati inuenire tentauerunt; alii autem iam iis, 
quae ab illis dicta sunt, contextis illud definire conati 
sunt, ac ne lii quidem conuenienter sibi ipsis. uiden- 
tur autem omnes ab una atque eadem notione et com- 
prebensione profecti aliquid de eo dicere. comprehen- 
sibile enim aliquid datum esse putauerunt. quamobrem 
eorum, qui datum simplicius et uno aliquo discrimine 
circumscribere sibi proposuerunt , alii, ut Apollonius 
in libro de inclinationibus et in generali disputatione, 
id, quod ordinatum est, alii, ut Diodorus, id, quod 
notum est, datum esse statuerunt. sic enim radios 
et angulos datos esse dicit et quodcumque in cogni- 
tionem aliquam uenit, etiamsi rationale non sit. non- 
nulli autem rationale illud esse affirmauerunt, ut 
uidetur Ptolemaeus, data nominans illa, quorum men- 
sura nota est uel prorsus uel proxime. et quidam 



9. TtccQ'] ttsq' V. 13. dto] Slo liaL P, xai punctis del. m. 1. 
14. anXovaT£Qov] ScTtXovsrsQav Yat. 



236 MARINI PHILOSOPHI COMMENTARIUS 

^ov 7]rot XQOs aKQL^aiav ^ xh evvsyyvg. xal tb iv 
vicod-B^ei ds TCaQa tov TCQO^dXXovtog ixtid-sfievov 
dedo^evov eivaC tiveg v7teiXricpa6iv. Xeyov6i de %al 
aXXov tQOTtov iv tatg TCQatULg GtotieLaGeGv tb dod^ev 
5 xal triv doQ^etdav, tovte6tLV rjXLxrjv av tLg dcpoQLG)] 
xal (Jra sv&etav. tavta de ndvta xatdXrjiljLV tLva 
^ovXetac ^rj^aLveLV. od^ev xal ^dXidta t&v oq(X)v ixetvoL 
evdoxL}iov0LV, 06OL ye ^dXL0ta tb xataXrjTCtbv ificpavL- 
^ovGlv., ag 7Cqo'lov6lv rj^tv e6taL xata(paveg. 

10 vvvl 8\ xal t&v ^ri fi6vov ipLXag xal evC tiVL 
%aQaxtriQLi,6vt(ov trjv tov dedofievov q)v6LV, oiov de 
6Qi6fibv avtov TCOLOvvtav, tdg dLacpoQag ixd-eofied^a. 
6vyxe(paXaLOV(ievoL de xal tovtav ov tQ6icoL evaQC&fir]- 
tOL yCvovtaL. oC fiev yaQ tetayfievov a[ia xal tcoql- 

15 (lov t6 dedofievov eivac dcpcoQC^avto^ eteQOL de tb 
tetayfievov dfia xal yvcoQLfiov, tLveg de t6 yvcoQLfiov 
dfia xal 7c6ql(iov. (paCvovtaL de xal ovtoc Tcdvteg TCQog 
trjv xatdXr]il)LV r]tOL XfiipLV xal evQe6LV tov dedofievov 
d(pe(OQax6teg tbv eLQr]fievov tQoicov oQC^e^d^aL. Zva de 

20 tavtr]v te avt&v tr]v evvoiav xatadr^^^bfie&a, etL ye 
fir]v xal tbv dXr^d^r] tov ■itQoxeLfievov oqov ix tcoXX&iv 
tav TcaQadedofievoov eXcofiev , i7CL6xe7Cteov ^CQoteQOv 
exd6tov tav aTcX&v tb 6r]{iaLv6(ievov xal tcov tovtoig 
dvtLxeLiievcov, tov ts dtdxtov Xeyco xa\ dyv(o6tov xal 

25 d7c6QOv xal dX6yov, cjg TCQbg tr]v ive6t5)6av yeco- 
}ietQLxr]v vXr]v. i^CLteCvetaL yaQ td TOtavTa xal iTcl td 
(pv6Lxd TCQayfiata xal tdg dXXag de (lad-r^fiatLxdg i7CL- 
6tY]fiLag. 



1. rixoC] om. Vat. 17] v.ul PVat. v; rj supra scr. m. 2 

Vat. 8. ivSo%iiiovaiv^^ svdoKrj^ovaiv P (sine spir. et acc.) Vat. 



IN EUCLIDIS DATA. 237 

id datum esse statuerunt, quod in hypothesi ab eo, 
qui proponit, exponitur. dicunt etiam alio modo in 
primis elementis punctum datum et rectam datam, 
hoc est quantamcumque rectam quis determinat et dat. 
haec autem omnia comprehensionem quandam uolunt 
significare. quamobrem ex definitionibus illae praeter 
ceteras probantur, quotquot comprehensibile illud 
maxime repraesentant, ut progredientibus nobis mani- 
festum erit. 

nunc autem etiam eorum, qui non nude tantum 
atque una aliqua notione dati naturam exprimunt^ sed 
tamquam definitionem eius adferunt^ diuersas sententias 
exponamus. horum quoque rationes, si summatim 
recensentur, facile enumerari possunt. alii enim da- 
tum id esse definierunt, quod ordinatum idem et 
parabile est, alii id^ quod ordinatum idem et no- 
tum, quidam id, quod notum idem et parabile. 
uidentur autem hi omnes comprehensionem siue sump- 
tionem et inuentionem dati spectantes eo, quo dixi- 
mus, modo definire. hanc autem illorum notionem ut 
conuincamus et ueram propositi definitionem ex multis, 
quae traditae sunt, eligamus, primum considerandum 
est, quid significetur unaquaque simplicium rationum 
et earum, quae his oppositae sunt, inordinati dico 
et ignoti et non parabilis et irrationalis, qua- 
tenus ad eam, de qua agitur, spectant materiam geo- 
metricam. etenim haec etiam ad res physicas per- 
tinent et ad ceteras disciplinas mathematicas. 



yf] KaL Vat. 10. iprjXmg P. 15. cccpoQiaavro PVat. 16. 
Ttvhg Ss t6 yvcbpifiov] om. v. 24. ■nal &Tt6Qov^ om. v. 25. 
a)g~\ Kai Vat. 



238 MARINI PHILOSOPHI COMMENTARIUS 

v7toyQd(pov6i toCvvv to tstayfisvov ro asl tavtov 
6co^6fi£vov, xad-' 6 tstdxd-ai Hystai^ r\toi xatd (isyed-og 
i) eidog rj dXXo ti t&v tOLOvtcov 7) xal iteQcag' otisq 
(i^ ivds%stai dXkots dXkcog ycvsG&ai, dkXd ^ovaxcog 
6 iv dcpG)Qi6^svG) tivl tOTTa. oiov^ cog tvna sCjtstv, 'fj 
did dvo 6r]iiSLC3v ietTjxotcov yQacpo^svrj svdsta tstd%d-ai 
ksystai ta firj dXXcog xal d6tdtcog dysed^aL. dtaxtog 
ds i6tiv rj did dvstv nsQicpSQSia' 7toXka%S)g yaQ xal 
d6tdtcog yQd(pstai^ xal ^si^ovog xal ikdttovog xvxkov 

10 iTc' dnsiQov yQacpo^svGiv did tcav dvo 6r}^sicov. ndXiv 
8s tstay^svr] i6tlv rj did tQi&v 6rj^sicov nsQiqysQSia. 
s6ti ds xal td TOiavTa tcov tstay^ivcov, cog tb inl 
trig dod^si^rjg svd^siag i66nXsvQov tQiycovov 6v6tri- 
^a^d^ai' Si yaQ xal di%cbg yiyvstai., dXld xad-' sxdtSQOV 

15 ^SQog trig sv&Siag [lovax&g xal d^stantcbtcog' xal tijv 
8o&st6av svd-stav slg tbv dod^svta Xoyov tsfistv fio- 
va%5)g ydQ dv xal tovto yivoito inl d^dtsQa tfjg di%o- 
tofiiag. dtaxta di i6ti td tovtoig dvnxsi^svag s%ovta^ 
ag tb 6xaXrivbv 6v6tri6a6%'ai xal tijv svdstav doQi- 

20 6tcog tsfistv. nQ66xsitai ds ta oqco t6 xad"' b titaxtai, 
insl Svvatai ti sv xal tavtbv ov nfi filv tstay^ivov, 
dkkcog d\ dtaxtov slvai^ olov t6 l66nXsvQov tQiycovov^ 
fj ^sv i66nXsvQ6v i6tiv, titaxtai, ^syi&si ds ov% 
cbQi6tai ndv. 

25 yvd)Qi^ov 6s i6ti tb yiyvco6x6fi£vov cog t6 drjXov 
rjfitv xal xataXa^^av6^svov^ dyvco6tov dh t6 (irj yiyvo- 
6x6(isvov fir}ds xataXafi^av6(isvov vcp' r](iS)V oiov t6 
firjxog tfjg bdov yvaQifiov sivai Xiystai^ xad'' 6', n66cov 



4. ciXXoTs] &XXa rs Vat. 8. Svsiv] Svotv Vat. 9. xat (alt.^J 
om. PVat.v; add. m. 2. Vat. 11. 7fSQLq>iQSia] comp. Vat. 

15. %ai (pr.)] comp. P, om. Vat. 25. to (alt.)] suspectum. 



IN EUCLIDIS DATA. 239 

definiunt igitur ordinatum esse id, quod semper 
idem est, quatenus ordinatum esse dicitur, siue 
magnitudine siue specie siue alia eius generis ratione; 
aut aliter id, quod alias aKter fieri non potest, sed 
una ratione terminato aliquo loco. uelut, ut summatim 
dicam, recta linea ducta per duo puncta fixa ordinata 
esse dicitur, quod aliter et inconstanter duci non 
potest. inordinata est autem circumferentia per 
duo puncta descripta; multis enim modis et incon- 
stanter describitur, et maiore et minore circulo in 
infinitum per duo illa puncta descripto. rursus or- 
dinata est circumferentia per tria puncta descripta. 
sunt autem etiam haec ex ordinatis: in data 
recta triangulum aequilaterum construere; nam etiamsi 
duobus modis fit, tamen in utramque partem rectae 
uno modo et immutabiliter; et datam rectam in datam 
proportionem secare; uno enim modo hoc quoque 
fieri potest in alteram utram partem puncti medii. 
inordinata sunt autem ea, quae illis opposita sunt, 
uelut scalenum triangulum construere et rectam lineam 
indefinite secare. definitioni autem additum est illud 
'quatenus ordinatum est' , quoniam unum atque 
idem alia ex parte potest esse ordinatum, alia ex 
parte inordinatum, uelut triangulus aequilaterus, 
quatenus aequilaterus est, ordinatus est, magnitudine 
autem non definitus est omnis. 

notum autem id est, quod cognoscitur tamquam 
perspicuum nobis et mente comprehenditur, ignotum 
autem, quod a nobis non cognoscitur neque mente 
comprehenditur-, uelut longitudo uiae nota esse dicitur, 
sicut, quot stadiorum sit, deprehendi; item angulos, 



240 MARINI PHILOSOPHI COMMENTARIUS 

i0rl etadtcov^ xatsXa^ov, xal tov tQiyavov ort al iv- 
tbg dvGiv OQ&atg i'6ai^ ical oti r) ix dvo dvondtcov 
ukoyog i6tLv. ati ^^v y.al ta toidds yvdjQin.a Xiystai, 
Gjg t6 ^iav sivai trjv icpaTtto^dvrjv tfjg eXixog ccTtb tov 
5 ^'|co dod^svtog (3r]^siOv inl ^dtSQa fiSQrj. si, yaQ y.a\ 
akkri sl'rj, dvo svdstai xcoqlov 7tSQis^ov6iv, ot!:sq ddvva- 
tov. dyva}6ta ds ov td dkoyd i6tiv, dkkd td nij 
yiyvaexofisva ^rjds xat aka^fiavofisva ixp^ rjfi&v. 

TCOQifiov ds iijtiv^ o dvvatoi i6[isv rjdrj Ttoiffiat 

10 xal Jtata6xsvd6ai ^ tovts6tLV sig iicCvoLav dyaystv. 
dllag ds TcdkLv bQitfivtai tb TCOQifiov ^toi xb di' d%o- 
dsi%s(og 7tOQi^6^svov, rj orav ti (paivo^svov fi xal xcoQig 
ajcodsi^scog' oiov i6ti tb xivtQtp xal dia6tr]^ati xvxkov 
yQdipac xal ro tQiycovov 6v6tr]6a6d^ai ov ^ovov 166- 

15 TcksvQOv., dXXd xal 6xakr]v6v, xal trjv ix dvo dvo^dtcov 
svQstv xal tQstg sv&siag Qtjtdg dvvdfisi n6vov 6vfi- 
^stQOvg' xal td aTCSiQax&g ds yiv6^sva 7t6Qi[id i6tiv, 
G)67tSQ t6 did dvo 6r]fisicov xvxkov yQdipai. dnoQov 
ds i6ti t6 dvtLXSLfisvcog ix^v, cog 6 tov xvxXov tstQu- 

20 ycovi6(i6g' ovjtco ydQ i6tiv iv ti^qg), si xal oi6v ts 
avtb 7toQi6xtf]vai xaC i6tiv i7ti6tr]t6v i7tL6tr]fir] ydQ 
avtov ov7tco xatsCkr]7ttaL. vvv 6\ 7tSQi tov ^dr] '6vtos 
iv 7t6Qoo 6 k6yog aTtodCdotai, o^tSQ xal xvQCcog jrdpt- 
fiov i7tovofid^ov6iv. t6 yaQ fir]7tco ov iv 7t6QC>, iv- 

25 dsx^fisvov d\ 7C0Qi6d^fivaL 7C0Qi6tbv idCcog 7CQo6ayoQSvov- 
6iv. d7C0Q0v di i6tiv, cog sl'Qr]tai, t6 tc5 ^coqC^ico dvri-' 
xsCfisvov, tovts6tLV oh r] ^r]tr]6Lg ddidxQit6g i6tiv. 
Qr]tbv 8i i6tiv, ovtcsq ix^fisv siTCstv fisysd-og t) sldog 

8. yiva6K6^Bvcc P. 10. rovrsaTi Vat.v. 13. iari] om. 
Vat. 17. yiyvmiLSva Vat. 21. ^TTtCTTjfiT]] i7tiarr}ficc v. 24. 
t6 — 25. Sf] mg. m. 1 P (om. Sv). 27. ij] om. v. 



m EUCLIDIS DATA. 241 

1 qui intra triangulum sunt, aequales esse duobus 
I rectis et rectam ex duobus nominibus irrationalem 
: esse. praeterea etiam talia nota esse dicuntur, ut, 
I unam rectam esse contingentem lineam spiralem ex 
puncto extra dato ad alteram utram partem. nam 
ut alia quoque sit, duae lineae rectae spatium contine- 
bunt, id quod fieri non potest. ignota uero non sunt 
ea, quae sunt irrationalia, sed ea, quae neque cogno- 
scuntur a nobis neque mente comprehenduntur. 

parabile autem id est, quod parare possumus et 
construere, hoc est ad intellegentiam deducere. aliter 
autem rursus parabile aut id esse definiunt, quod 
demonstratione paratur, aut si quid appareat etiam 
sine demonstratione , qualia baec sunt, centro et 
radio dato circulum describere, et triangulum non 
modo aequilaterum , sed scalenum construere, et 
rectam ex duobus nominibus inuenire et tres rectas 
rationales, quae potentia solum commensurabiles sunt; 
etiam ea, quae infinitis modis fiunt, parabilia sunt, 
uelut per duo puncta circulum describere. non 
parabile est autem id, quod parabili oppositum 
est, uelut quadratura circuli; nam nondum parata est, 
etiamsi parari potest et sub scientiam cadit; eius 
enim scientia nondum comprehensa est. nunc autem de 
eo explicatur, quod iam paratum est, quod etiam prae- 
cipue TtOQLfiov nominant. nam id, quod nondum 
paratum est, parari autem potest, proprie 7t0Qi6r6v 
uocant. non parabile autem, ut dictum est, para- 
bili oppositum atque id est, cuius perscrutatio non 
est diiudicata. 

rationale autem id est, cuius adferre possumus 

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 16 



242 MARINI PHILOSOPHI COMMENTARIUS 

rj 9-S0LV' aAA' ovtog [isv 6 OQog xoivoreQOS iGriv, tdicos 
de xal xad'' avrb QTjrov i<3tLV, o xard rtva ytyvafSxo- 
(lev aQLd-^bv TCQbg tb rfj d^sdSL fistQov, TtaXaiGt^v^ et 
rv^ot, ^ ddxtvXov. 
5 ovtco d^i 7tQodL(OQL6{ievcov Qaov e6taL XoLTibv enL- 
6xoneLV tijv te xoLvcovCav tSiv eiQrj^svcov xal tr\v d^a- 
(poQav, xal TiQCJtov^ oitcog e^eL tb tetayfievov n^bg tb 
yvd)QL^ov xal td tovtOLg dvttxeL^eva TtQbg aXXrjXa. 
ovx e6tL dij tcav dvtL^tQecpovtcjv td toiavra ovds ^riv 

10 ixsLvav, iv oig tro ersQov rov ersQOv inl nXsov i6rLV. 
ei yaQ xat xoLvd avrotg noXXd vnaQxeL, cog rb d^d 
d^o 6rj^sLG)v evd-etav yQaxl^aL xal dta rQL&v xvxXov 
xal L66nXevQov 6v0rrj0a0d'aL, dXXd rb rerQaycovL^eLV 
rbv xvxXov reray^evov ^sv, ayvco6rov ds' xal orL fiia 

16 T^g sXtxog dtp' svbg 0rj[iSLOv itpdntstai^ t&v tsrayfis- 
vcov xal ^rj ivdsxo^svcjv aXXog ^%siv i6tCv ov firjv 
xal ^yvcoCtaL avtov rj dnodsL^Lg ^tOL xata^xevr^. ndhv 
d' ai) rj in' dneLQOv tofiij xal rj Toi) 6xaXrjvov 6v6ta<5Lg 
eyvco6taL fteV, ovxetL 8e xal tetaxraL, m6te cpaveQov^ 

20 OTt s6taL tov rsray^svov t6 ^sv yvcoQL^ov, t6 dl 
ayvG}6rov, xal dvdnaXLv ds rov yvcoQL^iov t6 fisv 
teray^evov, t6 de draxrov. xal ovrcog sxsl ravra 
nQbg dXkrjXa, cog t6 XoyLxbv nQog t6 nst,6v ovxs ydQ 
ii,L6dt,SL td tOLavta ovts fi^v t6 etsQOv tov stsQov 

25 inl nXsov i^rCv. 

bfiOLCjg de s%sl xal t6 tstayfisvov xal t6 dtaxtov 
nQog t6 nbQLfiov xal tb dnoQov xoLvcovCa ts yaQ avtotg 
eve6tL nXeC6trj xal dLacpSQeL dkXriXcov tbv etQrj^evov 



2. hkC — iaTi-vl om. v. yiyvmayiafisv v. 6. Ante 

iniayiOTtilv add. v.cci v. 12. ■Kvv.Xmv v. 18. antiQOvl^ 



IN EUCLIDIS DATA. 243 

magnitudinein uel speciem uel positionem. sed haee 
definitio generalior est; proprie autem et per se ratio- 
nale id est, quod cognoscimus secundum aliquem nu- 
merum pro mensura sumpta, uelut palmo uel digito. 
iam his ante definitis facilius deinde erit con- 
siderare, quibus rebus illa, quae diximus, et con- 
sentiant et di£ferant, ac primum quidem, quam inter 
se rationem habeant ordinatum et notum atque ea, 
quae his opposita sunt. talia non sunt ex iis, quae con- 
gruunt inter se, neque ex illis, quorum alterum altero 
latius patet. nam etiamsi multa iis communia sunt, 
uelut per duo puncta lineam rectam describere et per tria 
circulum et triangulum aequilaterum construere, tamen 
circulum ad quadratam formam redigere ordinatum 
quidemest, sed incognitum; atque ex uno puncto unam 
lineam rectam spiralem contingere ex ordinatis est 
et ex iis, quae aliter se habere non possunt; neque 
tamen eius demonstratio uel constructio cognita est. 
rursus autem sectio infijiita et trianguli scaleni con- 
structio cognitae sunt, neque uero eaedem ordinatae. 
itaque adparet, eorum, quae ordinata sunt, alia esse 
nota, alia ignota, et e contrario eorum, quae nota 
sunt, alia ordinata, alia inordinata. atque haec 
ita inter se habent, ut ars disserendi et oratio pedestris. 
neque enim illa inter se paria sunt, neque alterum 
altero latius patet. 

similis autem ratio intercedit inter ordinatum atque 
inordinatum et parabile ac non parabile. namet 
maxima iis communitas est et ea, quam diximus, ratione 

ciTtriQov V. 23. «pdg (alt.)] xat^comp. Vat. 26. xat (alt.)] 

om. Pv. 28. evsariv P. TtX-^arri P. 

16* 



244 MARINI PHILOSOPHI COMMENTABIUS 

TQOTtov. 7] yccQ £At| teraxxai, ju-eV, aXX' ovx i]v rots 
TCQO 'AQ%LyLri8ovg TCOQiiirj. xal xa aneiQa%Gi$ 8s yiyvo- ' 
liBva xal atdxxms noQL^a fisv i0XLv, iav xijv xaxa- 
0X€vriv STtLVofj XLS avx&v xal xriv 6v6xadLVy ovxexL de 

5 xal xexayfieva. olov GxaXrivov XQLycavov i7tivofj6aL xal 
els trjv xaxa6xevrjv avxov dvayayelv xrjv didvoLav dno 
xov i6onXevQov ov laXenhv dXX' evnoQL6x6v i0XLv, xaC- 
tOL t&v dtdxtcov ov xal dneLQcav. 

ovta) de e^eL xal nQOs tb Qrjtbv xal dXoyov to 

10 xexay^evov xe xal xb dxaxxov xoLvcovovvxa yaQ dXXr\- 
XoLS noXXayrfi xal dLevijvoxe xbv eLQrj^evov XQonov. 
ovde yaQ Tavra e^iGd^eL dXXijXoLS ovde xb exeQOV xov 
exeQov i6XL neQiXrjnxLXOv rj yaQ ix dtJo dvo^dxoyv xal 
aC ovxcas xaxeLXrj^^evaL aXoyoL xexay^ivaL ^iv ei^Lv^ 

15 ovxexL dh xal QrjxaL, xal 6 xris dLa^ixQov Xoyos nQOS 
tijv nXevQdv. noXXd de xal t&v ^rjtav dtaxtd i6tLV, 
d}S T^d noXXa^as xal doQL6tc3s yLVOfieva' dvvatai yaQ 
xal 6xaXr]vbv tQLycovov ^etQei6d-aL vnb tov nQOte- 
^•evtos xal bQL6d-evtos Qrjtov ^itQOv.^ xaCtOL dtaxtov 

20 vndQ%ov. 

tov de yvoQC^ov nQbs tb noQL^ov tijv [lev bfioio- 
trjta navtC ys ditdetv Qadiov., xrjv ds SiacpoQav %aXs- 
nbv eXetv 6vveyyvs yaQ i6xi tijv (pv6iv dXXtlXcav, 
G)6te xal ii,i6dt,eiv doxetv. ov (irjv dXXd xdv tovroig 

25 dxQi^&s inL^XeipavtL ocpd-ijeetaC tis ivov6a dia^poQa' 

oti ^ev yaQ (iCa i6tlv rj trjs eXiXos dip' evbs 6r]fieCov 

iq>antOfiivr], 6v{iq)avis i6ti xal yvd)Qi[iov' dXX^ ov did 

tovto i^drj xal noQi^iov i6tL tb nQO^Xrj^ia (jLTjno xar- 

2. yiyvm(ieva Vat. 6. Ante r^v (alt.) add. avtov t. 7. 
&XXd V. 10. r6] om. "Vat. 15. 6 rrjg] ovar]g P. Xoyog] 

om. Vat. 17. yiyvmfisvcc t^at. 22. duSslv] Vat. Gr. 202; 

Sh iStlv Pv et m. 2 Vat.; Sh siSslv Vat. m. 1. 23. evvsyyvg] 



IN EUCLIDIS DATA. 245 

inter se differunt. spiralis enim ordinata est, sed 
iis, qui ante Archimedem fuerunt, parabilis non erat. 
atque ea, quae infinitis modis fiunt et inordinate, para- 
bilia sunt, si quis constructionem et constitutionem 
eorum excogitet, neque uero eadem ordinata. uelut tri- 
angulum scalenum excogitare et ad constructionem eius 
deducere cogitationem ab aequilatero difficile non est, 
sed facile parari potest, licet sit ex iis, quae in- 
ordinata et indefinita sunt. 

eadem autem ratio est etiam inter rationale 
irrationaleque et ordinatum inordinatumque; 
nam cum multis rebus inter se cognata sint, tum 
differunt eo, quo dixi, modo. neque enim inter se 
paria sunt neque alterum alterum complectitur. nam 
linea recta ex duobus nominibus et quae rectae irratio- 
nales sic deprehensae sunt, ordinatae sunt, neque tamen 
eaedem rationales, atque ratio, quam babet diametrus 
ad latus. multa autem etiam ex rationalibus inordi- 
nata sunt, uelut ea, quae multis modis et indefinite 
fiunt; licet enim etiam scalenum triangulum metiri 
proposita et definita mensura rationali, quamquam est 
inordinatum. 

noti autem et parabilis similitudinem omnibus 
facile est uidere, differentiam difficile capere; natura 
enim inter se proxima sunt; quam ob rem paria 
esse uidentur. quamquam etiam in illis, si quis ad- 
curate considerauerit, aliqua differentia inesse cernetur; 
unam enim esse lineam in uno puncto spiralem con- 
tingentem manifestum est et notum; neque tamen eam 

iyyvq Vat. 26. ort] comp. Vat. 28. tovxo i\8ri\ tovtov 

dri P (om. acc.) v. 



246 MARINI PHILOSOPHI COMMENTARIUS 

£i,Xr]^fisvov. GJ(?T£ t6 yvaQi^ov Ttav ovxdtt TCOQtfiov 
t6 ^evtol TtoQi^ov Ttav xal yvcoQi^ov inl TtXeov aQa 

t6 yV(x)QL{lOV TOV TtOQlflOV. 

TcdXiv d' a,v t6 yvaQtfiov xal t6 QrjTov Ttfj filv 

5 XOLVCOVSt^ Ttfj ds Xal dLatpSQETOV alXTJlcaV TOV TtQOELQI^- 

fiEvov TQOTtov. aC yaQ siQrj^EvaL aXoyoL yvcoQLHOL (iev 
slGlv^ ovxetl ds xai QrjTaL' 6 de aQid-^bg Jtag QyjTog 
liEv e6TLv, ovxeTL ds xal yv(OQL^og nag. xal t6 fisv 
QrjTov Tolg xaTa tccvt^i/ ^d^og d^OLog QrjTov edtLv, xal 

10 ov Tt3 fiev QrjTov e6TaL tl [irlxog, Tt3 de ov' enl yaQ 
tavTov avoL6ov6L ^eTQOv. yvaQL^ov de Tt3 ^ev yCyveTai 
TavTov ^rjxog^ Ta ds ov, xav sv t^ avt fj 6vvri%-ECa 
cj6lv. L6cog 8e xavTav&a xaXejtov tC e6TLV evQetv 
QrjTov ^ev, ayv(o6tov ds' doxet yaQ xal tov QrjTov 

15 ijtl TtXeov elvaL t6 yvcoQL^ov. 

OTL de xal t6 noQtfiov xal t6 anoQov dLacpeQEL tov 
ts Qrjtov xccl dXdyov, (pavEQOv ix tovtcov TtdQLfia yc(Q 
slvaL dvvatov xal tav dXoycov tLvd, ovdsv de t&v 
Qr]t6)v dXoyov. rj de 6vyyev£La tovtcjv avt&v xaO^diteQ 

20 xal tcbv dXXcov navtl xatacpavrjg' ovtco ^evtOL xal 
tavta i%£L TtQog dXXrjXa, a)6tE t6 xdQLfiov inl nXeov 
elvaL doxetv tov Qrjtov. 

e^e6tL ds tcbv TCQOELQrjfCEvcov tijv diacpoQav inL6xo- 
nsLV xal tijds. Qrjtbv }ihv yciQ xal dXoyov xatd trjv 

25 ijtl t6 [litQov dvacpoQav XeyetaL, ov nQog tijv rjfiets- 
Qav yvG}6LV dva7te(in6fievov. dvvatat ydQ Tt Qrjtbv ov 
(jLij slvaL rjfiLV yv(OQLfiov, ojtcog Qrjt6v i6tLV, (ir]8l xat- 
SLXfjcp&aL jro, oTt Qr]t6v i6tLv. t6 d\ tstayfievov xal 

4. rb QT^TOv] rb 7t6Qt(i,ov kuI tb Qr]&sv Vat. 5. StacpiQS- 
Tov] Siccg)SQSirov P; SiucpSQSi Vat. 9. x«Ta ravr6v'\ MaTaurdv 
Vat. v; in Vat. ra insert. m. 2. 10. rm (pr.)] rd Vat. rm 



IN EUCLIDIS DATA. 247 

ob rem problema iam parabile est aut inuentum. 
quare quidquid notum est, non item parabile, sed 
quidquid parabile est, idem notum; latius igitur 
patet notum quam parabile. 

rursus autem notum et rationale aliqua ex parte 
congruunt, rursus autem differunt inter se eo, quo ante 
diximus, modo. nam lineae irrationales, quas commemo- 
rauimus, notae sunt, neque tamen eaedem rationales; 
contra omnis uumerus rationalis est, neque tamen 
omnis notus. atque rationale iis, quibus eadem ratio 
est, pariter rationale est, neque uni aliqua longi- 
tudo rationalis erit, alteri non erit; nam ad eandem 
eam referent mensuram. sed eadem longitudo uni 
nota est, alteri non est, etiamsi eadem ratione 
utuntur. fortasse autem etiam hoc loco difficile est 
aliquid inuenire, quod idem rationale sit et ignotum; 
notum enim rationali quoque latius patere uidetur. 

parabile autem et non parabile distare a ra- 
tionali et irr.ationali, ex bis adparet; parabilia 
enim possunt esse etiam irrationalium quaedam, nihil 
autem rationalium irrationale. horum autem cognatio 
sicut ceterorum omnibus perspicua est; ita igitur etiam 
haec inter se habent, ut parabile latius patere 
uideatur quam rationale. 

sed licet eorum, quae ante nominata sunt, diffe- 
rentiam etiam hoc modo considerare. rationale 
enim et irrationale ad metri rationem dicuntur 
neque ad cognitionem nostram referuntur. potest enim 
rationale aliquid nobis ignotum esse, quomodo ratio- 

Ss ©'{>] t6 S' oi) Vat. 11. &voL6ov6l\ avv6ovai Vat. 12. tc5 
Ss ov] t6 S' ov Vat. 24. yap] om. Vat. 



248 MARINI PHILOSOPHI COMMENTARIUS 

KTKXtov tav xad'^ ccvtb xal nat Idiav (pv6iv O-fco- 
Qov^evcov ietiv, xav vcp' rj^&v ^i^nca xataXa^^dvTjtat. 
noXXa yovv tstayfisva (pv6£L v6t£Qov 'AQ%i^ridrig edsii^s 
tois nQiv ov dscoQrjd-Bvta, oti titaxtai. yvaQi^ov dh 
5 xal ayv(o6tov xata trfv TtQog rj^ag ava(pOQav Xeyetai. 
co6tE diacpSQOi av ta siQrj^eva akXrjXcov., slnsQ tb ^ev 
nQog riiiag ixEi trjv dva^poQav, tb ds JtQog tijv (pv0iv, 
tb de TCQbg tb ^stQov. 

8iG}Qi6^£vrjg Ss xal trjg xoivcoviag xal dia(poQag 

10 tS)v TCQOt^d-ivtcov in6fi£vov av £l'r] XoiTtdv, ti noti icti 
t6 d^do^ivov ini(Sxi^a6%-ai. o6oi toivvv tb xad-' vno- 
d^ECiv did6^£vov vnb tov nQO^dXkovtog olovtai £ivai 
t6 d^do^ivov, diafiaQtdvov6i tov ^rjtovfiivov. td yaQ 
6toi%£ia ndvta tcov d^do^ivav 6vvtitaxtai ov n£Ql 

15 tov xad"' vn6&£6iv toiovtov, 6}g ^^£6tiv id£iv ini0v6i 
talg n£Qi tovtov nQay^at£iaig. dib d£i xal rnidg 
dtpivtag f^v toiavtrjv vnoXrjipiv tovg naQa t&v dkkog 
bQitfi^ivmv Xoyovg i^£td6ai' £6tai dh tb xad'' vn6- 
&£6iv did6fi£vov tb dxoXovd^csg tatg aQxatg d^EaQov- 

20 (i£vov. bQi^ovtai d^i o£ (liv 6vo[ia6tixoig OQOtg XQ(o- 
^£voi ivi tivi t&v EiQrj^iv(av avtb ^^«(^axTij^t^ovTf?, 
d)g iv aQxfj £i'Qrjtai. ndvt£g dh 6x£Sbv a>6n£Q xoivrjv 
ivvoiav nsQl tov d^do^ivov doxov6iv i^x^^nivai' xaTa- 
krjntbv ydQ ti avtb £lvai vniXa^ov, cjg avtb i^(paiv£i 

25 t6 tov d^do^ivov bvofia, xal fidh6ta ot t6 xad-' vno- 
d^e^iv d£dofiivov vnoyQd(povt£g. iviOi 8h n^bg tb 
6vyx(>3Qovfi£vov dni^k£ipav. ^upwftfi^ot 8^ xal rjiiEtg tc5 
eiQTjliivG} co6n£Q xav6vi xal XQitr]Qi(p dvvrj^^fiEd^a 

1. Tcov] rov Vat. kuI] om. P. &tcaQov^evcov] &bco- 

Qovnsvov Vat. 3. yovv] ovv Vat. 4. tiqIv ov] wqivov Vat. ; 
g<oqIvov cod. Vat. Gr. 202. 10. ^<m] iativ Pv. 12. oiovrai] 



IN EUCLIDIS DATA. 249 

nale sit, ac nondum inuentum rationale esse. ordi- 
natum autem et inordinatum ex iis sunt, quae per 
se et natura sua intelleguntur, etiamsi a nobis nondum 
sunt inuenta. multa quidem, quae natura ordinata 
sunt, neque ab iis, qui ante fuerunt, perspecta, postea 
Archimedes ordinata esse demonstrauit. notum autem 
et ignotum dicuntur, quatenus ad nos referuntur. ita- 
que ea, quae nominata sunt, differunt inter se, si qui- 
dem unum ad nos refertur, alterum ad naturam, tertium 
ad mensuram. 

definita autem et cognatione et differentia eorum, 
quae proposita sunt, sequitur, ut, quid tandem sit 
datum, deinceps consideremus. quotquot igitur da- 
tum id esse putant, quod ex liypoth.esi ab eo, qui 
proponit, datur, ab eo, quod quaeritur, aberrant. nam 
omnia datorum elementa.non de datis ex bypo- 
thesi composita sunt, ut iis licet cognoscere, qui 
disputationes de hac re institutas adeunt. quare oportet 
etiam nos, hac opinione omissa eorum, qui aliter de- 
finiunt, rationes explorare; erit autem datum ex 
hypothesi id, quod conuenienter principiis perspicitur. 
ii igitur, qui definitionibus singulis nominibus ex- 
pressis utuntur, ita definiunt, ut una aliqua earum, quas 
attulimus, notionum id denotent, quemadmodum initio 
dictum est. omnes autem idem fere de dato uidentur 
sensisse; comprehensibile enim aliquid id esse posuerunt, 
ut ipsum declarat dati nomen, atque imprimis ii, qui 
illud datum ex hypothesi definiendo proponunt. qui- 

oLovxs P. 13. 8LO!.[LCiQtdvov6L] -6t.v V. Ante tov add. Vat. 
vtSQL punctis del. 18. 6Qi^o(isvmv] oql^ohsvov P, opi^ofteVors 

Vat. 28. Havcovi Vat. Svvr}6ai(is&cc v. 



250 MAEINI PHILOSOPHI COMMENTARIUS 

£VQi6x£LV tbv xilsiov Tov dsSo^svov 6ql6(i6v. drllov 
df, oti aal i^tad^SLV i]tOL avti0tQsg)SLV avtov dsrjosL 
TtQog t6 6QL6t6v' xal yuQ tovto vtcccqxslv dst totg 
dQd^cog aTtodLdofisvoLg OQLG^otg. s6tL 8s tov tcqoksl^s- 
5 vov tOLOvtog sv fisv totg anXovdtsQov stQrj^svoLg 
6QL6(iotg 6 tb 7i6ql(iov oQLddpLSvog^ sv ds totg 6v[i- 
nsTtXsyfisvoLg 6 tb yvcoQLiiov a[ia xal n^QL^iov atsXstg 
8s OL XoLTtol Ttdvtsg. ovts yaQ 6 tb tstay^isvov 6ql- 
^6[isvog avtdQXTjg JtQog trjv tov dsdofisvov jtsQLoxijv 

10 Slcc tb [iTJts Ttav [ir]ts [i6vov t6 xstay[isvov slvaL Tiata- 
Xr]7Ct6v., dXX^ xal tav dtdxtcov tLvd^ cag iTtLdsdsLXtaL' 
ovts ixstvog Lxavbg 6 yvdjQL^iov avtb dcpOQL^6[isvog' 
ovds yaQ tovto ndv icti xat aXrjTtt 6v , si xal [i6vov' 
xb yccQ dyvco0tov ovx dv str] xaxaXrj7tx6v. ovds [lijv 

15 6 Qrjxbv avtb djtocpaLvo^isvog OQog tiksLog sGtaL' ovd\ 
yuQ tovto fi6vov xatalrjj(t6v , insl xal t&v dX^ycov 
tLvd' i'0(og ds ox)dh Jtdv xb ^rjxbv xaxttXrj7tx6v, ag xal 
xovxo dLG)QL6xaL 7tQ6tSQOv. XsLTtstaL drj iv totg 6vo- 
[ia6tLx&g djtodsdofisvoLg t6 7t6QL[iov^ OTtSQ doxst [idXL6ta 

20 ti}v xatdlrj^LV ificpaLvsLV xal yaQ 7tdv t6 7t6QL[iov 
xataXrintbv xal [i6vov. tc3 dh xolovxg) xal 6 EvxXsidrjg 
iXQnjdaxo oqg) xd stdr} xov ds8o[isvov 7tdvxa VTCoyQdcpcov. 
xG)v 8s 0vvd'st(ov 6ql6[ig)v [i6vog tiXsL6g i6tLv 6 yva- 
QL[JL0V d(ia xal ^toQLfiov xb ds8o(iivov dq)OQL^6[isvog, 

25 yivsL filv dvdXoyov sxcov xb yvG)QL(iov, dLaq)OQa 81 
xb 7t6QL[iov. 6 81 xsxayfiivov d[ia xal 7t6QL(iov Xiyav 
dxsXrlg' oi> [i6va yaQ xd xocavxd i6xt 8s8o(iiva. xal 
6 xsxayfiivov xal ^rjxbv bfiOLCog iXXsiTCoog TtSQLixsi xb 



4. &no$sSo(JLSvoig Vat. 12. iKavog] bis v. 6] om. Pv. 
20. noQi^ov^ TtoQLdfiov P. 25. ^ojv] ?;i;ov Vat. 26. ts- 

TayfteVov] -og v. X^ycav] Xsyo) v. 28. 6] om. v. 



IN EUCLIDIS DATA. 251 

dam autem ad id, quod conceditur, respexerunt. ac nos 
quoque iis, quae dicta sunt, tamquam regula et indicio 
utentes perfectam dati definitionem inuenire poterimus. 
adparet autem, eam oportere rem definitam adaequare 
siue cum ea ita congruere, ut in locum eius substitui pos- 
sit. etenim hoc in definitionibus recte redditis usu uenire 
debet. talis autem eius, quod propositum est, definitio 
inter definitiones simplicius traditas ea est, qua datum 
definitur esse parabile, inter conexas ea, qua notum 
idemque parabile; ceterae omnes imperfectae. neque 
enim ea, qua datum definitur ordinatum esse, pro 
ambitu datisufficit, quia neque omne ordinatum neque 
ordinatum solum comprehensibile est, sed etiam in- 
ordinata quaedam, ut demonstratum est; neque illa suf- 
ficiens est, qua notum esse definitur; nam non quoduis 
notum comprehensibile est, etiamsiid solum; ignotum 
enim comprehensibile non est. neque uero ea definitio, 
qua rationale esse declaratur, perfecta erit; neque 
enim hoc solum comprehensibile est, cum etiam 
irrationalium quaedam comprehensibilia sint. fortasse 
autem ne omne quidem rationale comprehensi- 
bile, ut hoc ante definitum est. restat igitur inter 
definitiones singulis nominibus traditas parabile, 
quod potissimum comprehensionem uidetur declarare. 
etenim omne parabile est comprehensibile atque 
id solum. tali definitione etiam Euclides usus est, 
omnia dati genera describens. compositarum autem 
notionum ea sola perfecta est, qua datum definitur 
notum esse idemque parabile quaeque notum tam- 
quam generi respondens habet, speciei autem para- 
bile. ea autem, qua ordinatum idemque parabile 



252 MARINI PHILOSOPHI COMMENTARIUS 

dsdoiiEvov. 6 dh tb yvmQi^ov afia xal teray^ivov §ih 
t6 'bneQ^dXXeiv tb TCQOKEi^evov ov% vytrjs €6tai' ovde 
yaQ nav tb toiovto Sedo^evov e6tiv. (lovoi d^ Xoinbv 
doxov6L xaQ-ixvei^d-ai trjg ivvoCas tov dedo^ivov oi 
5 yv(X)Qi(iov a(ia xal ndQifiov avtb eivat dnocprjvd^isvoi' 
t6 ydg toiovto nav xataXrjntbv jcal (lovov tavta de 
d(iq)6teQa det vndQieiv totg ixL0trjfiovixa>g dTtodedo(ii- 
votg oQidfioig. iyyvg Se tovtcov sIgIv ol 6vvti%-ivteg 
xal ovt(og' dedo^iivov i6tiv, 6 7tOQi6a6d-ai dvvd(ie&a 

10 did tav itei(iivG)v iniiv iv tatg TCQGitaig v7Cod-i6e6i ts 
xal dQxatg. t&v de TCQoeiQrj^iivcov si'r] dv xal 6 
EvxXsidrjg 7Cavta%ov tg5 7C0Qi6a6d-ai XQd)fisvog, st xal 
naQaXifLTcdvsi t6 yvd)Qifiov dig TCaQSTcd^svov tc3 TtOQt^Gi' 
attid6aito d' dv tig avtbv s^dXdyog dtg ov jCQOtsQov 

lo xoiv&g t6 dsdo^ivov bQi6d^svov, dXX' d^i6(og tav 
sidav avtov s'xa6tov, xaCtoi iv trj ysco^stQixfj 6toi- 
XSi(o6si (paCvstai tcqo tcov sCdcov trlg yQa^firjg f^v 
dnkcbg yQa^firjv 6Qi6d}isvog xal td dXXa b^oCag. 

diaxQid-ivtog toCvvv xoivotsQov xal ojg TCQbg ti]v 

20 7CaQ0v6av %QsCav tov dsdo^ivov icps^rjg dv €i'rj t6 XQrj- 
6i(iov trjg 7CSQi avtov 7CQay(iatsCag dTCoSovvac. i6ti 
8ii xal tovto t&v 7CQbg dkXo ix6vtov trjv dvacpoQdv' 
TCQbg yaQ tbv dvaXv6(isvov Xsydfisvov t67Cov dvayxai- 
otdtrj i6tlv rj tovtov yva6ig. o6rjv ds ix^c dvvafiiv 

25 iv tatg fiad^rjfiatixatg i7Ci6trl(iaig xal tatg 6vyysvcbg 
ixo^^^aig o^ctixfig ts xal xavovLxrjg 6 dvaXv6(isvog to- 
Tcog, iv dXkoig dL(hQL6tai, xal otL d7Co8sL%s(bg i6tiv 



8. iarL PVat. V. 4. Sokovgiv PVat. 8. slaiv] iariv 

Vat. 9. iativ'] iaxi Vat. 10. vno&iasaiv Vat. 11. v.al 6] 
om. Vat. 13. naQuXnindvsi] scripsi; nsQiXnindvBi Pv, nsgi- 
Xst(Lndvst Vat. 18. dgiadfiEvog] oqkohsvos Pv. 



IN EUCLIDIS DATA. 253 

declaratur, imperfecta est; nam haec non sola data 

sunt. atque ea, qua ordinatum et rationale, 

pariter datum non plene complectitur. ea autem, 

j qua notum idemque ordinatum declaratur, quia 

1 propositum excedit, uitiosa erit; neque enim omnia 

eius generis data sunt. ii igitur iam soli notionem 

! dati assequi uidentur, qui notum idemque para- 

bile id esse affirmauerunt; omnia enim eius generis 

comprehensibilia sunt atque sola. horum autem utrum- 

i que in definitionibus, quae perite exprimuntur, inesse 

> debet. prope ab illis absunt, etiam qui sic componunt : 

! datum est, quod per ea, quae in primis hypothe- 

; sibus et principiis a nobis posita sunt, possumus com- 

\ parare. ex iis, de quibus modo dictum est, Euclides 

quoque est, cum ubique uerbo noQCdadQ^ai utatur, 

etiamsi praetermittat notum tamquam coniunctum 

eum parabili. merito autem aliquis eum incusauerit, 

quod non prius datum uniuerse definierit, sed singula 

. eius genera separatim, quamquam adparet, eum in 

! elementis geometricis ante genera lineae lineam sim- 

j plicem definiuisse et reliqua simili ratione. 

dato igitur magis uniuerse et ad praesentem usum 
cognito, deinceps utilitatem disputationis de eo insti- 
tutae exponamus. est igitur hoc quoque ex iis, quae 
ad aiiud quoddam referenda sunt. ad locum enim de 
, resolutione, qui uocatur, maxime necessaria est eius 
cognitio. locus autem de resolutione quantam uim 
habeat in mathematicis atque in opticis et in cano- 
nicis, quae cognatione quadam cum iis coniuncta sunt, 
aHo loco definitum est, atque resolutionem inuentio- 
'■ nem esse demonstrationis, et quomodo ad inuentionem 



254 MAEINI PHILOSOPHI COMMENTARIUS 

£VQe6i,g 7} avdXv6ig xal oncjg JtQog svq£6i,v t^j t&v 
b^oicov ccTtodEt^ecog 'fj^tv 6v{i^dXlExaL zal otl ^ett^ov 
i6tL tb dvva^LV avalvtLxrjv xt't]0a6d'aL roi) Tiollag 
dnodeL^ELg t&v iTtl fiEQovg £%elv. 
5 eig 7td6ag toCvvv tdg tOLavtag ETtLdttl^ag XQV^^^M 
ov6a 7] TteQl tov dEdoiisvov d-scoQia, eneineQ xal eig 
dvdkv6LV fisya Gv^^dX^etaL, eixotcog dv Qrjd-SLr} dvd- 
ye6d-aL ov% vTtb ^iav tLvd e7tL6ti]{irjv , aAA' eig trjv 
xad^oXov ^.eyofisvrjv ^a&rj^atLxrlv. aiitrj ds i6tLV r] 

10 nsQi te 7tkri%-ri xal ^eye&rj xal XQovovg xal td%ri e%ov6a 
xal td tOLavta Ttdvta, xa&djtSQ drj xal rj jtsQl Xoyovg 
xal dvaXoyiag xal tdg navta%ov ^s66tr]tag TCQayiia- 
tEvofiEvrj. TtQbg tavtr^v toivvv tijv tCov dsdo^svcov sni- 
6trj^ovLxrjv xatdXrjipLV %Qrj6L^G)tdtr]V ovGav tb tav 

15 dsdo(isvc3v ^L^Xiov 6 Evxlsidrjg s^E7t6vrj6£v , ov xal 
6tOL%£Lcoti}v xvQicjg £7tc3v6fia6av. 7td6rig yaQ 6%sdbv 
fiad^rjfiatLxrlg E7tL6tr]firjg 6tOL%sta xal oiov si^aycoydg 
7tQ0stai,sv, ag yscofistQiag fisv oXr]g iv totg Ly' ^L^XioLg 
xal tf]g d6tQovo[iiag iv totg 0aLvofiEVOLg, xal fiov6ixrlg 

20 dh xal 67ttLxr]g biioicog 6tOL%£ta TtaQadsdcoxsv xal dij 
xal tfjg 7teQl tov dedofievov 7td6r]g ^tQayfiatsiag iv ta 
7tQ0xeLfievG> ^L^kico 6tOL%eico6LV dvaXvtLxr]v i7tOLr]6ato. 
yecofiexQLxbg 8e hv 6 dvr]Q dLatpSQbvtcog tabg xoLVOvg ; 
7f sqI tov dsdofJLSvov Xbyovg totg fiEyE&s6LV idicog 

25 icpr]Q(io6sv, bv tQ67tov i7tOLr]6s xal i7cl t&v xad^^Xov 
k6ycov ag i7tl (isysd^cbv idicog avtovg 7tQay(iatsv6d- '■ 
fievog iv ta 7tS(i7ttC3 ^L^Xici tr]g i7tL7ts8ov. 

xoivcbg (lev ox)V ei'Qr]taL, ti tb dedo(isvov xal V7cb\ 



6. Hat'] comp. P; om. Vat. 7. (isya ev(i^dXl£tai] ftsra- 
avii^dXXsrat Pv. fi/x6ra)ff] sIk6s Vat. 9. iaTi.v] iari P. 



IN EUCLIDIS DATA. 255 

' demonstrationum similium nobis prosit, maiusque esse 
: facultatem resoluendi acquirere quam multas demon- 
[ strationes propositionum particularium habere. 

itaque cum disputatio de dato ad omnes eius 
[ generis disciplinas utilis sit et multum conferat ad 
1 analysin, merito dicatur referri non ad unam discipli- 
[ nam, sed ad imiuersam, quam dicunt; mathematicen. 
i haec autem est ea disciplina, quae circa multitudines 
i est et magnitudines et tempora et celeritates et quae- 
! cumque sunt eius generis, quemadmodum etiam ea, 
! quae circa rationes et proportiones et omne genus 
r medietatum uersatur. ad hanc igitur scientiae dato- 
[ rum comprehensionem, quae quidem utilissima est, 
\ datorum librum elaborauit Euclides, quem uel 
i proprie elementorum scriptorem nominauerunt ; nam 
omnis fere disciplinae mathematicae elementa et tam- 
i quam institutiones proposuit, uelut totius geometriae 
; Kbris illis tredecim et astronomiae in Phaenomenis; 
; neque minus musices et optices elementa tradidit, atque 
1 etiam hoc libro totius de dato disciplinae elementa 
i resolutionis uia composuit. qui cum esset imprimis 
. geometra, communes dati rationes ad magnitudines 
i proprie adcommodauit, quam uiam secutus est etiam 
i in generalibus rationibus in magnitudinibus proprie 
: eas pertractans in quinto planorum elementorum 
hbro. 

uniuerse igitur dictum est, datum quid sit et ad 

10. TtX-^&ri] ni.ri&£t Vat. 11. ta roiavta'] tavta Vat. 15. 

ii£7t6vr]Gev~} i^STCSvoriGsv PVat. v; corr. Vat. m. 2. 20. ^jj] 

(iriSs V. 21. tfis TtSQi] Ttsgl tfig P; tfjg om. v. 25. icp- 
l ifpfwofffv Vat. 27. TrffiTTTfi)] •9'' P; mut. in e' m. 1. 



256 MARINI PHILOSOPHI COMMENTARIUS 

noCav STCtGtrjy.yjv avciyetai xal oti XQrjGt^cotdtr] ictlv 
rj TtSQi avTOt) d^scoQta. 7CQ06x£L6d-C3 ds totg slQri^ivoiQ, 
xal rj nsQiyQacpii trjg nsQl a^dtov ejtL0tr]firjg. sGtaL 8r^ 
avtr]^ cog ix t&v sCQrjfiivcov tpavEQOv^ xatdlrjipLg tav 
5 dsdo^ivcjv xata ndvta tQ^nov xal tcbv nsQl avta 
6vfi^aLv6vtcov. idLcog ds xal Sog TCQog tb tcqoxsl^svov 
^l^Xlov Xsyi6%-co sivaL ^id-odog 6tOL%SLC}6Lv nsQLixovGa 
Tfjg oXrjg tcsql tav Ssdofiivcov i7CL6tr]^r]g' s%sl de xa\ 
avtr] tb XQr]6Lfiov dxoXov&cog xal td dXXa xatd f^i 

10 dvafpOQav tr]v oCQog tb dsdofiivov. dLrJQr^taL 8s rc 
^l^Xlov TCQbg td tov dsSonivov sldr], xal tb ^sv nQa- 
tov avtov t^rjfia nsQLi^SL td xatd Xoyov dsdo^iva. 
tb ds devtSQOV td tf] d^i&SL' inl ds tovtoig td td. 
sldsL' dnXovv ydQ rjv ro nsQt t&v ^syi&SL dsdofiivav, 

15 xationaQtaL 8\ xal tavta ^SQLX&g iv totg dXXoLg xa\ 
[idXiGta iv totg xatd tb eidog dsdofiivoLg. ^^|aTo dt 
dnb tcbv Xoyco xal Q-i6sL dsdo^ivcov, enel xal ex tovtcoi 
6vvL6tataL td ta efdei Ssdofiiva. xal aXXcog de r^ 
3LaLQs6Lg avta tov ^l^Xlov ysyivr]taL, elg te td Jfo;^ 

20 oAov fisyid^r] xal sig yQa^fidg xal intnsda xal xvxXlxc 
d^scoQ-^^ata. tf] ds bfiota td^ei ixQtj^ccto xal enl tS)i 
OQcov r]tOL vno&icecov tov ^l^Xlov. tQonco de t^j 
dLdaexaXiag ov ta xatd 6vv&e6Lv evtav&a r]xoXov- 
^•r]6ev, dXXd ta xatd dvdXvdLV, d>g 6 Ildnnog ixav&i 

26 dnideL^ev ev totg eig ro ^l^Xlov vno^vr]fia6LV. 



14. ro] in ras. v; t<oi P. 15. iiSQiK&gj (isgmcov P. 19 
ysysvTjrai] ysyovsv Vat. 20. (isys&ri] iisys&si Vat.v; in Vat 
corr. m. 2. Kai (alt.)] om. v. 



IN EUCLIDIS DATA. 257 

quam disciplinam referendum sit, et disputationem de 
; €0 utilissimam esse. addatur autem iis, quae dicta 

I sunt, etiam circumscriptio illius disciplinae. erit igitur 
* ea, ut ex iis^ quae dicta sunt, adparet, comprehensio 

II omnis generis datorum et eorum, quae ad illa perti- 
f nent. proprie autem et si librum propositum spectamus, 
i dicatur esse ratio et uia elementa totius disciplinae 
; datorum continens. ea autem et ipsa utilitatem 
: et reliqua ad datum relata congruenter liabebit. liber 

autem diuisus est secundum genera dati, atque prima 
' parte eius ea continentur, quae ratione data sunt, 
■ secunda, quae positione; sequuntur illa, quae specie data 
j sunt; simplex est enim ratio eorum, quae magnitudine 
r data sunt; sed etiam ea aliqua ex parte cum in reli- 
- quis tum in iis, quae specie data sunt, distributa 
' inueniuntur. initium autem cepit ab iis, quae ratione 
' et positione data sunt, quoniam ex his ea, quae specie 

data sunt, composita sunt. atque alia quoque libri 
' diuisio ab eo facta est, in magnitudines uuiuersas, 
' lineas rectas, plana/ propositiones ad circulum per- 
' tinentes. pari autem ordine usus est etiam in defini- 
i tionibus uel hypothesibus libri. uiam autem docendi 

secutus est non syntheticam, sed analyticam, ut Pappus 

satis ostendit in commentariis in librum scriptis. 



1 



Suclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 17 



SCHOLIA. 



17' 



Ad definitiones. 

1. Tav dsdo^svav toc fiev d's0£i s6rl dsdofisva, xa 
df ^sysd^si, rcc ds %al Q^sdsi zal fisysd^si. 

2. Tb dsdo^svov Xsystat tstQax&S' V 7^9 ^sysd-Si 

r} sldsi t) X6yG) '») 9^s6si dsdoCd^ai ksystai. Tcal tC ^sv 5 
rotJTOJV SKaGtov 6rjfiaivsi, avtbg 6aq)cbg didd6xsi. %0i- 
vcag ds ksystai dsSo^svov, (h dvvatov s0tiv i'0ov 
svQSLV ts xal 7C0Qi<3a6d'ai. 

3. Tiiv tcbv dsdo^sviov TtQayfiatSiav iv svl STti- 
Ttida xsi^svav VTtoQstsov, Gi6nsQ nal ra TtQ&ta ?| Tijg 10 
6toixsiG)6scog ^i^XCa. 



Giolia pS. 1. PlVat.CMon.cpS. 2. Vat.vC4(.S, 

cum nr. 1 coniunctum PMon. S. In hoc scholio p post yiiyi%zi 
add. : cbg 17 sv&sla ^ v.ad'' vjto&saiv ■nrix&v rocovTMVjpost si'SsL: 
6t(xv ji to <>%7jftc«: A 7} □ 7] 0, post Xoycp: otav 17 dntXdaiov 
1] TQLTtXdaiov, post Q'sasi: otav iv ta> dstvt, tOTto) Xsy^g Ssiv 
tsQ^sla&ai t6 ar\[LSlov 73 triv sv&slav ri iv toncp ccTtXwg Kal (tiij 
vorjtag aiitr\v 9sa)Q^g. 3. C^Mon. ffp, cum nr. 2 coniunc- 

tum Vat. 



3. td — ^sys&st, (alt.)] om. q. 4. tstQaxoag Xsysxai q. 

5. ioyco] &S6SI. 1. &sasC\ X6ya> 1. ri] oti S. 7. SsSo- 
iisvov, 0)] SsSoiisvco Pl; co mut. in oig P; SsSo^sva olg C^ 
^ffTiv^^om. Vat.v^Mon.S. 8. ts] om. Vat.vMon. S. 



262 SCHOLIA. 

4. ^sdo^sva £6x1 xa d}Qi6^8va, tovte6tiv cov ta 
jtSQata didotai sl't£ diavoia £it£ ai0%-iri6£L' tovtoig yaQ 
dvvdii^&a i'6a noQLiSaG&ac o^oiag £l't£ diavoia £i't£ 
cci6&r]6£i. duvoiirat dh xal Qrjtbv xal aXoyov dedo- 

5 a£vov £tVat, ag kiysi IJaTCTtog iv aQxfl '^ov £tg t6 i' 
EvxXeidov tb (i£v yaQ Qrjtbv xal d^do^ivov fVtiV, 
ov ndvtag 8\ xal tb d£$oiiivov Qr]t6v £6tLV. 

Ad def. 5. 

5. "Iva ^ coQL0[iivog ta fi£yid^£L. 

10 Ad def. 6. 

6. "Iva xal ta xotcco zal ta ^Eyid-£L dyQLd^ivog rj. 

Ad def. 8. 

7. Tavta cjg inl ivbg inLTcidov dxov6tiov. 

Ad def. 9. 
15 8. Ta yaQ dcpaLQ^d^ivtL tb tijv dcpaiQ£6Lv vno- 
[i£ivav ^£L^6v i6tLV. 

Ad def. 10. 
9. Tb [ihv XQO avtov dnb xov ^£it,ovog., ivtav&a 
ds dnb tov ikdttovog. 



4, 6. PlVat.vC'Mon.(Tpic. 6. PlVat.vCMon.p. 7. 
Mon.ff(>. 8. PlVat.vCMon.opl. 9. PlVat.vMon.p (f;i. 

2. Post TtsQccrcc add. oiQia^svcc v. rovToi.g] rovtiari q. 

tovroig — 4. cda&rjasi] om. v. 3. sl'rs — shs] ijrot — ij X. 

5. t'] otn. Mon. 7. Ticci] om. vp. 15. rco] ro \X. 16. 
Ante nsitov add. avrov Xoltcov a. 



SCHOLIA. 263 

Ad deff. 9-10. 

10. Ta g TG)v d do&EVTL ^st^dv s0tiv' Totg yccQ 
6vo' Ttal Ta d Tcbv e dod^svTi sXaTTov s6tlv' Totg yccQ 
dvo TtdXiv dsdo^svoig. 

Ad def. 11. 5 

11. Tb 7] sv XoyG) dvtl tov naqi' o sv koyco. s%si 
ds Trjv dvacpoQav nQog t6 ^st^ov TtaQa To6ovtov yaQ 
ovx s%ov6i Xoyov do^svTa rd dvo fisysd^rj, jiaQ^ o6ov 

VTtSQS%Si ro SV TOV STSQOV SoQ^SVTi TiVi fisysd^si, oi) 

dtpaiQS&svTog svQi6xsTai xal 6 dsdo^svog X6yog t&v 10 
dvo ^sysd^av. sl ^sv yuQ IsiTtsi ro »J sv Xdyc), dcp- 
cciQsd^svTog Tov vnsQS%ovTog dnb tov ^si^ovog t6 Aoi- 
Ttbv TtQog t6 stsqov i'6ov s6Tiv. si ds TtQodxsitai t6 
tJ iv Xoyco.) dcpaiQS^svtog tov vnsQS%ovtog ovxsti tb 
Xoinbv nQog t6 stSQOv l'6ov, dXX' s%Si tivd Xoyov. 15 
^sttpv ovv s6ti t6 sv ^sysd-og tov stsQov ^ &6ts 
noif]6ai koyov. sdv ovv ^ vnsQO%rj dsdofisvrj ^, xal 
6 Xoyog dsdo^svog s6tiv. 

Ad def. 12. 

12. 'Anbv yaQ t6 nQ06ts%'\v sXv^aCvsto Trjv 6%s6iv 20 
Tou dsdo^svov Xoyov. 

10. PlVat. vC^Mon. po; initio add. : slg xb avro C; pro 
rolg ydg lia. 3 — dsSo^ivoig lin. 4 haec habet C^: do^^slg yccQ 
o ^. 6 ovv S 6 rr]v &(paiQsaLv vito^isivug xmv Svo ccvra rm 
acpccLQS&ivri rwv S iisitcov iariv. 11. C^P^; initio huius 

scholii haec habet C^: J-^Tjrft t6 ari^siov xovro slg rovg oQovg 
xcbv SsSonsvcav. axoXiov slg xbv oqov x&v SsSo^svcov 7} (ras. del.) 
-O- {h&a'}) xb QTi&sv arniSLov. f signum in textu C^ hab. ad 
def. &'. .12. PlVat.vC»Mon.ffp^. 

4. SsSoybsvoig"\ -va Mon. 9. vitSQSxsLl vTtSQ^dXXsL V^X. 

12. vnsQSxovrog aTtb rov\ So%svxog \^X. 14. vitSQSxovxog^ 

xov So&svxog ^si^ovog l^X. 16. iisl^ov — 18. iariv} om. P^. 



264 SCHOLIA. 

Ad deff. 13-15. 
13. Tovtovg 'AjioXXcavLOv q^aalv slvai tovg tQstg 

boovg. 

Ad def. 13. 

5 14. TovtE6tLV axLvrjtov, Xva biioXoyov^ivri fioL fj 
bnoCa i6tlv r} ycovCa. 

Ad prop. I. 

15. ECdsvaL dst, cog, ivd-a 6 fpLX6Go(pog XsysL ano- 
ksXviisvcog 8sdoiisva ^sysd-rj, ^sysd^SL dsdo^d^ac 6ri- 

10 ^aCvsL. 

16. 'O X6yog tov 7160OV diax^Xovd^og, r] %-s6Lg d% 
oi) dLo. tov n66ov, aAAd tov xstdd-aL. 

17. P. 6, 2] dsdotaL xal t6 F dta t6 ccvtL^tQO- 
(pLov Tov oQov. (1. 4) o^OLcog xal t6 ^' 6 avtbg yccQ 

15 ai)ta 7tS7t6QL6taL iv dsdo^ivoLg ^syids^L totg F xal /1. 

18. 'O avtbg yccQ p. 6, 8] dtd tovg OQOvg' k6yog 
dsd66d'ai XiystaL, a dvvd^s&a tbv avtbv 7C0QC6a6Q^aL. 

Ad prop. II. 

19. T&v fisv dsdofiivov ^sys&cov xal 6 l6yog b 
20 TCQog aXXrjXa didotaL' ovxitL df, sC t&v fisys&av 6 



13. PlVat.vCiMon.ffpX. 14. PlVat.C>Mon.ffpi. 15. 
PlVat.vC*Mon.(>p>Lc; C post GrifiaLvBt continuo hab. schol. 
nr. 10. 16. V (coniunct. cum nr. 16). 17. v. 18. C», 

19. Pl (ad finem libri post schol. nr. 23). 



2. Tovrovg] xovxov Pl, tovxd p. 'AnoXXmviog Plvffi. 

Tovg TQstg Sgovg 'AnoXXaviov C^. cpriaiv Plvffi. slval 

cpriai Vat.Mon.p. slvai] om. vff. Tovg TQSig oQOvg]om. C*. 

8. Xsysi] Xsyrj q. &7toXsXv(isvoig] -vu Mon. 10. Post ff?]- 
ILulvSL add. Tu ^sys&ri v. 12. 0-6] ovk v. 20. sl] om. codd. 



SCHOLIA. 265 

TiQog ccXXrjXcc Xoyog dsdoTcci, xccl tccvra ndvt&g dsSotac 
tcc fisysd^rj. TtoXXdxig yaQ 6 fisv Xoyog a^rwv dsdotai^ 
uvta 8s ov dsdotat. 

20. Tovto dvti6tQ0(p6v s6ti jcog tov tcqo «vtov. 
ov yccQ dr} xad-6Xov Qrjtsov avtb dvti6tQO(pov. r]v yaQ 5 
dv t6 dvti6tQO(pov t6 xaO^oXov ov sdv fisysd^rj TCQog 
dXXrjXa X6yov s%ri dsdofisvov, Ssdotai ta ^sysdsc. tivsg 

ds t6 Q-scoQrj^a ipsvdoyQag^ovvtsg snsCyovtai dsizvvsiv 
dvti6tQO(pov avto tov nQO avtov xai tC (pa6iv Cog' 
idv ^sysO^rj tivd X6yov sx^ TtQog dXXr]Xa dsdo^svov, 10 
dsdotai ta ^sysd^si. 

21. Kal s6t(o 6 tov F p. 6, 20] dsdotai xal 6 
tov r TtQog t6 z/ X6yog did t6 dvtC6tQO(pov tov oqov. 
dsdotai ds tov A %Qog t6 T X6yog did tov a' . 8s- 
dotai ds xal tov B TtQbg tb A X6yog Sid tb dvti- 15 
6tQ6(piov tov OQOv. l6ov ydQ «^tco t(p B tb ^ 
7CS7t6Qi6tai iv dsdofisvci) X6yaj. 

22. "l6ov ccQa p. 6, 23] 8id tov %•' tov s'. XQrj ds 
yiv(b6xsiv, oti td i'6a xal t6 avtb Xsysiv sv s6tiv. 

yaQ s6tiv i'6ov tivC^ xal tb avt6 s6tiv ixsCvc) xatd 20 
tr^v C66trjta. oifx dvti6tQS(pSi ds' ov ydQ onsQ i6tl 
t6 avt6 tivi, xal i'6ov i6tlv ixsCva' dvvatac ydQ xal 
xatd TCOiotrjta tv^bv t6 o;vt6 slvat. 



20. PlVat.vC^Mon. (superscr. toij Ssvtsqov) oqc. 21. vff. 

22. cnn. 



1. ravTccJ fort. a-ura. 4. awicrpoqoov] -lov Pl. 5. avToJ 

x6 1. a.vxi6TQO(pov\ -lov Mon., item lin. 6. 6. av] om. vr. 

TO (alt.)] 6m. Mon. 8. t6] om. Vat.C^Mon., tc51. tpsvSo- 

ypagjowTf?] -3'' PlVat.v; -ygacp'' C; -ypaqpft Mon. 9. avxo^ 
om. Mon. lacuna relicta 5 litt. 14. F] ^ a. tov (alt.)] 

t6 6. 19. iBySLv Kal t6 a-uTo C*. 



266 SCHOLIA. 

23. 'Eav Xsyt] ort didorai ccQa, dfjXov, on tc3 fis- 
yad-ei, avta dsdoC&ai XeysL. iav dedofiivov f] ta sidei, 
kiyet oti didotau aQa xa eldei. sav dsdo^ivov fj tf] 
&i6eL, Xiyei ort didotat aQa tf] Q^ioei. CTCavLcog ndvv, 

5 sav f] dedo^iivov ta [leyid-eL, Xiyet ort didotat aQa 
ta ^eyid^et. 

Ad prop. ni. 

24. "OXov aQa p. 8, 11] eav yaQ i'0a teoig 7Cqo6- 
ts&fj, ta Tcdvta s6tlv i'6a. 

10 Ad prop. IV. 

25. Kal tovto dvttGtQOfpLov s6tC nag tov tcqo 
avtov' ro yaQ xvQLcog dvtLGtQocpLOV r]v' sdv dsdofiivov 
[liys&og sig 6jco6aovv dLaLQsd^fj, xal exa6tov tcov, stg 
d dLr]Qr]taLy dsdofiivov i6tLV. 

15 26. AoLTCov aQa p. 8, 24] idv yaQ dno t6c3v l6a 
dcpaLQe&fj, td koLTcd e6tLV i'6a. 

Ad prop. V. 

27. Olov 6 Le JCQog iavtov (liQog tbv T koyov ^%biA 
tbv r](iL6XL0v, xal TCQbg tbv XoLicbv tbv s loyov ixBv\ 

20 tbv tQL7cXa6L0va. 

28. Tovro solxs ta xal dvtL6tQiil;avtL koyov ^x^lvI 
dsdo^iivov. 



23. PlVat.pc (ad finem libri post schol. nr. 101). 24. C* 
25. PlVat.vMon.O(.c. 26. Cn. 27. PlVat.vMon.ffpr 
28. PlVat.Mon. <?(.!. 



3. apa] comp. bis Vat. 11. dvxiatqocpov \oq. 13. tco» 
slg «] ccvTobv l'aa Pl. 16. Xomd] KaTaXsmofisva J.. 18p 

iavTov] ro iavTov v. tov] xo \q. 20. TqntXdaiov Mon.S. 



SCHOLIA. 267 

29. 'O avrbg ccvra nsnoQi^d^ci p. 10, 10] dvvatbv 
yc(Q XQicav dod^svrcov fisysd-av reraQtov avdkoyov evqsiv. 

30. Aoyog aQa tov z/Z p. 10, 14] tcov yaQ dedo- 
^ievcov ^syed^av 6 koyos n^bg aXXrjla dedotac. 

31. 'AvaCtQsrl^avti aQa p. 10, 16] Sioc tov oqov tov f'** 5 
ava6rQoq)i] k6yov e6rl Xfi^^ig rov tjyov^evov TCQbg trjv 
vnsQOiriv^ fi vnsQSxsi tb rjyov^svov tov eno^svov. 

32. A6yog ccQa v.aC p. 10, 19] l6ov yaQ avtrw 
inoQi6afisv tbv tov ^Z n^bg ZE. 

Ad prop. VI. 10 

38. 'O ccQa tov ziE n^bg EZ p. 12, 5] 6 yccQ avrbg 
avra ionv 6 tov AF n^bg FB. 

34. Aoyog ccQa tov /dZ n^bg sxcctSQOv p. 12, 8 — 9] 
6 yaQ avrbg avnp nsn6Qi6rai 6 rov AZ nQog ixdrsQOv 
tav ^E, EZ. 15 

Ad prop. VII. 

35. A6yog ccQa xaC p. 12, 24] dicc tov sr' tcbv 
Asdofisvov. 

36. Ao%-sv ccQa %a\ izdtSQOv p. 14, 1] dtd tov /3' 
Twv avtav. insl yaQ ^sysd^^g ti tb AB dod^sv X6yov 20 
ixst nQbg ixdtsQov t&v AF, FB cog n^bg dXXa ttvd 
aQa xal ixdtSQOv ixsCvov Sg dXXo ti dsdotai. 



29. PVat.ff^S. 30. PVat.Mon. 31. P. 32. PlVat.Mon.p. 
33. PlVat.vI 34. PlVat.p. 35. P. 36. lU. 



4. TtQog] 6 TfQog Vat. 21. AF] AB codd. d>g] comp. P. 
22. &Qa] fort. del. ag] nQog 1*. 



268 SCHOLIA. 

Ad prop. VIII. 

37. Oi Tc3 avTra ol avxol xal aXki^kotg siGlv o[ avxoi. 

38. ndhv, insi p. 14, 12] iTtsl yccQ didoxai 6 xov F 
TCQog xo B X6yog, diSoxai aQa xal 6 xov B TtQog xb F 

5 Xoyog. 

39. ^l' i'6ov ccQa p. 14, 18] dt' i'0ov X6yog iaxCv : r^ 
iv 6vvsxst dvaXoyCa 7iXsl6v(dv ovxcov xal dXXov iGav 
xb TcXrid^og, orav ag xb tcq&xov JtQbg xb s^xaxov iv xolg 
7CQ(oxoig ^syi&sGiv, ovxcog xb tcq&xov nQbg xb soiaxov 

10 iv xolg dsvxiQOig ^syi&sdiv. 

Ad prop. IX. 

40. 'Slg ix TtSQiovGCag ixcjv xb avxb dsixvvfisvov, 
riv 6 X6yog 6 x&v TCQOxsd^ivxcav TCQbg xd xv%6vxa fis- 
yid^rj 6 avxbg ?), ort xal xd xvyiivxa X6yov %%Si dsdo- 

15 ^ivov^ TCaQfjxsv inl xovxov yv^vdcac xb 7CQ6^Xrj(ia. m 

Ad prop. X. 

41. P. 16, 18 'EvxavQ-a 6vv£7CSQdvd-r] xb tcq&xov 
^iQog xrjg 7CQoxd6s(og. 

42. 'Evxavd-a dQ%sxai xb dsvxsQOv fiiQog xrjg 7Cqo- 
20 xddscog. xb Ssvxsqov ^iQog xr]g 7CQOxd0sc3g 7cdkiv V7C0- 

SiaiQSixai. xb ovv 7tQ&xov y^iQog xrjg 'i)7todiaiQi6so3g 
6vvs7tsQdv&ri ivxavd^a. 



37. PlVat.Mon.pXc. 38. PlVat.vc. 39. PlVat.vpXc. 
40. PlVat.vMon.;ip. 41, 42. \*X. 



2. oi (alt.)] om. Vat.Mon. pc. &XXi]Xoig] -mv q. 8. 

iTQU)tov~\ a \X. x6 (tert.)] om. codd. 12. iyi\ ydq Mon. 

^;^(Br] Ixov Vat.Mon., i^uv q. 13. i]v'] r/ codd. nQoa- 

rf&ivtav codd. 14. y] ij codd. 



SCHOLIA. 269 

43. Kal t6 6vva^(p6tEQOv p. 16, 24] rovtE6TL xal 

eVVd^SVti dod^EVtl, (lEtt,6v E6tLV Tq EV 16^0). 

44. "E6t(o ^EyEd-og tb T zccl stEQOv %y^ dod^svta ds 
j E6t(a tu y xal 6vva(i(p6tEQa ta Xy t^v T totg dod^Ei6L 

yd E6tLV ri Ev X6yG). 5 
1 ^ — 1 a^patQEL^Q^c} L6ovg 

tcov oo9-Evt(ov tcav 
ya ta T TtQog ta x dod^Evta^ oiov ag vvv tav /3 k6- 
yoVy cog xal iv totg OQOLg ELQrjtac. 

45. Tovto ro 6x6Xl6v E6ti tov T d-EcoQrl^atog, onov 10 
6r}fiEtov t6d£ J-. 

oiov ^EyEd^og to AB xa-S-' vn^d^E^Lv xy (lEyEQ-ovg 
tov BF ovtog xad-' V7i6d-£6LV T dod^ivtL ^Et^ov £6tc) 
»] iv X6ycp. xal £6ta} dod-EV to A^ ov y. iav ovv 
ccjtb tov AB tov icy aq^iXco tb dod-£v tb AA ta y, 15 
t6 XoLTtbv tb AB ta x XQbg t6 BF ta T k6yov exel 
dEdo^Evov dLcc t6 iv totg OQOLg elqtj^evov tc5 yccQ 
do^ivtL ^Etlov iq iv Myca. tovto drjXot xal Selhvv^l 
XoLn6v^ otL xal oXov tb AF TCQbg tb avtb tb BF do- 
d-ivti ^Et^6v i6tLV rj iv X6y(p. 20 

aXka dij 6vva^cp6t£Qov tb AF tov avtov tov FB 

43. PlVat.Mon.^l. 44. PlMon.; coniunctum cum m-. 43 
Vat. pA (corruptum). Fig. om. P. 45. PlVat. vMon.Ambr.cpcS 
(Ambr. c inde a xb Si] So&sv p. 270, 2, cS inde ab aXXa di] avv- 
a{L(p6x£Qov p. 270, 1). hoc schol. PlVat.c hab. ad finem libri. 



4. ^ffrco] a>s V\X. t^v] fort. t&v. 5. yS iGxiv'] fort. y 

fisi^ova JcGXP). 6. acpaiQS&SLg q. i'aovg] fort. aTto. 7. 

rd>v (alt.)] TTjv 1. 8. ya] scr. ly. 9. iiai] om. X. 10. rovto 
— 11. tods J^] Pl, om. cett. , axoXiov vMon.p. 12. olov] 

ouoLov Pl. 13. ^sitov] -(av P (in ras.). 16. tb J B] om. 

Mon. lac. 3 litt. relicta. 17. ta] to Pl. 19. -TtQog tb avtb 
t6 BF] om. Mon. 20. Xoyco] seq. spatium 4. lin. in P; nihil 
deest. hinc reliquam partem scholii om. vMon.(>. 



270 



SCHOLIA. 



doQ^ivti fist^ov £(3t(o r) ev Xoya. tb dij do&ev y]tOi 
l'ffov s6tl t(p AB ri sXattov ?) ^stt,ov. iav ^ev ovv 
tb dod-av l'6ov fj ta AB, ovtog xad'' V7t6d-s6iv tov AF 
olov rj, tov 8e avtov tov BF '6vtog d, iav axb 
5 tov AF tov tj dcpiXco tb dod-sv tb AB olov d, tb 
koijtbv t6 BF td d JCQbg tb avtb tb BF td d X6yov 



A A A 



oXri 7] AT ^ovccScov x. 



ig oXri 7j (ISV A r ILOvdScOV i6tl{v) 17] , 

7} Ss Brrj, 7] Ss AJ Svo. 



A B J 



BH 



A B A zJ B 1 



ITj 



tS 



r T d r B B 



sxst dsdofiivov dtd tb iv totg OQOig siQrj^iivov. b^OLCog 
xal dstxvvGt, xal ort Xotnbv tb AB. idv ydQ dnb 
tov AF dcpiXco tb BF, tb Xoin6v i6tt tb AB. dstx- 
10 vv6tv ovv, ott xal Xotnbv tb AB n^bg tb avtb tb 
FB do&ivtt ^st^ov i0ttv rj iv 2,6yG}. fistd ydQ tb 
dcpatQsd-rlvaL xal avtov t6 Az/ dod-iv, t6 ^otnbv t6 

Fig. om. lAmbr.S. 

1. ^ffTto] ^atm cS. 3. AS] mut. in AT ^. 4. olov Ti] 
o\) Ambr., ov a (superscr.) m. 1). tov Ss — 5. S] tov S\ 

B T S, tov Ss AB~m, Kul &(p8X(o Xoltiov tov A T i]toi. tov T\} tb 
So&tv tb AB ijtoi. tci a\ Ambr. 4. ccvtov] tov ccvtov codd. 5. 
S] i? codd. t6 Xomov] xori tb Xontov c. 6. 8 (utrumque)] 
^ Ambr.ff. 7. Sid. — 6\L0i(og] om. Vat.ocS, item p. 271, 8. 

8. %al oti] ori xai Ambr. 9. AT] AT rjxoi tov i\i Ambr. 

x6 (alt.)] om. Ambr. 11. So&evti fisl^ov] So&sv P. 12. 
Kai] om. Ambr. ; fort. del. avtov] avt6 P. t6 (pr.)] rou S. 



SCHOLIA. 271 

z/5 TCQOS rb BF loyov E%Ei dsdo^svov. TtdXiv <3vv- 
a^fpoTEQOV to AF Tov avrov rov FB dod^evrL (ist^ov 
s6rG} ij iv Idyc), xccl s6rc3 rb dod^sv sXa6(5ov tov AB 
t6 A^ xal s^rca t6 /3. sav ovv ovrog xad-' vjtod^s^LV 
rov AF olov Trj, tov ds BF ovrog 7J, sav anb rov 5 
AF t&v Trj dcpsXo t6 Azi rd ^, t6 XoLnbv rb A F 
rd t? TtQbg t6 avrb t6 FB rd rj Xoyov s%si dsdo^svov 
did t6 iv rotg OQOLg SLQrj^svov. b^OLcog xal dsL7ivv6i 
XoLjtov, o'Tt xal XoLnbv rb AB rd J nQbg t6 o;vt6 t6 
FB rd rf Xoyov s%sl dsdo[isvov. xal dLa rovro xal rb 10 
loLnbv t6 AB rd t Toi) avrov rov BT rav rj dod^svri 
^st^ov s6rLV ri sv Xoyco' sdv ydQ dcpsXa xal dnb rov 
AB r&v T t6 AA dod^sv rd j8, t6 XoLnbv tb A B td rj 
nQbg tb B r td rj Xoyov s%sl 8o%-svta' tbv ydQ l'6ov. ndXLV 
6vva^q)6tsQ0v tb AF tov avtov tov FB dod^svtL ^st^ov 15 
s6tc3 t) iv Xoyco' naX s6tca t6 8o%\v fist^ov tov AB tb AE 
xal s6tco lS. idv oi)v ovtog xad-' vnod^s^Lv tov AF 
olov Trj, tov ds BF olov rj, idv dnb tov AF tov irj 
dcpiXG) t6 AE td id, t6 XoLnbv tb EF td 8 n^bg t6 
avtb t6 FB td rj Xoyov sxsl 8edo(isvov did tb iv totg 20 

1. Xoyov E^si dsSo^isvov^ So&ivra Xoyov ?%fi Ambr. 2. 

So&svtt.'] om. c. 4. t6 §] tb AJ, \) Ambr. 5. rff\ lS Ambr. 
(item lin. 6), tJ c. 6. tmv] ^Voi t&v Ambr. acpsXco^sv 

Ambr. tcc] r/rot td Ambr., item lin. 7 utr. ^] \j Ambr., y a. 

7. Xoyov] oXov P. 9. T] lo Amhr.a, item lin. 11, 13. 10. 

_ - V , . 

Tj] 8 Ambr., S 6; item lin. 11. 13. t6 AzJ So9sv] So&sv to 

Ad Ambr. <>. f\^ g (|? m. 1). ^] S 6, item lin. 14. 14. 

P TOf] To 1. Tov yaQ iGov] tbv Tjjff lc6t7]tog SriXccSr] Ambr. 

I|: Post Loov lac. unius litt. (comp.) hab. Vat.S. 17. l8] l^ 

Ambr., l^<, a; item lin. 19. 18. idv] kccl Ambr. tov {tert.)] 
Tov 1. Tov r^i om. Vat. Ambr. cc S. 19. td (pr.)] r/Toi td Ambr. S. 

20. fi] 8 G. 



272 SCHOLIA. 

OQOLs siQrjfisvov. b^oias xal dicc rovtov dsixvvGiv, oti 
xal XoLTCov tb AB (ista tov BE' t6 yccQ BE sGtLv, 
TCQos o t6 stSQOv toBF Xoyov sxsl dsdo^svov do&sv 
sGtLV o^ov yccQ th AE dod-iv s0tLV. 
5 46. AoLTCov ccQa tov ^B p. 18, 4 — 5] tovto t6 6x6- 
Klov tov l' Q-£coQi]fiatos , ojtov 6rjfistov tods P. tc&s 
IsysL' XoLTCov tov AB tcqos BF koyos s6tl So&sCs; snsl 
yocQ tov AF 7CQ0S to FB Xoyos s6tl do&SLS, s6tai tov 
z/r" xal 7CQ0S tb zJB Xoyos dodsls dca t6 s\ a6ts 
10 xal ixatsQov t&v ^B, BF TCQbs tb Zir koyos S6tl 
dod-SLs' ^ocl 6La t6 i^' nal tov A B TCQbs tb BF ^ioyos 
i6tl dod^SLS. 

47. Tb FA KQa tov FB p. 18, 7] iicsl y^Q tov 
FA loyos d7CsdsL%d"ri dod-sls TCQbs tb FB, TCQo^xsLGd^co 

15 TcdXcv t6 dic' dQ%fis 8o%-sv t6 AA' oXov ixQa t6 FA 
dod-ivtL ^sL^ov i6tL tov FB tJ iv k6y(p. 

48. Tb dtj dod-iv p. 18, 15] idv yocQ l'0ov vjcaQxr] 
t6 do&lv ta AB^ t6 kocTcbv tb BF TCQbs tb avtb tb 
Br Tcdhv Xoyov s%sl dsdo^ivov. dvva^aL yaQ «vtkI 

20 l'6ov 7C0QL6a6&aL Tc5 t6(p koya)^ cas iv tols oqols. 

49. Aoyos ccQa Xoltcov p. 18, 22] didotaL yccQ ro 
Er Slcc xb 8' d^saQrjfia. xal iTCsl didotac sxdtSQOV 

46. PlVat.vpc (ad finem libri PlVat.c, post schol. nr. 19 Pl). 
47. X. 48. PlVat.vMon.pX. 49. Vat. Mon. Ambr. p c. 



1. oftotcog] om. Vat. Ambr.ocS. 3. 8] ff, om. cett. rd (alt.)] 
om. c. 5. Towo — 6. P] om. v. 5. tovxo ro] om. Vat. 

7. XiysC] om. v. 8. rd] om. v. tov (alt.)] v.ccl xov v. 9. 
y.ai'] tus q. 10. JB] AB Vat.vc. 11. xat (pr.)] om. vp. 

.dB] dE Yat.QC. 17. vjtdQXTj] vTtuQxsi q. 18. to (quint.)] 
om. IvX. 19. Xoyov ^x^i] xo Xoyov l^ftv Fq. 20. l'aov] 

Iki \X. xo)] fort. kv xm. x^ faco Xoym] xovg l'eovs Xoyovg q. 

21. xo] oxi x6 c. 



SCHOLIA. 273 

rav AF^ AE^ Kal 6 TtQog aXkrjXa Xoyog avxGiV dedotai 
duc t6 a' a)6T£ aal xov AF TtQog FE' a}.^a xov AF 
TtQog FB' xal xov BF ccQa TCQog FE. 

50. Msxa xov i^fjg p. 20, 2] xovxe6xL ^sxa xov BE, 
TtQog o xb BF koyov £%el dod-ivxa. 5 

51. IlQog 6 xo Br, xovxi^xi TCQog xo BE. 

52. To yaQ BF JtQog xb BE loyov exsi dod^dvxa' 
tb ovv AB (i£xa xov BE- dod-dv £6xtv^ oXov xb AE. 

Ad prop. XI. 

53. "E6XL d£ xal oXov xov AF ^. 20, 20] dia xb fc/3' lo 
Tov «'• mg £v x&v riyoviievtov JiQbg £v x&v STtOfiivcov^ 
ovxag aTtavxa xa 7)yov(i£va JtQbg anavxa xa £7t6(i£va. 
ijyov^i^va yccQ £i6l xo x£ T/i xal xb Azi, £7t6(i£va dh 

; To x£ AB xal xb zi E. cog yovv xb A/i TtQbg xb /lE^ 
ovxag okov xb AF TtQbg oXov xb EB. oXov yaQ xb 15 
AF xa dvo slgIv rjyovfieva xo x£ AA xal xb FA, xal 
oXov xb EB xa dvo £l61v £7t6(i£va x6x£ EA xal xb AB. 

54. ^E7t£l yccQ £6xiv cag 6 AA 7tQbg AE., ovxaig 
h TA TiQbg z/5, xat ivaXXa^ (ag AA TtQbg AT, ovxcog 
EA TtQbg AB, xat 6vvd-ivxi hg AT TtQbg JTz/, ovxcag 20 
EB TtQbg z/J3, Tcal ivaXXai, ag AT 7tQbg EB, ovxog 
TA TtQbg AB, didoxat di 6 xov TA TtQbg AB X6yog^ 
didoxaL ccQa xal 6 xov AT TtQbg EB kbyog. ficcXXov 
6vvxo(icbx£Q6v i^XLV ovxcjg £i7t£LV' cog £v x5)v rjyovfii- 



50. PlVat.p. 51. PVat.?. 52. PlVat.vpZ. 53. P 
54. PlVat.vMon.e^. 



2. mars] rj ts c. 5. BF] BA codd. 8. rd (utrumque)] 
rd PU. AE] s PlVat.pi. 18. ovrco PlVat.X. 19. 6] 

om. Vat.Mon. 19. cbg] om. Vat. 23. &Qa kccI 6] om. 1 

lac. relicta. 24. 6vvto(i6tsQ6v Mon. ovtas] t6 Mon. p. 

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 18 



274 SCHOLIA. 

VG)V TCQOg 6V t&V iTtO^SVOV, TOVXBCSTLV COg 'Y] Jz/ TlQOg 

z/5, ovxcos aTcavxu xa rjyov^isva tcqos anavxa xa etco- 
fisva^ 'Yi AF TCQog EB. 

55. Tovxo xo GioXiov xov ca' d^£C3Qi]^axog, ojcov 
5 6r}^st6v s6xi xoSs 0. &67Csq ksyo^sv xa %^ x&v d 

(iSL^ova 7} dL7cXd6La (lovddL, ovxco Xsyo^sv xal xb [iEti,ov 
i) iv Ady« do&EVXL' olov xov ^B JCQog xb BF koyov 
E%ovxog dsdopLEvov, sav ri xb A^ dsdo^svov^ xb AB 
TCQog xb BF fist^ov i^XLV tJ iv koyci' xov yccQ AB 

10 JtQbg xb BF kdyov sxovxog dsdo^ivov xal xov A/i 
dsdofiEvov ifTcdQxovxog , SsSofisvov xal Qrjxbv bv xal 
aXoyov, ovx aQa xal oAov xb AB TCQbg xb BF Xoyov 
s%SL' oxL yccQ aXoyov i6xL xb AA, ov dvvaxaL xb AB 
TCQbg xb BF X6yov exelv. dto fist^bv i6XL xb AB xov 

15 AB xov X6yov i^ovxog TCQbg xb BF dsdo^ivov xa AA 
dsdofiivc}. b^OLCig ds xal cag xd f x&v d ikd66ova 
Xiyo^sv 7] dL7cXd6La fiovddL, ovxa Xiyofisv xal xb slaG- 
0OV ij iv X6yc) dod-svxi. 

56. 'O avxbg avxa ysyovixco p. 22, 6 — 7] 6x6Xlov sig 
20 xb la d'£(i}Qrj(ia ^. iv xa la' d^so3Qr](iaxL ka^av xb 



55, PlVat.vAmbr.pc (PlVat.c ad finem libri post schol. 
nr. 45). 56. PlVat.^c (ad finem libri post schol. nr. 46). 



1. TtQog] atg 1. 4. tovto — 5. ©] om. Ambr. 4. tovro 
t6] om. Vat. 5. icti] om. Vat. %■] 9 Ambr. rmv] tov Pl. 

^J j Ambr. 6. rf\ om. PlVat., Uoiv i] Ambr. , ^aav q. 

ovt(o] bvtog Q. Xsycofisv q. 8. 10. SsSo(ifvov] Ambr., 

om cett. 11. dsSo^ievov — 13. ^^^1] om. Ambr. lac. relicta 

et add. Xsiitsi. 11. v,ui (pr.)] om. q. 13. ^x^iv PlVat.pc. 

16. 6iioi(og] — 18. SoQ^svti] om. Vat.Ambr. c. 16. td] t6 1. 

t&v] tov PI. 19. 6%6Xiov tov icc &S(aQijnatog Vat., om. c. 

20. ta'] L§' c. 



SCHOLIA. 275 

^B [isysd^og 6vva^(potSQOv tov AF dod^svti ^et^ov t) 
iv Xoya 'naX a^peXhv tro 8o%-\v ^eysd-og tb AE xal 
^ovXo^evog Set^ai, oti tb avtb tb AB xal tov BF 
dod^evti net^ov i6tiv 7} iv Adyco, leyei' yeyovetcj yccQ 

A E J B r z 

I 1 1 1 1 1 

cjg t6 AF TtQbg tb EB, ovtcog ro Az/ JiQbg ro ^E. 5 
iav ovv ^ovXa^ed-a noiriCai ag ro AF Ttpbg tb EB, 
ovtag ro AA TtQbg ro ^E, xata0xevd(Savteg noiiqGo- 
fiev ovrcog' ix^e^Xi]6d-ca yccQ rj AF inl ib Z, xca 
iieCsd^co tfi AE i'0rj rj PZ, Tial yeyovetco cog rj ZB 
nQbg trjv BE, ovtcog rj i'6r} tfi ZF^ tovte6tiv rj AE, 10 
TCQbg trjv E^' dijXov yccQ, oti noiovvteg cog trjv ZB 
TiQbg trjv BE, ovtcog trjv AE TtQbg alXrjv tivd^ nQog 
ikd66ova trjg BE Ttoirj^o^ev yeyovetco ovv TtQbg tijv 
E/i. inel ovv i^tiv cog r] ZB itQbg trjv BE^ ovtcog 
rj AE TtQbg E^^ Cvvd^evti i6tiv, cog rj ZE TtQbg EB^ 15 
ovtcog rj AA TtQbg AE. i'6rj de rj ZE tfj AF did ro 
tfi AE i6Tqv elvai trjv FZ. e6tiv aQa cog r] AT 
TtQbg EB, ovtcog r) AA TtQbg ^E. 

57. Zl%6XiOv. cog 6vva^cp6teQ0v tb AE, BF TtQbg 
AF^ ovtcjg tb AE TtQbg A/i. y.aX dvdjtahv xal cog 20 
tb AF JtQbg 6vva^q}6teQov AE, BF^ ovtcog ro ^A 
TtQbg AE xal dva6tQe^avti cog ro AF TtQbg EB, 
ovtcog ro A^ TtQbg AE 6o&eig. 



Fig. om. Pl. 



I^ 



67. V. 



2. &cpsX<o 1. rb AE rb Sod^ev iisyt&og c. 7. rd (alt.)] 

om. 1. 8. ovrag] om. q. 9. r^] rd F, ro \. ZB] B c. 

10. i] (pr.)] om. 1. 15. iariv] ^arui q. 19. 0%6Uov] comp. v. 

18* 



276 SCHOLIA. 

58. "Edtac d^ xal Xomov xov Jz/ p. 22^ 13] enEt 
yccQ B^TLv h^ ro AF TCQog EB, ovTcag dq^aiQe&av t6 
^z/ TCQog acpaiQsd^ev t6 z/E, xal Xomov aQa t6 F^ 
TCQoq loLJtbv tb ^ B iatLV ag tb AF TtQbg EB' dod^slg 

5 da 6 tov AF TCQog EB Xoyog' do&slg aQa xal 6 tov 
Pz/ TCQbg ^B. 

Ad prop. XII. 

59. 'Edv y tQua (leysd^rj p. 22, 19] xdv ri dedo(ieva 
zuv fti^. ■ 

10 60. Kal XoLTcbv tb AE p. 24, 11] idv ydQ dnb 
dedo^iEvov dedo^ievov (layed^og dq^aLQed^rj, tb Xoltcov 
dedo[ievov e6taL. 

61. 'Edv 8e fiet^ov fj tb B/1 tov AF, ^evteg tG> 
AF i'0ov dicb tov Bd xal td avtd 7C0L^6avteg deL%o- 

15 (lev t6 FA tov AB dod-evtL fiet^ov. tovto yaQ di^lot 
tb ev tfj TtQotdaeL' ij t6 steQov tov eteQov do&evti 
fiet^ov e6tLv. 

Ad prop. Xm. 

62. AoLTCov aQa tov AZ ip. 24, 25 — 26, 1] ag ev 
20 totg OQOLg' 6vyxeLtaL ydQ do&evtL (let^ov ij ev Xoya. 

63. Kal XoLTCov tov HB p. 26, 5] edv ydQ f] oog 
olov TCQbg oAov, ovTog dfpaLQed^ev JCQbg d(paLQe&ev, 
xal XoLTcbv TCQbg koLnbv ^6taL hg oXov TCQbg okov. 



58. PlVat.vMon.c. 59. PlVat.i. 60. PVat.pc. 61. 
PlVat.vMon.Ambr.pic. 62. PlVat.op. 63. PlVat.pc. 



3. Ad — x6 (pr.)] om. 1. 13. tov] to 1. ^ivrs?] So- 

&evtos Vat.Mon.c, &(peX6vTsg Ambr. 16. itQOtdasi] nQWTy 

Mon. c. 20. ffvyxsiTat] fort. yistTai. 



SCHOLIA. 277 

Ad prop. XIV. 

64. P. 26, 17] xav ts l'0a fi xa AE^ TZ xav t£ 
avi6a. 

65. Aoyog aQa tov EA p. 2Q, 21 — 22] ta>v yaq 
dedo^avG)v fisysd^&v 6 Xoyog TtQog akXrjXa diSotai. 5 

QQ. Aoyog aqa ocal tov HB p. 28, 6 — 7] dia tb t/3' 
Tov s' xal dta tb avti^tQocpLOv tov oqov. eTtsl dedotai, 
6 tov AB TtQbg FA loyog KaC iotiv 6 avtbg 6 tov 
HA nQog ZJT, dedotai zal ovtcog 6 tov HB TtQbg ZA. 

67. 'Eav de 7tOL^6co^ev cog tb AB TtQbg tb Fz/, 10 
ovtayg tb AE :tQbg tb a%b xov F cog eitl tb Z, evQe- 
d-ij0etaL t6 ZA tov EB dod-evxL iiei^ov rj ev Xoyc). 

Ad prop. XV. 

68. Tovxo avxi^XQocpLov Ttcog xov TtQb avxov. dei^ag 
yccQ., oxi eav TtQOiSted-fj dedo^eva ^eyed^rj totg dedo- 15 
^evov exov6L Xoyov, vvv aal acpaLQcav ra avta tav 
ai)xmv deLxvv6i xb avxo. 

Ad prop. XVI. 

69. Kal XoiTtov xov HB p. 30, 23 — 24] nal drikov^ 
oxL xal XoiTtov xov HB TtQbg Xoiitbv xb EA Xoyog 20 
e6xl doQ^elg 8ia xb id'' xov e x&v 6xoL%eLGiv. 



64. 1. 65. PlVat.p; praem. Siu tb a' c. 66. v. 67. 
PlVat.vMon.o^». 68. PlVat.vMon.Ambr.pc. 69. PlVat.p. 



5. TCQog] 6 TtQog 1. 11. to (alt.)] rov la. mg] comp. 

Vat., TtQog Q. 14. ccvTiGtQocpiov] cc. iati Ambr. Ttcog] tcov q. 
19. y.cci] d>g q. 20. HB] BE q. 



278 SCHOLIA. 

Ad prop. XX. 

70. ^AvtL6tQ6(piov tov u'. 

71. Kal inEi a6tiv d)g t6 AE p. 38, 21] enel yccQ 
B0tLV, cag AE nQog FZ, ovtag AH XQhg FA^ df]Xov, 

5 otL xal koinov tov EH nQog XoLnbv tb ZA Xoyog 
i0tL dod^slg dLcc tb tO"' tov s' t&v OtOLXSLCov, xal iv 
ana0L totg tOLOvtOLg dLa tb GiokLOV fidXL6ta Toi) l' 
d^e(x)Q7]^atog, onov ^rj^etov rddf P. 

Ad prop. XXIII. 
10 72. "E0taL %al XoLnov tov EB p. 42, 21] idv f] 
cyg oXov nQbg oAov, ovtag dcpaLQS&av nQbg dcpaLQS- 
^■av, xal tb koLnbv n^bg tb koLnbv sGtaL cag oXov 
nQog okov. 

73. P. 44, 5] dLd ^lv t6 s' to^^tov tov FA xal 
15 nQbg tb FZ Xoyog idtl do&SLg. 

74. P. 44, 6] 0vfiniQa6na- a>6ts tov FA n^bg 
sxa0tov tav FZ, ZA koyog dod^SLg' s0tL ds tov AB 
nQbg rZ Xoyog doQ-SLg' xal tov AB aQa n^bg t6 FZ 
X6yog i6tl dod^slg xal n^bg t6 Z^. 

20 75. "Sl6ts ndvtav n^bg ndvta p. 44, 8] &0ts 
xal tov AB nQbg AE xal EB ^iQr] avtov X6yog 



70. Pli. 71. PlVat.vMon. pc; inde a uerb. v.ccl Xoinov X. 
72. l*yaL 73. PX. 74. v. 75. v. 



2. rov] ra 1. ib'] iS' X. 5. ortl om. YlY&t.YC,^ iatl 

(comp.) Q. S. OTtov — P] om. v. P] om. q. 10. ^ tb?] 
om. l'';^. 14. ftsV] suspectum. 18. ro] rov v. 



SCHOLIA. 279 

doQ^siSf ical TtdXiv tov AE TtQog Ttdvra y,ai i6ti tov 
EB TtQog Ttdvta. 

76. ^EitEi ovv 6vvYi%Q^ri 6 tov FZ TtQog ZzJ Xoyog 
dod-Eig.) xsitai ds xal tov EB TtQog Zz/ Idyog dod-sig, 
xcd tov JTZ aQa JtQog EB Xdyog B6ti Sod^slg 8id tori'. 5 
TidXiv STtsl 6 tov AE TtQog EB Xoyog s6tl dod^sig, cog 
edsixd^rj, jcsitai ds xal 6 tov EB TtQog ZA X^yog 8o- 
d^sig^ jcal 6 tov AE aQa TtQog Zz/ Xoyog istl dod-slg 
did tb r}\ xal insl td AE., EB TtQog dXXrjXa Xoyov 
sxsi dsdo^svov, xal tb oAov ro AB TtQbg ixdtSQOv 10 
tav AE, EB koyov sisi dsdo^svov did tb s'. b^oCcog 

ds xal ro Jz/ TtQog ixdtSQOv tav PZ, ZA Xoyov s'xsi 
dsdo^svov. nal insl tb AB TtQbg ro JTz/ Xoyov s%Si 
dsdofisvov.) s%si 8s aal tb i^z/ TtQbg ixdtSQOv tcov 
rZ, ZA X6yov dsdofisvov, xal tb AB aQa jtQbg ixd- 15 
rf^ov tS)v TZ^ ZA Xoyov s%si dsdo^svov did tb rj'. 
hlLOicog ds xal tb F^ TtQbg ixdtsQov t&v AE, EB 
Xoyov s%si dsdo^svov &6tE Ttdvta TtQbg ndvta Xoyovg 
s%si dsdo^Evovg. 

Ad prop. XXIV. 20 

77. EiX7](p&co tibv z/, Z p. 44, 20] 8vo 8od-si6G)v 
svd^si&v ^E6r]v dvdXoyov 7tQ06svQSiV. 

78. AoQ^sv ds tb vnb tcov z/, Z p. 44, 22] 
iTtsi ydQ i^dd^o^Ev iv totg OQOig, oti svd^vyQafifia 



76. PlVat.vMon.Ambr.p;i. 77. P. 78. PlVat.vMon. 

Ambr. q X. 



1. iert] fort. ht. 6. 6] om. Mon.Ambr. ag} q, sustulit 

lac. bombyc. Mon., om. cett. 7. iSslx&r]] i. yccQ Ambr. 16. 

^id — 18. dsdofisvov] om. Vat. Mon. Ambr. 24. ori] om. 
Mon., ro 1. 



280 SCHOLIA. 

6%riyiaxa t& ei'dsi dsdd^d-ai Xiystai^ g3V a% te ycoviai, 
dsdo^evat £i<?t xata ^Lav xal o[ X6yoL tav tiXsvq&v 
nQog dXX^^Xag dedofievoi, edv :toi,^6co^ev dQd^oyavtov 
7caQalXif]X6yQa^^ov tb ABFzi e%ov l'67jv tf] fiev A 
5 ro^v AB^ tfi de Z ['arjv ttjv BF, exo^iev t&v [lev yco- 
VL&v exd6trjv dsdoiievrjv Sid tb dQd-ijv elvai' Tca6a yuQ 
dQd^Yj dfdoraf oQd-ri ydQ dQd-rlg ov dia^eQeL. xal drjXov^ 
ott xal 01 k6yoi tav nlevQ&v dsdo^evoi ei6iv' 6 yaQ 
trjg AB TCQog BF X6yog dedotai^ e:tel xal 6 trjg z/ 
10 nQbg Z kbyog dedotai. xal did tovto deSotai ro vnh 
t&v ^, Z. 

79. zlod-ei6a aQa e6tlv rj E ^. 44, 24] et yaQ 
dedotai ^oi tb tetQaycovov, eTtel xai tb l'6ov avrcj 
7taQaXXr]X6yQa^(iov ro AF, dsdotai xal rj eiJ&eta rj 

15 noiov6a avt6. xaX dXXcog' STtsl i'6ai si6lv at d TtXsvQal 
roi) tstQaycovov, drjXov^ ort dsdotai rj 7toiov6a avtb 
svd-sta' i'6ai yaQ a^dtal sjtOQi6d-r]6av' &6te Sedotat rj E, 

80. Kal ro avti6tQ6(piov avtov dlrjd-e'g. 

Ad prop. XXV. 

20 81. Aeycj, ort — 6r]}ieiov p. 46, 17—18] drjkov, 
oti tfi &e6si' fi6vov ydQ tf] %^s6si dsdotat td 6r]fisia. 

79. PVat.vMon.Ambr.zp. 80. Vat.Mon. 81. PlVat.p. 



1. Gxrniaxa Xsyovrcci Ambr. Xeysxai] om. Ambr. 3. 

6dXrilag] Mon., aXXriXa q, aXX-^Xove cett. Ssdo^evoi aialv 

Ambr.p. ^ 4. ABrzJ]^ AHTzJ P, ABF q. rjj — 5. tfj] 

rrjv — f^v Pl. 4. ^sv] del m. 1 Mon. 5. rjj 8s — BF] 
om. Mon. 6. 6Q&r]v] rrjv dg&ijv ytoviav 1, srpog _L q. 8. 

X6yoi] XoiTtoi q. 10. rovro Si PVat. Mon.Ambr. p. 12. Ante 
si add. axoXtov. Vat. Mon. Ambr. si] insi Mon. 13. awc5] 
avr6 Q. 17. 1]] v,al tj v, v.al ro q. 21. fi6vov] novcag IVat., 

Ii6va)g Q. SiSorat Vat. 



SCHOLIA. 281 

Ad prop. XXVI. 

82. Ta A, B didotai rfj d-86si' fiovov yccQ rfj d-idEi 
^ dedoraL ra 6rj^sia. 

Ad prop. XXVIL 

83. Ei ^ev yaQ rb B ^rj^sLOv -^ ivrbg rj sxrbg 5 
yisransOstraL^ ovx s6raL ra ^syidsL dsdoiiivrj rj sv&sta' 

si 8\ ^sraTis^slraL t) avG) -fj xarto, ovx s6rai rfi d-i6sL 
dsdo^ivrj. 

Ad prop. XXX. 

84. Tlavrbg yccQ rQLyavov r] ixrbg ycjVLa dvGl raig 10 
ivrbg xal a-jtsvavrCov i6rj i^rCv. 

Ad prop. XXXT. 

85. ^Eav svd^sta rfj %-i6sL Sod^fj, didoraL xal ra 
fisyid^SL' iav ra ^syid^SL^ ovnco xal rfj d-i^si' dvvaraL 
yaQ iisraTtCitrsLV. 15 

86. ®i6sL ccQa p. 52, 23] dta rovg OQOvg. xvxXog 
yaQ rfi %^i6sL xal rc3 (isyi^SL dsdo^d^aL XiysraL, ot) 
didoraL rb fisv xivrQOv rij d'i0SL. rj ds ix rov xivrQOv 
Tc5 ^syid-SL. 

87. Tfi d^i^SL xal ra ^syid^SL xwcXog dsSodd-aL 20 
XiysraL.) ox) didoraL xrX., cig iv rotg oQOig. 



82. PlVat.p^. 83. P 1 Vat. v Mon. Ambr. ^ X c. 84. Pz. 
85. PlVat.Mon.zp;iS. 86. Plz. 87. Plcr. 



2. raj SiiXov, 6xi m X. iiovwg X. 6. ^atai] '^gtl Vat. vp, 
&QCC Mon. Ambr. SsSofiivri ^cxccl Anabr. 7. 1^6xa.i\ ^axi. 

vMon.(», aQa Ambr. ?(?rat SsSo^svt] Ambr. 13. do^S"^] 

SsLx^fj P- l^- 0^^«] ODi- Mon. S lacuna relicta. 



282 



SCHOLIA. 




Ad prop. XXXm. 

88. 'AvtL<3tQ6q)iov tov X^'. 

Ad prop. XXXVn. 

89. ^Slg 8s rj ZH TtQos rijv HE p. 64, 9] xav te 
5 ovv at ZE, AN TtaQccXXrjloi. aCi xccv ts ^ij g)6l jtag- 

dlXrjXoL, iav mt^ev^co^sv 

triv EN, i6tat, cog rj ZH A —^ B 

TCQog HE, ovtcog rj NS @ 
TtQog ^E, hg 8\ ^ N^ 
10 nQog 1S!E, ovtog rj NM r 
TtQog MA, SoGte cog rj 
ZH TtQog HE, ovtcog rj NM TtQog MA. 

Ad prop. XXXIX. 

90. ^sdotat aQa p. 68, 19] STtsl ovv dsdo^svai 
15 sialv at KE, EZ, 6 JtQog dXXr]Kag Xdyog avt&v 

dadotat dtd tb a . b\ioicog 8\ xal t&v EZ, ZK 
Xoyog dsdotaf xal sti 6 t&v ZiJT, KE X6yog dsdotai. 
TtdXiv.! STtsl aC KE, EZ Ssdo^evai sl0l tTj d-s6si, 
tbv avtbv aQa dsl t^nov S7tsxov6iv. xal did tovto ■ 
20 dedotat rj vnb KEZ t<Z ^eyed^st. b^oCcog d\ xal rj 
VTtb EZK dsdotat ta ^syed-et' xal stt rj vjtb ZKE 
dsdotat rc3 fieyd&Ei. 

88. Vat.Mon. 89. PlVat.vMon.Zffplc. Fig. om. eodd. 
90. PlVat.vMon.Ambr.zffei. 



4. K&v TS ovv] idv V, yi&vtsv&sv 1. 5. ts ftr) mffi] ts^vo- 
aiv P. 7. ^atai] aga Mon., om. z. 11. MA] MNA. 8ia 

t6 ^' tov s'. z. cbs] om. c. 14. ovv\ ydq Ambr. 16. al 
KE, EZ] tco (isys&si z. 16. xaij om. 1. tcov] Pl, 6 t&v 
cett. ; item liu. 17. 17. KE] KA Mon.Ambr.p. 19. aqa 

asi] dsl aga Ambr. ins%ovci,v] ^%ov6iv Mon.Ajnbr.p. 



SCHOLIA. 283 

Ad prop. XL. 

91. ^idotui aQU tb ^ZE tQiyavov p. 70, 21] insl 
ovv didotai sxatiQa tav z/jB, EZ^ didotai xal 6 TtQog 
aXktjXag avt&v Xoyog dicc tb a' . bfioiog xal 6 t&v 
EZ, ZA didotai loyog' nal ati 6 tSiv Zzl^ /lE di- 5 
dotai Xoyog. s6ti ds xal sxd<3t7j r&v z/, E, Z ycovi&v 
dsdofiivr] ta ^syi&si. didotai aQa tb AEZ tQiycovov 
ta stdsi^ ag sv totg OQOig. 

92. zlidotai ccQa aal tb ABF p. 70, 23] snsl ra 
ABF^ AEZ tQiycova avdXoyov s%ovta tdg nksvQag 10 
idsix^V^ ^^^ ^^ ^^^ ABF tQiyavov nXsvQcov 6 Xoyog 

6 TtQbg dXXriXag diSotai, diSovtai ds avtov aC yaviai' 
i'6ai ydQ si^i talg tov AEZ tQiyavov didotai aQa 
tip sldsi, cjg iv rotg oQOig. 

Ad prop. XLIII. 15 

93. ®i6si ccQa i6ti tb AHE 'fjfiixvxXiov p. 76, 23] 
iTtSi yaQ xsttai r) AE tfj d-i<3Si xal ra ^syiO^si dsdo- 
^ivfj^ dijAov, ort, sdv rfirjd-fj Siyja 6 JcvxAoj, s6ri xiv- 
rQov rov xvnXov r] rjfii^sia, rovri^nv rj ix rov xivrQOv 



91. PlVat.vbMon.Ambr.zffpic. 92. z. 93. PlVat.vb 
(m. rec.) Mon. Ambr. z q. 



3. ovv — Tcov] yuQ SsSoiisvai slalv ccl Ambr. rcov] r-qv 1. 
4. dfioLag] Pl, onoicog Ss cett. 5. loyog dsSotai Ambr. ■naL 
— 6. Xoyog] om. z. 6. t&v'] ta>v itQog Ambr. 7. SsSoiisvr]] 
-cp b. 11. ABr] om. z lac. relicta. 18. v.svtQov 'datat tov 
kvkXov Ambr. v.svtQov — 19. rniiGSia] y.al tov ■hvkXov rjiii- 

Gsia b. v:svtQOv] rj iy, tov KSvtQov z. 19. ^ ijiilasia, tovt- 
sGtiv] to Gri(istov, Ma'9'' 3 ts\ivstaL 8i%a 17 z/E. i] Ss rjiiiesia 
^Gtai iv. tov v.svtQov tov v.vv.lov. v.al SsSotai. Ambr. tovt- 
SGtiv — vsvtQov] tfig SsSofisvrig' val yccQ avtov tb Gr}(islov, 
vaQ"' r\ Si%otoiLia' vai z. 



284 SCHOLIA. 

dsdotai, xfi d-E<3Sv xal ttp ^sysd^si^ axots xal 6 xvxkog 
dicc tbv OQOV.^) 

Ad prop. XLIV. 

94. Mrj s6t(o d'^ p. 80, 6] si yaQ vTtotsd-strj oQd^T^, 
5 svd^vg dsdotai ta stdsi dia t6 nQO avtov. 

95. ^oyog ixQa tfig BA p. 80, 11] dia tb avti- 
6tQO(pov tov oQov t&v /Isdo^svcov 8lcc tb fl'. STtsl 
yccQ, cav ai ycoviac dsdo^svai sisl xal ot Xoyoi t&v 
nXsvQ&v nQbg aAAijAag, sxstva dsdo^sva sCffiv, xal t&v 

10 dsdofisvcov ccQa ttp sidsi dsdo^svat sidl xal at ycaviai 
xaX oC X6yoL t&v nXsvQ&v JiQog dXXrjXag. 

Ad prop. XLV. 

96. Kal STCsi sGttv ag t} BA p. 82, 21] ag sv ta g' 
t&v Gtotxsiav (VI, 3)* sdv tQtyavov rj yavia 8i%a 

15 TftT^O-tj, ri 6s ts^vov6a avtrjv iTcl tr}v ^aGtv dx^fi, td 
tijg ^d^scog xat xd si,r\g. si ^iya tstfirjtat rj vnb BAF, 
cjg r} FA TtQbg AB., i] Jz/ TtQbg /JB' xal 6vvd-svtt 
ag ^vva^cpoTSQog rj FA, AB jCQbg AB, -f] FB TtQbg 
BA' xal svaXXdi, cog 6vva^(p6tSQog rj FA, AB TtQog 

20 rB, rj AB TtQbg BA. 



1) Hic in vz continuo add. : Ssdorai tb yievTQOv (xai t6 
■KSVTQOV yag kvvov SiSoraL z) rfj &i6SL. fi yag /i^, (israTtiitrfTco 
{fistaTtiaot av z) ■ 8ia(pvXdrrov {-oi z) Tfjg ij^Lasiag rfjg zlE rm 
^sys&si Tial rrjv &saiv ov (pvXdrrsi. SsSorai aga (pro tco (isys&si, 
— aga z: rb {Lsys&og xai t^ &sasi oi' ^sraniTirst ds' ovSh 
yuQ (pvXd^si). 



94. PMon.S. 95. z. 96. FlaX. 



1. mars'] mars SiSorai Ambr. 17. JB] AB codd. 19. 
BJ] BA X. 



SCHOLIA. 285 

97. Kccl cjg 6vvciii(p6tSQog ccQa rj BAF p. 82, 23] 
fijg yccQ £v t&v rjyov^svGjv TCQog ^v t&v ijto^svcov^ 
ovtcog ccjtavta ta 'fjyov^sva TtQog anavta ta STto^sva. 

Ad prop. XLYI. 

98. ^Eav yaQ tQLycovov yavCa dCxa t^rid-fj, tcc tiig 5 

^c(6scog Tov tQtycovov tbv avtbv £%si loyov talg tov tQu- 

ycjvov TtXsvQalg. 

Ad prop. L. 

99. "^6ts xal tfjg AB p. 92, 6] stcsI yccQ tfig 
AB TtQbg tfiv F/i Xoyog s6t\ dod-sCg, s6ti ds xal 6 10 
rf}g FA TtQbg t^v H loyog dod^sCg, dfjXov ccQa, ag 
xal 6 6vyxsifisvog sx tav dvo So&svtcov loycov dod^sCg 
s6tv Xoyog' t) aal did tb rj\ o xal ^sktiov. 

100. '^g 8s rj AB p. 92, 7] ag yccQ ^ a' jtQbg 
rfjv y\ ovtcog tb icjtb tfjg a sidog TtQbg tb anb tf]g /3' 15 
t6 o^oiov xal b^oiojg avaysyQa^fisvov. 

Ad prop. LII. 

101. ^sdotai aQa tb AZ p. 94, 14] Ttav yccQ 
tstQaycovov dod-sv s6ti ta stdsi Sik tb xal tdg ycavCag 

97. PlVat.cS. 98. Pzcj. 99. P 1 Vat. v Mon. Ambr. p X c. 
100. P1(T. 101. PlVat.vMon.Ambr.ffp. Lin. 18. n&v — 

p. 286, 4 iGav om. ycLQ lin. 18 et rc5 siSsi lin. 19, post iGcov 
autem add. iLsysQ^mv in PlVat. iterum, in c primum leg. ad 
finem libri post schol. nr. 55, ubi sequuntur haec: yicd tcccXiv, 
iav V7tb 6vo do&siawv sv&sl&v x^qiov nsQisxrirai OQ&oymviov, 
SoQ^sv iGVi t6 x^qLov Sicc xb v,al rccg ycoviccg avrov SsSoa&cci' 
Tt&acci yccQ slaiv OQ&ai' v,al rovg loyovg Ss r&v TtXsvQcbv Sia 
t6 a' Q'SwQr}iia. 

5. ya.Q'] om. z. r^ri&fj] liinc z haec habet: 17 Ss rs^vovaa 
rrjv yaviav .sv&sla rs^vrj yial rr]v ^daiv, ra rov (sic) ^dascog 
rfirjiiara dvdXoyov iari ralg Xontalg tc5 rQiycovcp (sic) rcXsvQalg. 

6. rov (pr.)] om. codd. 9. t?)?] Pl., 6 rf^g cett. 10. t^v] 
To V. 13. v,ai (alt.)] comp. Vat., Ksifisvov q. 15. y'] ^' 1. 

18. Ante nav add. axoliov. P. 19. v.ai'] om. Ambr. 



286 SCHOLIA. 

ttvtov dsdoGd-ai' nuCai yccQ si6iv o^-^-at* xal toi)g 
X6yovg ds xGtv TcXsvQav naGai yccQ el6iv l'6ai' xal 
yaQ ov t&v avi6cov (lovav i<Stl loyog^ aXla xal tav 
l'6G}v. xal inel ixxsitai ro tstQaycovov avayiyQanxai 
5 yaQ' dvvafiai avrco i'6ov noQi6a6%^ai' xal dia tovto 
didotai xal ta fisyi&ei xal avtb tb tstQayavov xal 
ixd6tr] avtov nksvQa. • 

Ad prop. LIII. 
102. P. 96, 1] dsdofiiva ta sl'dsi xad-' savta s'xa6tov. 
10 103. Trjg ds z/jB p. 96, 8] vnoxsitai yaQ iv totg 
OQOig' dsdo(iiva yccQ i6ti tm stdst. 

Ad prop. LIV. 
104. 'Edsixd-r] yaQ iv tca 6%okCca ta iv totg nQca- 
toig 6xokiOig tov nQd, onov 6ri(isi6v i6ti t6ds P, oTi, 

15 iav a nQog /3' X6yov sxy dsSo^iivov^ tJ ds xal tb y' 
dsdofiivov^ xal yivr^tai iag tb a' nQbg tb /3', ovtag to y' 
nQog aXko ti ro d', ovxitc xal ivaXXa^ K6yov si,ov6t 
8sdo(iivov, dibnsQ xal ivtav&a ovx ix tov ivalla^ svqe 
tbv X6yov avt&v dsdo^iivov^ dXXa aAAcjg, hg vvv Xiysi. 

20 105. "E6tiv dQa hg ^ TA p. 96, 24] idv tQslg 
svd-stai dvdXoyov d)6tv, ag r] a' nQog tijv y', ovtcog t6 
dnb trjg nQcotrjg sidog n^bg t6 dnb tfjg dsvtiQag t6 
6(ioiov xal b^oicog dvaysyQa^i^iivov. 

102. 103. PlVat.Mon.S. 104. PlVat.vMon.p. 105. Plv. 



1. Ante ■H.al add. deSoc&ai Ss Ambr. 2. Si] om. Ambr. 
3. fiovmv] ^ovov Vat. (comp.) Ambr. p. 6 loyog vMon.p. 

13. ydg] om. Vat.p. yap — 14. P] om. v. 14. tov 

TtQo] Tfjs n (vTCo&easag?) 1. 15. SsSonsvov ^XV ^at.p. '^xv] 
^Xei-Moji. ^] ^'v Vat.p. 17. iial^TtQog q. 'l6y ov] om.Mon. 
19. &XXd] &'XX' \a. 22. SsvrsQag] tarig (comp.) P, /J' a. 



SCHOLIA. 287 

106. Kal trjg Fzf ccqk p. 98, 1] 6%6hov. idsLx^rj 
ycco, ort, iav tQStg e^dd^stca dvdXoyov cb^tv, r} ds a' 
Ttgbg trjv tQitrjv Xoyov 8%^] dsdo^svov, xal TtQog trjv 
dsvtsQav Xoyov s%si SsSo^svov, iv ta xd'. rj xal ovtcog' 
STtsl 6 6vyxsi^svog Xoyog dsdotat^ xal sxdtSQog t&v 5 
Ti&svtcov avtbv Xoycav dsdotaf sxdtSQog ydq 6 avtog. 

107. Kat i6tLV oiLOiov th A t& B p. 98, 2] dvtl 
tov' xat Si6i dsdo^sva ta sidst td ^, B' xal yaQ 
b^ota Cirinata sv&vyQa^^d i6tiv, oGa tdg ts ycovtag 
l0ag dklrikaig s%si zatd ^Cav xal tdg TtSQi tdg l'6ag 10 
yavCag nXsvQdg dvdXoyov co0ts dsdo^sva Si6l rto sldsi 
td bfiota' td ovv bfiota xal ta si'dsi sigI dsdo^sva^ 
td ds ta Sidsi dsdofisva ov Ttdvtcog bfioia. 

Ad prop. LVn. 

108. "Sl6ts xal trjg EA p. 102, 23] iTtsl ydQ 8vo 15 
sidri td EB, B^ dsdo^sva rra si'dsi TtQog aXXtjXa Xoyov 
'i%si dsdo^svov, xal aC TtXsvQal avr«v TtQog dXXrjXag 
Xoyov s%ov6i dsdo^svov. 

109. KaC i6ti ro nXdtog rov naQa^Xrniatog p. 104, 

8 — 9] ro iisv dXri%-G)g nXdtog tov AFHB jtaQaXXrjXo- 20 
yQdfi^ov i6tlv rj A& TtQog oQd^dg ov6a tfj AB' avtov dl 
Tovrov tov AFHB TtaQa^Xrjfiatog cog inl tovtav tav 

106. 107. PlTff. 108. PlVat.vMon.ffpXc. 109. Pl 

Vat.vMon. ffp. (hab. fig. Theonis). 



3. %j/] ^x^i codd. 6. ri&ivrmv] fort. avvn&avrcov. ccvrbv 
loymv^ om. a lac. relicta. 6] om. Pv. ccvrogj ccvrog iariv la. 
9. iari sv&vyQcc^nia a. 10. aXXi^Xccigl -oig Plv. ^x^t, 

xara] ax^^fiara Pv. 15. Ante insi add. axoXiov. P. 16. 

EB, bJ] EJ, Ad codd. 17. aXXriXa Vat.vc. 20. ATB.B] 
AHB Mon. 21. 6Q&cig] 6q9"i^v Mon. 22. rovroov rmv 

rsaaccQcav] compp. P, rfjg r&v S Mon.ffp. 



288 SCHOLIA. 

XBGGdQcov evd-SLav t&v AB^ BH, HF^ TA ^t^kovs 
ovtos tov AB^ TtXdtog sGtat tb AF' inl yag rav 
TtQOxsL^svav ts66dQcov svd-si&v tb Tckdtog ^tjtst, ov tb 
dkrjd-ag tov xgjqlov Jtldtog' ccXXrj ydQ s6tt naQu tug 
6 ts66aQag ojg r] A&. 

Ad prop. LVni. 

110. ^od-stda aQa s6tlv rj Ezf p. 104, 17-18] V- 
0sia yuQ s6ti trig AA 8o%^si6r\g r] EA. 

111. Asdotat aQu xal tb EZ p. 104, 20] o^oiov 
10 ydQ s6ti t(p AF dsdofisva. 

112. Kai s6tiv t6ov totg AF, K® p. 104, 23] s%sl 
yccQ tb EF ta FZ s6tiv i'6ov, zoLvbv TtQo^xsi^&G} t6 
FA' oXov ccQa tb KA Tt5 oAoj t^ BZ s6tLV i'6ov. 
dkXd t6 KA tip AK i6tLv i'6ov, insl xal rj AE trj 

15 EA l'6r]' 8iya yaQ tst^rjtat. xal tb AK uQa tcp BZ 
i6tLV i'6ov. xoLvbv 7CQ06xsi6&co t6 KB' oXov uQa t6 
AF ta yvch^ovi i6tLV i'6ov, tovts6tL ta BK xal BZ. 
stL xoLvbv 7tQo6xsi6&c} tb K®' td AF, K& ccQa i'6a 
i6tl ta EZ. 

20 113. "E6tL ds xal rj EA do&SL6a p. 106, 5] 'f}^i6sLa 
ydQ i6tLV rj EA tr^g AA dsSofisvrjg. 



110. 111. P. 112. PlVat.vMon.Ambr.ci. 113. P. 



2. ovrog] ovras 1. laTai] iazi 1, mut. m. 1 in iatui. ^«t'] 

iTtsi codd. 5. A&] AE Mon.ag. 14. iTtsi — 15. lar}] l'ari 

ydg iari tj AE rfj EJ Ambr. 15. Sixa yaQ rsr^rirai] om. 

Ambr. AK] Ambr., JK cett. 17. AT] KF Ambr. 

18. K@ (alt.)] om. Ambr. 19. iati] siai Ambr. 



SCHOLIA. 289 

Ad prop. LIX. 

114. IIsqI xi]v avtijv aqa dici^stQOv p. 106, 17] 
id£ixd-rj yccQ iv totg GtOL%eLOig^ cog ta o^OLa 7taQaXh]l6- 
yQa^^a TtSQi tr]V avtY]v sl6l dLa^stQOV. 

115. KaL iGtLv l'0a ta KA p. 106, 24] 'nal bfiOLog 5 
xco 6%olL(p ta avTco TtQO avtov d-scoQ^pLatog. 

116. "E6tL ds %al Tc5 sldsL p. 108, 1] tc3 sidsL 
yaQ dsdo^svov vTtoxsLtaL tb FB. 

Ad prop. LX. 

117. "Ofiotov yaQ i6tL tc3 AB p. 108, 17] oTt ds 10 
h^OLOv i6tL t6 AB Td5 AH., dfjlov navtog yaQ TtaQ- 
alXr]?,oyQd^^ov slg ^ovog i6tl yva^icov. xal yccQ yva- 

\ (ICOV iOtlv SV OTtOLOVOVV taV TtSQL tr]V dLCC^StQOV 

\ jtaQakkr]XoyQd^liLCiv 6vv tolg dv6l 3taQa7tXr]QG)^a6LV^ 

I bg 7tQ06tL%-S^SV0g O^OLOV TtOLSt, (p 7tQ06StS%-r] TtaQ- 15 

' 4)cklr]XoyQd^^(p, tb ysvo^svov VTtb tov ii, aQir^g TtaQ- 

ak2.r]XoyQd^^ov xal tov yva^ovog. o^OLog df , Tcav 

* ic^aLQsd^f] yv(b}iG}v 7taQaXXr]XoyQd^^ov TtSQl tr]v avti]v 

' ydQ i6tL did^stQOV, ag iv tc3 5' ^l^Xlco tcov 6tOLXSLOv. 

114. Plff. 115. P. 116. Pl. 117. PlVat.vMon. 

Ambr. zqXcS. 



6. Tc5 avra] tov? 10. 8s — 11. AH] SsSonsva slol x6 rs 
AB xal rb AH Ambr. 10. Ss o(iolov] ti Ssofisvov S. 11. 
TD)] tov z, om cett. TtaQocllriloyQci^fiov] TtaQC(XX7]Xov Mon. pc. 

12. yvwficov] yvcofiov 1, yvwjiovog Mon. KaL — 14. naQa- 

TiXriQmn,a6iv] om. Vat. Mon. Ambr. p c. 15. %Qoatt,&s(isvos] Kal 
XL&snsvog Mon. pc, iial ■nQoari&sybSvog rm ■hvkXco Ambr. noLSt 
oiJLOLov V. TtQoasri&ri Q- TtaQaXXriXoyQd(i(i(p] -a Mon.c, -ov z, 
om. Ambr. 16. 7taQaXXriXoyQd(L(iov] z, TtaQaXX-^Xov cett. 17. 
6(iolag] om. z lac. relicta. ■nav] yial av Pl. 19. yap] om. q. 

iatL] siai vAmbr.c. s' ^i^Xlco] ¥? Vat., xj' rov ?' Ambr., 
5' Mon.z, «' — s' p, Lz' c, tcQV atOL^siav] tov EvvlsiSov v. 
Euolides, edd. Heiberg et Menge. VL 19 



290 SCHOLIA. 

Ad prop. LXI. 

118. 'Enel do&stad B6xLvrih%o ZTB yavta ^.110,22] 
dsdofievov yccQ ta eldcL vTtoKeitai tb AZFB. 

119. zJod-£V aQatb ZB TtaQakXrjkoyQa^^ov p. 110,23] 
5 oti dsdotaL tb ZB 7taQaXXrjk6yQa}i^ov ., dijXov. i^cel 

yaQ dsdotat 7] ZFB ycovia, SedotaL aQa xal rj FZB 
ycavCa' eig yaQ TcaQaXkrjXovg tag ZB^ FB evd^eta ifi- 
Jtentcoxev rj FZ 7totov6a tag evtbg xal eTtl ta avta 
^eQri dv6lv OQ&atg L6ag, djv rj vnb ZFB dedotai' xal 
10 XoLTCrj aQa rj vnb FZH dedotaL' a6te xal ai XoLTcal 
dvo dedo^svaL ei0Lv. xal inel dsdotaL 6 trjg FZ ^Qog 
trjv FB koyog^ i'6r) de rj ^ev ZF tfj HB, rj ds FB 
tf] ZH., xaX 6 Xoyog t&v TtXsvQ&v dsdotaL. 

120. Tov ds ZB TtQbg tb Jz/ Xoyog s6tl do&ets 
15 p. 112, 3 — 4] eTtel yccQ tov ZB JtaQaXXrjloyQccii^ov TtQog 

ro AZBF sldog Xoyog i6tl dod^stg., tov M AZBF 
sldovg TtQbg tb JTz/ Xoyog i6tl do&SLg, xal Sl' l'6ov 
Tov ZB TtQog t6 jTz/ Xoyog i6tl dod^stg. 

121. "I6r] yccQ tfi vnb KFB p. 112, 14] ensl yccQ 
20 naQcxXXrikog rj FB tfj A@, xal eig avtag i^nentcoxev 

evd^sta ri FiJT, ai ivakkai, ycovCaL i'6aL aXXijkaLg si6Cv. 

118. P (bis) Vat. 0. 119. PlVat.vMon.Ambr.zcpi (in z 

textui post rriv FB So&dg p. 110, 23 interpositum). 120. | 

PlVat.Mon.Ambr.(7pi. 121. Plff. j 

7. sl$ ydg] ijtsl yccg sig Ambr. i^LTtimoKSv] inninroKSv \ 
Vat. 9. ZrJB] ZrS ycovia z. xaij om. z. 10. Post I 

SeSorcci adcl. Sicc rov S' (comp.) z. 12. 17 (pr.)] rjj Ambr. i 

T^] om. Mon., tj Ambr. rj Si FB rf ZH] rjj os ZH -^ '. 

FB Ambr. 13. Kui — SsSorai] SsSorcci. ccqcc kccI 6 Xoyog r&v \ 
nXsvQ&v Ambr., ciars v-ai — SsSorat, cett. 15. TtagaXXrjXo- j 

ygcc^liov] comp. Mon. , sv&vyQccfi^ov 0. naQaXXriXoyQd^fiov ! 

TtQog rb AZrS] in fine scholii hab. Pl. 16. ^ Z B T (utrunique)] ] 
jiZFB Mon.ffp. 17. l'aov] l'aov ccQa a. 



SCHOLIA. 291 

Ad prop. LXIII. 

122. ^El rOVtO 7tQ06£7tLd'E(OQ£tV, OtL Xccl tU TfT^a- 

ycjva JiQbg akXrjla Xoyov £\£l d£dofi£vov tovtci yaQ 
fl^g 7tQ0i3%Qri6£taL. oti dl aXrjd^ig £6tLV^ dfiXov. £l 
\yccQ mdt£Qov t&v EB, ZF TCQog to ABF X6yov £X£l o 
dedo^£vov, d^Aov, otL xal ta EB, ZF JCQog aXXrjla 

X6yOV £%£L d£d0}l£V0V. 

Ad prop. LXIV. 

123. Tb £v ta d£vt£QC) ^L^XLa dmdExatov d^EcoQrj^a 
6v^^dkX£taL £Lg tb naQbv d-£G}Qrj^a' dXXd xal tb ty' 10 
ndhv £Lg t6 ii£td tovto r]tOL tb If', xal ip^tEi avtd 

£X£L. 

124. n6&£v £6tLV, d)g rj AA itQbg tr\v z/jB, ovtag 
t6 v%b tav A^, BF jtQbg t6 vnb tav AB, BF; ix- 

x£L6d^o tLg £vd-£la rj a/3, xal 15 
x£l6%-c!1 tfi fi£v AA L'6rj rj ad, 
tfj dh AB i'6r] rj ^/3, xal rjx^co 
TtQbg oQd^dg rj d^, xal x£l6%^o 
tfi Br i'6r] r] d^' xal 6v^- 
n£7tlriQC36%a t6 6%r]^a t6 «-9' 20 
%aQakkr]X6yQaniiov. £7t£l ovv i6tLv, cig r] ad JtQbg 
tf/3, ovtag tb a^ TtQbg t6 d-O-, xaL i6tL t6 ^£v at, 

122. PlVat.vce^l. 123. P». 124. PlVat.vAmbr.zffpi 
(in z textui post nqog p. 118, 10 interpositum) ; fig. hab. Vat.zffp. 

2. Ttt] om. G. 4. ngoGxQriGtcci q. 5. ■nQog xb ABF^ 

om. codd. %fi] ^xV ^at. 6. £B] E om. codd. 13. 

iariv] SsUvvrcci Ambr. etm. 2 a. ttjv] om. vcrp. zJB] AB zq. 
16. Ksia&o)] &(priQsiG&(a z. 17. ij 8^] sustulit resarcinatio 

bombyc. 1. 20. ff^JjM^"] ^^- ^- ''^o (alt.)] ^'toi to Ambr. 

21. iTtsi ovv] %cil insi Ambr.z. 17] om. Pl. 22. 8f] 

rr,v 5(3 z. (isv cc^ ro] sustulit resarcinatio bombyc. 1. 

19* 




292 



SCHOLIA. 



t6 vTcb r&v ccdy d^, tovti^ri tb vTcb t&v AA^ BF' 
i'6r] yccQ rj BF ttj d^, tj ds ad tfi A/1' tb 81 d%^ 
tb vnb t&v d^, d/3, tovtB^ri ro vnb t&v AB^ BF' 
i'6rj yccQ rj fihv ^8 rf] BF, ij dh d/3 rf] AB' eanv uQa 

5 iog r] AA TCQbg AB, ovtcjg tb vjcb AA^ BT TtQbg t6 
vnb tav AB, BF. 

125. 'AUa tov vxb t&v AA, BT ^. 118, 13] av- 
rjx&co TtQbg OQ&ag anb rov B 0r]{iELOv rfj AA i'6r] xal 
TCaQaXlr^log r] BZ, xal ccTcb rov A 6r]iisi!ov tf] AT 

10 8ir]i%(x> i'6r] xal TCaQdXkr]kog r) 
AE.) xal STCs^svx^f'^ V E T. 
xal etcbI t6 BE 7caQakl7]?,6- 
yQa^^ov Tov tQcyavov dLTcld- 
6l6v B6tLv' inC te yccQ trjg 

15 avtrig ^d6s(bg sl6l xal sv talg 
avtaig TcaQalkrjXoLg' xal tcsql- 
sxstaL t6 naQalh]l6yQa^^ov vnb t&v ZE, ET^ i6rj ds ij 
ET tf] AA^ 7] ds ZE tf] BT, dLcc tovto k6yov s^sl t6 
7CaQaXXr]k6yQa{L^ov iCQbg t6 tQcycovov, &6ts xal dLuXa- 

125. PlVat.Mon.Ambr.ffp^lc; fig. ex P. 




1. XQ (pr.)] om. 1. TovTsaTi t6 vtco tcov^ bis 1, sed alte- 
rum del. m. 1. 2. 8&] a9 Vat.Ambr. 4. /'ct]] sustulit 

resai*ciaatio bombyc. 1. 17 fiev] om. z. 5. z^Bj ttiv JB 

Ambr., t6 JB q. AJ, BF] t&v (comp.) A^, BF Ambr. 9. 
TtaQdUi^Xog] 17 TrapaUrjiog P 1 Vat. 10. Sli]x&o} Tfj J F Ambr. 1 1. 
AE] JE M.on.Q. 12. Kal iTtd] Ambr., ind yuQ cett. ; malim 
iytsl ovv. 13. StTtXdaiov iaTt, tov ABF TQiywvov Ambr. 14. 
ini Ts] FEZd Vat., insi ts Mon. yap] om. Vat.Mon.c. 

15. flat] iaTL Ambr. 17. to] t6 [lsv BE Ambr. 18. 

Tf] (alt.)] Ti)s VX. Sia touto] sustulit resarc. bombyc. 1, aart 
Ambr. t6 B£ jtapaHTjioypafifiOJ' TtQbg t6 ABF TQiyavov 

Ambr. 19. to] om. l. <octb — p. 293, 4. CToixsiaiv] 61- 

Ttlaaiovcc ■ xal t6 Slg aQa vjtb t&v AJ, B F TtQOg t6 ABF Tpi- 
ytovov loyov ixsi TSTQanXaaiova, xai cpavsQOv, oTt xal So&svta 
Ambr. 19. xai] om. Vat.Mon.pC. 



SCHOLIA. 



293 



6iQva t6 oiKQaXXriXoyQaiiiiov Xoyov e%ei TtQog tb xqC- 

ycovov^ onsQ i6xl t6 8lg vno r&v A/i^ BF koyov a%£i 

doQ-avra TtQog t6 xQiycovov TSTQanXaGiOva. t6 yaQ zlF 

I tov vTib FB fist^ov i<3Tiv^ ag iv ta /3' tav GtoiXEicov. 

126. Kai iati t6 dlg vjtb tav zlB, BF p. 118, 16] 5 
iv t(p t/3' d-£C3Q7]^ati tov /3' tav 0tOiXEiC3v iv totg 
ccii^kvyavioig tQiyavoig. 

Ad prop. LXV. 

127. "Sl6tE jcal Tov vTcb tav FBzl p. 120, 13] 
xaC i^tiv hg rj B^ nQbg zlA^ ovtag t6 vnb FB, z/B 10 
nQbg t6 VTtb FB, A/i. 

128. Uod-Ev, oTt i6tiv ag Yi B^ TtQbg ^A, ovtag 
xal t6 VTtb tav FB, BzJ TtQbg t6 vtco t&v Bri, AzJ; 

ixxECod^c) tig Evd-Eta i] Et, xal 
d(pr]Q7]6&(o &.% avtrjg tf] }iev 15 
B^ l'0r] 1] eS, tf] ds AA l'0r] 
r] d£;, y,al TtQbg OQ&ag r] r]d 
i'6r] ov6a tf] Br. inEi ovv i6tiv 
cjg r] eS TtQbg d^, ovtcjg tb et] 
^Qbg r]^, xaC icti t6 iiev Er] 20 
t6 VTtb t(bv eS, dr], tovti^ti 
t6 vTtb tav -Bz/, BF., t6 dh r]^ tb vnb tav ^d^ ^?^, 

126. P. 127. Pl. 128. PlVat.Mon.c^;l. Fig. om. codd. 




2. OTtSQ iari^ v.ai X. 3. do&ivra] 8s8o(isvov l^, om. Mon. 

TtQog t6] t6 yuQ c. tSTQaTtXaaiova] comp. codd. t6 yccQ 
— 4. iozLv] non intellego. 3. to (alt.)] a, rov cett. z/r"] 
sust. resarc." bombyc. 1. 4. Sg iv] tineis adesa Mon. 12. 
wg] om. Vat., i'ari Q- l^- '^^v (pi'-)] '^o 1. rav (alt.)] om. 1. 

15. an' avrfjg] ano ravrrig V^-t-, vnb ravrr\g Mon. , anb rfjg 
avr f,g q. 16. zlA] JZ Mon.p. 17. 17 (alt.)] om. P. 22. 
t6 (tert.)] ra codd. 



294 



SCHOLIA. 



tovte6tt tb vTch tav BF, JA- i0r] ydcQ 7] ^ev drj tfj 
BF, 7} ds d^ tfi /iA' Myos ccQa s6tl xal ta £|ijg. 

129. KaCaGtL tb dlg vnb tav TJS, 5z/p. 120, 17 — 18] 
cjg iv rc3 /3' tav Gtoixeiav iv ta ty' d-sojQ^^att iv 
5 totg o^vyavtotg tQtycbvotg. 



Ad prop. LXVL 
130. 'Slg ds Tj AB TtQbg jBz/ p. 122, 9] ndhv xal 

ivtavd^a, idv tfj (lev AB i'6rjv svQ^s tav Id^&^sv tijv s% 

tfj ds BA ti]v t]^ xal TCQbg 
10 OQ&dg ttjv 't]d' l'<37]v ov6av 

tfj AF' 'x.al 6v^ns7tXr]QG}- 

6d^co t6 6%fi^a' s6tat agr] sr] 

TtQog 7]^, tovte6ttv ag tj 

AB TtQog Bzf, ovtc^g tb ed- 
15 ctQbg &^, tovts6tt tb vTtb 

tav d^rjs, tovts6tt tb vnb 

tav BAF, TtQog tb d'^, tovte6tt :tQbg tb vnb t&v Otj, ryi;, 

tovts6tt TtQbg tb V7tb tav AF, BA' i'6r] yaQ rj ^sv sr] 

tfj AB, r] ds 7]d- tf] AF, r] de r]t, tf] BA. 
20 131. Tov ds vnb t&v AT, BA p. 122, 12] idv 

ydQ djtb tov B tf] AF TtaQalXrjlov dydyafisv xal 

7tOLr]6(o^ev 7taQaXkr]l6yQa^fiov, e6tat ro vnb tav BA, 

129. Pl. 130. PVat.vMon.opJl. Fig. dedi ex Vat.; 

om. Plv. 131. PVat.ffpi. 




1. to\ Tco Vat. p, To. Mon. xCbv\ om. p. r^ BF] om. 
Mon. 2. T^] om. Vat. Xoyos — s^'}?] haec codd. habent 
initio scholii nr. 130. 8. AB] BJ Vat. 12. ^ffTat] comp. 
PVat., om. 1. 16. &ria — 17. tmv (pr.)] om. Vat.Mon.p. 

17. Trpdg (alt.)] xo^iVat. p. ^■ti, tjJ — 18. Totv] om. Vat.Mon. p. 

19. AB] A@ Vat.Mon.p. 



SCHOLIA. 295 

A r TtQog t6 ABF tQLyavov koyog dod^sig' dinXd- 
Otov yccQ. 

132. Tb d^scoQrj^a ag o^eHag ov6rig rrlg vtco BAF 
tTayiyQanraL. iav ds oQ^rj ^, avrod-sv rb vnb BA^ 
ir TCQbg rb BAF rQCyavov Xoyov B%si dsdo^ivov di- 5 
\K6iov yaQ avTov iiStiv. iav 8\ a^^Xsta fj rj vnb BA r*, 
riid^G) xdd^stog ix^Xrjd^Si^rjg rf^g 
FA rj BE. didorai ovv rj E' 
oQ^r] yccQ' dkkd xal rj vjtb BAE, 
iTceidrj xal rj icps^rjg avtrig vn6- 10 
xeitai' xal koiTtrj ccQa rj vnb EBA 
didotai. didorai aQa rb rQiyavov 
tb EBA Tc3 slSsi' koyog ccQa tr]g EB nQbg BA do&sig. 
aAA' ag rj EB n^bg BA, trig AF fii6rjg lafi^avofiivrjg 
ovtcog t6 vnb EB^ AF n^bg t6 vnb BA^ AF' koyog 15 
ccQa tov vnb EB, AF nQog tb vnb BA, AF dod^Sig. tov 
ds vnb EB., AF nQbg tb ABF tQiycovov koyog dod^sig' 
dinkd^iov yaQ' idv yaQ did tav A, F tfj EB naQ- 
aXkrlkovg dydycofisv xal sti did tov B rfj EF., dr]lov 
yCvsrai' xal rov vnb r&v BA, AF aQa n^bg rb BAF 20 
rQCycovov Xoyog i6rl dod-sCg. 

132. PlVat.Ambr.cp. Fig. addidi. 




1. SinXaaiav P. 8. 17 (alt.)] xat rj q. E] TtQog tco E 

Ambr. 10. r}] om. codd. 11. EBA] BEA Ambr., 

EBzJ cett. 12. TQiycovov rb EBA] EBA TQiycovov Ambr. 

15. ovrag] ovxo PVat. ro vno (alt.)] rov P. BA, AF] 

rav BA, AF Ambr. 17. ABT TQiyavov] ABTd Ambr. 

18. iccv yap] supra add. m. 2 a. 19. Post ccyccyco^isv 

liabet rccg Ambr. et in hoc rdg desinit adscr. Xsi^'. t^] 

om. a. 20. BA — BAT] om. q. BA, AF] JBF a. 21. 
iari] om. a. 



296 SCHOLIA. 

Ad prop. LXVII. 
133. ^Ettv i0o0xsXovg tQiycbvov Kxd-fj rig evdsta^ 
cog axv%Ev^ inl trjv ^daLv, t6 KTtb trjg xtttaxdsLCH^s 
liEttt tov vjtb tav t^rj^tttcov tfig ^tt6s(og i'<30v e6tl ra 
5 KTib (itttg tav L0(ov nlsvQav. 

s6tGi di] i^oGxsVsg tb ABF larjv sxov trjv AB 
tfj AF^ xttl ttTcb tov A snl trjv BF ^x^^ '^''S svdsttt, 
ag stvxsv, rj A/1. Asyc}, ott tb cczb tfjg AJ (istdc 
tov vnb tCbv BA^ AT i'6ov s6tl ta ttJtb tfjg AF. 
10 'fj A/1 sitl tr\v BT r^tot xddstog sativ i; ov. 

s6t(o jtQotSQOv xttd-stog. xttl snsl svdstd ttg rj BF 

tstfirjttti dixtt xattt t6 ^, t6 aQa 'bnb t&v FA, /IB 

L60V s6tl ta ttzb tfjg Bzj. xoivbv tcqo6xsl6%-(o t6 ttitb 

tfjg Az/' t6 ttQtt VTcb tav FA, AB fistcc tov ccnb trjg 

15 AA i'6ov s6tl totg ccnb tcov AA, AB. ccXka tolg ccnb 

tcbv AA, z/5 i'6ov s6tl t6 ccnb AB' t6 ttQtt vnb tcbv 

F/IB fisttt tov dnb tfjg AA i'6ov s6tl ta ccnb tfjg AB. 

ttXXtt dij ^i] s6tco xttd^stog ri AA., xttl r^x^cj dnb 

Tov A inl tijv BF xdd-stog rj AE. Xttl insl svdstd 

20 tig rst}irjttti slg fisv i'6tt xttta t6 E, sig ds ttVL6tt Xtttu 

t6 z^, t6 ccQtt vnb rav FAB ^srd rov dnb rf^g AE 

l'6ov i6xl ra anb rrjg BE. xoivbv nQ06xsC6%^G} xb an^» 

rijg AE' xb ccQtt vnb xav FAB ^sxcc x&v dnb riou 

133. PlVat.vMon.cp^. 



2. lcoaKsXovg] -^g vp. TQtyoavov] comp. vp. 4. tw] 

TO Pl. 7. A] E Pl. 9. Bd, z/rj B^r Vat., BA, AF 

cett. 10. ^z/] AB Q. 11. TtQwxBQOv Vat. 12. Fzf, J B] 
rjB Vat. 15. &Ud] ■xal Vat.Mon.p. 16. t6 (pr.)] tc5 q. 

AB] Tf]g AB IvMon. p. t6 (alt.) — 17. AB] om. q. ' 17. 
rjB] add. m. 1 Vat., /IB Mon. ano (pr.)] Mon., om. cott. 

21. rz/B] FEB Plv. 22. tc5] t6P1. 'ib. FJB] FEB Pl v. 

Tibv (tert.)] Tfjg q. 




SCHOLIA. 297 

AE/i l'0ov fVrt Totg dnb tcov AEB. auC iotiv 'l6ov 
Tolg ScTcb rwv AEA tb aitb tfig AA. tb ckqk vtco tav 

r^B fista tov aTcb AA i'6ov 
80x1 totg aTcb tqv AE, EB. 
xui £(?Tt totg ccTcb AE, EB 5 
t6 anb AB i'6ov. ro aQU 
VTcb r^B asta tov aicb AA 
d E l'0ov Tca unb AB. 

134. ^leoycbvta yaQ iati tu ^AF, ABE tQCyavu. 

135. Kal ineC iativ ag rj BA p. 124, 18] jcuq- 10 
ulXrjlog yuQ istiv r} AF ty BE. 

Ad prop. LXVm. 

136. "E6ti ds xal i^oyaviov p. 128, 3 — 4] ind yuQ 
l6i] i6tl 7] VTcb AEB tfj Z, aAA' r} v%b AEB tfi 0, 
xal fj @ UQU tfi Z i6tiv iGr]' b^ioCcog xcd uC loijcuC. 15 

Ad prop. LXIX. 

137. 'EtcsI dodsL^c^ i0tiv exat squ tav VTcb ztAFy 
AKzJ p. 130, 2] insl TCUQc^Xkrjkog iativ r} zfB tfj 
AF., xul sig uvtag ivs7cs6sv svd^sta r] ^z/, uC ivtbg 
ycovCui UL VTcb BAA.^ AAT dvalv oQd^utg l'6ui si6Cv. 20 



Figuram dedi ex P. 



134. Pl. 135. P. 136. PlVat.vcpA. 137. PU. 



1. JEz/] AE, EJ Vat.Mon.p, item lin. 2. Post AEB 

Pl habent: ■xai iatLv L'aov rolg ccitb ta>v AEB. i'aov] om. 

Mon. 3. rzJB] FAB Pl. laov iari] om. Pl. 5. iari] 

om. Vat. p. A E, E B] AJ B codd. 6. a«d] om. Pl. rd (alt.)] 

rolg PlVat. 7. ccno] om. codd. AzJ] AzJ B Pl. 8. l'aov] 

om. Mon. ra] ro P. 14. Z] ZA codd. 19. ivrog] 
avrdg P. 



298 SCHOLIA. 

dadotai de 7] vitb BzJA' xal koiTtij fj vnh AAT Aei- 
7tov6a eig rag oQd-ag dedotat. dedotat de xal rj vTto 
AK/i l'6rj ov6a tfi vno KAB evakXai, ov6rj. 

138. Ka&olov yaQ^ iav ■jtaQalkiqloyQd^^ov ^Ca 
5 yavCa dod^fj, y.al ai Xontal dedoiievat eioCv. iitag ydiQ 

do9-eC67jg i^ dvdyxrjg ocal tj cqpclijg dod^rjGetat, a6te 
xai tcbv do^^etG&v aC dnevavtCov do%-ri6ovtaL. 

Ad prop. LXX. 

139. 'Avti6tQ6(pLOv dvo TtQO avtov d^ecoQrj^adLv. 
10 140. 'Avti6tQ6(ptov totg dvo biiov ta te e^rjxodtco 

dyd6c} y.al ta lO-' Q-eaiQri^atL. 

141. P. 132,4] e%' evxteCag aQa e6tl xal r] AB tij BM. 
iitel yccQ TtaQaXlrilog i6tLV rj AN tfj z/M, aC ivakXd^ 
ycovCai al vnb ^BF, BFN l'6aL dlXrilaLg £l6Cv. Ttdhv 
15 eTtel 7taQdkkril6g e6tLv r] MB rfj AF, al vnb MBF, 
AFB l'6aL dklrjlaLg el^Cv. al aQa vnb AFB, BFN 
talg vnb ^BF, FBM L6aL el^Cv. OQd-al 8e ai vnb 
AFB, BTN- OQ&al aQa xal at vnb JBT, FBM. idv 



138. PlVat.vMon.cpi. 139. Vat.Mon.(;(m. 2) S. 140. 
Vat.Mon. (ad prop. LXXIII). 141. PlVat.vMon.ffpi. 



1. BJA] HJA P. XoiTf^] Xoyog P, om. U. 3. AKJ]\ 
ABJ P. 4. Ante yiccd-oXov add. axoXiov. Mon. 7. do^i]' 

Govtai] om. Mon. 0. 9. &8aQriiia6i.v] &£coQi]^aTa codd. lO.J 
Ante avTLGTQOcpiov 4 litt. dubias habet Mon. rs] om. Moi 
11. |'9''] llTjxoffrco J Mon. 12. xat] ag Vat.v. rf]] oi 

codd. 13. iatLv] om. Mon. ^iV] ./4JB Pl, ^B m. 1 del 

et siipra scr. AN Vat. zl M] ANPl, AN m. 1 del. et supr' 
scr. z/M Vat. 14. JBT] ABF l 15. i}] ri(i Pl. It 

AFB (pr.)] om. Pl. al] r] q. 17. FBM] FBN P, Ml 

postea mut. in FBM m. 1 Vat., FBA Mon. at] Svo 

Vat.Mon. 18. AFB] AFN 1. BTN] om. 1. 



SCHOLIA. 299 

de TtQog xivL svd^sia xal ta TCQog avxri 6rjfi£ic3 xal xa 
f|rjg, as iv xa a xav 6xoL%£LGiv (I, 14). 

142. "E<5XL 8e xal laoyavLOv p. 132, 6] stcbI ya^ 
i6oyG)VLov xstxaL xb AB xa EH^ t6i] i6x\v rj vno 
AFB xfi TCQog x<p Z' akk' rj vnb AFB xfj TtQog xa iV, 5 
i; ixxbg xf] ivxog' xal i] JCQbg tc3 N aQa xf] TCQbg xa Z 
167]. o^OLcog xal aC koLTcaC. 

143. "E6XL df xal rj vnb KFB do&£t6a p. 132, 20] 
I6r] yccQ i6XLV rj TCQog xa Z do&£t6a. 

144. Kad^oXov yaQ ndhv, iav dvo XBXQayavov 10 
dvo yavCaL i6aL chOlv^ LdoyavLa £6xaL ta naQaXh]X6- 
yQa^^a. 

145. Aoyog aQa icxl xov FA nQog xb Z® dod-£Cg 
p. 134, 6] fiaklov akr^d^ag dLa xovxo' inel yaQ l'6r] 
i6XLv i] vnb KFB xfj Z xal neQL i6ag yavCag aC 15 
nk^vQal Xoyov £%ov6l d^So^ivov, dLcc xb vvv nQaxov 
dsLxd-sv xov o' d-£C)Qr]^axog Xoyog i6xl xov FA n^bg 

Z & do&£Cg. 



142. PlVat.vMon.ffpiS. 143. PlVat.vffS; ante lari hab. 
fffrt $£ y.al i] vtco xcbv KFB do&staa IvffS; u. uerba Euclidis. 
144. PVat.vMon.ffS. 145. PlvX. 



1. TTpos (pr.)] Kccl Mon.p. xat (pr.)] TtQog q. Trpds (alt.)] 
■Kai Q. ccvrfj] ta uvrjj q. 2. ag — aroixsicav] om. Mon. 

4. keItccl] om. Mon. to — rw] rm — rd Vat. Mon.p. AB] 
Ad Vat., sed z/ m. 1 mut. in B. 5. r^ (pr.)] om. Pl. rra 
(utrumque)] rd Pl. Z — iV] Jff iaxiv iaj\ 17 rra Z Mon. 

Post N add. iaxiv i'ar] m. 1 Vat. et sic q. 6. i) (pr.)] 

om. Mon. r} (alt.)] 17 &X).r] Mon. ^qos (pr.)] iv q. xm 

(utrumque)] x6 1. xm (alt.)] om. Vat., x<a vno Mon. 7. tffrj] 
iaxiv i'ar} Vat.vMon., ag q. kcci] «5rj kcci v. Xontai^ aXXai 
Vat., allai ATB Mon. 9. ^ — SoQ^aiaa^ x^ — dodsiar] vcS. 

10. xsxQaycovcov^ naQaXlriloyQcxjincov? 11. 'iarai] comp. P, 

aQa Mon. xcc] om. Vat.Mon.ff. 



300 SCHOLIA. 

Ad prop. LXm 
146. ^L iit avxag riy^Bvai p. 136, 9] naxa xolvov 
xh iv dsdo^EVGi loycj g}6lv. 

Ad prop. LXXIII. 

5 147. "Egxl 6e xal tdoyavLov p. 140, 4] otl de, 
iav TiaQaXXrjXoyQd^^ov dvo TcXsvQal iz^Xr}d^a)0L, xal 
0v[i7cXr]Qad-fj 7CaQaXXriX6yQa^iiov ^ liSoyavLa EcovxaL xa 
naQaXlrikoyQa^lia. sGxa TtaQaXXrjXoyQa^^ov xb AB^ 
xal ix^s^Xr]6d-c)6av at AF, z/JS, xal 6v^7te7CkrjQa6&(o 

10 To r& 7caQakkr]X6yQaa^ov' Xiyco^ oxl L6oyd)VLd iGxiv 
xd AB, r& naQalkrjl6yQa^iia. ircel yaQ TcaQaklriloi 
etCLV at ^z/, F5, iJT©, tSri iaxlv r} ^ev vno AFB xfj 
vjcb rK0, rj de vnb KFB xfj vjtb FA^, coaxs t0o- 
yavLK st0LV. 

15 148. ITQbg rjv r} AF -p. 140, 8^ r} AF X6yov xaQLv 

TCQog xr}v A r} TCQog oiov St} tcoxs xtva X6yov i%ex(o dedo- 

lievov. ag ccQa r} EZ TCQbg xr}v FK^ ovxcog r} EZ TCQog 

T^v r} AF X6yov s%sl dsdo^evov, xovxedXL /3 TCQbg xr}v FK. 

149. P. 140, 8 — 9] 7c6&sv, oxl r} AF TCQbg xr}v FK X6yov 

20 iiSL dsdo^evov; dst^o^sv ovxog' iTCsl yaQ l'0ov i6xl xal 
tcfoyaviov xb EH xa r&, eCxLV ag r} FB TCQog ZH, 

146. PlMon. S; textui post avrdg p. 136, 9 interpos. b: Sia 
t6 ^h KOivov Xoyov ^x^voi SsSonsvov. 147. Plv. 148. 

PVat.zpc. 15. Tj Ar — 16. SiSo^svov bis z, r} AF — SsSo- 
[Lsvov post StSoiitvov p. 140, 8 textui interpos. Mon. 17. w? 
— 18. rx ibidem textui interpos. b. ag — FK om. c. 149. 
PVat.vMon.op. 



11. yap] ycovlui lam Pv. 12. K@] B@ P. 15. Xoyov^ 
Xoy" Xoyov P. 18. tjv 17] t^v b. tovttari — FK] om. 

20. Ssl^cofitv P. 21. Tw] to P. wg] liai punctis del. > ' 

mg. wg Q. ZH] ZB Vat.vMon.p. 



SCHOLIA. 301 

)'/ ZE JtQos PK' IdyG), oti r} AF tcqos FK Xoyov 
ty^ei dedo(i8vov. ^i] yccQ^ aXX\ si dvvatov^ r] AF nQog 
aXXrjv tivu trjv A koyov i%it(o dsdo^avov. xal btceX 
vjtoxEitaL G)g rj FB JtQos ZH, rj ZE tcqos r^v rj AF 
}.6yov E%Ei dsdo^EVOv, ag aqa rj FB TtQog ZH, ovtog 5 
)} ZE TtQog trjv A' E6ti 8\ ^tcct, iog r\ TB TtQog ZH, 
rj ZE TtQog FK' i'0r] uqu rj A tfj FK. EfEi dh r] AF 
TtQog tr]v z/ Xoyov dEdofiEvov xal TtQog tr]v FK uQa 
i'6r]v avtf] ov6av Xoyov E%Ei dEdo^Evov. 

150. 'ETtEi 6vvr]xQ^ri cog r] EZ TtQog FK, ovtiog r] 10 
EZ TtQog rjv r] AF Xoyov s^Ei dEdofiEvov, olov TtQog 
tr]v ^, TtQbg a ds tb avtb tbv avtbv E^Ei X6yov, 
EKEiva i'0a E6tiv, i'6r] ccQa r] FK tfj ^. r] ds AT nQog 
ti]v /i X6yov E%Ei SeSo^evov &6tE r] AF aal TtQbg 
ti]v FK X6yov E%Ei dEdo^iEvov. 15 

151. "Eativ uQa ag r] FB TtQbg ti]v ZH p. 140, 
22] dEioctEov ds ovtcog. inEi ag r] FB TtQbg ZH, 
ovt (og r] EZ TtQog z/, TtQbg r]V r] AF Xoyov EXEt do- 
d^Evta^ E6tai jcat tog r] FB JtQbg ZH, ovtog r] EZ 
TtQbg ^, TtQbg r]v r] FA X6yov exel do%-Evta. ■x.al uq- 20 
^60EL r] TtQOtEQU xataOxEvr]' xal tb i^rig de ovt(og 

dEiXtEOV. 



150. PlVat.Mon.pi. 151. PlVat.vMon.cpZ. 



1. ■)} (pr.)] ovrong 17 Mon. p. 3. J] A codd. 4. ^rpog (pr.)] 

om. codd. 8. «905 (alt.)] cos p. 9. avr^] civxSi Pp, av Vat., 

a.vxov Mon. i%^i\ s|«t Vat.Mon.o. 10. ^:r£t]'om. 1. TR\ 

xr]v FK q: 12. &] om. Pl. Uyov ^x^i q. 13. z/] EzJ Mon. 

18. EZ] AZ Q. AF] ABF, rBYat.M.on.6Q. 19. ^arai] 

aQa Mon., dijXov q. 20. So&£vxa] dsdofieVov 1. aQ^o^ei q. 
21. y.araaiievi^] om. q lacuua relicta. itai] ag q. 



302 SCHOLIA. 

152. yioyog uqa tov FM TtaQuXXTjXoyQd^fiov 
p. 142, 1 — 2] sTcd yuQ rav FM, EH tisqI L6ag yavCag 
xag TCQog xolg P, Z ai TcXsvQal ovtcig £xov0lv, g)6xe 
dvai ojg xijv FB TtQog xtjv ZH, ovxcog xijv EZ TCQog 

6 rjv rj AF X6yov exai dedo^tvov, ag TCQog xrjv AF^ 
8id(. xo vvv aQa dsixd^av xov oy' xo tcq&xov Xoyog xov 
FM TCQog xb EH do&eig. 

153. Mr} avxiGXQExljrjg' ov yccQ aXrjd^sg. 

Ad prop. LXXIV. 
10 154. 'AvxcGxQo^piov Tc3 XQo avxov. 

155. Tb od' d-£d)Qr}^a xad^oXcxaxEQOv tov v?'. 

156. "Eetiv uQa ag rj FB p. 144, 14] dca tb vvv 
TCQ&tov dsix^ev toi) o8'. 

157. "Oti 8a a<3tiv cag rj FB TCQbg ZH^ ovtag ri 
15 EZ ZQbg rlv rj AF TcdXiv koyov a^ai dadofiavov, avtl 

xov XQbg tijv i'0riv aavtfj, daii,o^av ovt(og. naQa- 
^a^Xri^^co yccQ b^oicjg ta indva naQa trjv FB ta 
EH l'6ov TcaQaXXrjXoyQa^fiov tb FS ^iccl xaiGd^co, a6t£ 
in^ av&aiag aivai trjv FN tfj AF' iic av^aiag aQa 
20 a6t\ xal rj MB tfj BS. xal anal tov AB jiQbg t6 
EH Xoyog a6ti dod^aig' vnoxaitai ydQ' dXXa tb fiev 



152. PlVat.vMon.ce. 153. PlVat.vMon.orp^l. 154. 

Vat.Mon. 155. Vat.Mon. S; coniunct. cum nr. 154 et om. 

t6 oS' »fwQri(icc Q. 156. PlVat. 157. PlVat.vMon.ff^i 

{axoXiov fls To oS' &£wQr)(icc q). 



2. rcov] t6 Pl. 4. wg] i'ar}v q. 5. AF] FA Vat.Mon.^^ 
AF^ Ar codd. 6. oy'] «■jS Vat.Mon. 12. wv — 13. o*T 
nQoSsixd^sv ivrav&K Vat. 14. ort] to IX. IG. SsL^<a\ 

(isv Pl. nc(Qap£§X'^a9(a] nsQi- q. 17. TtuQa] ■nsQi q. I9j 
^r] AN Q. 20. B^] ES Vat.Mon., £Z q. 21. EHJ 

&H Pv. 



SCHOLIA. 303 

AB t(p FM i(5tLV i'0ov, t6 de EH tc3 F^, xal tov 
FM aQu npbg FS ^oyog iatl dod^stg' &6t£ xal trjg 
FA TtQog FN koyog iatl dod^sig' trjg dl FA TtQog FA 
Xdyog i6tl do^Eig dua tb dsdo^d^av t6 AFA tQCycavov 
xal trjg AF aQa TtQog FN ?,6yog i6tl do&£ig. xal 5 
ijt^l i6ov i&tl t6 r^ Tc3 ^Tif , £6ti d£ xal ieoyaviov, 
£6tiv aQa C3g tj FB ■KQog ZH^ ovtcog t} EZ nQog FN. 
£6ti d£ xal ag t} FB TCQbg Zif, ovtcog rj EZ nQog 
Tqv rj AF Xoyov £^£1 dedo^ivov, tovt£6ti TtQog tr^v AF^ 
dta t6 vvv TtQtbtov d^ij^^d^^v tov od'. £6tiv ccQa ag 10 
rj FB TtQbg ZH., ovtag rj EZ TtQbg ixat£Qav tav 
AF, FN' i6rj ccQa r] AF ty FN. 

Ad prop. LXXVI. 

158. Tfig d£ AB p. 148, 4] didotai yaQ t6 ABF 

tQiyCOVOV t(p £id£l. 15 

Ad. prop. LXXVII. 

159. Kal tov BH ccQa p. 148, 22] in^l yccQ tov 
ABF TtQbg t6 AEZ Xoyog i6tl So&^ig, £6ti de xal 
tov ABF TtQbg t6 BH Xoyog do^f^'?, xal tov BH 
ccQa jtQog t6 ^EZ 2.6yog i6ti dod^^tg. ■jtdkiv i%£i tov 20 
BH TtQbg t6 ^EZ X6yog i6tl dod^^ig., £6ti de xal 



158. P. 159. Pl v; textui post nQog roBH do&dg p. 148, 18 
interpos. X (in mg. oifiixi tovro cxoXiov slvaf stg t6 ^stconov 
yccQ IxfiTo). 



4. Stdaa&ai Plv. to (alt.)] om. PlVat.Mon.p. 6. t6] 

tfjg Mon. 7. wg] KaL q. FN — 8. nQog (alt.)] om. IqX. 

7. rN]rM-v. 9. AT] Arn. TowfW] htiv Mon. 

lacuna relicta. trjv] corr. ex r/v q. Ante AF hab. r] AF 

del. m. 1 Q. 10. o)?] Kai q. 11. ZH] H om. Mon. 



304 SCHOLIA. 

rov E& TCQog t6 ^EZ Uyog do&eig, xal tov BH 
uQa TCQog rb E& loyog i6rl do&SLg. 

160. Kal drjXov, on xcct, iav fiij cctco rijg EZ 
rerQayavov avaygdjljcofisv, dXlct aTCO aXkrjg riv6g, olov 

5 r7]g ZS^ Jtal TCQog ix£iVT]v, olov rijv Z^, loyov iisi 
dsdo^ivov 7} Br. 

Ad prop. LXXYIII. 

161. P. 150, 18—20] iiSov dh rb ZH ra EK- 
X6yog aQa rov Fz/ TtQog tb EK dod^SLg, ooGrs 8ia 

10 rovro xal rTjg FE TCQog E& Uyog iGrl do&slg Slcc 
t6 dvrL6rQ6q)Lov rov a rov s' I^l^Uov EvxXsLdov. 

162. P. 152,5— 6] iTCsl yccQ Uyog iarl do&slg rfigE& 
TCQog ZA., dXXd rfig E& TCQog FE X6yog i6rl dodsig, xal 
T^g FE ccQa ^Qog ZA loyog 8o%SLg. l6rj ds i6riv t) ZA 

15 rfj BZ' rsrQayavov yaQ' xal rrjg FE aQa TCQbg ZB 
l6yog dod^sig. dllk rf\g ZB TCQbg EA koyog dod^sig- 
v7c6xsLraL yaQ ' xal rTJg FE ccQa jCQbg E^ X6yog doQ-su. 
xaC iarLv i6r] rj E^ Tfj FM' dnsvavrCov yaQ' xal 
rrjg FM aQa iCQbg FE X6yog do&sCg. o^oCojg dij xal 

20 a[ XoLTcal TcXsvQaC. xal insl dsdorai r] E' OQd-rj yaQ' 
to6rs xal rj XoLJti] sCg /3 dQ&dg rj F, xal at dnsvavrCov 
didoraL aQa ra sidsL t6 Jz/. 



160. PlVat.vffpZ. 161. PlVat.vMou.cp. 162.PlVat.vcp;i. 



3. Ante y.ai add. cxoXiov. Vat.p. 5. ^x^i] ^xv Q- 6. 

7] BF] om. Vat.e, tj @r \. 11. ^i^Xiov] om. g. Evv.X£iSov] 
om. Vat., Tcbv aToix^icov Mon.ffp. 12. E@] EF Vat.crp. 14. 
Sod-Hg] iGTl So&sig Vat.vp; item lin. 16 (utr.), 17, 19. rf;] 

tfjg IX. 15. yccQ] om. X. 17. ■ujrdxfirat — So&eig] om. U. 
20. yccQ] om. q. 22. t6] rco PU. 



SCHOLIA. 305 

Ad prop. LXXIX. 

163. Tb avTi^XQocpLov tovrov dXrjd^e^tuTov , zal 
iyQy]6ato avta xaticav. 

164. "EatLv aga cjg rj AF ]p. 154, 8] oti xad-oXov 
fVrl 6[iOLov tQiyavov tovto 6v{i^aLV£L. sCtco tQLyavov 6 
t6 BJr, xal aTcb tov B inl trjv AF xddstog 'i]X^<a 

4] BzJ, xal dLcc tov ® tf] AF 
TtaQaXXriXog ^O^fij rj ®E. £6tLV 
uQa ojg r] AF TtQbg FB, i^ 
®E TiQhg EB^ nal ivakXd^ 10 
cog r] AF TCQbg ®E, r] FB 
7f Qbg BE. s6ti 8a %al hg r] 
FB TCQog BE, r] AB TCQog BM, xal dt' i'6ov cog r] AF 
XQbg @E, rj AB TCQog BM, Kal ivaXXd^ ag {] AF 
TCQbg ^B, r] ®E JCQbg MB. 15 

165. OvtGjg r] H& jCQbg MA [p. 154, 8]. idoyciVLa 
yuQ td tQLycjva, %al b^oXoyoL aC vnb tdg i'6ag yavCag 
jclBVQaC. b^oXoyog di i6tLV r] ^ev AF tf] ®H' i'6ag 
ydQ ycovCag v%otECvov6i tdg vicb ABF, ®AH r] de 
BA i'6r] tf] AM' b^oXoyoi ydQ zal avtac i'6ag yovCag 20 
vnot£Cvov6Lv. 

166. "Onag r] ZK tfj AM i6tLV L6r]; i7C£L vtco- 
xsLtUL ag i] AF JCQbg BA, ovtcog r] @H TCQbg ZK^ 




163. Vat.Mon.ecS. 164. PlVat.vcp^l; fig. om. PlvL 

165. PlVat.vopZ. 166. PVat.vMon.cpc. 



2. Tovfov] Tovto S. aXri&iatarov^ alri&svastai Mon., 

aXrid^svstaL q. Q. Kai] mg q. 13. BM] BA IX, BH q. 

14. BM] BH Q. 16. H@]^ @H vp, @M a. 17. tdg] 

om. Q. 19. vTTotsivovci] vnotsivsi codd. 17 — 20. AM] fal- 

sum. 20. iar[] t-fj i'ar] ya. 

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VI. 20 



306 SCHOLIA. 

d)g ds rj AF TiQog zJB, ovtog rj @H JtQog MJ, xal 
cog aga r] &H itQog MA^ ovrcog avtrj r} &H JiQog ZK. 
ta ds TtQog to avtb tbv avtbv £%ovta koyov i6a aXXri- 
koig ictCv i(3rj aQa rj AM tfj KZ. 

6 Ad prop. LXXX. 

167. ^iSotai aQa tb AAB p. 156, 7] insl tQi- 
yavov tov ABA at tQstg yavCai dv6iv oQ&alg L'0aL 
sCgCv, av r] vitb AAB OQd-r] sGtiv, Xoijtal aQa aC VTtb 
AAB^ ABA yaa OQ%-r\ l'6ai SiGCv. inel ovv dQd^i] 
10 ov6a r] vTtb AAB didotai^ xal al vnb AAB., ABA 
\xia OQd-fi ov0ai i'6ai didovtai^ av r] vnb AAB didotai^ 
xal XoiTtr] aQa r] vitb ABA didotai. iuv yccQ anb 
dsdo^ivov dsdofiivov dg^aiQsd''^, xal tb vnoXsiTto^svov 
didotai. 

15 168. n&g t6 vnb t&v BF, AE dinkd6i6v i6ti tov 
ABF tQiyavov; %^co Sia tov A tfj BF naQakkrjXog r] 
AAZ, did de tav 5, F tfj AE naQukkiqXoi r] z/-B, ZJT' 
tb A r aQa naQaXXrjXoyQa^^ov nsQiiietai vnb tav 
FB, BA- l'6r] ds r] BA tf] AE' tb ccQa AF i6ti tb 

20 'bnb t&v Br., AE nsQisxofisvov OQd-oycbviov xaC i6ti 
8inXd6iOV tov ABF tQiydtvov. idv yaQ naQakXriko-j 



167. PlVat.vff^)^; in diSotai lin. 12 des. Vat.ffp. 1681 
FlYai.GQX. 



1. 7} (pr.)] om. Mon. @H] @N Mon.c, item lin. 2 ut 

3. avro] avtm Mon. Post avto in q tonov punctis de 

icXlTiXoig] -wv Q. 4. itTTj] igt} iativ q. 6. inBi] iiti 

yccQ Vat. ff. tQiywvov tov ABd] tov AB/l tQiymvov vat.| 

7. ABd] Ad 11. 9. yiia (5p'0'^] /ita? OQ%f\i codd. 13 

/ita] ava Plv. Xaai ovGat Vat. p. 12. Xotnr] aQa 17] Xo 7] 

17. Zr] ZH Q. 21. idv — p. 307, 3. tQiymvov] tb Ji 

jtaQaXXriXoyQanfiov (comp.) Vat.ff(). 



SCHOLIA. 307 

yQafi^ov TQiyavG) ficc6iv 8%^] rriv avtr\v v.al y iv tatg 
avtaig TtaQakXiqXoig^ dinkd^LOv i6tai t6 naQakXrikoyQaii- 
jxov Toi) tQLy(bvov' dinXaGiov aQa to AF naQakXrjlo- 
yQa^fiov tov ABF tQiyavov. d^OLCjg drj dsL^o^sv, ort 
ml tb vTcb t&v AF^ B^ dLTtkaGLOv i6tL tov ABF tQi- 5 
ycovov ra ds tov avtov dLJtXd6La i'6a dXXrjXoLg i6tLV' 
l'6ov aQcc t6 {mb tav BF, AE ta vnb t&v AF^ Bz/. 

169. Kal Tijg BF TtQog AE p. 156, 6] ag ydQ 
t6 dnb trjg BF ^Qbg t6 vnb tav BF^ AE, tovt- 
e6tL t6 rO TtQbg t6 FP, ovtcog rj BF TtQbg AE' 10 
didoraL ds t6 dnb trjg BF n^bg t6 vTtb t&v BF, AE' 
ovtcog yuQ idsLiQ^r] JtQO iilxqov' didotccL uQa xal 6 trjg 
BF TtQbg AE Xoyog. 

170. Kal ysyQKcp&a inl tr^g ZH ^. 156, 19] dLa 
t6 Xy' tov y' ^l^Xlov Ev7cXbl8ov. 15 

171. IlQbg tijv AE dod^sig [p. 158, 4]. idv yaQ 
did tav F, B tfi EA naQaXX^Xovg dydycofisv, ofioicag 
ds xal did tov A ty BF., s6taL t6 7taQaXXr]X6yQa^fiov 
OQd^oycbvLOV dLa t6 i'6ag yCvs^d^aL tdg yaviag ixddtrjv 
tfi vnb AEF' dod^i^6staL ccQa t6 TtaQaXXrjXoyQafifiov^ 20 
xal s6tai Xoyog trig BF TCQbg tr^v FM dod^SLg^ tovt- 
i6ti JtQbg trjv EA' L6ri ydQ ri FM tfj EA. 

169 PlVat.v(>e;i. 170. PU. 171. PlVat.vffp^. 



2. ^orat] ccnb IX. 4. oiioiag] ovtcos q. 6. rd — 7. 

Bz/] om. Vat. <Tp. 6. tov — iGa] ta> ccvta faa v.ai X. 10. 

to (alt.)] om. l^. 11. 8e\ aga ds q. 16. ttjV — Sod^sTaav] 
t6 — do&Ev V\X. 17. t&v] triv 1, tov cq. 7taQaXXi]Xovg] 

-ov V. ayaycofi-fv] aywfisv 6. o/ioio)?] oftot; q. 18. ^axai] 
comp. PVat., a 1. 19. oQ^^oycaviov] OQd^rjv (comp.) ycaviav q. 

Tol tov q: L6ag\ laag yaviag q. ycoviag] om. q. kyidatriv 
tfj] BTidaTrig Plv, SKaatrig ttjV Vat., k. tfig <t, kv.atiQag tr]v tfjg q. 

20. do&siastai Vat. p, corr. Si in tj. 21. TovTfffTM^ — 22. 

EA] om. V. 22. EA] EH Vat. (supra scr. m. 1 alio atra- 
mento A) q. i'ari yap] iaoycovia comp. Pl. 

20* 



308 SCHOLIA. 

172. "Ort 17 dia tov K TtaQaXXrjXos ry ZH ccyo- 
fiEVTj scpdnTstaL tfi$ 7tEQtq)SQ£iag, dfjXov xal yaQ, iav 
tceqI t6 ABF tQiycovov tfiij^a jtEQLyQdtlfcofisv, ofioia 
a6tat td tfir]^ata, xal etcel iativ, 003 r} BF TTQbs EA^ 

5 ovrojj rj ZH jtQog HK' rj da EA icpdictEtai' a6tE 
aal Tj 8ia tov K. 

173. EtceI yaQ dEdotat, ExdGtrj tciv jcXevq&v Toi) 
ZH0 tQLyavov, dBdotai 6 trlg Z® TtQog &H ?.6yog 
dtd t6 a'. TcdXiv ircEl didotai 6 tfjg AB nQog BJ 

10 Xoyog^ ag didEixtai^ didotai ds xal 6 trjg AF nQog 
B^ Xoyog' cog yaQ didsixtai b trjg BF TCQog tr}v AE 
dod-Eig, ovTog d£ix&r}6Etai xal 6 tf]g AF nQog BA 
Xoyog dod^Etg' xa\ 6 tfjg BA aQa nQog trjv AF koyog 
EGtl dod-Elg did t6 rj'. iicEi ovv l'6ai st^lv aC vtco 

15 BAF, Z®H ycovtai., xal koyov E%Ei dEdofiivov rj ^ev 
BA JCQog AF, rj ds Z® TCQog ®H, dEdofiiva ccQa ietl 
t& Eldsi. 

174. TovToi» tov d-£G)Q7l[iatog Ev6ta6ig XEltai iv 
T?J TCQcbtr] i^copij^ otcov 6r]^Ei0v todE ^. 

20 175. "Ev6ta0ig Eig t6 n' d^EcoQi^fia ^. 

cpr]6l yaQ iv ta %' d^EcoQr]^ati' ^x^^ ^^0 tov H 
erjfiEiov trj ZH TCQog dQ&dg ycovCag Evd^Eta r] HK' 
xal yEyovitco, g)r]6iv, ojg rj BF TCQog tr]v EA, ovtag 

172. PlVat.Top. 173. PlVat.vMon.ffp. 174. PVat. 

175. PlVat.ocS (PlVat.c ad finem libri post schol. nr. 56); 
inde a u. Xi^et tig p. 309, 2 Ambr. 

1. 17] om. Pl. ZH] HZ Vat., KZ q. ayo^iBvri] aya- 
ya^isv Pl, -0- lij Vat. 2. Tfjg TtSQicpSQHCig] om. v. 4. irtsL 
— 6. K] corrupta. 15. Z@H] om. codd. 19. i^<axifi] sic 
codd. 20. hataaiv c. ^l om. PS. 21. iv ra it' &£o)- 
QT^iian] om. Vat.ffcS. 23. 1]] om. Pl. EA] EJ PlVat,, 

sed mut. postea in EFd Vat., EAJ cS. 



SCHOLIA. 



309 



/y ZH TtQog tijv HK, xal ^x^^ ^''^ "^^^ ^ ^fj^siov 
r/( ZH TtuQdXXrikog 7] K&. Xe^el rtg, ort i^ 8ia tov K 
Tij ZH TtaQK^lrjXos dyofisvr] ovts scpd^Etai ovts t£[i£i 
To Z@H Tfi^fia, «AA' VTtsQTCeGsttaL. 'bnsQTtLntBta ovv, 
Ei ^warov, 'nal s6tG) i] KI^ xal tst^^eQ-co i] ZH tr] 




BF oftotog xatd t6 A 6rjiiSL0v, xal s6ta) ag rj BE 
%Qog tr^v EFj ovtcog rj ZA TtQog AH^ xal ^xd^G) dnb 
tov A 6rjiiSL0v tfi ZH TtQog OQd^dg yoviag svd^sta 17 
A@I, xal snst,svx^(Q6av al IZ., IH, &H, &Z. snsl 
ovv s6tLv.) cog rj BE TtQog EF, ovtog r] ZA JtQog AH, 10 
xal Gvv&svtL aQa s6tLv, ag rj FB TtQog BE, ovtag i] 
HZ TtQog AZ' dvdnaXLV aQa s6tLv, ag r] EB TtQog BF, 
ovta)g 'f] AZ nQog ZH «AA' cjg 'f] BF TtQog EA^ 
ovtco ysyovsv r] ZH TtQog AI' dt' l'6ov ccQa i6tLV, cag 
7] BE TtQog EA, ovtcog 'f] ZA XQog AI. xaL s6tLV 'f] 15 
'UTtb tcbv BEA yovCa tf] -vnb tav ZAI l'6r]. ofiOLOv 

2. jtaQdllriiog] laog c. Xi^si xig i'acog ivtavd^a Ambr. 4. 
Z&H] ZAH codd. 'VTtSQTCsaslrai dig 17 XF PlVat.ffcS. 5. 
7] KI] KIMTlc, 17 KIN Vat.ff, 17 KH S. 7. •naL — 10. 

AH] om. S. 8. ty ZH] om. Ambr. 9. A@I] A Ambr., 

A& c. 12. TtQog AZ] supra add. m. 1 Vat. EB — 13. 

ZH] BF ■TtQog EB, ovrwg ij ZH TtQog AZ Ambr. 14. itQog] 
v.ai cS. 81 16OV — 15. AI] om. S. 15. ij (pr.)] om. c. 

EA] A c. 16. r&v (pr.)] tTqv 1. t&v (alt.)] om. Vat. cS, 
fTjv 1. o^OLOv] 6\Loiag S. 



310 SCHOLIA. 

uQa £6tI t6 ABE TQiyGJVOv ra IZA tQiyava' ItSrj 
aQU 7) VTch BAE ycovCa tfi vno ZIA yavCa. 8ia t« 
avta di] xal r] vno FAE tf] vno HIA 167} iatCv oylT; 
aQa rj 'bno BAF olr] rf; vTtb ZIH sCtiv 161]. £6ti 
5 d€ xal 7] vnb Z&H ty vnb BAF l'6i]' ovtcj^ yccQ 
vTtsxsLto dta tb iv Z&H t^rj^att, sivai tr]v vnb Z&H' 
xal r] 'bnb Z&H aQa tf] vnb ZIH i6tiv Idrj' bnsQ 
i^tlv atonov. ovx aQa r] dta tov K 6r]fi£Cov ayo^ivrj 
naQaHrjXog tf] Z H vn£Qn£0£ttat trjs Z&H n£QL(p£Q£Cag. 
10 dfioCag de, xav ivtog tig vnod^r^tat. 

Ad prop. LXXXI. 

176. 'AHa Tc3 fihv vnb t&v A, F p. 160, 11 — 12] iav 
yaQ tQ£tg ^vd^^tai dvdXoyov aCiv, tb 'bnb t&v dxQcov 
i'6ov ta dnb tf]g ^icijg dta tb tt,' tov =r' t&v Gtoix^Ccjv. 

15 Ad prop. Lxxxnr. 

177. Kal tov 'vnb tav A^ /i 
nQog t6 'hnb t&v A^ E [p. 164, 
15 — 16]. ixx£C6d-03 ttg ev&^ta 'f] 
AB, xal d(p7]Qr]6d-c3 tfj filv E t6r] 

20 ^ AT, tf] d£ A lcr] r] FB, xal 

nQbg oQd^dg ^xd-a dnb tov F tf] ^ 



176. PU; idem scliol. rursus habent ad u. p. 160, 21 aXXa 
ra (lEv y.tX. 177. PlVat.vcp. Figuram dedi ex Vat. 

2. Post &Qa add. iariv Ambr. yavia] om. Ambr. 3. 

HIA — 4. ZIH] ZIH iariv tar], ccXXa v.ccl rfj vno Z&H Pl. 

4. tffjj iariv Ambr. ^(Tti — 5. Tffrj] Ambr., om. cett. 5. 

x)vro)g — 6. Z0if (alt.)] om. Ambr. 6. iv] supra scr. m. 1 Vat. 

7. Z@H] ZO/f PVat., corr. m. 1 Vat., ZAHl, ^n'',» S. 
aQd] om. S. ZIH] ZHI c. iariv far]] iar\ iariv, 1) 

ILHtav rjj iXuaaovL Ambr. 8. iariv] om. Ambr. i]] om. 1. 
9. Z&H] ZH& Ambr.S. 16. v.ai — 17. £] oin. v. 



SCHOLIA. 311 

AB ri FE L'6rj ov6cc rfj A. eTtsl ovv i6tLv ag tj AF 
nQog JTJS, ovrcog rb vnb t&v AF, FE, tovta6ti tb 
vTib A^ E TCQbg tb vnb tav EF, FBj tovt86tL tb vnb 
tcbv A^ z/, s6tLV ovv cog 7) E TtQbg triv z/, ovtcog tb 
vnb tav A^ E TtQbg tb vnb tav A, A. 5 

178. Tovto (pr}6LV, otrt, iav c36l 8 svd-staL xal 
EXCi6LV ovt(og TtQbg dlXrjlag' Jt&g dh 8%Gi6Lv; &6ts 
2.a^SLV tLva i^ avtav tQStg, olag av ^ovloLto, 7tQ06- 
^a^stv ds aal tstaQtiqv dvdloyov ov6av tatg Xrjcpd^SL- 
6aLg tQL6L' s6tKL Gjg 7} tstaQtrj ijtOL rj jtQ06kriq)d^st6a 10 
nQbg tr}V tQLtrjv ^tOL trjv fi£r' avtijv tQLtrjv, ovtag 
rj dsvtSQa rjtOL rj ^std trjv 7tQo6Xrj(pd'SL6av dsvtSQav, 
TtQbg rjv i] 7tQ(htrj Xoyov sxsl dsdo(isvov ijtOL TCQbg tijv 
ov6av ^std Tj)v TtQo^krj^pd^st^av tstKQtrjv., "JtQbg rjv s%sl 
ri TtQatr] rjtOL r] ii, dQ%fig svd^sta TtQbg avtfiv dsvtsQav 15 
ov6av Xoyov dsSo^ivov. 

s6t(06av srf&staL avtaL at A^ 5, F, z/, xal s6tco rj 
^sv A xd, ri ds B t/3, rj ds F rj^ rj de A ^. ka^s 
yovv f'! avtcbv tQstg, OLag ^ovXsl^ oiov tfjv A xal tijv B 
y.al tijv P" 7tQ06Xa^ov xal stsQav dvdXoyov tavtaLg 20 
TqtOL tijv E, zal s6t03 d' a6ts s%sl avtatg dvakoycog 
ritOL tbv dL7tXa6L0va koyov. s^sl ovv rj tstaQtr] ^tOL 
r] TtQO^Xiq^pd-st^a' tstaQtr] yaQ dQL^^sttaL ^std tdg 
tQstg tdg Xr](p%-SL6ag' 7tQbg tijv tQLtrjv rjtoi ti]v F ti]v 
(istd ti]v 7tQ06Xr]d-st6av dQL%^ovybSvr]v tQLtr]v X6yov 25 
v7todL7tXd6LOv. d^sXsL yovv sxsLv ovtcog xal r] dsv- 



178. P«. 



2. rav] om. IVat.ff. TE] FJ IVat.ff. 3. EF, FB] 

ETB Q, JEB cett. 4. z/ (pr.)] E 1. 5. tmv (utrumque)] 

Tjjs Pp. 



312 SCHOLIA. 

TBQa, TCQog rjv rj TCQatrj Xoyov sxst dsdo^avov 7] yccQ 
lista trjv TtQoGkrjg^d^stCav devtSQa ov6a sxbl TCQog tr]v B 
iqtOL trjv (i€tci trjv 7tQ06Xrjq)d'£t6av ov6av tstdQtrjv, 
TCQog r]v rj s^ o:Qxr]g TtQatrj ag TCQog dsvtSQUv loyov 

6 £X£t d^dofiavov' £%£i yuQ tov avtov Xoyov iqtoi tbv 
vnodi7c2,a0LOva. r} yaQ ii£ta trjv 7CQO0h]q)^£t6av dsv- 
X£Qa^ r]tig £6tl ?, TCQog tr]v fi£ta tr]v nQ06liq(p%^£t6av 
t£tdQtr]v^ d£Vt£Qav d£ cag TCQog tr]v i^ dQxr]g 7CQatr]v^ 
Tqtoi tijv B «./3 ov6av vTCodiTcXdCiov iotcv. 

10 icav yovv tavtag ov Xa^fjg tag ^vd^^Cag dXV dXXag 
tav d, OLag ^ovX^l^ ovtcog £VQ7]6£Lg tavtag (pvXdtt£tv 
tr]V TCaQadod^^tiSav td^LV xatd tr]v i^ijv tdog £7CL^oXriv' 
r]., £L /SovAat, £6tco6av [i£v cjg iv ta idacpCco tov 
^l^Xlov x£Cfi£va 8l' uQLd-^&v tOLOvtov. dXXd drj i% 

15 XGiV aQL&fjL&v ovtcjg' xal uTcX&g oCovg ^ovX£l tQ£tg 
Tcag t&v i^ aQxfjg d Aafi/3ai/£, xal £VQr]6£Lg xatd tr]V 
ccva)d^£V Qrid^£t6av i^7]yr]6LV aQ(i6^£LV t6 d^£coQr](ia. 

Ad prop. LXXXIV. 

179. AoL7cii aQa i] ^B p. 166, 4] 'fj yaQ BT tf]g 
20 BA (i£C^cov i6tl tfi A r £vd-£Ca dod^^C^rj, cog iv totg 

oQotg. 

Ad prop. LXXXV. 

180. KaC £6tL 8od-£t6a r] V7cb AB^ ycovCa p. 168, 2] 
Sg dv £vd^£ta i^C £v&£tav 6ta&£l6a ycovCag 7Coifj, ^tot 

25 dvo dQd-dg r) 8v6lv d^d^atg i6ag 7C0Lri6£L. 



179. 180. Pv. 



24. Tfoifi] noLil codd. 



SCHOLIA. 313 

181. Kal ^oiotfj ccQcc yj BF i^. 168, 10] 6vvaa(p6- 
T£Qog rj AB, BF VTCOxsitai dod^slCa^ y,ai i6xiv ['6rj {] 
AB tfi ztB, xaL 8i6l dod^siGaL' co6ts xal rj ^BF do- 
d-£t6d £6tLV' didotaL aQa oXrj rj ^ F. iav ovv dno 
dedofiivrjg trig z/JT dsdo^ivr] r] zlB dcpaLQsd-fj, xal rj 5 
vnoXsLno^ivrj didotaL. 

Ad prop. LXXXVI. 

182. AoLTCov ccQa tov i)jcb tav ^FB p. 168, 23] 
t6 yaQ dod-ivtL ^et^ov tj iv Xoyca idtLV^ otav dcpaLQs- 
d-ivtog tov dod-ivtog tb Xoltcov TCQog tb avtb Xoyov 10 
sxsL dsdo^ivov, (bg iv totg oQOLg. 

183. 'Slg ds To VTcb tcbv ABF p 170, 4] idv yaQ 
trjv BA trj AB iic' svdsCag noLrJ6(o^sv, dfjlov ag 
yaQ td jcaQaXXrjXoyQa^^a TCQbg aXlrjka, ovtcog y.al al 
(iddsLg. 15 

184. 'Eav yaQ svd^sta cag rj BF t^rj&fj, ag stvxsv, 
xatd t6 z/, t6 dnb tfjg oXrjg i'6ov i6tl tco ts vnb trjg 
okrjg xal sxatiQOv tcbv t^rj^dtcav nsQLS%o^iv(p 6q%^o- 
ycoviG)^ dig iv tc3 ^' d^scoQrjfiatL tov ^' ^l^Xlov EvxXslSov. 

185. Kal Gvvd^ivtL ccQa p. 170, 18 — 19] idv yaQ 6vv- 20 
a^ipotiQov trjg BF/I TCQbg trjv Bzi Xoyog i6tl dod^SLg, 
6vvd-ivtL 6vva^(potiQov aQa tfjg BFA ^std tfjg Bzl 
TCQbg tfjv B^ loyog iotl dod^sCg' Gvva^tpotsQog ds rj 
BFA fistd T% BA dvo slgIv at FB. 



181. PlVat.vffpi. 182. Plv^. 183. P. 184. 185. 

PlvA. 



2. vTtOKSLTai ydg \X. 3. AB] AJ 'Pl. 4. dsSoraL] 

S£SsLHraiYa.t.Q. 16. hvxs ^. 21. BTJ] BJ codd. BJ] 

Ad X. 



314 SCHOLIA. 

186. 'iig 6's ^ FB TiQog BJ p. 170, 21] idcv ydcQ 
7C0Lri6(o^Ev sn EvdsCag ttjv FB t?; BA xal larjv^r^^v 
Bzl rfj BE^ $7}lov, ag 7] FB TCQog J5z/, ovrcog rb vno 
FBzl TtQog t6 ano 5z/, rovriari rb EF TiQbg rb zJE' 

5 ojg yccQ aC ^d66ig, ovrcog ra TCaQaXXrjXoyQa^fia. 

187. Kal rov vnb r&v FBzl p. 170, 22] snal yccQ 
dsdoraL ixarsQa ribv FB, JBz/, xal rb vn' avr&v dsdo- 
lisviqv s%sv yaviav' dQ&oycjvLOv yccQ- dsdorai rb vnb 
rav FB^, 6g sv rotg oQoig. s6ri ds xal rb anb rrlg 

10 jBz/ do&sv rsrQayavov yccQ' Xoyog ccQa rov vnb r&v 
FBzl nQbg t6 anb rrjg B/J s6rt do&slg dtoc t6 a'. 

188. ziod^st6a ccQa s6rl xal r} AB p. 172, 3] snsl 
yccQ koyog s6rl rrjg FB n^bg rrjv BA do^£t?, rijg BA 
nQbg rrjv BA loyog s6rl dodsLg. xai s6ri dod-st6a 

15 rj J5z/' dod-st6a ccQa s6rl xal r] AB. sxd^rr] ocQa r&v 
AB, Br do&st6a. 

Ad prop. LXXXVII. 

189. "E6rt ds xal rj vnb AET do&st6a p. 172, 16] 
dtd t6 sv rjfiixvxXtG}' vnoxsirat yaQ rb AEF dsxofisvov 

20 ycovtav dod-st6av xard rbv oqov. 

Ad prop. LXXXIX. 

190. 'Enst do&sv s6rtv sxdrsQov rav 5, z:/ p. 176, 1] 
dsdorat s^ dQxrjg t6 5, xat t6 z/ dl dtd t6 t6v xvxlov 
dsdo^d^at rfi &s6st. 



186. TIyX. 187. Pv. 188. FUX. 189. PU. 190. Pl. 



2. sv&siag] X, Bv&sloiv cett. BA] BA FX. .3. tf^iov] 

Sia rovto X. 11. BJ] BJE codd. 15. fxaarTj ccga] scripai,] 
IxaCTTjf codd. 23. ro (tert.)] om. codd. 



SCHOLIA. 315 

Ad prop. XC. 

191. KaL idtLv oQd^t] p. 176, 18] dta t6 ir]' tov y' 
jh^^LOv tav GtOLy^aCav. 

192. Tb ccQa ETtl trjg z/F p. 176, 19] Slcc t6 avd- 
Ttahv tov fcsr' Q-scoQrJiiatog tov y' ^l^Xlov EvzlaCdov. 5 

Ad prop. XCII. 

193. ^o&ev (XQa £6tl tb vnb tav ZA, AE \). 180, 
10 — 11] tavta dadsLxtaL iv ta 6%oXi(a ta iv ta 
indvcod^sv, OTtov 6ri^EL0v tods X-.^) 

194. KaC iatLv l6ov p. 180, 11] ag didsLxtaL iv 10 
ta y' ^l^Ilo) EvxkeLdov iv ta Xs' d^sojQtl^atL. 

Ad prop. XCIII. 

195. Tijg xdtcj p. 180, 20] TovTa^^rt trlg vjtb tijv 
dypSL^av xal anoXa^^dvovOav t6 tjirifia t6 dsxofisvov 
trjv dsdo^ivrjv yavCav. 15 

196. z/to; td avtd d^ p. 182, 11] 'i^ yccQ vnb BAzJ 
Tj^L^SLa ov6a tf^g vnb BAF dod^SL^rjg dodstod ictLV. 

197. "EGtLv ccQa cog rj BA p. 182, 14] dto; t6 y' 
d^sc}Qr]^a tov ?' ^l^Xlov tav GtOLiSLcav. 



1) Idem signum inuenitur ad schol. app. nr. 41. 



191. P. 192. PVat. 193. P. 194. PU. 195. 

PlVat.vffi. 196. PU. 197. PlvX. 



5. ^i^Xiov Ev-iilsiSov^ t&v atoixsioiv Vat. 11. reo] om. U. 
13. Ante xovriGxi add. cxoliov. (comp.) 1. 14. kcci] om. 

Vat.ff. 19. Tdov] om. Pv. ffToi^^eiW] EvKXsiSov v. 



316 SCHOLIA. 

198. Kal ag aQcc Gvva^tpor^Qog yj BAF p. 182, 
16 — 17] &>g yaQ 'iv rav rjyovfisvcov TtQog ev rav 
£7tofievG)v, ovtcog anavta tcc rjyov^ava TtQog anavta ta 
ino^sva. 

5 199. "E6tL ds zal 7] vno tav ATE p. 182, 19] 
inl yaQ tr^g avtfjg TCSQKpEQStag tfig AB ^s^rjxaGt xal 
iv ta ai)ta t^fjfiatc eiSi ta BzlFA. 

200. "Eartv ccQa d)g rj AT p. 182, 22—23] tcsqI 
yciQ tag l6ag ycovCag at TtksvQal dvdkoydv sl6lv. 

10 201. Ilcbg £(?rtv, cag AF jtQog FE, ovtcog 6vv- 
a^cpotsQog rj BA, AF ^Qog tijv BF; insl tov BAF 
tQiycivov rj ycovia r\ vtco BAF SCxa tit^rjtaL, sGtLV 
iog ri BA TtQog tfjv AF, ovtag rj BE TtQog tfjv EF, 
c)g iv Tc3 s' t&v GtOLXsCcov. 6vv&ivtL cog Gvvaacpo- 

15 tSQog f] BA, AF TtQog tfjv AF^ ovtcog f] BF TtQog 
tfjv FE' xal ivaXkdi, cog 6vva^(p6tSQog r} BA, AF 
JtQog tfjv BF. 

202. n&g, cog 6vva^cp6tsQog rj BA, AF JtQog tf]v 

JSJT, ovtcog rj AA TtQog tf}v ^B; idsCx^rj, otL idtlv cog 

20 ri AF TtQog FE, ovtcog rj AA TtQog AB, cog ds rj AF 

TCQog FE, ovtag Gvva^cpotSQog 7] BA, AF TtQog tfjv 

BF' xal cog aQa 0vvafi(p6tSQog rj BA, AF TtQog tfjv 



198. PVat.vff. 199. PlVat.ff. 200. PVat.vp. 201. 
vc, coniunct. cum nr. 200 PVat.p. 202. PlVat.vop. 



3. ovTcos — 4. Jjrd/if va] om. Vat.vff. 6. ^tti] iv. X. ^«/3t;- 
xaffi] ^E^Xri%a0iv PVat. 9. slaiv^ ^%ii, v. 14. ebg — oioi- 

Xsliov^ om. Vat.ffp. 17. BT] TE codd. 18. w?] om. codd. 
19. Ante iSdx^ri hab. ebg 8s Vat., kccI Se q. 



SCHOLIA. 317 

BF, ovtag rj Ajd TtQog zlB' iv ra avta koycp yccQ 
ta (isysd"rj. 

203. n&g isoyaviov s6tL t6 BE/i tQiyavov tsp 
AEF tQLyavG)', i'0rj s6t\v rj TtQog ta F r/J TCQog ta z/" 
ccHa xal aata xoQvcpriv aC vtio BEzl, FEA' xal 5 
KoLTCri aQu r] vnb zfBE tfi vno EAF i6ri dtd t6 xal 
to jr t^fi^a vTtotsCvsLV avtdg.'^) 

Ad prop. XCIV. 

204. JHod-sv, otL rj nQog oQd-ag avtfj dyo^svr] ag 
STil t6 E TtLTCtSL xal ovK ijtl to H ri ivdotsQco; xal 10 
6u(ps6tsQov SLTtslv xsvtQov ovtog tov H jcal tfi BH 
dia^stQG) itQog OQQ^dg ov6r]g tr]g NH^, dsLxtsov, oti 

r] dno tov A tf] AA TtQog OQ%dg dyo^isvr] ovts inl 
t6 H TtCittSL ovts ivdotsQC3 tov H. otL fisv ixtbg ov 



1) Hoc schol. sic habet Ambr. : Ilwg iaoymviov iexL tb AEF 
TQiycovov (comp.) tm ^EB TQiymvcp (comp.); ort i'ff7j iariv t} 
vTth ATE xji vTcb BzlE' inl yccQ xfjg avrfig TCSQLcpSQslag ^s^ijyiaai 
ri~]g AB nQog t^ nsQicpSQsia ovaav aXXa v,al 7] VTto BEd r^ 
vnb AEV iariv iar]' v.ara. noQVCprjv yd.Q slaiv aXXriXaLg' v.al 
XoLTCj] aQa 7] vnb EBd ry inl (scr. vnb) EAF iariv iar]. 



203. PlVat.vffp^Lc. 20i. PlVat.vAmbr.ffg^lc. 



1. yap] comp. P, yivovrai Vat., yaQ slai 1 (compp.) X. 3. 
iaoymvLOvl -la PU. 4. AEF^ EAF v. iariv~\ ds v, 

yccQ Q. 7]} om. Pl. 6. JBE] ABE codd. t^] rfjg c. 

■x,al To] om. c. 9. 6Q&ag ymviag Ambr. avrfji rjj Ad 

ccTtb rov A Ambr. cbg] om. Ambr. 10. ini (pr.)] om. X. 

tb E] bis X. ovv.'] ov q. H'} N Ambr. , K IX. y.al 

aacpsarsQOv^ aacpiatSQOV ovv Ambr. 11. siTCsiv^ iariv q. ori 
■nsvrQov Ambr. Bif] BifF Ambr., EH c. 12. ScafjLsrQov 
PlVat.vffp^. oQ&dg] laag c, item 1. 13. T^g] in hoc de- 
siait adscr. XsiTtsi Ambr. 13. t^ A/l'] om. Vat.cpc. 



318 



SCHOLIA. 



Ttsdeltai, tov xvxXov, dyjXov si ds ^yj, in' evd^siag 

e6tai tfi AA' nmtetGi df «Wog ojtovdtjnotovv tov 

rj^txvxXiOv, ag enl tb K' 

xal ejtit,ev%^et0a rj KH 
5 dtiqxd^Gi enl to & iq bnov- 

dtjTtotovv. ejte^evx&a dh 

xal ri A&' Std^etQog ^Vrtv 

rj K®^ rjfitxvxXiov £'(?rtv 

rj KA@' oQd-rj aQa rj vnb 
10 KA&' e6ti 8e xal rj vjtb 

AAK OQQ^ri' l'0at ccQa dX- 

AT^Aatff, '^ [let^cov tfj ekde- 

(fovf OTteQ e6tlv dtojtov. ovx aQa rj nQbg OQd-dg dyo- 

^evrj trl AA inl td ivtbg tov xvxlov ag i-xl td 
15 K^ A, B 7te6ettaf in' ixetva aQa djg inl tb E. 

205. 'H &A dtd^etQog p. 186, 4] n^bg oQ&dg ydQ 
ijxtat tfi AA rj AE, xccl naQdXlrjXog rj EZ tfj AA' 
ai aQa vnb AAE., AEZ dvslv 6Q&atg i'6at eiGiv G)6ts 
xal rj nQog ta E oQQ^rj i6ttv' iv rj^ixvxkicj aQa i6tiv' 

20 dtdfietQog aQa i6tlv rj A&. 

206. P. 186, 7] ovtag yaQ xettaf xal tb j4 
dod^ev xal 6 xvxkog tfj ^e6et dedo^evog. 




Fig. ego addidi. 



205. PlVat.vcS. 



206. P. 



3. K^ H c. 5. d7twa8r}7totovv v. 7. A@]AHc, A&£, 
cett. StdfisTQog] comp. P, xai q. iativ] comp. PVat. p, 

Ss c. 8. K&] om. Vat.p. rj^itivyiXLOv iativ rj] om. Vat.pc. 

9. dQd"^] comp. PlVat. p, ^arj c. 11. l'aai] 1'aaig c. 12. 
^sl^av] (ifl^ov c. 13. iativ] comp. P, om. cpc. 15. iKsTvo q. 

t6] Ttt codd. £] EZ q. 18. JAE] AJE Vat.cS. 19. 
Tc5] t6 S. &QU iativ] om. Vat. S. 



I 



SCHOLIA. 319 

207. "I67j ccQa^ q)rj6tv, g)S 7] ZH r^ Hzi, xal rj ®Z 
tfl AA' idoydivia yuQ rd AzlH^ H®Z tQCyava' 
jtaQaXXi]X(ov yccQ ov6G)v r&v AA^ E®^ at BvaXXd^ 
ycoviai aC vtco A/JH^ HZ® iGai ei6Lv. sC^l ds did 
rbv avrbv Xoyov xal aC VTtb AA®^ A®Z l^ai dkkri- 5 
Xaig' xal aC TCQbg ra H xard xoQvcpijv ov6ai l'6ai 
£i6iv' £6riv aQa, ag y) H® XQbg HA, rj ZH XQbg 
HA. i'6rj de rj ®H rfj HA' i'6rj aQa xal rj ZH rfj 
HA. 6}iOi(og xal rj ®Z rfj AA i0rj ierCv. 

208. AoQ^lv dQa i6rC p. 186, 15] t6 vnb r&v EZ® 10 
dod^Ev i6ri did rb qj8'. 

207. PVat.vep. 208. P. 



4. SlCc] SlCC VTtO P. 



APPENDIX SCHOLIORUM. 



Euclides, edd. Heiberg et Menge. "VI. 2i 



Ad prop, XXX demonstr. quart. 

1. zlod^staa ccQa i6xiv p. 196, 8] iTtEi yccQ ixat eqcc 
tav AE^ BF sv&sicbv dedotac tfj d^ieei^ didotai i^ 
vnb AE^ ycovia rt5 ^syid^si, ag iv totg OQOig' 8v- 
vafiat, yccQ avtf] i'6riv TC0QL6a6d'aL. 5 

Ad prop. XXXIII demonstr. alt. 

2. P. 198, 1] oti tbv avtbv ael tonov ijci%ov6LV. 
<^ at yaQ 7teQLixov6aL el^Lv svd-etai, tfj d-i6eL dedoaivaL 

eL6LV. 

3. Tbv yccQ avtbv ccel tonov i%i%ov6LV al BH, H^. lO 

4. Tovti6ti tfi HB p. 198, 6] at yccQ HB, Hz/ i'6ai 
ei6LV' iy, tov xivtQOV yccQ ei6L tov xvxXov f| aQ^rlg 
de iti&tj i6rj tfj EZ yj HJ. 

5. "I6ri &Qa i6tl xal r} Z& tfj &H p. 198, 7] 
iav tQLytbvov TcaQcc ^iCav t&v JtlevQcbv evd^eta yQafi^ij 15 
avdXoyov ti^rj tag tov tQLyavov nkevQdg., e6tiv aQa 
cjg rj EZ TCQbg Z@, rj BH JCQbg H®' i6r] ds tj EZ 
tf] BH' i'6r] ccQa xal rj Z& tfj H@. 



1. PlVat.Mon.Ambr.zp;i. 2. z. 3. Vat.zcy. 4. Pl 
Vat.zff^^l. 5. Plvo; coniunctum c. nr. 4 X. 



2. ind ydo] om. X. 3. tcbv] bis Vat. 4. dvva^Lai] 

Svvdiisd^a Ambr. , -ai, m. 1 mut. in -s&a G. 8. siaiv] iarLv 
(comp.) z. 11. HJ] HA q. 12. tov (pr.)] om. z. slaij 

icTiv z. kvkXov] om. a. 13. 17] om. codd. 15. rptycovov} 
om. X, comp. cett. 17. EZ (pr.)] &Z X. 

21* 



324 APPENDIX SCHOLIORUM. , 

6. ^o»£t<sa ds rj vnh &HZ p. 198, 8— 9J i] yag 
xara xoQViprjv avtfj rj vnb BH/J doQsLGcc fVrtv, ag 
iSeix^rj avatSQCo. 

Ad prop. XXXIV demonstr. alt. 
5 7. 'Slg ds ri ®E TtQog EK p. 200, 3] 8ia xo 8' 
xov ?'• iGoyavia yccQ ieti ta KZE, E&H XQiymva, 
6^6loyoi aC vnb tag i6ag yavCag itlEVQal V7totsivov0ai. 

Ad prop. XLV demonstr. alt. 

8. Kai iati dod^SLGa p. 200, 12] iTCsl yccQ r] XQbg 
10 ta A yavia dsdo^ivr] aVriV, i'0rj ds rj TCQbg tda A 

xatg z/, r ycovCaLg, rj ixtbg dvel tatg ivtbg xal ansvav- 
tCov i'6rj i6tLV, i'6aL di el6l xal at z/, F yavCaL, &6tE 
dedo}iivaL eL^lv ccC ^, J^ ycovCai. 

9. 'H^Cdeia yccQ i6ti p. 200, 12] inel yccQ rj vnb BA F 
15 i'<5ri i6tl dv6l tatg ivtbg xal ccitevavtCov tatg vjtb 

A^ r, AFA i'6aLg ov6aLg «AA^Aatg, >} vTtb AAT aQa 
r](iL6eLd i6ti tr]g vitb BAF. 

Ad prop. XLVI demonstr. alt. 

10. KaC i6tLV avtf]g diTtlfj p. 202, 5] i'6r] yccQ 
20 i6tiv r] JtQbg tc5 A yavCa tf] XQbg ta F' e6ti d^ r] 

'bnb BAT 8v6l tatg ivtbg xal anevavtCov i'6r]' &6te 



6. Pz; coniunctum c. nr. 4 Vat.ffp. 7. z. 8. PlVat.v 
Mon.ffp^c. 9. Ambr. 10. z. 



1. yap] om. q. 2. xopuqpT^r] xo lacuna relicta z. uvfqv] 

avzri Q. So&sicd iarivlj SsSorai z. ag] v.cci q. 3. &v(a- 

TEpft)] om. z, &vmtEQov Q. 10. SsSoiiivT] iativ] haec post 

yccQ hab. v. iativ] om. 1. 12. larf] iacci c. Bici] om. c. 

d, r] r, d c. 13. zf] A Vat.p. 



APPENDIX SCHOLIOKUM. 325 

rfjg nQog rc5 z/ ^ovrjg 8i7ikoi6i6v i6tiv. iGca de dXXrj- 
kaig Eiol xdxstvai did ro i'a'7^i/ eivac tyiv A^ xfi AT 
xa\ iGoGxsXhg xa%^s6tdvai t6 tQiycovov. 

Ad prop. LIV demonstr. alt. 

11. 'Exx£i6Q-c} dod^si6a p, 202, 12] tc5 (isydd-si' ovt(o 5 
yaQ del ka^i^dvei doQi6tcbg Xsyav. 

12. "E6tiv ccQa cog tb A TtQog t6 B p. 202, 21] i^d- 
d^ofiEv ydQ., oTfr, idv ta66aQsg svd^stai dvdXoyov o}6iv, 
xal td djc' avt&v svd^vyQa^^a o^oid ts xal o^ioiag 
dvaysyQa^^iva dvdXoyov s6tai. 10 

13. Kal al XoiTcal aQa TcksvQaC p. 204, 8] insl 
koyog trig Fz/ TtQog triv EZ dod^stg, s6ti ds xal tb A 
o^oiov t(p B, t&v ds bfioicov ^xrjfidtcov aC icXsvQal 
dvdXoyov sC6iv^ nQbg dg ai)tai dvdXoyov si6iv^ xdxstvai 
dsdofisvai s'6ovtai. 15 

Ad prop. LV demonstr. alt. 

14. Aidotai aQa ta sidsi p. 204, 19] ifidd^o^sv yaQ 
sv totg OQOig^ bti svd^vyQa^i^a ^;|;ijfiaTCi; ta sCdsi ds- 
d66d^ai Xiystai^ av aC ts ycavCai dsdofiivai sC6C xtX. 

15. Aid td avtd drj p. 204, 24] ag iv ta 6%oXCg) 20 
tov v^'' dicb yaQ sxd6trjg dvayQacpovtsg tstQaycavov 
b^oCcog dsC^o[isv. 



11. PVat.Ambr.S. 12. P. 13. z. 14. Plv^l. 15. 
Plvc. 



5. Ante rra hab. Sod^slaa Ambr. nsys&fi Sr^Xad^q Ambr. 
14. slciv (pr.)] scripsi, Ss z. 19. oci SsSonCvat P. 



326 



APPENDIX SCHOLIORUM. 



Ad prop. LXVII demonstr. alt. 

16. "Sl6T£ xai tov vTcb rav ET^ -p. 206, 13] 6x6Uov. 
ex r&v Xaii^avo^svcov tfj F/J rfi avtfj djtod£i%€i rfj 
inl rov |d' iQ^^^^^^^o^- 

5 exd-sfisvoi, evd^scog rrjv a/3 « y ^ 

xal rfi ^sv EF i'0r]v 
rrjv ay , tfj ds AZ 
tijv y/3 xal jtQog oq- \ 
^ccg ano tov y tijv yS \ 
10 l'6riv ovGav tfj F^ xal * 

tcc «l^g ag sv ta |d' d^saQ^^atL. 

17. Z1i6Xlov. hg yccQ i^ EF jCQog AZ, ovtag rb 
vnb r&v EF/l TCQbg rb vnb rav AZ, F^. 

18. Tov ds vTcb r&v AZ, FA TCQog rb AFzl 
15 TQiycovov p. 206, 15] diTcXd6L0v ydQ, g)rj0Lv, s6rtv 

avrov. ncbg; sxxsLCd^co rig sv&sta 
rj i/^O", xal X£L6d-G) rf] ^sv Jk/ i'Grj r) 
r^Q-, rfi 8e AZ nQbg 6Q%-ccg dx^SLGa 
rj r]x, xal Gv^nsnkr^QcaCd^co tb xd' naQ- 
20 akXr]l6yQa{i^ov.f xal £6t03 diaycbvLog 
r] Q-x dvtl rf]g AA' rb ixQa vnb rav 
d^r], r]x i6ri rb xd', xaC iGrt 8l avrov 
1] %x' dtnXd^LOv aQa iGrl rov xrjd^ rQtycSvov ini r£ yaQ 
rrjg avrrig ^desag icfrt rrjg r]% xal iv ralg avr atg naQ- 




16. PlVat.vMoii.«ypX. Figuram ego addidi. 
18. PVat.vMon.op. Figuram om. P. 



17. PlVat.opi. 



3. iy, — T^ (pi^")] ^H^o? Xccfi^avofiEvrig rfjg Heiberg. Xa^- 

^ccvo(isvav'] comp. PlVat.Mon.ff/l, Xcc^siv q. 4. tov] om. q. 

13. Erj] E om. PVat.p. 14. AZ] AT q. 17. ij] om. 

Mon. 18. AZ] Ar Q. nQog] om. Vat.p. 22. '8'7j, tjx] 

&v.ri Mon. 



APPENDIX SCHOLIORUM. 



327 



aXl^^XoLg talg rjQ-, xA" xkl i6tL tb ^sv -O-x JtccQaXXrjl6- 
yQafifiov l6ov ta i}7to tav AX^ Pz/, to de xrjd' l'6ov 
t(p AF/J tQiyavG)' dLnXd<3L0v aQa tb vnb tav AZ, FjJ 
tov AFzl tQLydivov. 

19. n&g t6 vjtb ta)v AZ, Jz/ tov AF^ tQtyavov 5 
dLnkd6L6v i6tLv; Sel^o^sv ovtcog. fjx^ci) Slcc tov A 

t]] Tzl TtaQaXlrjXog rj AH 
xal did tov H tri AZ 
TCaQaXkrikog rj H®. dvo 

aQa 7taQaXXr]X6yQafi(id 10 
ietL td A@, Az/ (y7c6- 
XELtaL ydQ xal rj AF tij 
BA TtaQdlXrjXog) iTti trjg 
avtfjg ^d(3£cog ovta tfjg 
AH xal iv tatg avtatg 15 
TtaQakXrjXoLg tatg AH^Z/J' i'6ov aQa tb A@ n:aQaXkr)X6- 
yQafifiov ta AA TtaQaXlrjXoyQdfJL^at. xal ijtel tb vjtb 
t&v AZ, AH i6tL tb A@^ t6ri 8s rj AH trj Tz/, xal 
ro ccQa VTtb tav AZ^ Pz/ i6tL tb A®' 8LTtXd6LOv 
8s t6 A® tov AFA tQtyavov., ijtsl xal t6 A^' tb 20 
aQa vTtb tav AZ, Fz/ dLnkd6i6v i6tL tov ATd 
tQiycovov. 




19. PlVat.vMon. Abr. ffp>l. Fig. prop. ipsius suppleui. 



5. AZ] JZ FlY&t.GQl. xov AFd'] om. PMon., xov 

om. 1. XQiymvov] comp. P. 6. Ssi^afjisv Pli. 8. naQ- 

dXXriXog xf AZ Ambr. 14. ovxcc — 16. TtaQaXXriXoyQcc^^ov] 

om. Pli. 14. Hvxa] ovaa v. 18. iaxi xb A&] xm A& iaxi 
Ambr. FJ] sic Ambr.; TZ Mon., ZJ cett. 



328 APPENDIX SCHOLIORUM. 

Ad prop. LXVII demonstr. tert. 

20. KaC ievi tov 8lg vnb r&v BAT p. 208, 7] 
dicc yKQ vb ^s' t6 vnb r&v BAr ngbg ro tQiyavov 
koyov ex£i dedofisvov &6ts xul ro dig. 
5 21. Ta aQa anb t&v BAT p. 208, 1 1 — 12] iv ta /3' 
t&v 0totxsLcov idstx&rj tc3 ty' d^scoQt^^ati. 

22. Ta aQa ccTtb t&v BAT p. 208, 14] iv ta /3' 
t&v 6tOL%Bicov idEtxd^ri iv ta d' &scoQ^^att. 

23. Tovti6tv ta dlg vnb 6vva^cpotiQOv tfjg FA^ 
10 p. 208, 17 — 18] iav yaQ M^co^sv trjv /3« (iiav svd^stav 

03 g at^rjtov, trjv ds day 

/itmv ^sv xal avtrjv, tst^rj- 

fiivrjv Ss xata tb a, ytvstat 

ro vno ts rijg at^ritov 
15 tfjg ^a Tial snd^tov tav 

t^rj^dtGiv tcbv da^ ay i'6ov 

ra vnb 6vva^(potiQOv rijg day xal trjg a/3 did ro «' 

rov dsvtiQOv ^t^Xtov t&v 6tot%stcav' a6ts xai ro 8lg 

'bnb tcbv §a, ad (istd tov 8ig vnb t&v fiu, ay i'6ov 
20 i6tl rw dlg vxb 6vvafi(potiQOv tfjg yaS xal tfjg a/3. 

24. Kal tov vTcb 6vva(ig)0tiQ0v aQa tfjg ^AF 
p. 208, 26] idv ydQ 7Cot7]6c3(isv in svQ^stag tijv AA tfi 
AT (og trjv AAF xat dtd tov A tf} AF JCQbg hQ^fjv 
dva6tr]6co(isv tfjv AB., drjXadij i'6rjg (Levov6rjg tfjg (isv 



I 



20. PlVat.S. 21. Pl. 22. P. 23. Post vnb r&v BAF 
p. 208, 17 textui interpositum z. 24. P 1 Vat. vMon. o p >l. idem 
Bcholium etiam ad p. 208, 5 zb aga &nb evva(i(porfQov habent \X, 
ubi ydg (1. 22) om. X. 



3. yap] t6 yap S. to (pr.)] tov 1. 22. yap] om. IX. 



APPENDIX SCHOLIORUM. 



329 




AA tfj AA^ rfjs ds AF vfj AF, trjg de BA ty BA, 
i6tai 6a(pss tb Xeyo^Evov ag yaQ aC ^d^sig, ovt(o 
xal ta nagaHrjXoyQan^a ta V7tb tb avtb v^og ovta, 

25. Kal tov dlg vnb 6vva}iq)oteQov tfjg AAP 
p. 210, 2] i0tco fv-O^^ra rj ds, xal xst6d-co tfj fisv AA l'0r] l 
ri 8a, tf] 8\ AF i] ay^ xal d^cb tov a tf] 8y ■JiQog 

OQd^dg dvs0tdtco r] «/3, xal 
xsi6^G) r] a^ tf] AB l6r]. insl 
ovv 6 tf]g day TCQog ya koyog 
s6tl doxtsCg,^ hg Ss i] day Ttgbg 1< 
ya, ovtcog tb vxb day^ «/3 
TiQbg tb vitb ya^ a/3, xal tov 
VTib day^ a/3 TtQbg tb vnb 
ya, a/3 aqa Xoyog s6tLV. s6ti ds xal tov vnb t&v y«, a/3 
TCQbg t6 a/3y tQLyavov Xoyog dod^slg did tb |;' d^sd)- l 
Qr]}ia' xal tb viib day^ a/3 aQa TCQbg tb a^y tQLycovov 
Xoyog s6tl dod^slg dcd tb r]' d^scoQr^fia. 

26. Kal Tc5 dlg vjtb tav BA, FZ p. 210, 21—22] 
sdv yaQ 6v^JtXr]Q(o6co^sv ro VTtb tav /3a, ay naQaXXr^ko- 

yQa^fiov cag tb ar], xal 2 
dcd tov 2; 7taQdXXr]Xov 
dydyco^sv tf] a/3, snsLta 
dq)sX(Ofisv t6 vnb tav /3 a ^, 
xataXsCnstaL t6 t,r] naQ- 
aXXr]2.6yQa^^ov , o s6tLv 2 
vnb tav /3«, ^y tf] ydQ ^a l'6r] s6xlv r] ^x. 




25. PlVat.vMon.cpi. Pig. ego addidi. 26. z. 



1. rjjs (pr-)] ^V ^^i- 2. 'iarai aacpsg]^ sic. Mon. {hTui 

comp.), 6 {iatca in ras. unius litt. alio atrana.); &aaq>sg cett. 
5. larj om. codd. 12. Ttgbg t6 vnb ya, a§] om. 1. 



330 APPENDIX SCHOLIORUM. 

27. 'Eav yccQ cctco tov dlg vjcb rcbv BAF acpilG)- 
^sv t6 dlg V7C0 x&v BAZ^ xo xaxaleLjto^svov s0xl xb 
dlg vicb xav BA, ZF. 

28. "S16XS ocal tov vnb x&v ET, AB p. 212, 6] 
6 SL yccQ xrjv ZJT in^ sv&SLag xijg EF vo7l0G}fisv xal 

xoLvbv vxl^og xrjv BA, s6xaL xb ksyo^svov dfilov' ag 
yccQ 7] EF ^ddig TCQbg xrjv JTZ ^dCLV^ ovxeog xb EA 
7caQaXkriX6yQaii[L0V ^ xovxs6xl xb vnb xcbv EF, BA^ 
TCQog xb AZ 7CaQalXr]l6yQa^[iov, xovts0tL tb VTcb tav 
10 Zr, AB. 

29. Tov ds vTcb tav AB, TE jCQbg tb ABT 
p. 212, 7 — 8] dLcc tb tr^v FE xdd^stov sivac stcl xr)v 
BA sx^aXXoiisvrjv xal yLvs0&aL dLTcXddLOV xb vnb x&v 
BA, EF tov ABF tQLycovov. 

15 30. 'Eav yocQ dLcc tov F tfj EB naQdkXrjkov dydyca- 
^ev xal dcd t&v A, B tfj EF naQaXXriXovg dydyofisv, 
eiStaL dfjXov. xb yaQ vnb EF, AB s6xl xb AB, xal 
xb AB 8LnXd6L6v s6xl xov ABF XQLyavov, xal did 
xovto Xoyov e%SL nQbg tb ABF XQCycovov Ssdo^svov. 

20 31. 'Edv yaQ dLa xov F xr] EB naQdXXrjXov dydyo)- 
fisv xal dLU xav A, B xfj EF naQaXkriXovg dydyafisv, 
i6xaL dfjXov rj yaQ dnb xov A i6r] i6xl xfj EF, cjg 
i^SL dv(o xb 6%6Xlov. 



27. PlVat.pX. 28. 29. z. 30. PlVat.vMon.pic. 31. 
PlVat.vMon.ffpc. 



1. (iqo^/lwjxfv] SiaarfiXcoiisv Vat. p. 2. BAZ] BAF q. 

17. hoTai] comp. PlVat., &Qa Mon. 18. AB] AO PlVat., 

AN Q. 20. ■naQaXlrilov] om. ffpc. 21. tmv] rov 6q. itaQ- 

aXXi]Xovg] l'oovs c. 22. ^arai] comp. PlVat., ^ariv q. 23. 

avoi ro] rb icvoiTBQa Vat. Mon. ff, inl rm Scvcotsqco q. 



APPENDIX SCHOLIORUM. 



331 



Ad prop. LXVII demonstr. quart. 

32. n&g ^£v trjv vnh z/EF dvvauac 6v6tri6a6Q-aL 
I'(Srjv tfj VTcb Azir %G)Qlg tCav ^ATColkavCov', ovtog. 
STtel yccQ 167] i6tlv rj vnb AT/i tfj vnb A^ F, ^H^cav 
£6tlv rj vnb BFA rijg vnb AAT. x£L6d-(o ovv i'6rj 
tfj vnb BTA rj vnb BAE, xal £x^£^ky]6&(o r} BT 
£6tL 81 xoivrj rj n^bg t(p B yavia tov t£ zlBT tQi- 
y(hvov xal tou zIBE. ^OLnrj aga r} vnb BAT XoLnfj 
tfi 'bnb ^ET £6tLv i'6r]. 

33. n&g dh dvvatbv xad^olov dnb tov do%^£vtog 1' 
6rjfi£L0v ag tov a ini tr^v dod-£t6av £v&£Lav ojg tijv 
^y xatayay£LV ^vd^^tav i'6r]v noLOv6av ycavCav trj do- 
^£C6rj tfi vnb 8£t,', d£C^o^£v ovt(og. ri ydcQ vnb §£% 




tJ OQQ^ri £6tLV t) 6i,£La ri a^^X^ta. £l ^ikv ovv OQd^ri., 
<pav£Q6v ayo yaQ dnb tov a xdd^^tov trjv arj' xal 1! 
£6taL i'6rj rj £ tfi rj. dXXd dij £6t(a bi,£ta rj vnb d£^. 
xal ^x^^ xdd^^tog dnb ^hv tov d inl trjv £^ rj dd-^ 
dnb di tov a inl trjv /3y ri arj, xal 6vv£6tdtG) nQbg 



32. 33. PlVat.vMon.ce^. 
d|., cc[i^l. om. Mon. 



Figuras habent Vat.Mon gq. 



2. vTfo] om. Mon. 3. 'AitoXXaviov] in hoc desinunt 11. 

13. ovrag] o Pl. 16. hrai] comp. PlVat., ccQa Mon., 

cc SiiXov del. cc q. 17. S&] ad- P. 18. cctj] cch q. ■ncci] 
om. Vat.p. 



332 APPENDIX SCHOLIORUM. 

rf] urj £vd-£ta xal ta TtQog avtf] 6ri^£CG) ta a tfj VTib 
sdd- i'6rj 7] vTcb rjax' Xoltc^ ccqu tj vnb d^t, l6ri £6rl 
rfi VTib axrj. aXXa di) ^'i&to a^^Uta rj 'bnb d^t,. ix- 
^Xrj&£i6ris (XQa tfjg t,£ ^lfto i^tat r] vnb SeX. xdd-£tos 
5 ovv i]X^(o r] dX, xal rf] VTcb X8£ l'0r] x^LGd^co r] -bnb rjax. 
Xomr] aQa r] vTtb d^X l'6r] £6rl rf] vnb axr]^ a)6r£ xal 
rj i(p£^r]g r] vnb d£^ rf] i(p£^ris rf] vnb axy t6r] i6rCv. 

34. Tovr£6rL rb vnb r&v EFB p. 214, 6—7] iav 
yocQ £v&£ta yQa^^r] r^rjd^y, cog irvx^v, rb V7tb rf]g oXrjg 

10 xal ivbg rav r^rjfidrav 7C£QUxb}i£Vov oQd^oycbviov i'6ov 
i6tl ra r£ VTcb r&v r^rjiidrav xal ra ccTcb roi) tcqo- 
£iQr]^£vov r£rQay(bv<p. 

35. "l6ov i6ri Tc3 dnb B^ p. 214, 7 — 8] idv yaQ 
rQ£ig ^vd^^tai dvdXoyov, t6 vTcb TCQcbtrjg xal tQctrjg i'6ov 

15 i6ri ra dnb rfjg S£vt£Qag. 

Ad prop. LXVIII demonstr. alt. 

36. n&g dvvatbv 7COif]6aL., cog t6 A icaQaXXrjXoyQa^- 
[lov TCQbg t6 B naQaXXrjXoyQa^^ov, ovtcog tr]v K TCQbg A; 
£iXr](p%^G) tcav JTz/, EZ tQitrj dvdXoyov. £6tiv aQa ag 

20 rj TCQcorr] TCQbg rf]v rQitrjv, ovtcog t6 dnb tfjg TtQcatrjg 
TCQog t6 djcb tfjg d£vt£Qag t6 o^ioiov xal b^oicog dva- 
yQacp6fi£vov, xal Xocnbv ag inl £v&£iS)v y^yovitco, cog 
f] JCQcbtrj nQbg tf]v tQctrjv^ ovtag r] K JCQbg A. 

34. Plv. 35. Pl. 36. PlVat.ffpi. 



1. T^(pr.)] t6 Pl. 2. Tjax] ?jfx 1. 4. Jf] &£ Pl. larai] 
lario Q. 5. 81] aX Pl. XSs] aSs Pl. rjax] Tjix 1. 

7. a>t y] arjy Pl. 10. rniqfidrav] om. Pl. 11. Post 

ngosiQri^tvov fortasse ex el. II, 3 addendum r^irjiiarog. 18. 
T?jv] om. Vat.p. A] A 1?\X. 19. F^] euan. 1, om. g. 

22. wg (pr.) — 23. A] hic om. X, sed habet post &i(aQ'i^^arL 
p. 333, 2. 



APPENDIX SCHOLIOKUM. 333 

37. Tb A ccQa TtQog t6 B p. 218, 3] ag dedsixtccL 
iv t(p g' /3i]3Atcj tov EvxXeLdov iv ta icy' Q^eayQrjfiati. 

38. L^AAa ^EV ocal rj K -p. 218, 6] iav c}0t dvo 
svd^etaL^ zal lrjq)d'T] tLg \Lia svd-sta^ 7] ^ia t&v TtQota- 
Qov TiQog triv itsQav koyov 8%el tbv 6vyx£L^Evov ex 
tE tov bv E^EL ri TtQcotrj TfQbg tijv e^co&ev, cag Etv%Ev^ 
Xr}q)d^EL6av xal bv rj Xrjq^d^Etea TCQog trjv EtSQav. 

39. 'O ccQa GvynELiiEvog p. 218, 8] jcEttaL de ag ro A 
TiQog t6 5, ovtcog i] K TtQbg A' a6tE xal r] K nQog A 
koyov E%EL tbv 6vyxELfiEvov ix t&v TtXEVQav, tov bv l 
EXEL r] FA jtQbg EZ xal r] @r jtQbg EH. 

Ad Xrj^iia tov inckvo) p. 224. 

40. nS)g do%Ev i6tL t6 vnb t&v ABF afi^XELag 
vTtoxEL^Evrjg tfig B ycaviag t} h%ELag\ tb XrjfificctLOV iv 
TC5 tiXEL E'l)Q^6ELg, OTtov 0r]^Etov todE a^. 1 

Ad prop. XCI demonstr. alt. 

41. Aod^EV ccQa iiStl t6 vnb tav AAZ p. 226, 9] 
iTtEL yccQ dEdo^ivaL elcXv aC AZ, Zz/, xal bXr] r] AA 
SidotaL Slcc t6 y'' co6tE ixatEQa tav A/i^ AZ didotaL. 
xal dfjXov, bti t6 vn* avtav nEQLE%6iLEvov didotaL, ag 2^ 
iv totg oQOLg' b tE yccQ Xoyog trjg AA n^bg tr]v AZ 
didotaL, inELd^nEQ ixatiQa tav AA, AZ didotaL Slcc 
t6 a', xal aC ycjvLaL dEdo^ivaL elGlv' OQd^al yocQ. 



37. Pvl. 38. PlVat.vMon.(>(»X. 39. Pv. 40. Vat.p. 
41. PlVat.vffp^. 



4. [liu (pr.)] nsi^cov Pl, -ov X. itQOtBQcav q. 11. Kui] 

om. codd. 0r] r om. codd. 15. svg^^arig q. 



334 APPENDIX SCHOLIORUM. 

42. P. 226, 10] iav yaQ dLccfisTQOv aydycofisv^ xa 
Xoma dijXa, ag iv rc5 y' t&v 0xolieC(j3v iv tco X8' 
^•ecoQij^axL' oXaL yd:Q aC xafivov0aL sid^staL xb vno x&v 
XfjLrj^dxcov Idov £xov6l tc5 ano x^g iq^ajtxofiivrjs. 
5 43. 'Exdx£Qov yaQ avx&v t6ov isxl xa dno xrjg 
ifpanxo^ivrig xov xvxXov. 

Ad prop. XCIII demonstr. alt. 

44. n&g tj vnb AFB ixaxsQag xav vTcb ATA^ 
FBE i6xL dtTcXrj; iv to tcqo xovxov d^scoQrJiiaxL 8L%a 

10 xifivsL xijv vTtb AFB. insl ovv XQLyavov xov FEB 
ixxog i6xLv rj vnb AFB.^ l'6rj i6xl xatg vTtb FEB, EBF' 
al 8s vnb FEB, EBT r^g vnb EBT dLnlat si6lv' 
i'6aL yaQ dXXt^XaLg sl6lv^ insl xal nksvQa rj EF nksvQa 
xfi BF i'6rj' dLnXfj ccQa xal r} vnb AFB xfjg vnb FBE. 

15 s'6xL ds xal xrjg vnb AFJ dLnXrj' l'6rj ccQa rj vnb AF^ 
tfl vnb FBE. 

45. T0VXS6XL xfj vnb xav ABA p. 226, 19] t6 yaQ 
avtb x^fj^a vnoxsCvsL avxdg t6 A/1. 

46. Kal insl i^oycovibv i6tL p. 228, 1] i'6r} yaQ r) 
20 vnb FAB tfi vnb F^B, s6tL 8h xal ii vnb ZBJ ty 

vnb AEB l'6r} dta t6 tijv vnb FBE tfj 'bnb FEB 
i'6rjv, insl xal nksvQa rj FB tfi FE i'6rj., i'6rj ds r] vnb 

42. PlvX. 43. Pt. 44. PlVat.vop. 45. P. 46. 
PlvX. 



1. dtdiiitQov] yavlav comp. Pl, om. X. 2. Xd'] Xa' X, 

est III, 36. 4. Tc5] rd X. 9. nQb tovtov &8WQ'^tiatt] TtQmtov 

tov 9scaQri(iatog q. 12. SntXal] SinXdciai v. 13. yaQ] om. U. 

&XXriXaLs] ccXXa F\X. jtXevQa 7} ET nXevQa] itdXiv \X. 22. 

i6r\v] lariv slvai? 



APPENDIX SCHOLIORUM. 335 

FBE xfi vnb ziBZ' co6ts xal Xoltctj ^rot rj EBA xfi 
vnb BZ^ iaxLv ler^. 

47. Tris yccQ vnb ZFB yavLag i'6r]g ov6r}g xfj vnb 
FBE 6vvdyaxaL oXrj rj vitb ZBE l'0ri dv6l xatg vnb 
ZBT, ZTB, X0VX86XL xy vnb ^ZB. 5 

48. '^g aQa 0vvafi(p6xsQog r] AFB p. 228, 4] %dXiv 
d (isysd-rj yCvsxaL dvdXoyov^ xd AFB, AB^ B/l^ AZ. 

Ad prop. XCIII demonstr. tert. 

49. KaX ycovLa r} -bnb ABA p. 230, 3] snsl ydq 

iv JtvxXco s6xl xb ABFA xsxQd:tlsvQOv^ ai dqa dn- 10 
svavxLOv aC vnb ABA^ ATA ycoviaL dv6lv oQd^atg l6aL 
sl6LV. dXXd xal aC 'bjcb ATA.^ ATZ dv6LV oQd^atg 
l'6aL sl6LV. xoLvfjg d^paLQOv^svrjg xrjg ATA rj x)7tb 
ABA xfj i)7cb ATZ s6xlv i6r]. 

50. Kal b^OLCog tc3 xqoxsqov Ssl^^o^sv p. 230, 18] 15 
snsLdrj ydQ., cjg sl'Qr]xaL sv xfi xaxa6xsvf} xov qy' d-scj- 
Q7]fiaxog, xrig A ycoviag dL%a x^rj&SL^rjg xal tav xrjg 
^d6scog Xfiri^dxcov xbv avtbv sxovtov Xoyov tatg nXsv- 
Qatg 6vvr]ysto, cjg sv tS>v riyovfisvav TCQbg sv tav 
STCOfievav, ovtcjg dnavta td rjyov^sva n^bg dnavta 20 
td sno^sva, xovxs6xlv ojg rj AB n^bg BE, ovxag 6vv- 
a^(p6xsQog r] BAT nQbg BT' dXX^ snsl i6oyd)VLOv xb 
ABE XQLycovov xdo TEA tQLyava, s6tLv c}g rj AB 

47. Vat.ff^». 48. Pv. 49. Plv^l. 50. PVat.vc^. 



1. ^BZ] JEZ codd. 12. cci] om. X. 16. ^Treidjf] insi- 
St^TtSQ Q. • qy'] (?, TtQog y cett. 19. evvTjysro] avv g. Post 
evvi^ysro habent Sioc t6 s' Vat. p. ag] kccI ag q. TtQog 

— 21. TOvtsariv] y.cel ra (^■^g Vat. p. 23. to5 FEd rQiymv(p\ 
om. P. 



336 APPENDIX SCHOLIORUM. 

TCQog BE^ ovTog 1} FzJ ir^og ^E' aOxiv uQa xal ag 
6vvafi(p6reQog 7} BAT TtQog BF^ ovtcog rj F^ TCQog ^E. 
rb ccQa vno TtQcotrjg xal rerdQtrjg, tovteGti t6 vno 6vv- 
a^cpoteQOv tijg BAF xal tf]g EA i6ov ta vno devteQag 
5 xal tQttrjg, ta vno t&v BF, Fz/' do&ev de tb vnb tav 
5F, FzJ' dod^etea yccQ ixateQa tav BF, Fzf dia tb nrj'' 
rj iiev yaQ B^ ccnoXa^^dveL t^fj^a tb BAFJ e%ov 
dedo^evTjv ycoviav trjv vnb BA/l^ rj de FA tb /tBAF 
tfirifia ejfiv dod^et^av yavCav trjv vnb ^AF' dod^ev 
10 ccQa xal tb vnb 6vva^(poreQOv tr]g BAF xal Tijg EA. 



2. 7] cvvaiicpoTSQog ij Yat.Q. 6. Trrj'] huius ed. sr^'. 




1 





^^^li^^^^¥Mi 



PLEASE DO NOT REMOVE 
CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET 

UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY 



QA 

31 

E83 

1883 

V.6 

C.l 

PASC 



A 









0"'-^" *,' 



€'j^ 



:^.'- 



VAJrt